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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 aot 2017, 09:09
Hello,

J'en suis venu à cette histoire de $X^n - a$ suite à une phrase de FlipFlop in [www.les-mathematiques.net]. Grosso modo, on disposait d'un $c \in \mathbb F_p$ et FlipFlop considérait une racine cubique de $c$. Où ? Dans $\overline {\mathbb F_p}$ ? Non, dans $\mathbb F_{p^3}$, dixit FlipFlop. Cela m'a interpellé, comme dit l'autre.

En fait, c'est un problème purement multiplicatif. Je peux supposer $a \ne 0$. On dispose donc d'un $a \in \mathbb F_q^*$ et on veut savoir si $a$ est une puissance $n$-ième dans le groupe $G = \mathbb F_{q^n}^*$. Notons pour un groupe commutatif $G$, $G^{(n)}$ le sous-groupe des puissances $n$-ièmes. Si $G$ est d'ordre $N$, on a:
$$
G^{(n)} = G^{(n \wedge N)}
$$
Et si $G$ est cyclique d'ordre $N$ :
$$
G^{(n)} = G^{(n \wedge N)} = \{x \in G \mid x^{N \over n \wedge N} = 1 \}
$$
On peut appliquer cela $G = \mathbb F_{q^n}^*$ qui est d'ordre $N = q^n - 1$. On prend $a$ dans $\mathbb F_q^*$, qui vérifie donc $a^{q-1} = 1$. Et on se demande si :
$$
a^{N \over n \wedge N} \quad \buildrel {??} \over = \quad 1
$$
Mais $a$ peut être d'ordre $q-1$ exactement. D'ailleurs, on peut se limiter à résoudre la chose pour un générateur $a$ de $\mathbb F_q^*$. Et si l'on veut lever les points d'interrogation, c'est que la seule possibilité est :
$$
q-1 \mid {N \over n \wedge N} \qquad \hbox {avec $N = q^n -1$} \qquad\qquad (\clubsuit)
$$
Question : est ce que la relation de divisibilité $(\clubsuit)$ est toujours vérifiée ? Elle l'est pour $n$ premier car alors $n \wedge N = 1$ (sauf erreur de ma part) et $(\clubsuit)$ se résume alors à $q-1 \mid q^n-1$. Erreur de ma part : $n$ étant premier, on peut avoir $n \mid q^n-1$ (par exemple si $n \mid q-1$), auquel cas le pgcd est $n$ et pas 1. Mais on arrive tout de même à montrer $(\clubsuit)$.

PS : encore une fois, c'est de la faute à FlipFlop.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 14/08/2017 15:50 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 aot 2017, 09:11
avatar
Je veux dire :

Soit $k$ un corps, $a \in k$ et $p$ un nombre premier. Le polynôme $x^p-a$ est irréductible dans $k$ si et seulement si il ne possède pas de racine dans $k$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 aot 2017, 09:20
@flip flop
Bien d'accord avec ton dernier post. Et je l'avais signalé dans [www.les-mathematiques.net] ... sauf que j'avais écrit une énorme c.nn.rie (corrigée depuis).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 aot 2017, 16:07
Soit $a \in \mathbb F_q$ et un exposant $n \ge 1$ ; on veut montrer que $a$ est une puissance $n$-ème dans $\mathbb F_{q^n}$. C'est acquis si $n$ est premier.

Pour $n$ quelconque, on décompose $n$ en produit de premiers : $n = \ell_1\ell_2 \cdots \ell_k$, les premiers $\ell_i$ n'étant pas nécessairement distincts. Et on pose :
$$
K_0 = \mathbb F_q, \qquad K_1 = \mathbb F_{q^{\ell_1}}, \qquad
K_2 = \mathbb F_{q^{\ell_1\ell_2}} = \mathbb F_{{(q^{\ell_1})}^{\ell_2}}, \qquad
K_3 = \mathbb F_{q^{\ell_1\ell_2\ell_3}} = \mathbb F_{{(q^{\ell_1\ell_2})}^{\ell_3}}, \qquad \cdots
$$
Si bien que l'on dispose de la chaîne :
$$
a \in K_0 \ \subset\ K_1 \ \subset\ K_2 \ \subset\ K_3 \ \subset\ \cdots
$$
Comme la chose est acquise quand l'exposant est premier, il existe $a_1 \in K_1$ tel que $a = a_1^{\ell_1}$ ; puis $a_2 \in K_2$ tel que $a_1 = a_2^{\ell_2}$ ; puis $a_3 \in K_3$ tel que $a_2 = a_3^{\ell_3}$. And so on. En définitive :
$$
a = a_1^{\ell_1} = a_2^{\ell_1\ell_2} = a_3^{\ell_1\ell_2\ell_3} = \cdots = a_k^{\ell_1 \cdots \ell_k} = a_k^n
$$

Mon avis : cela devrait être plus simple (= je m'y prends probablement comme un manche).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 aot 2017, 16:13
avatar
@Claude : beh, je n'ai pas d'autre idée, j'ai cru que ce n'était pas vrai et cherché un contre exemple ... sans rien trouvé !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 aot 2017, 16:43
@flip flop
Tout cela n'est pas glorieux ... Et nous éloigne un peu de nos préoccupations mais c'est la vie. Et j'en rajoute une couche sur $X^n -a$. Pour régler le cas où l'exposant $n$ est premier, et mérite alors d'être baptisé $p$, on fait appel à une propriété du polynôme $X^p - a$ sur n'importe quel corps $K$, à savoir que, ou bien ce polynôme est irréductible dans $K[X]$, ou bien il admet une racine dans $K$. J'attache un vieux truc.

