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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Ce jour de la grande fête de l'Assomption, j'ai un peu avancé mon programme (magma). Je t'en montre un bout. Il est important de noter que je ne fais pas de calcul de type Gauss-Jacobi. Je vais tout appuyer sur $j_p$ et utiliser des résultats sur les courbes. J'ai montré dans le post précédent que $J^k \Phi \equiv 1 \bmod 3$ où $k$ est déterminé par $c^{p-1 \over 3} = j_p^k \bmod p$. Et bien sûr, je continue à croire que dans l'anneau des endomorphismes de $C/\mathbb F_p : x^3 + y^3 + cz^3 = 0$ munie du point-base $p_0 = (1 : -1 : 0)$, on a :
$$
\langle \Phi\rangle = \langle p, J - j_p\rangle \qquad\qquad
\hbox {rappel : $J = (x : y : z) \longmapsto (x : y : j_py)$}
$$
Je pose $\Pi = J^k\Phi$ qui vérifie $\Pi \equiv 1 \bmod 3$, si bien que :
$$
\Phi = J^{-k}\Pi, \qquad \langle \Phi\rangle = \langle p, J - j_p\rangle = \langle \Pi\rangle
$$
Parmi les choses convoitées, il y a la trace du Frobenius $\Phi$. On balance tout dans $\Z[j]$ en mettant des minuscules :
$$
\phi = j^{-k}\pi, \qquad \langle \phi\rangle = \langle p, j - j_p\rangle = \langle \pi\rangle, \qquad \pi \equiv 1 \bmod 3
$$
Et là, c'est bon, je peux attraper la trace du Frobenius. Car $\pi$ est le générateur normalisé de l'idéal premier $\langle p, j-j_p\rangle$ que je connais, $j^k$ je l'attrape par $j^k = \chi(c)$ où $\chi$ est le caractère cubique défini par $j_p$. J'insiste : c'est $j_p$ qui détermine tout (le coup de la ficelle solide).

D'ailleurs, je peux préparer mes petites affaires en fonction du premier $p \equiv 1 \bmod 3$. La courbe, on s'en fiche pour l'instant.

> Premiers := [p : p in PrimesInInterval(7,50) | p mod 3 eq 1] ;
> Premiers ;
[ 7, 13, 19, 31, 37, 43 ]
> 
> // Soit p = 1 modulo 3. 
> // Je détermine dans F_p une racine cubique de l'unité j_p et les objets attachés (par une ficelle) à j_p
> p := Random(Premiers) ;
> p ;
37
> Fp := GF(p) ;
> ok, jp := HasRoot(Phi3) where Phi3 is ChangeRing(CyclotomicPolynomial(3), Fp) ;
> assert ok ;
> jp ;
26
> // L'idéal premier P de Z[j] attaché à j_p (P est facteur de p).
> P := ideal <Zj | p, j-jpTilde>  where jpTilde is Z!jp ;
> // P est monogène puisque Z[j] est principal
> ok, genP := IsPrincipal(P) ;
> Qj!genP ;
-4*j - 7
> // Je détermine maintenant LE générateur normalisé pi de P
> UgenP := [Zj| u*genP : u in [1,j,j^2,-1,-j,-j^2]] ;
> exists(pi){pi : pi in UgenP | IsDivisibleBy(pi-1,3)} ;
true
> Qj!pi ;
-3*j + 4
> // Ainsi que le caractère cubique associé à j_p
> Chi := CubicCharacter(jp) ;
> Domain(Chi) ;
Finite field of size 37
> Codomain(Chi) eq {1,j,j^2,0} ;
true

Maintenant, on fait débarquer les courbes $x^3 + y^3 + cz^3 = 0$ : tout est prêt pour le calcul i.e. pour la vérification des ``traces'' $p+1 - N = \text{Tr}\big(\chi(c)^{-1}\pi\big)$ où $N$ est le nombre de points de la courbe.

> // Je choisis maintenant quelques c in Fp \ {0} pour jouer avec x^3 + y^3 + cz^3 = 0
> // Et contrôler que le nombre de points N vérifie p+1 - N = Trace(Chi(c)^-1 * pi) ;
> // On voit que ce nombre de points ne dépend que de Chi(c) i.e. du caractère cubique de c.
> 
> P2<x,y,z> := ProjectiveSpace(Fp, 2) ;
> MyToyCurve := func < c | Curve(P2, x^3 + y^3 + c*z^3) > ;
> 
> time for dummy := 1 to 20 do
time|for>   c := Random(Fp) ;  
time|for>   if c eq 0 then continue ; end if ;
time|for>   C := MyToyCurve(c) ;
time|for>   N := #Points(C) ;
time|for>   assert p+1 - N eq Trace(Chi(c)^-1 * pi) ;
time|for> end for ;
Time: 0.020
> C ;
Curve over GF(37) defined by
x^3 + y^3 + 9*z^3
> N ;
48
> p+1 - N ;
-10
> Trace(Chi(c)^-1 * pi) ;
-10

Mais calculer le nombre de points n'était pas mon seul objectif. Il faut maintenant, en notant $\phi = a + bj$, que je te fasse croire que $a + bJ$ est le Frobenius $\Phi$. Pour faire tourner le Frobenius, c'est mieux de considérer des points qui ne sont pas $\mathbb F_p$-rationnels ! Je vais donc monter à $\overline {\mathbb F_p}$, et comme je suis pas trop riche je vais me contenter de monter à $\mathbb F_{p^2}$.

L'autre souci technique, c'est que je ne suis pas en situation Weierstrass et que vérifier $\Phi(P) = aP + bJ(P)$ ne peut pas se faire directement. Mais que cela ne tienne : la courbe est genre 1 avec un point-base (rationnel) : on va donc utiliser la théorie des diviseurs.

On prépare $a,b$ de $\phi = a + bj$, et l'extension de la courbe à $\mathbb F_{p^2}$, clôture algébrique des pauvres.

> phi := Chi(c)^-1 * pi ;
> Qj ! phi ;
-4*j - 7
> a := Z!phi[1] ; b := Z!phi[2] ; assert phi eq a + b*j ;
> // On croit à Phi = a + b*J   i.e. à  Phi(p) = a*p + b*J(p) pour tout point p de E/AlgClosure(Fp)
> // Clôture algébrique des pauvres
> Fp2<w> := ext <Fp | 2> ; 
> Cp2<x,y,z> := BaseChange(C,Fp2) ;
> J := map < Cp2 -> Cp2 | [x, y, jp*z] > ;
> Phi := map < Cp2 -> Cp2 | [x^p, y^p, z^p] > ;
> p0 := Cp2 ! [1,-1,0] ;
> D0 := Divisor(p0) ;

Là, on fait la vérification, en notant $D_0$ le diviseur de $p_0$, pour un point $P$ pris au hasard, du pendant de $\Phi(P) = aP + bJ(P)$ i.e. de :
$$
\text{Div}(\Phi(P)) - D_0 \quad \sim \quad a\big( \text{Div}(P) - D_0\big) + b\big( \text{Div}(J(P)) - D_0\big)
$$
Bien sûr, $\sim$ c'est l'équivalence linéaire des diviseurs.

> PointsCp2 := Points(Cp2) ; 
> #PointsCp2 ;
1344
> P := Random(PointsCp2) ;
> P ;
(w^49 : w^1299 : 1)
> Phi(P) ;
(w^445 : w^183 : 1)
> J(P) ;
(w^961 : w^843 : 1)
> D1 := Divisor(Phi(P)) - D0 ;
> D1 ;
Divisor on Curve over GF(37^2) defined by
x^3 + y^3 + 9*z^3
> Support(D1) ;
[
    Place at (w^445 : w^183 : 1),
    Place at (36 : 1 : 0)
]
[ 1, -1 ]
> D2 := a*(Divisor(P) - D0) + b * (Divisor(J(P)) - D0) ;
> D2 ;
Divisor on Curve over GF(37^2) defined by
x^3 + y^3 + 9*z^3
> Support(D2) ;
[
    Place at (w^49 : w^1299 : 1),
    Place at (36 : 1 : 0),
    Place at (w^961 : w^843 : 1)
]
[ -7, 11, -4 ]
> ok, f := IsLinearlyEquivalent(D1,D2) ;
> ok ;
true
> // Visualiser f, habitant du corps des fonctions de C, telle que D1 - D2 = Div(f)
> L<x,y> := FunctionField(Cp2) ;
> assert  x^3 + y^3 eq -c ;
> assert f in L ;
> f ;
(w^86*y^10 + w^488*y^9 + w^269*y^8 + w^1244*y^7 + w^929*y^6 + w^1094*y^5 + w^785*y^4 + w^853*y^3 + w^635*y^2 + w^1082*y 
    + w^586)*x^2 + (w^770*y^11 + w^1172*y^10 + w^953*y^9 + w^948*y^8 + w^1004*y^7 + w^364*y^6 + w^62*y^5 + w^1269*y^4 + 
    w^738*y^3 + w^1362*y^2 + w^195*y + w^577)*x + w^86*y^12 + w^488*y^11 + w^269*y^10 + w^398*y^9 + w^1281*y^8 + 
    w^14*y^7 + w^388*y^6 + w^624*y^5 + w^534*y^4 + 12*y^3 + w^520*y^2 + w^408*y + w^288
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Coucou Claude,

Faut que je reprenne calmement grinning smiley

Ton programme commence a être bien complexe là
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Je ne crois pas que cela soit seulement le programme (magma) qui soit complexe. C'est surtout les maths qui sont derrière et que je maîtrise mal. Et le mode expérimental que nous utilisons pour travailler. Et quel est l'objectif ? Le mien est de comprendre un peu de maths ce qui me demande beaucoup d'énergie. Je suis à ce propos très étonné de l'énergie dépensée par certains sur le forum dans des choses qui me semblent assez futiles (et pas toujours d'ordre mathématique).