Mais on peut se poser aussi la question de la divisibilité $(\clubsuit)$ abordée dans [www.les-mathematiques.net] :
$$
q-1 \mid {q^n - 1 \over n \wedge (q^n-1)} \qquad\qquad \hbox {ou encore} \qquad\qquad
n \wedge (q^n-1) \mid {q^n - 1 \over q-1} \qquad\qquad (\clubsuit)
$$
Je le fais pour $n$ PREMIER, $q$ quelconque (puissance d'un premier ou pas). Le pgcd $n \wedge (q^n-1)$ vaut donc $1$ ou $n$. Il y a le cas où ce pgcd vaut 1, cas qui est immédiat. Je suppose donc que le pgcd vaut $n$ i.e. $n \mid (q^n-1)$. Je pose :
$$
S_n(q) = 1 + q + \cdots + q^{n-1} = {q^n - 1\over q-1} \qquad \hbox {si bien que} \qquad q^n -1 = (q-1)S_n(q)
$$
Le truc $(\clubsuit)$ à montrer (version de droite) se résume à montrer $n \mid S_n(q)$, sous couvert de l'hypothèse $n \mid q^n - 1 = (q-1)S_n(q)$. Mais $n$ est premier. Si bien que soit $n$ divise $S_n(q)$ et on est content car c'est ce que l'on veut. Soit $n \mid q-1$. Mais :
$$
q-1 \mid S_n(q) - S_n(1) = S_n(q) - n
$$
Donc $n \mid S_n(q) - n$ i.e. $n \mid S_n(q)$.
Vraiment pas glorieux.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Xp-aExo.pdf (38.7 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 aot 2017, 17:23
Ici, je parle du ``power residue symbol'' (je ne sais pas comment on dit chez nous autres), cela nous changera les idées. Contexte : un nombre premier $p$ et un exposant $e \in \N^*$ vérifiant $p \wedge e = 1$ et $\mathfrak p$ un idéal premier de $\Z[\root e \of 1]$ au dessus de $p$. Il s'agit de définir :
$$
\left( {\bullet \over \mathfrak p} \right)_e : \Z[\root e \of 1] \longmapsto \mathbb U_e \cup \{0\}
$$
Le point capital est de montrer que la réduction modulo $\mathfrak p$ est injective au dessus de $\mathbb U_e$ :
$$
\mathbb U_e \longmapsto \Z[\root e \of 1] /\mathfrak p \qquad\qquad (\star)
$$
On peut procéder ainsi en écrivant :
$$
X^{e-1} + \cdots + X + 1 = {X^e - 1 \over X-1} = \prod_{\omega \in \mathbb U_e \setminus \{1\}} (X - \omega)
$$
Et y faire $X = 1$ :
$$
e = \prod_{\omega \in \mathbb U_e \setminus \{1\}} (1 - \omega)
\qquad \hbox {que l'on réduit modulo $\mathfrak p$} \qquad
\overline e = \prod_{\omega \in \mathbb U_e \setminus \{1\}} (1 - \overline\omega)
$$
Puisque $e \wedge p = 1$, ceci prouve que chaque $1 - \overline \omega$, $\omega \in \mathbb U_e$, $\omega \ne 1$, est inversible dans le quotient modulo $\mathfrak p$. On en déduit alors
$$
[\omega, \omega' \in \mathbb U_e \quad\hbox {et}\quad \omega \equiv \omega' \bmod \mathfrak p] \quad \Longrightarrow \quad \omega = \omega'
$$
Ainsi est acquise l'injectivité de $(\star)$. Le quotient qui y intervient à droite est un corps de cardinal $N(\mathfrak p)$ et donc :
$$
e \mid N(\mathfrak p) - 1
$$
On peut noter $U_e$ l'image de $\mathbb U_e$ par $(\star)$. La définition du symbole est alors la suivante pour $x \in \Z[\root e \of 1]$ :
$$
\left( {x \over \mathfrak p} \right)_e = \cases {
0 &si $x \in \mathfrak p$ \cr
\hbox {l'unique élément de $\mathbb U_e$ qui se réduit modulo $\mathfrak p$ en $x^{N(\mathfrak p) - 1 \over e} \in U_e$} &si $x \notin \mathfrak p$\cr
}
$$
On définit ainsi un caractère multiplicatif d'ordre $e$ sur le corps $\Z[\root e \of 1] /\mathfrak p$.

Note : l'indice $e$ est obligatoire car $\mathfrak p$ peut retrouver son anneau $\Z[\root e \of 1]$ mais ne peut pas retrouver $e$. Par exemple :
$$
\Z[j] = \Z[\root 3 \of 1] = \Z[\root 6 \of 1] \qquad \hbox {conduit à deux symboles distincts} \qquad
\left( {\bullet \over \mathfrak p} \right)_3, \qquad \left( {\bullet \over \mathfrak p} \right)_6
$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 aot 2017, 19:18
avatar
Merci Claude :

Ok, je comprends. C'est très amusant car c'est complètement relié à la décomposition de $p$ dans $\Z[ \root e \of 1]$.

Je veux dire : prenons $e=5$.

La décomposition des idéaux premiers dans $\Z[ \root 5 \of 1]$ est donnée de la manière suivante :

si par exemple : $p=1 \pmod {5}$,alors $p = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}_4$.
cette décomposition étant liée (par une ficelle) aux racines de $\Phi_5$ dans $\mathbb{F}_p$.

Chaque idéal premier donne lieu à un caractère d'ordre $5$ via son symbole (je ne sais pas comment on dit) puissance $e$.

Maintenant si $p = 4 \pmod{5}$, alors la décomposition est $p = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2$ mais les corps résiduelles sont $\mathbb{F}_{p^2}$ et on obtient uniquement $2$ caractères et il faut certainement mettre le Frobenius en action pour obtenir les deux autres confused smiley

Claude, tu peux m'expliquer pourquoi je vois des Frobenius partout grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 aot 2017, 22:01
@flip flop
Voir des Frobenius partout ? Ben, je sais pas. Je crois pas que cela soit dû aux changements brusques de température ? Pas forcé non plus sur la bière, je pense ?

En tout cas, j'aimerais bien le voir (le Frobenius) en action sur la courbe elliptique $E/\mathbb F_p$ pour $p \equiv 1 \bmod 3$ :
$$
E : x^3 + y^3 + cz^3 = 0, \qquad c \in \mathbb F_p^*, \qquad \hbox {point-base $p_0 = (1 : -1 : 0)$}
$$
Cf le point 4 in [www.les-mathematiques.net] et un début de causerie in [www.les-mathematiques.net] et [www.les-mathematiques.net]

Si j'ai parlé du ``power residue symbol'', c'est dans l'espoir de mieux affronter la glace mince. C'est quoi cette histoire de glace mince ? Dans $\Z[j]$, on a tendance à écrire des choses du genre $p = \pi \overline\pi$ avec des soucis entre $\pi$ et $\overline\pi$ d'une part et les 6 unités d'autre part. Dans l'histoire ``power residue symbol'', cela ne risque pas d'arriver vu que l'idéal $\mathfrak p$ de $\Z[\root e \of 1]$ est rarement monogène.

Il serait donc préférable, quand on sent que que la glace est mince, d'écrire $p = \mathfrak p\overline {\mathfrak p}$ et même $p = \mathfrak p_1 \mathfrak p_2$, les deux premiers étant conjugués (au sens complexe). A priori, on ne peut pas les distinguer. On sait cependant que se donner l'un d'entre eux, c'est se donner une racine cubique de l"unité dans $\mathbb F_p$. Ceci parce que $j$ est présent/fixé dans $\Z[j]$ (et qu'il n'est pas question de le confondre avec son conjugué i.e. c'est $j$ qui commande la ficelle d'attachement). Choisir un générateur des $\mathfrak p_i$ est encore une autre histoire, indispensable en certaines circonstances.

La situation est tout autre dans l'anneau :
$$
A = \text{End}_{\mathbb F_p}(E) = \text{End}_{\overline {\mathbb F_p}}(E)
$$
Il y aurait des choses à dire sur cette égalité (on dit que la courbe elliptique est ordinaire). Passons. Et aussi sur le fait que ``l'on sait'' que cet anneau est un anneau quadratique imaginaire isomorphe à $\Z[j]$. Et la situation est tout autre car ON DISPOSE d'une factorisation de $p$ en deux éléments précis :
$$
p = \Phi \widehat {\Phi} \qquad\qquad (\star)
$$
Ici, pas question de confondre le Frobenius $\Phi$ avec l'isogénie duale $\widehat {\Phi}$.