Mais passons. Cette histoire m'a permis de mieux comprendre certaines choses, ce qui n'est pas si mal. Peut-être que ce n'est pas ton cas. Et comme je suis persuadé maintenant que $J \equiv j_p \bmod \Phi$, j'ai osé poser la question à un spécialiste.

J'avoue aussi avoir un peu triché pour établir $J^k \Phi \equiv 1 \bmod 3$. Car j'ai utilisé implicitement, pour un endomorphisme $\psi : E \to E$ d'une courbe elliptique que :
$$
\hbox {$\psi$ nul sur $E[3]$} \quad \Longleftrightarrow \quad \psi \equiv 0 \bmod 3 \quad
\hbox {i.e. il existe un endomorphisme $u : E \to E$ tel que $\psi = u \circ [3]$}
$$
Il est clair que l'on a $\Leftarrow$. Mais dans l'autre sens, c'est une autre histoire. Cela m'a pris la tête pendant plusieurs jours. Et c'est faux en général : on a besoin du fait que la caractéristique soit distincte de $3$. J'ai enfin fini par mettre la main sur le résultat que je pressentais. Soient 3 courbes elliptiques $E_1, E_2, E_3$ et deux isogénies non constantes $\phi, \psi$, avec $\phi$ SEPARABLE. On se pose la question de trouver une isogénie $u$ vérifiant $\psi = u \circ \phi$.
$$
\xymatrix @R=0.6cm @C=1.5cm{
& E_2\ar@{-->}[dd]^{u} \\
E_1\ar[ur]^\phi \ar[dr]_\psi \\
& E_3 \\
}
$$
Alors un tel $u$ existe (et est unique) si et seulement si $\ker \phi \subset \ker \psi$. C'est dans le chapitre Isogénies de Silverman I. Cela s'applique à l'isogénie $\phi = [n]$, si $n$ ne divise pas la caractéristique du corps de base. On a donc dans ce cas :
$$
\hbox {$\psi$ nul sur $E[n]$} \quad \Longleftrightarrow \quad \psi \equiv 0 \bmod n \quad
\hbox {i.e. il existe un endomorphisme $u : E \to E$ tel que $\psi = u \circ [n]$}
$$
Voilà, voilà. Comme tu vois, j'ai appris des choses. C'est dûr de comprendre un peu de maths (bis).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Je viens de découvrir YU.I Manin & A.A Panchiskin, Introduction to Modern Number Theory. J'ai de quoi m'occuper le restant de mes jours et faut pas rêver, je n'en comprendrais pas le quart de la moitié du dixième (je suis loin d'avoir terminé Ireland & Rosen, A classical introduction to modern number theory).

Une page que je trouve amusante (sic) dans Manin & A.A Panchiskin, la page 42 (j'attache). Il s'agit de la courbe elltiptique
$$
y^2 + y = x^3 - x, \qquad p_0 = (0,0)
$$
Il y a le tracé des $x(mp_0)$ pour $8 \le m \le 58$ à la page 42 (dixit les auteurs en bas de la page 41, si je comprends bien l'anglais). Mon sang ne fait qu'un tour : je vais faire joujou avec cela. Mais patatras, cela ne donne pas du tout ce qui est écrit à la page 41. En insistant, et en consultant Mazur (Arithmetic On Curves, [www.ams.org]), je finis par comprendre ce qu'il faut faire pour produire le phénomène parabole ci-dessous. Devinette : j'ai quoi fait ?

> Z ;
Integer Ring
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
> F := map < E -> Z | p :->  A-DEVINER > ;
> I := [A-DEVINER AUSSI] ;
> 
> 
> p0 := E![0,0] ;                                   
> for m in I do F(m*p0) ; end for ;                 
20
116
3741
8385
239785
59997896
1849037896
270896443865
16683000076735
2786836257692691
3148929681285740316
342115756927607927420
280251129922563291422645
804287518035141565236193151
743043134297049053529252783151
3239336802390544740129153150480400
2613390252458014344369424012613679600
12518737094671239826683031943583152550351
596929565407758846078157850477988229836340351
2385858586329829631608077553938139264431352010155
56186054018434753527022752382280291882048809582857380
2389750519110914018630990937660635435269956452770356625916
65008789078766455275600750711306493793995920750429546912218291
8633815035886806713921361263456572740784038065917674315913775417535
43276783438948886312588030404441444313405755534366254416432880924019065
5930760454696426589489567617397943244827292346871145123187277732858766713896
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Manin_Panchishkin_pages-41-42.pdf (130.1 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Ah Ah marrant la parabole grinning smiley

C'est le numérateur des $x(mp_0)$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Sur quel intervalle (pour $m$) ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Beh ce qui est certain c'est qu'il n'y a pas 50 valeurs ... ah il y a la clause "even" donc les nombres pairs !! Par contre c'est assez impressionnant l'explosion du nombre de digit !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Even, c'est que que Mazur dit. Mais en fait c'est Odd.
Pour la petite histoire : YU.I Manin & A.A Panchiskin tiennent cela de Mazur mais déforment un tantinet. Et Mazur fait référence à Hartshorne . Et Hartshorne invoque Tate (The Arithmetic of Elliptic Curves, [www.math.mcgill.ca], deux dernières pages). Il me reste plus que 520 - 2 pages à lire chez Manin. Note : ces matheux sont des grands (respect).

> Z := IntegerRing() ;
> E := EllipticCurve([0,0,1,-1,0]) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
> F := map < E -> Z | p :-> Abs(Numerator(p[1])) > ;
> p0 := E![0,0] ;
> I := [9 .. 59 by 2] ;
> for m in I do F(m*p0) ; end for ;
....
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Hello Claude :

Une question strictement rien à voir (histoire de faire un pause sur cette thématique, j'ai trop de mal là). C'est quoi t'as démonstration préféré de l'irréductibilité du polynôme cyclotomique sur $\Q$ ?

J'ai trouvé la démonstration que je voulais faire depuis 6 mois dans le livre de Pierre Samuel p109 section 6.4.

Le petit souci c'est que ça utilise la notion d'anneau d'entier (et je n'ai pas réussi a faire sans) !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
En fait ma démonstration s'articule de la manière suivante :

Soit $n$ un entier (quelconque et non pas premier grinning smiley). Etant donnée un corps $k$ quelconque (de caractéristique première à $n$), on dispose d'un morphisme de groupe injectif :
$$
\Psi_k : \text{Gal} (k(\root n \of 1) \mid k ) \to \left( \Z /n \Z \right)^\star
$$
De plus, lorsque $k := \mathbb{F}_p$ et $p$ ne divisant pas $n$, l'image de ce morphisme est simplement le sous-groupe engendré par $p$.

D'autre part, on dispose d'un morphisme de réduction injectif $(*)$ :
$$
\text{Gal} (\mathbb{F}_p(\root n \of 1) \mid \mathbb{F}_p ) \to \text{Gal} (\Q(\root n \of 1) \mid \Q )
$$
compatible avec $\Phi$ (le diagramme commute).

De là on prouve que : $\Psi_\Q$ est surjective en décomposant un entier $m$ premier à $m$ en produit de nombre premier (premier à $n$).

C'est le $(*)$ qui demande un travail sur les anneaux d'entiers.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Je n'en connais pas 36. J'ai regardé une fois celle dûe à Landau. Et puis dans le cadre de l'enseignement, je suis revenu à celle ``que tout le monde fait'' : on écrit $\Phi_n = FG$ dans $\Z[X]$ ; et si $x$ est une racine de $F$ et $p$ un premier qui ne divise pas $n$, on se force à montrer que $x^p$ est une racine de $F$. Ce point (se forcer à) est le point délicat. Un peu comme dans la preuve du théorème 2.5 page 4 [www.math.uconn.edu]

Dans la mesure du possible, j'évite les raisonnements par l'absurde (on peut peut-être un peu alléger le discours de K. Conrad, même pas sûr). Et j'aime bien me faire un peu peur en remplaçant $\Phi_n$ par $X^n -1$, histoire de bien analyser la chose. J'ai aussi une petite variante où je joue dans $\Z[\root n \of 1]/\mathfrak p$ où $\mathfrak p$ est un idéal premier au dessus de $p$. Histoire, dans le point délicat, de se permettre de tout réduire (y compris les racines et pas seulement les coefficients, comprenne qui peut).

Keith Conrad dit que la preuve que j'évoque est dûe à Dedekind (1857) avec une référence. Je crois comprendre que cette preuve a été popularisée par Van der Waerden, dans son célèbre Modern Algebra de 1930, et c'est pour cela qu'on la retrouve un peu partout de nos jours.

Je n'ai pas encore eu le temps de regarder la preuve de Samuel dont tu parles. Non seulement, elle utilise les anneaux d'entiers mais également le Frobenius (dont tu raffoles, y compris pour les courbes elliptiques ?). Bien sûr, à l'époque où j'enseignais, la règle était de fournir (dans le cadre de la préparation à l'Agreg par exemple) les approches ``les plus élémentaires'' possibles. Mais ici, tu as tous les droits. Et au fait, quelle est ta position sur le Frobenius en théorie des nombres ? Disons, pour le niveau, ``à la Samuel''. Quelles preuves connais du (de l'existence des Frobenius) ? Je veux dire par là, que pour démontrer l'irréductibilité du polynôme cyclotomique, est ce que l'on ne va pas utiliser un (ou plusieurs) résultat(s) plus complexe(s) ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Quant tu dis, compatible avec $\Phi$, je suppose que tu veux dire compatible avec $\Psi_\Q$ ?