On pourrait penser que je me répète. C'est pas faux. Et j'en viens à ma question. Fixons une racine cubique $j_p$ de l'unité dans $\mathbb F_p$ et notons :
$$
J : (x : y : z) \longmapsto (x : y : j_pz)
$$
Cette fois, on a l'égalité $A = \Z[J]$ et $J$ peut donc fournir une ficelle d'attachement. Puisque l'on a fait ce choix de $J$ (défini par $j_p$) et que l'on croit un peu près à ce que l'on raconte, c'est que $J$ identifie un des deux idéaux $\langle\Phi\rangle$ ou $\langle\widehat{\Phi}\rangle$ dans $(\star)$. Identifie ayant le sens de ``attache par une ficelle''. Quel idéal est attaché à $J$ ? Ou encore : dans l'isomorphe CANONIQUE $\mathbb F_p \simeq \Z[J]/\langle \Phi\rangle$, quelle est la racine cubique de l'unité correspondant à la classe de $J$ modulo $\langle \Phi\rangle$ ? $j_p$ ou $j_p^2$ ?

Glace mince, quand tu me tiens.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 14/08/2017 22:27 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
15 aot 2017, 11:42
Salut Flip Flop
Peut-être que je devrais faire plus d'Analyse ? Car on y apprend par exemple que `` .. la grande fête de l'Assomption, qui depuis le vœu de Louis XIII est au fond la vraie grande fête de la France''.

Suite de mon post précédent. Mon objectif est d'écrire de manière explicite $\Phi = a + bJ$ avec $a, b \in \Z$, écriture qui ne se trouve pas sous le sabot d'un cheval. Je continue à noter $j_p \in \Z$ une racine cubique de l'unité modulo $p$ ; parfois $j_p$ habitera $\Z$ et d'autres fois $\mathbb F_p$ (selon mes envies).

Comme la glace est mince, la ficelle d'attachement doit être solide (pour écrire un programme !).
Il convient donc de rappeler cette ficelle d'attachement : de $j_p$ à la factorisation de $p$ dans $\Z[j]$ en deux idéaux premiers :
$$
p\Z[j] = \langle p, j-j_p\rangle \ \langle p, j-j_p^2\rangle \qquad\qquad (\star)
$$
Ceci est très général et n'a rien à voir avec le fait que $\Z[j]$ soit principal. Dans $\Z[\root n \of 1]$, on a le même phénomène : si $\Phi_n \equiv F_1^{e_1} \cdots F_g^{e_g} \bmod p$ est la factorisation modulo $p$ du polynôme cyclotomique $\Phi_n$, on a la factorisation en idéaux premiers :
$$
p\Z[\root n\of 1] = \langle p, F_1(\zeta_n)\rangle^{e_1} \cdots \langle p, F_g(\zeta_n)\rangle^{e_g}
$$
On a d'ailleurs $e_1 = e_2 = \cdots = e_g$, ce qui est dû au caractère galoisien de $\Q(\root n \of 1)/\Q$ (en fait à la factorisation explicite de $\Phi_n$ modulo $p$).

Bref, en principe la ficelle est solide. On peut d'ailleurs en remettre une couche en ce qui concerne $(\star)$ en calculant $(j-j_p)(j-j_p^2)$ dans $\Z[j]/p\Z[j]$. On trouve 0. C'est donc que
$$
(j-j_p)(j-j_p^2) \in p\Z[j] = \mathfrak p_1 \mathfrak p_2 \subset \mathfrak p_1
$$
Donc par exemple, $j-j_p \in \mathfrak p_1$, auquel cas $j-j_p^2 \in \mathfrak p_2$. ...etc...

Revenons à l'histoire :
$$
E/\mathbb F_p : x^3 + y^3 + cz^3 = 0, \qquad p_0 = (1, -1, 0), \qquad J : (x:y:z) \longmapsto (x:y: j_pz), \qquad p = \Phi\widehat\Phi
$$
Dans l'anneau $A = \Z[J]$ des endomorphismes de $E$, je fais le PARI :
$$
\langle \Phi\rangle = \langle p, J - j_p\rangle
$$
Et pour vérifier si j'ai raison, je dois calculer $\Phi = a + bJ$ (quand on n'a pas de tête, il faut avoir des jambes).

Un début de quelque chose : je définis $k = 0,1,2$ tel que $c^{p-1 \over 3} = j_p^k \bmod p$. Si $\mathfrak p = \langle p, j-j_p\rangle$, tu reconnais le ``power residue symbol'' :
$$
j^k = \left( {c \over \mathfrak p} \right)_3 \qquad\qquad \hbox {(d'où une certaine cohérence dans mes propos, sic)}
$$
Je vais montrer que $J^k \Phi \equiv 1 \bmod 3$, ce qui sera utile plus tard pour les calculs. Ceci signifie que $J^k \Phi$ est l'identité sur la 3-torsion $E[3]$ (dire pourquoi). Du coup, pour déterminer $E[3]$, j'ai besoin d'une racine cubique $\gamma$ de $c$ dans $\overline {\mathbb F_p}$, clôture algébrique que je peux prendre ici égale à $\mathbb F_{p^3}$, comme tu sais. Les points de 3-torsion sont les points d'inflection de la réalisée de la courbe dans $\mathbb P^2$ ; dans notre contexte, les points qui possèdent une coordonnée nulle. En voici un :
$$
P = (\gamma : 0 : -1) \qquad\qquad \hbox {car $\gamma^3 + 0^3 + c \times (-1)^3 = 0$}
$$
L'exposant $k \in \{0,1,2\}$ revient au galop dans l'obsession du calcul du Frobenius $\bullet \mapsto \bullet^p$ :
$$
\gamma^p = j_p^k \gamma \qquad \hbox {car $\gamma^{p-1} = (\gamma^3)^{p-1 \over 3} = c^{p-1 \over 3} = j_p^k$ par définition de $k$}
$$
On voit donc ici un lien entre ``power residue symbol'' et Frobenius. Terminons le calcul de $J^k \Phi$ sur $P$ :
$$
(J^k\Phi)(P) = J^k (\gamma^p : 0 : -1) = J^k(j_p^k \gamma : 0 : -1) = (j_p^k \gamma : 0 : - j_p^k) = (\gamma : 0 : -1) = P
$$
Idem avec les autres points de 3-torsion.

Et avec cela, si je ne suis pas trop manchot, je dois pouvoir parvenir à mes fins.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
15 aot 2017, 17:04
@flip flop
Ce jour de la grande fête de l'Assomption, j'ai un peu avancé mon programme (magma). Je t'en montre un bout. Il est important de noter que je ne fais pas de calcul de type Gauss-Jacobi. Je vais tout appuyer sur $j_p$ et utiliser des résultats sur les courbes. J'ai montré dans le post précédent que $J^k \Phi \equiv 1 \bmod 3$ où $k$ est déterminé par $c^{p-1 \over 3} = j_p^k \bmod p$. Et bien sûr, je continue à croire que dans l'anneau des endomorphismes de $C/\mathbb F_p : x^3 + y^3 + cz^3 = 0$ munie du point-base $p_0 = (1 : -1 : 0)$, on a :
$$
\langle \Phi\rangle = \langle p, J - j_p\rangle \qquad\qquad
\hbox {rappel : $J = (x : y : z) \longmapsto (x : y : j_py)$}
$$
Je pose $\Pi = J^k\Phi$ qui vérifie $\Pi \equiv 1 \bmod 3$, si bien que :
$$
\Phi = J^{-k}\Pi, \qquad \langle \Phi\rangle = \langle p, J - j_p\rangle = \langle \Pi\rangle
$$
Parmi les choses convoitées, il y a la trace du Frobenius $\Phi$. On balance tout dans $\Z[j]$ en mettant des minuscules :
$$
\phi = j^{-k}\pi, \qquad \langle \phi\rangle = \langle p, j - j_p\rangle = \langle \pi\rangle, \qquad \pi \equiv 1 \bmod 3
$$
Et là, c'est bon, je peux attraper la trace du Frobenius. Car $\pi$ est le générateur normalisé de l'idéal premier $\langle p, j-j_p\rangle$ que je connais, $j^k$ je l'attrape par $j^k = \chi(c)$ où $\chi$ est le caractère cubique défini par $j_p$. J'insiste : c'est $j_p$ qui détermine tout (le coup de la ficelle solide).