Et ton morphisme de réduction $(\star)$, ce n'est pas autre chose que ``l'existence du Frobenius'', n'est ce pas ? Sauf qu'on est en terrain particulier abélien, et que peut-être on peut essayer d'en profiter. Et $(\star)$, tu refais un truc perso en louchant sur Samuel ?

PS : étrange de le nommer ``morphisme de réduction'' (on pourrait penser que c'est dans l'autre sens ... car je suppose qu'il y a bien un premier de $\Z[\root n \of 1]$ au dessus de $p$, n'est ce pas ?)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Bourbaki, Algèbre V (Corps commutatifs), section 5, p. 80, théorème 2, attribue à Gauss la preuve de l'irréductibilité de $\Phi_n$ sur $\Q$ (la preuve que j'ai vaguement évoquée et pointée chez K. Conrad). J'ai ouvert 3/4 livres d'algèbre (Lang, Ireland & Rosen, ...etc) : c'est toujours la même preuve à des variantes près.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Oui c'est bien ça compatible avec $\Psi_\Q$. J'ai beaucoup cherché pour $(*)$ et je n'ai rien trouvé sauf le truc de Samuel y'a quelques semaines. Je cherchais un truc élémentaire mais pas trouvé !

Mais je pense que ça revient à l'existence (+calcul) du Frobenius. Enfin je pense que ça embarque beaucoup de chose, cette compatibilité (j'avais admis (*) pour démontrer la réciprocité quadratique à l'aide de petit diagramme et j'suis presque certain que ça fonctionne proprement) et donc c'est $(*)$ le point clef (enfin pour moi).

Pour $(*)$ je ne suis pas trop clair, Samuel utilise de la technologie ! Je n'ai pas encore réussi a conclure proprement (enfin pour moi). Le problème c'est que je n'arrive pas trop a voir ce qui est général et ce qui est spécifique aux extensions cyclotomiques ! C'est vraiment difficile de faire une preuve complète (je veux dire maîtriser l'oeuf et la poule grinning smiley) !

Ps / Pour ton dernier message, oui c'est certain que c'est un coup de Gauss :D



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Salut la compagnie.

Dans Algebra, Lang montre d'abord à coup de Frobenius que si $\zeta$ est une racine primitive $n$-ième de l'unité, alors
$$[\Q(\zeta):\Q]=\varphi(n).$$
Puis il construit par récurrence $\Phi_n$ avec les bonnes racines et le bon degré...

P.S. : j'ai la version française de cet ouvrage où on trouve tout cela au chapitre 6 (théorie de Galois) p.286-289.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
@Claude : J'ai écris ça, mais c'est moche j'suis pas trop doué pour écrire vraiment proprement les choses. J'ai arrêté au niveau de $(*)$. Donc c'est juste pour positionner ma problématique.

Edit :



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
OK. Je regarderai cela demain. Je crois voir en 1.2, haut de la page 4, un tiraillement entre $n$ et $N$. Qui va prendre le dessus ? Et même dans la définition 1.3 : il y a du $N$ et du $n$.

Y'a que $N$ en principe, non ?

Comme je suis Bourbakiste, j'aime bien voir le $\bf j$ du Th 1.4 comme $\sigma \mapsto \sigma_{|U_N}$ i.e. de $\text{Gal}(k'/k) \to \text{Aut}(U_N)$. Ici, $\text{Aut}(U_N)$, c'est le groupe des automorphismes du GROUPE $U_N$.

Et pour un groupe cyclique $G$ d'ordre $N$, j'aime bien m'assurer que canoniquement, il y a un isomorphisme $\text{Aut}(G) = (\Z/N\Z)^\times$. J'ai même mis un $=$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Hello Claude,

Oui c'est $N$ qui gagne (c'est normal il est plus grand que le petit $n$ grinning smiley) Je corrige.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
J'ai relu. Je peux te signaler les coquilles si tu veux.

A propos de l'irréductibilité de $\Phi_n$ sur $\Q$ (ou sur $\Z$, c'est la même chose). J'aime bien penser à ce qui suit (dans lequel il n'y a pas $\Phi_n$ !). Soit une décomposition $X^n - 1 = FG$ dans $\Z[X]$ et $p$ un premier ne divisant pas $n$. Je note avec une barre dessus la réduction $\Z[X] \mapsto \mathbb F_p[X]$ et $\text{truc} \wedge \text{machin} = 1$ pour (truc, machin) premiers entre eux :
$$
\overline F \wedge \overline G = 1 \qquad \Rightarrow \qquad
\overline F \wedge \overline G(X^p) = 1 \qquad \Rightarrow \qquad
F \wedge G(X^p) = 1
$$
A gauche, c'est parce que $p$ ne divise pas $n$, et donc $X^n - 1$ est séparable modulo $p$. Ensuite, c'est parce que $\overline G(X^p) = \overline {G(X)}^p$. Et tout à droite, puisque ``ça le fait modulo $p$'', c'est que ``ça le fait sur $\Z$'' (les polynômes étant unitaires).

Et le bilan, c'est que :
$$
F(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad F(x^p) = 0
$$
Et une fois que l'on a dit cela, on a tout dit (enfin, c'est ce que moi, je retiens).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Hello,

Oui je veux bien les coquilles. Merci beaucoup Claude! Ca a l'ai très simple ton idée ! Je ne comprend pas encore bien la dernière implication.

Tu utilises que si tu as un diviseur (non constant) sur $\Z$ alors ça donne par réduction un diviseur sur $\mathbb{F}_p$ ?

Bon ça rentre pas du tout dans mon idée mais ça a l'air simple thumbs down
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin

Je ne sais pas si tu prépares toujours ceinture jaune ? Il y a nécessairement des épreuves sur des domaines que tu ne connais pas a priori. Par exemple, les groupes de permutation. Je me dis que peut-être ce qui suit pourrait te servir ?

D'abord un peu de doc sur ce que l'on veut fabriquer, disons dans les grands principes (pour pouvoir relire dans 3 mois) :

clear ;
/*
Ecrire une fonction  T(sigma) retournant une suite de transpositions (tau_1, tau_2, ..) vérifiant
sigma = tau_1 o tau_2 o ...

Principe : soit tau une transposition telle que tau o sigma ait un point fixe
de plus que sigma. Alors, puisque sigma = tau o (tau o sigma)

T(sigma) = [tau, T(tau o sigma)]

Détails : soit, s'il existe, i tel que sigma(i) soit distinct de i
En notant tau la transposition (i, sigma(i))  :

    Fix(sigma) \/ {i}   subset   Fix(tau o sigma)

C'est dû d'une part au fait que tau o sigma fixe i [[c'est fait pour]]
Et au fait que sigma(j) = j ==> j notin {i, sigma(i)}

Attention au renversement en magma : truc o machin = machin * truc
*/

Une version récursive :

function TranspositionsDecompositionRecursiveVersion(sigma)
  Sn := Parent(sigma) ;
  if exists(i){i : i in Support(sigma) | i^sigma ne i} then
    tau := Sn ! (i,i^sigma) ;
    // sigma = (sigma * tau) * tau  -->  T(sigma) = [T(sigma * tau), tau]
    // Appel récursif
    return Append(TranspositionsDecompositionRecursiveVersion(sigma * tau), tau) ;
  else
    return [Sn| ] ;
  end if ;
end function ;

TDR := TranspositionsDecompositionRecursiveVersion ;

Une version itérative (je maintiens un invariant) :

TranspositionsDecompositionIterativeVersion := function(sigma0)
  sigma := sigma0 ;
  Sn := Parent(sigma) ;
  Tau := [Sn| ] ;
  while exists(i){i : i in Support(sigma) | i^sigma ne i} do
    // Invariant : sigma0 = sigma * (Tau_1 * Tau_2 * ...)
    tau := Sn ! (i,i^sigma) ;
    // sigma0 = (sigma * tau) * (tau * Tau_1 * Tau_2 * ...)
    sigma := sigma * tau ;
    Tau := [tau] cat Tau ;
  end while ;
  return Tau ;
end function ;

TDI := TranspositionsDecompositionIterativeVersion ;

Un petit test (pas assez robuste)

n := 10^2 ;
Sn := Sym(n) ;
sigma := Random(Sn) ;
time TR := TDR(sigma) ;
assert sigma eq &*TR ;
time TI := TDI(sigma) ;
assert sigma eq &*TI ;
C := CycleStructure(sigma) ;
// C = [<l1,e1>, <l2,e2>, ...] : e1 cycles de longueur l1, ....etc..
assert #TR eq &+[(li-1)*ei where li,ei is Explode(liei) : liei in C] ;
assert #TI eq #TR ;
TR eq TI ;
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Mon truc sur $X^n-1 = FG$. Ce n'est pas mon idée ! C'est la démo que je t'ai signalée hier soir. C'est juste ma façon de voir les choses pour pouvoir faire la démo en marchant par exemple. Oui : si deux polynômes UNITAIRES de $\Z[X]$ sont premiers entre eux modulo $p$, ils le sont dans $\Z[X]$ ; car leur pgcd dans $\Z[X]$ (qui peut-être pris unitaire) se réduit modulo $p$ en 1, et donc ...etc... J'ai mis unitaire pour contrer un facteur commun du type $pX + 1$ qui s'évanouirait modulo $p$.