D'ailleurs, je peux préparer mes petites affaires en fonction du premier $p \equiv 1 \bmod 3$. La courbe, on s'en fiche pour l'instant.

> Premiers := [p : p in PrimesInInterval(7,50) | p mod 3 eq 1] ;
> Premiers ;
[ 7, 13, 19, 31, 37, 43 ]
> 
> // Soit p = 1 modulo 3. 
> // Je détermine dans F_p une racine cubique de l'unité j_p et les objets attachés (par une ficelle) à j_p
> p := Random(Premiers) ;
> p ;
37
> Fp := GF(p) ;
> ok, jp := HasRoot(Phi3) where Phi3 is ChangeRing(CyclotomicPolynomial(3), Fp) ;
> assert ok ;
> jp ;
26
> // L'idéal premier P de Z[j] attaché à j_p (P est facteur de p).
> P := ideal <Zj | p, j-jpTilde>  where jpTilde is Z!jp ;
> // P est monogène puisque Z[j] est principal
> ok, genP := IsPrincipal(P) ;
> Qj!genP ;
-4*j - 7
> // Je détermine maintenant LE générateur normalisé pi de P
> UgenP := [Zj| u*genP : u in [1,j,j^2,-1,-j,-j^2]] ;
> exists(pi){pi : pi in UgenP | IsDivisibleBy(pi-1,3)} ;
true
> Qj!pi ;
-3*j + 4
> // Ainsi que le caractère cubique associé à j_p
> Chi := CubicCharacter(jp) ;
> Domain(Chi) ;
Finite field of size 37
> Codomain(Chi) eq {1,j,j^2,0} ;
true

Maintenant, on fait débarquer les courbes $x^3 + y^3 + cz^3 = 0$ : tout est prêt pour le calcul i.e. pour la vérification des ``traces'' $p+1 - N = \text{Tr}\big(\chi(c)^{-1}\pi\big)$ où $N$ est le nombre de points de la courbe.

> // Je choisis maintenant quelques c in Fp \ {0} pour jouer avec x^3 + y^3 + cz^3 = 0
> // Et contrôler que le nombre de points N vérifie p+1 - N = Trace(Chi(c)^-1 * pi) ;
> // On voit que ce nombre de points ne dépend que de Chi(c) i.e. du caractère cubique de c.
> 
> P2<x,y,z> := ProjectiveSpace(Fp, 2) ;
> MyToyCurve := func < c | Curve(P2, x^3 + y^3 + c*z^3) > ;
> 
> time for dummy := 1 to 20 do
time|for>   c := Random(Fp) ;  
time|for>   if c eq 0 then continue ; end if ;
time|for>   C := MyToyCurve(c) ;
time|for>   N := #Points(C) ;
time|for>   assert p+1 - N eq Trace(Chi(c)^-1 * pi) ;
time|for> end for ;
Time: 0.020
> C ;
Curve over GF(37) defined by
x^3 + y^3 + 9*z^3
> N ;
48
> p+1 - N ;
-10
> Trace(Chi(c)^-1 * pi) ;
-10

Mais calculer le nombre de points n'était pas mon seul objectif. Il faut maintenant, en notant $\phi = a + bj$, que je te fasse croire que $a + bJ$ est le Frobenius $\Phi$. Pour faire tourner le Frobenius, c'est mieux de considérer des points qui ne sont pas $\mathbb F_p$-rationnels ! Je vais donc monter à $\overline {\mathbb F_p}$, et comme je suis pas trop riche je vais me contenter de monter à $\mathbb F_{p^2}$.

L'autre souci technique, c'est que je ne suis pas en situation Weierstrass et que vérifier $\Phi(P) = aP + bJ(P)$ ne peut pas se faire directement. Mais que cela ne tienne : la courbe est genre 1 avec un point-base (rationnel) : on va donc utiliser la théorie des diviseurs.

On prépare $a,b$ de $\phi = a + bj$, et l'extension de la courbe à $\mathbb F_{p^2}$, clôture algébrique des pauvres.

> phi := Chi(c)^-1 * pi ;
> Qj ! phi ;
-4*j - 7
> a := Z!phi[1] ; b := Z!phi[2] ; assert phi eq a + b*j ;
> // On croit à Phi = a + b*J   i.e. à  Phi(p) = a*p + b*J(p) pour tout point p de E/AlgClosure(Fp)
> // Clôture algébrique des pauvres
> Fp2<w> := ext <Fp | 2> ; 
> Cp2<x,y,z> := BaseChange(C,Fp2) ;
> J := map < Cp2 -> Cp2 | [x, y, jp*z] > ;
> Phi := map < Cp2 -> Cp2 | [x^p, y^p, z^p] > ;
> p0 := Cp2 ! [1,-1,0] ;
> D0 := Divisor(p0) ;

Là, on fait la vérification, en notant $D_0$ le diviseur de $p_0$, pour un point $P$ pris au hasard, du pendant de $\Phi(P) = aP + bJ(P)$ i.e. de :
$$
\text{Div}(\Phi(P)) - D_0 \quad \sim \quad a\big( \text{Div}(P) - D_0\big) + b\big( \text{Div}(J(P)) - D_0\big)
$$
Bien sûr, $\sim$ c'est l'équivalence linéaire des diviseurs.

> PointsCp2 := Points(Cp2) ; 
> #PointsCp2 ;
1344
> P := Random(PointsCp2) ;
> P ;
(w^49 : w^1299 : 1)
> Phi(P) ;
(w^445 : w^183 : 1)
> J(P) ;
(w^961 : w^843 : 1)
> D1 := Divisor(Phi(P)) - D0 ;
> D1 ;
Divisor on Curve over GF(37^2) defined by
x^3 + y^3 + 9*z^3
> Support(D1) ;
[
    Place at (w^445 : w^183 : 1),
    Place at (36 : 1 : 0)
]
[ 1, -1 ]
> D2 := a*(Divisor(P) - D0) + b * (Divisor(J(P)) - D0) ;
> D2 ;
Divisor on Curve over GF(37^2) defined by
x^3 + y^3 + 9*z^3
> Support(D2) ;
[
    Place at (w^49 : w^1299 : 1),
    Place at (36 : 1 : 0),
    Place at (w^961 : w^843 : 1)
]
[ -7, 11, -4 ]
> ok, f := IsLinearlyEquivalent(D1,D2) ;
> ok ;
true
> // Visualiser f, habitant du corps des fonctions de C, telle que D1 - D2 = Div(f)
> L<x,y> := FunctionField(Cp2) ;
> assert  x^3 + y^3 eq -c ;
> assert f in L ;
> f ;
(w^86*y^10 + w^488*y^9 + w^269*y^8 + w^1244*y^7 + w^929*y^6 + w^1094*y^5 + w^785*y^4 + w^853*y^3 + w^635*y^2 + w^1082*y 
    + w^586)*x^2 + (w^770*y^11 + w^1172*y^10 + w^953*y^9 + w^948*y^8 + w^1004*y^7 + w^364*y^6 + w^62*y^5 + w^1269*y^4 + 
    w^738*y^3 + w^1362*y^2 + w^195*y + w^577)*x + w^86*y^12 + w^488*y^11 + w^269*y^10 + w^398*y^9 + w^1281*y^8 + 
    w^14*y^7 + w^388*y^6 + w^624*y^5 + w^534*y^4 + 12*y^3 + w^520*y^2 + w^408*y + w^288
Re: Homographies et petits groupes de Galois
15 aot 2017, 21:29
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Coucou Claude,