Et tout à la fin : si $F(x) = 0$, c'est que $G(x^p) \ne 0$ [[car les polynômes unitaires $F$ et $G(X^p)$, premiers dans $\Z[X]$, le restent à vie]]. Et comme $x^p$ est une racine de $X^n-1 = FG$, c'est que $F(x^p) = 0$.


Tes affaires (cyclo.pdf). Je fais une première passe. D'autres plus tard après correction si tu veux.
On voit aussi un conflit entre $\ell$ et $p$ : au début, il y a un corps alg. clos de carac $\ell$, et puis dans la définition 1.3, c'est $p$ qui débarque. Page 1 dans la démo :
un sous-groupe fini au lieu de n sous-groupe fini. Dans le lemme 1.2, une phrase n'est pas terminée : si pour tout diviseur $d$ de $N$, quoi ? Dans la démo, on ne sait pas ce qu'est $\phi(d)$ : on se doute que c'est $\varphi(d)$, l'indicateur d'Euler. On conclut au lieu de On conclu.

Page 3 : dans le bilan : on voit $p$ : $p$ versus $\ell$. à coefficients dans $\Z$ avec un s. Dernière ligne : enlever le s à exactement. Entre nous : $\Q(j)$ est à la fois 3-cyclotomique et 6-cyclotomique.

Page 4 : utiliser $\ell$ dans la définition de $\bf j(\sigma)$, est ce une bonne idée ? Car $\ell$ already in use. De plus il faut dire $\ell$ premier à $n$, enfin à $N$. à racines simples avec un s et un accent. classe d'inversibles avec un s, je pense (2 reprises). morphisme de groupes avec un s à groupe.

Page 5 : Ce projet ... considération.

Et quelques petits exemples de factorisation de $\Phi_N$ sur $\Q(i)$ ou des $\Q(\sqrt d)$ de ton choix ne seraient-ils pas bienvenus ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Claude,

C'est quoi la dernière commande :
return [Sn| ] ;
Je sais que c'est le truc pour sortir de la récursion mais ici ça veut dire quoi [Sn| ] ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
C'est la séquence vide typée en $S_n$. Depuis pas mal de temps, je me force à typer mes séquences, mes ensembles ...etc.. SURTOUT s'ils sont vides. C'est pratiquement indispensable.


> Z := IntegerRing() ;
> L := [Z| ] ;
> &+L ;
0
> Lbis := [] ;
> &+Lbis ;
>> &+Lbis ;
   ^
Runtime error in '&+': Illegal null sequence

> Universe(L) ;
Integer Ring
> Universe(Lbis) ;

>> Universe(Lbis) ;
           ^
Runtime error in 'Universe': Illegal null sequence

> S9 := Sym(9) ;
> S9 ;
Symmetric group S9 acting on a set of cardinality 9
Order = 362880 = 2^7 * 3^4 * 5 * 7
> &*[S9| ] ;  
Id(S9)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Salut Claude.
"Ta" démo cyclotomique est dans la même veine que celle de Lang dans Algebra sauf que lui, en raisonnant par l'absurde dès le début, se passe du pgcd.

Et au fait, où trouve-t-on des sujets d'examen sur magma ? (même si j'imagine que le coup de la décomposition en produit de transpositions n'est pas forcément tiré d'un tel sujet mais peut-être du fil antagoniste [www.les-mathematiques.net] grinning smiley)

P.S. : Petit problème si on utilise magma en ligne :
    Calculations are restricted to 120 seconds.
    Input is limited to 50000 bytes.
    Running Magma V2.23-3.




Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@gai requin
Je profite des occasions (comme tu as vu) pour m'obliger à jouer (un peu) avec de nouveaux domaines. D'où les ``exercices''. Il y avait à une certaine époque un introMagma.pdf (from Cannon, Playoust, Draft de 900 pages, en date de 2001). Avec des exemples pertinents d'utilisation. Le trouve-t-on encore sur le web ?

Comme on le sait, on est obligé dans ce langage de passer par les constructeurs ad-hoc, ce qui oblige à une certaine abstraction. Et si on veut faire mumuse avec la fonction $\tau$ de Ramanujan :
$$
q \prod_{n=1}^\infty (1 - q^n)^{24} = \sum_{n \ge 1} \tau(n) q^n
$$
et la représentation pour $\ell = 23$ :
$$
\text{Gal}(K_\ell / \Q) \longmapsto \text{GL}_2(\Z_\ell)
$$
[[où l'on va retrouver notre ami $X^3 - X - 1$]], on va pas le faire en assembleur, je t'assure. Note : $K_\ell$ est l'exension maximale de $\Q$ non ramifiée en dehors de $\ell$.