Faut que je reprenne calmement grinning smiley

Ton programme commence a être bien complexe là
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 aot 2017, 18:57
@flip flop
Je ne crois pas que cela soit seulement le programme (magma) qui soit complexe. C'est surtout les maths qui sont derrière et que je maîtrise mal. Et le mode expérimental que nous utilisons pour travailler. Et quel est l'objectif ? Le mien est de comprendre un peu de maths ce qui me demande beaucoup d'énergie. Je suis à ce propos très étonné de l'énergie dépensée par certains sur le forum dans des choses qui me semblent assez futiles (et pas toujours d'ordre mathématique).

Mais passons. Cette histoire m'a permis de mieux comprendre certaines choses, ce qui n'est pas si mal. Peut-être que ce n'est pas ton cas. Et comme je suis persuadé maintenant que $J \equiv j_p \bmod \Phi$, j'ai osé poser la question à un spécialiste.

J'avoue aussi avoir un peu triché pour établir $J^k \Phi \equiv 1 \bmod 3$. Car j'ai utilisé implicitement, pour un endomorphisme $\psi : E \to E$ d'une courbe elliptique que :
$$
\hbox {$\psi$ nul sur $E[3]$} \quad \Longleftrightarrow \quad \psi \equiv 0 \bmod 3 \quad
\hbox {i.e. il existe un endomorphisme $u : E \to E$ tel que $\psi = u \circ [3]$}
$$
Il est clair que l'on a $\Leftarrow$. Mais dans l'autre sens, c'est une autre histoire. Cela m'a pris la tête pendant plusieurs jours. Et c'est faux en général : on a besoin du fait que la caractéristique soit distincte de $3$. J'ai enfin fini par mettre la main sur le résultat que je pressentais. Soient 3 courbes elliptiques $E_1, E_2, E_3$ et deux isogénies non constantes $\phi, \psi$, avec $\phi$ SEPARABLE. On se pose la question de trouver une isogénie $u$ vérifiant $\psi = u \circ \phi$.
$$
\xymatrix @R=0.6cm @C=1.5cm{
& E_2\ar@{-->}[dd]^{u} \\
E_1\ar[ur]^\phi \ar[dr]_\psi \\
& E_3 \\
}
$$
Alors un tel $u$ existe (et est unique) si et seulement si $\ker \phi \subset \ker \psi$. C'est dans le chapitre Isogénies de Silverman I. Cela s'applique à l'isogénie $\phi = [n]$, si $n$ ne divise pas la caractéristique du corps de base. On a donc dans ce cas :
$$
\hbox {$\psi$ nul sur $E[n]$} \quad \Longleftrightarrow \quad \psi \equiv 0 \bmod n \quad
\hbox {i.e. il existe un endomorphisme $u : E \to E$ tel que $\psi = u \circ [n]$}
$$
Voilà, voilà. Comme tu vois, j'ai appris des choses. C'est dûr de comprendre un peu de maths (bis).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 aot 2017, 20:48
Je viens de découvrir YU.I Manin & A.A Panchiskin, Introduction to Modern Number Theory. J'ai de quoi m'occuper le restant de mes jours et faut pas rêver, je n'en comprendrais pas le quart de la moitié du dixième (je suis loin d'avoir terminé Ireland & Rosen, A classical introduction to modern number theory).

Une page que je trouve amusante (sic) dans Manin & A.A Panchiskin, la page 42 (j'attache). Il s'agit de la courbe elltiptique
$$
y^2 + y = x^3 - x, \qquad p_0 = (0,0)
$$
Il y a le tracé des $x(mp_0)$ pour $8 \le m \le 58$ à la page 42 (dixit les auteurs en bas de la page 41, si je comprends bien l'anglais). Mon sang ne fait qu'un tour : je vais faire joujou avec cela. Mais patatras, cela ne donne pas du tout ce qui est écrit à la page 41. En insistant, et en consultant Mazur (Arithmetic On Curves, [www.ams.org]), je finis par comprendre ce qu'il faut faire pour produire le phénomène parabole ci-dessous. Devinette : j'ai quoi fait ?

> Z ;
Integer Ring
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
> F := map < E -> Z | p :->  A-DEVINER > ;
> I := [A-DEVINER AUSSI] ;
> 
> 
> p0 := E![0,0] ;                                   
> for m in I do F(m*p0) ; end for ;                 
20
116
3741
8385
239785
59997896
1849037896
270896443865
16683000076735
2786836257692691
3148929681285740316
342115756927607927420
280251129922563291422645
804287518035141565236193151
743043134297049053529252783151
3239336802390544740129153150480400
2613390252458014344369424012613679600
12518737094671239826683031943583152550351
596929565407758846078157850477988229836340351
2385858586329829631608077553938139264431352010155
56186054018434753527022752382280291882048809582857380
2389750519110914018630990937660635435269956452770356625916
65008789078766455275600750711306493793995920750429546912218291
8633815035886806713921361263456572740784038065917674315913775417535
43276783438948886312588030404441444313405755534366254416432880924019065
5930760454696426589489567617397943244827292346871145123187277732858766713896
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Manin_Panchishkin_pages-41-42.pdf (130.1 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 aot 2017, 21:10
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Ah Ah marrant la parabole grinning smiley

C'est le numérateur des $x(mp_0)$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 aot 2017, 21:20
Sur quel intervalle (pour $m$) ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 aot 2017, 21:36
avatar
Beh ce qui est certain c'est qu'il n'y a pas 50 valeurs ... ah il y a la clause "even" donc les nombres pairs !! Par contre c'est assez impressionnant l'explosion du nombre de digit !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 aot 2017, 21:51
Even, c'est que que Mazur dit. Mais en fait c'est Odd.
Pour la petite histoire : YU.I Manin & A.A Panchiskin tiennent cela de Mazur mais déforment un tantinet. Et Mazur fait référence à Hartshorne . Et Hartshorne invoque Tate (The Arithmetic of Elliptic Curves, [www.math.mcgill.ca], deux dernières pages). Il me reste plus que 520 - 2 pages à lire chez Manin. Note : ces matheux sont des grands (respect).

> Z := IntegerRing() ;
> E := EllipticCurve([0,0,1,-1,0]) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
> F := map < E -> Z | p :-> Abs(Numerator(p[1])) > ;
> p0 := E![0,0] ;
> I := [9 .. 59 by 2] ;
> for m in I do F(m*p0) ; end for ;
....
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 aot 2017, 19:59
avatar
Hello Claude :

Une question strictement rien à voir (histoire de faire un pause sur cette thématique, j'ai trop de mal là). C'est quoi t'as démonstration préféré de l'irréductibilité du polynôme cyclotomique sur $\Q$ ?

J'ai trouvé la démonstration que je voulais faire depuis 6 mois dans le livre de Pierre Samuel p109 section 6.4.

Le petit souci c'est que ça utilise la notion d'anneau d'entier (et je n'ai pas réussi a faire sans) !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 aot 2017, 20:54
avatar
En fait ma démonstration s'articule de la manière suivante :

Soit $n$ un entier (quelconque et non pas premier grinning smiley). Etant donnée un corps $k$ quelconque (de caractéristique première à $n$), on dispose d'un morphisme de groupe injectif :
$$
\Psi_k : \text{Gal} (k(\root n \of 1) \mid k ) \to \left( \Z /n \Z \right)^\star
$$
De plus, lorsque $k := \mathbb{F}_p$ et $p$ ne divisant pas $n$, l'image de ce morphisme est simplement le sous-groupe engendré par $p$.

D'autre part, on dispose d'un morphisme de réduction injectif $(*)$ :
$$
\text{Gal} (\mathbb{F}_p(\root n \of 1) \mid \mathbb{F}_p ) \to \text{Gal} (\Q(\root n \of 1) \mid \Q )
$$
compatible avec $\Phi$ (le diagramme commute).

De là on prouve que : $\Psi_\Q$ est surjective en décomposant un entier $m$ premier à $m$ en produit de nombre premier (premier à $n$).

C'est le $(*)$ qui demande un travail sur les anneaux d'entiers.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 aot 2017, 21:10
@flip flop
Je n'en connais pas 36. J'ai regardé une fois celle dûe à Landau. Et puis dans le cadre de l'enseignement, je suis revenu à celle ``que tout le monde fait'' : on écrit $\Phi_n = FG$ dans $\Z[X]$ ; et si $x$ est une racine de $F$ et $p$ un premier qui ne divise pas $n$, on se force à montrer que $x^p$ est une racine de $F$. Ce point (se forcer à) est le point délicat. Un peu comme dans la preuve du théorème 2.5 page 4 [www.math.uconn.edu]

Dans la mesure du possible, j'évite les raisonnements par l'absurde (on peut peut-être un peu alléger le discours de K. Conrad, même pas sûr). Et j'aime bien me faire un peu peur en remplaçant $\Phi_n$ par $X^n -1$, histoire de bien analyser la chose. J'ai aussi une petite variante où je joue dans $\Z[\root n \of 1]/\mathfrak p$ où $\mathfrak p$ est un idéal premier au dessus de $p$. Histoire, dans le point délicat, de se permettre de tout réduire (y compris les racines et pas seulement les coefficients, comprenne qui peut).

Keith Conrad dit que la preuve que j'évoque est dûe à Dedekind (1857) avec une référence. Je crois comprendre que cette preuve a été popularisée par Van der Waerden, dans son célèbre Modern Algebra de 1930, et c'est pour cela qu'on la retrouve un peu partout de nos jours.

Je n'ai pas encore eu le temps de regarder la preuve de Samuel dont tu parles. Non seulement, elle utilise les anneaux d'entiers mais également le Frobenius (dont tu raffoles, y compris pour les courbes elliptiques ?). Bien sûr, à l'époque où j'enseignais, la règle était de fournir (dans le cadre de la préparation à l'Agreg par exemple) les approches ``les plus élémentaires'' possibles. Mais ici, tu as tous les droits. Et au fait, quelle est ta position sur le Frobenius en théorie des nombres ? Disons, pour le niveau, ``à la Samuel''. Quelles preuves connais du (de l'existence des Frobenius) ? Je veux dire par là, que pour démontrer l'irréductibilité du polynôme cyclotomique, est ce que l'on ne va pas utiliser un (ou plusieurs) résultat(s) plus complexe(s) ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 aot 2017, 21:22
@flip flop
Quant tu dis, compatible avec $\Phi$, je suppose que tu veux dire compatible avec $\Psi_\Q$ ?

Et ton morphisme de réduction $(\star)$, ce n'est pas autre chose que ``l'existence du Frobenius'', n'est ce pas ? Sauf qu'on est en terrain particulier abélien, et que peut-être on peut essayer d'en profiter. Et $(\star)$, tu refais un truc perso en louchant sur Samuel ?

PS : étrange de le nommer ``morphisme de réduction'' (on pourrait penser que c'est dans l'autre sens ... car je suppose qu'il y a bien un premier de $\Z[\root n \of 1]$ au dessus de $p$, n'est ce pas ?)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 aot 2017, 21:50
@flip flop
Bourbaki, Algèbre V (Corps commutatifs), section 5, p. 80, théorème 2, attribue à Gauss la preuve de l'irréductibilité de $\Phi_n$ sur $\Q$ (la preuve que j'ai vaguement évoquée et pointée chez K. Conrad). J'ai ouvert 3/4 livres d'algèbre (Lang, Ireland & Rosen, ...etc) : c'est toujours la même preuve à des variantes près.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 aot 2017, 22:10
avatar
Oui c'est bien ça compatible avec $\Psi_\Q$. J'ai beaucoup cherché pour $(*)$ et je n'ai rien trouvé sauf le truc de Samuel y'a quelques semaines. Je cherchais un truc élémentaire mais pas trouvé !

Mais je pense que ça revient à l'existence (+calcul) du Frobenius. Enfin je pense que ça embarque beaucoup de chose, cette compatibilité (j'avais admis (*) pour démontrer la réciprocité quadratique à l'aide de petit diagramme et j'suis presque certain que ça fonctionne proprement) et donc c'est $(*)$ le point clef (enfin pour moi).

Pour $(*)$ je ne suis pas trop clair, Samuel utilise de la technologie ! Je n'ai pas encore réussi a conclure proprement (enfin pour moi). Le problème c'est que je n'arrive pas trop a voir ce qui est général et ce qui est spécifique aux extensions cyclotomiques ! C'est vraiment difficile de faire une preuve complète (je veux dire maîtriser l'oeuf et la poule grinning smiley) !

Ps / Pour ton dernier message, oui c'est certain que c'est un coup de Gauss :D



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/08/2017 22:12 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 aot 2017, 22:41
Salut la compagnie.

Dans Algebra, Lang montre d'abord à coup de Frobenius que si $\zeta$ est une racine primitive $n$-ième de l'unité, alors
$$[\Q(\zeta):\Q]=\varphi(n).$$
Puis il construit par récurrence $\Phi_n$ avec les bonnes racines et le bon degré...

P.S. : j'ai la version française de cet ouvrage où on trouve tout cela au chapitre 6 (théorie de Galois) p.286-289.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 aot 2017, 22:51
avatar
@Claude : J'ai écris ça, mais c'est moche j'suis pas trop doué pour écrire vraiment proprement les choses. J'ai arrêté au niveau de $(*)$. Donc c'est juste pour positionner ma problématique.

Edit :



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/08/2017 19:39 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 aot 2017, 23:08
@flip flop
OK. Je regarderai cela demain. Je crois voir en 1.2, haut de la page 4, un tiraillement entre $n$ et $N$. Qui va prendre le dessus ? Et même dans la définition 1.3 : il y a du $N$ et du $n$.

Y'a que $N$ en principe, non ?

Comme je suis Bourbakiste, j'aime bien voir le $\bf j$ du Th 1.4 comme $\sigma \mapsto \sigma_{|U_N}$ i.e. de $\text{Gal}(k'/k) \to \text{Aut}(U_N)$. Ici, $\text{Aut}(U_N)$, c'est le groupe des automorphismes du GROUPE $U_N$.

Et pour un groupe cyclique $G$ d'ordre $N$, j'aime bien m'assurer que canoniquement, il y a un isomorphisme $\text{Aut}(G) = (\Z/N\Z)^\times$. J'ai même mis un $=$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 09:31
avatar
Hello Claude,

Oui c'est $N$ qui gagne (c'est normal il est plus grand que le petit $n$ grinning smiley) Je corrige.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 09:38
@flip flop
J'ai relu. Je peux te signaler les coquilles si tu veux.

A propos de l'irréductibilité de $\Phi_n$ sur $\Q$ (ou sur $\Z$, c'est la même chose). J'aime bien penser à ce qui suit (dans lequel il n'y a pas $\Phi_n$ !). Soit une décomposition $X^n - 1 = FG$ dans $\Z[X]$ et $p$ un premier ne divisant pas $n$. Je note avec une barre dessus la réduction $\Z[X] \mapsto \mathbb F_p[X]$ et $\text{truc} \wedge \text{machin} = 1$ pour (truc, machin) premiers entre eux :
$$
\overline F \wedge \overline G = 1 \qquad \Rightarrow \qquad
\overline F \wedge \overline G(X^p) = 1 \qquad \Rightarrow \qquad
F \wedge G(X^p) = 1
$$
A gauche, c'est parce que $p$ ne divise pas $n$, et donc $X^n - 1$ est séparable modulo $p$. Ensuite, c'est parce que $\overline G(X^p) = \overline {G(X)}^p$. Et tout à droite, puisque ``ça le fait modulo $p$'', c'est que ``ça le fait sur $\Z$'' (les polynômes étant unitaires).

Et le bilan, c'est que :
$$
F(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad F(x^p) = 0
$$
Et une fois que l'on a dit cela, on a tout dit (enfin, c'est ce que moi, je retiens).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 09:54
avatar
Hello,

Oui je veux bien les coquilles. Merci beaucoup Claude! Ca a l'ai très simple ton idée ! Je ne comprend pas encore bien la dernière implication.

Tu utilises que si tu as un diviseur (non constant) sur $\Z$ alors ça donne par réduction un diviseur sur $\mathbb{F}_p$ ?

Bon ça rentre pas du tout dans mon idée mais ça a l'air simple thumbs down
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 10:02
@gai requin

Je ne sais pas si tu prépares toujours ceinture jaune ? Il y a nécessairement des épreuves sur des domaines que tu ne connais pas a priori. Par exemple, les groupes de permutation. Je me dis que peut-être ce qui suit pourrait te servir ?

D'abord un peu de doc sur ce que l'on veut fabriquer, disons dans les grands principes (pour pouvoir relire dans 3 mois) :

clear ;
/*
Ecrire une fonction  T(sigma) retournant une suite de transpositions (tau_1, tau_2, ..) vérifiant
sigma = tau_1 o tau_2 o ...

Principe : soit tau une transposition telle que tau o sigma ait un point fixe
de plus que sigma. Alors, puisque sigma = tau o (tau o sigma)

T(sigma) = [tau, T(tau o sigma)]

Détails : soit, s'il existe, i tel que sigma(i) soit distinct de i
En notant tau la transposition (i, sigma(i))  :

    Fix(sigma) \/ {i}   subset   Fix(tau o sigma)

C'est dû d'une part au fait que tau o sigma fixe i [[c'est fait pour]]
Et au fait que sigma(j) = j ==> j notin {i, sigma(i)}

Attention au renversement en magma : truc o machin = machin * truc
*/

Une version récursive :

function TranspositionsDecompositionRecursiveVersion(sigma)
  Sn := Parent(sigma) ;
  if exists(i){i : i in Support(sigma) | i^sigma ne i} then
    tau := Sn ! (i,i^sigma) ;
    // sigma = (sigma * tau) * tau  -->  T(sigma) = [T(sigma * tau), tau]
    // Appel récursif
    return Append(TranspositionsDecompositionRecursiveVersion(sigma * tau), tau) ;
  else
    return [Sn| ] ;
  end if ;
end function ;

TDR := TranspositionsDecompositionRecursiveVersion ;

Une version itérative (je maintiens un invariant) :

TranspositionsDecompositionIterativeVersion := function(sigma0)
  sigma := sigma0 ;
  Sn := Parent(sigma) ;
  Tau := [Sn| ] ;
  while exists(i){i : i in Support(sigma) | i^sigma ne i} do
    // Invariant : sigma0 = sigma * (Tau_1 * Tau_2 * ...)
    tau := Sn ! (i,i^sigma) ;
    // sigma0 = (sigma * tau) * (tau * Tau_1 * Tau_2 * ...)
    sigma := sigma * tau ;
    Tau := [tau] cat Tau ;
  end while ;
  return Tau ;
end function ;

TDI := TranspositionsDecompositionIterativeVersion ;

Un petit test (pas assez robuste)

n := 10^2 ;
Sn := Sym(n) ;
sigma := Random(Sn) ;
time TR := TDR(sigma) ;
assert sigma eq &*TR ;
time TI := TDI(sigma) ;
assert sigma eq &*TI ;
C := CycleStructure(sigma) ;
// C = [<l1,e1>, <l2,e2>, ...] : e1 cycles de longueur l1, ....etc..
assert #TR eq &+[(li-1)*ei where li,ei is Explode(liei) : liei in C] ;
assert #TI eq #TR ;
TR eq TI ;
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 11:02
@flip flop
Mon truc sur $X^n-1 = FG$. Ce n'est pas mon idée ! C'est la démo que je t'ai signalée hier soir. C'est juste ma façon de voir les choses pour pouvoir faire la démo en marchant par exemple. Oui : si deux polynômes UNITAIRES de $\Z[X]$ sont premiers entre eux modulo $p$, ils le sont dans $\Z[X]$ ; car leur pgcd dans $\Z[X]$ (qui peut-être pris unitaire) se réduit modulo $p$ en 1, et donc ...etc... J'ai mis unitaire pour contrer un facteur commun du type $pX + 1$ qui s'évanouirait modulo $p$.

Et tout à la fin : si $F(x) = 0$, c'est que $G(x^p) \ne 0$ [[car les polynômes unitaires $F$ et $G(X^p)$, premiers dans $\Z[X]$, le restent à vie]]. Et comme $x^p$ est une racine de $X^n-1 = FG$, c'est que $F(x^p) = 0$.


Tes affaires (cyclo.pdf). Je fais une première passe. D'autres plus tard après correction si tu veux.
On voit aussi un conflit entre $\ell$ et $p$ : au début, il y a un corps alg. clos de carac $\ell$, et puis dans la définition 1.3, c'est $p$ qui débarque. Page 1 dans la démo :
un sous-groupe fini au lieu de n sous-groupe fini. Dans le lemme 1.2, une phrase n'est pas terminée : si pour tout diviseur $d$ de $N$, quoi ? Dans la démo, on ne sait pas ce qu'est $\phi(d)$ : on se doute que c'est $\varphi(d)$, l'indicateur d'Euler. On conclut au lieu de On conclu.

Page 3 : dans le bilan : on voit $p$ : $p$ versus $\ell$. à coefficients dans $\Z$ avec un s. Dernière ligne : enlever le s à exactement. Entre nous : $\Q(j)$ est à la fois 3-cyclotomique et 6-cyclotomique.

Page 4 : utiliser $\ell$ dans la définition de $\bf j(\sigma)$, est ce une bonne idée ? Car $\ell$ already in use. De plus il faut dire $\ell$ premier à $n$, enfin à $N$. à racines simples avec un s et un accent. classe d'inversibles avec un s, je pense (2 reprises). morphisme de groupes avec un s à groupe.

Page 5 : Ce projet ... considération.

Et quelques petits exemples de factorisation de $\Phi_N$ sur $\Q(i)$ ou des $\Q(\sqrt d)$ de ton choix ne seraient-ils pas bienvenus ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 11:07
avatar
Claude,

C'est quoi la dernière commande :
return [Sn| ] ;
Je sais que c'est le truc pour sortir de la récursion mais ici ça veut dire quoi [Sn| ] ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 11:14
@flip flop
C'est la séquence vide typée en $S_n$. Depuis pas mal de temps, je me force à typer mes séquences, mes ensembles ...etc.. SURTOUT s'ils sont vides. C'est pratiquement indispensable.


> Z := IntegerRing() ;
> L := [Z| ] ;
> &+L ;
0
> Lbis := [] ;
> &+Lbis ;
>> &+Lbis ;
   ^
Runtime error in '&+': Illegal null sequence

> Universe(L) ;
Integer Ring
> Universe(Lbis) ;

>> Universe(Lbis) ;
           ^
Runtime error in 'Universe': Illegal null sequence

> S9 := Sym(9) ;
> S9 ;
Symmetric group S9 acting on a set of cardinality 9
Order = 362880 = 2^7 * 3^4 * 5 * 7
> &*[S9| ] ;  
Id(S9)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 11:15
Salut Claude.
"Ta" démo cyclotomique est dans la même veine que celle de Lang dans Algebra sauf que lui, en raisonnant par l'absurde dès le début, se passe du pgcd.

Et au fait, où trouve-t-on des sujets d'examen sur magma ? (même si j'imagine que le coup de la décomposition en produit de transpositions n'est pas forcément tiré d'un tel sujet mais peut-être du fil antagoniste [www.les-mathematiques.net] grinning smiley)

P.S. : Petit problème si on utilise magma en ligne :
    Calculations are restricted to 120 seconds.
    Input is limited to 50000 bytes.
    Running Magma V2.23-3.




Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/08/2017 11:16 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 11:49
@gai requin
Je profite des occasions (comme tu as vu) pour m'obliger à jouer (un peu) avec de nouveaux domaines. D'où les ``exercices''. Il y avait à une certaine époque un introMagma.pdf (from Cannon, Playoust, Draft de 900 pages, en date de 2001). Avec des exemples pertinents d'utilisation. Le trouve-t-on encore sur le web ?

Comme on le sait, on est obligé dans ce langage de passer par les constructeurs ad-hoc, ce qui oblige à une certaine abstraction. Et si on veut faire mumuse avec la fonction $\tau$ de Ramanujan :
$$
q \prod_{n=1}^\infty (1 - q^n)^{24} = \sum_{n \ge 1} \tau(n) q^n
$$
et la représentation pour $\ell = 23$ :
$$
\text{Gal}(K_\ell / \Q) \longmapsto \text{GL}_2(\Z_\ell)
$$
[[où l'on va retrouver notre ami $X^3 - X - 1$]], on va pas le faire en assembleur, je t'assure. Note : $K_\ell$ est l'exension maximale de $\Q$ non ramifiée en dehors de $\ell$.

Oh, que j'adore Serre quand il dit à la page 7 de [www.fen.bilkent.edu.tr] ``... (and has even led me to doubt the conjecture!)''. Je pointe sur un texte de F. Lemmermeyer (2003) traduction d'un article de Serre [www.numdam.org]. C'est pas que je lis mieux l'anglais mais la typographie du Séminaire Delange-Pisot-Poitou n'est pas trop top (encore qu'en regardant bien, c'est pas si mal).

Que d'explications donnent Serre dans ce papier ! Il va même jusqu'à dire : a finite subfield of $\overline \Q$ is contained in $K_\ell$ if and only if its discriminant is (up to sign) a power of $\ell$. Tiens comme le corps de décomposition de $X^3 - X - 1$ avec $\ell = 23$.

Attention : pour l'instant, RIEN compris, juste apprécié.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 13:33
@flip flop
Relecture (I play again)
Page 5 en haut : ``y regarder ... obtient le tableau suivant'', C'est pas français, ce truc.
Et le tableau est bizarre : on y voit deux fois $r = 3 \bmod 4$ sans y voir $r \equiv 0 \bmod 4$.

Deux dernières lignes : étant d'établir, au lieu de d'établier. .. Entre groupes : je pense qu'il faut un s à groupes (à deux reprises).

Et le plus dûr reste à faire, n'est ce pas ??

Question : quand obtiendras tu, sur un corps de caractéristique $\ell$ ne divisant pas $N$, qu'une racine de $\Phi_N$ est une racine primitive $N$-ième de l'unité ? Ce n'est pas évident contrairement à ce que l'on pourrait penser.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 16:19
avatar
Merci beaucoup Claude. Je vais corriger, pfff c'est incroyable le nombre de boulettes en 5 pages ! Le pire, c'est les conflits de notations !

Compris pour la liste vide avec typage.

Sinon, ok avec ta démonstration de l'irréductibilité de $\Phi_n$, bon c'est particulièrement simple comme tu présentes l'argument Merci beaucoup ! Je pense que mon approche est un compliqué grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 16:46
@flipflop : au moins t'as essayé d'écrire un PDF.
On peut pas dire la même chose d'un certain GR de sinistre mémoire.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 17:12
@flip flop
J'en ai d'autres, cf ci-dessous. Mais tout dépend de ce que l'on veut : tu ne vises pas que l'irréductibilité de $\Phi_N$ sur $\Q$, je pense. Parfois, on ne sait pas ce que l'on veut vraiment. Se familiariser avec le Frobenius ? Ce qui est dommage, c'est qu'ici, il est explicite : si $p$ ne divise pas $N$, c'est l'habitant de $\text{Gal}(\Q(\root N \of 1)/\Q$ qui est l'élévation à la puissance $p$ sur $\mathbb U_N$.

Mais après tout, Samuel s'est amusé. Et chacun a le droit de s'amuser comme il veut. Il faut de tout pour faire un monde. Par contre, à mon petit-fils, je peux pas lui dire : non, tu ne peux pas comprendre pourquoi $\Phi_N$ est irréductible sur $\Q$ si tu n'as pas fait de la théorie de Galois, des anneaux d'entiers, la théorie des anneaux de Dedekind, la factorisation, la ramification, le Frobenius .. et tout le fourbi. Non, je ne peux PAS lui dire cela : car Gauss, c'est bien avant Galois ...etc...


Coquilles :

page 2 : vers bas de la page, ramener (un seul m). Dans la définition 1.3 $k$ premier à $N$ (pas de s à premier). On y voit la définition de l'indicatrice d'Euler mais le symbole $\phi$ a déjà été utilisé.

page 3 : en bas
Ainsi le degré .... sont exactement : pas top. Mettre tout au pluriel par exemple.
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