Oh, que j'adore Serre quand il dit à la page 7 de [www.fen.bilkent.edu.tr] ``... (and has even led me to doubt the conjecture!)''. Je pointe sur un texte de F. Lemmermeyer (2003) traduction d'un article de Serre [www.numdam.org]. C'est pas que je lis mieux l'anglais mais la typographie du Séminaire Delange-Pisot-Poitou n'est pas trop top (encore qu'en regardant bien, c'est pas si mal).

Que d'explications donnent Serre dans ce papier ! Il va même jusqu'à dire : a finite subfield of $\overline \Q$ is contained in $K_\ell$ if and only if its discriminant is (up to sign) a power of $\ell$. Tiens comme le corps de décomposition de $X^3 - X - 1$ avec $\ell = 23$.

Attention : pour l'instant, RIEN compris, juste apprécié.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Relecture (I play again)
Page 5 en haut : ``y regarder ... obtient le tableau suivant'', C'est pas français, ce truc.
Et le tableau est bizarre : on y voit deux fois $r = 3 \bmod 4$ sans y voir $r \equiv 0 \bmod 4$.

Deux dernières lignes : étant d'établir, au lieu de d'établier. .. Entre groupes : je pense qu'il faut un s à groupes (à deux reprises).

Et le plus dûr reste à faire, n'est ce pas ??

Question : quand obtiendras tu, sur un corps de caractéristique $\ell$ ne divisant pas $N$, qu'une racine de $\Phi_N$ est une racine primitive $N$-ième de l'unité ? Ce n'est pas évident contrairement à ce que l'on pourrait penser.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Merci beaucoup Claude. Je vais corriger, pfff c'est incroyable le nombre de boulettes en 5 pages ! Le pire, c'est les conflits de notations !

Compris pour la liste vide avec typage.

Sinon, ok avec ta démonstration de l'irréductibilité de $\Phi_n$, bon c'est particulièrement simple comme tu présentes l'argument Merci beaucoup ! Je pense que mon approche est un compliqué grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flipflop : au moins t'as essayé d'écrire un PDF.
On peut pas dire la même chose d'un certain GR de sinistre mémoire.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
J'en ai d'autres, cf ci-dessous. Mais tout dépend de ce que l'on veut : tu ne vises pas que l'irréductibilité de $\Phi_N$ sur $\Q$, je pense. Parfois, on ne sait pas ce que l'on veut vraiment. Se familiariser avec le Frobenius ? Ce qui est dommage, c'est qu'ici, il est explicite : si $p$ ne divise pas $N$, c'est l'habitant de $\text{Gal}(\Q(\root N \of 1)/\Q$ qui est l'élévation à la puissance $p$ sur $\mathbb U_N$.

Mais après tout, Samuel s'est amusé. Et chacun a le droit de s'amuser comme il veut. Il faut de tout pour faire un monde. Par contre, à mon petit-fils, je peux pas lui dire : non, tu ne peux pas comprendre pourquoi $\Phi_N$ est irréductible sur $\Q$ si tu n'as pas fait de la théorie de Galois, des anneaux d'entiers, la théorie des anneaux de Dedekind, la factorisation, la ramification, le Frobenius .. et tout le fourbi. Non, je ne peux PAS lui dire cela : car Gauss, c'est bien avant Galois ...etc...


Coquilles :

page 2 : vers bas de la page, ramener (un seul m). Dans la définition 1.3 $k$ premier à $N$ (pas de s à premier). On y voit la définition de l'indicatrice d'Euler mais le symbole $\phi$ a déjà été utilisé.

page 3 : en bas
Ainsi le degré .... sont exactement : pas top. Mettre tout au pluriel par exemple.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Bonjour, je pense avoir un argument sympa pour les polynômes cyclotomiques.

Soit $\text{ord}_n(p)$ l'ordre de $p$ dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$. Grace au Frobenius on trouve que le polynôme $$\phi_{n,p}(x) = \prod_{k=1}^{\text{ord}_n(p)} (x-\zeta_n^{p^k}) \quad \in \mathbf{F}_p[x]$$ est irréductible.

Soit $\Phi_n \in \mathbb{Q}[x]$ le polynôme minimal de $\zeta_n$. Puisque $\Phi_n\, |\, x^n-1$ on sait qu'il est de la forme $\Phi_n(x) = \prod_{k \in A_n} (x-\zeta_n^k)$.

Parce que $$\{ \sum_{l=0}^{\text{ord}_n(p)-1} b_l \zeta_n^l, b_l \in \mathbf{F}_p\} = \mathbf{F}_p[\zeta_n] =\mathbf{F}_p[x]/(\phi_{n,p}(x))= \mathbb{F}_p[x]/(\Phi_n(x))/(\phi_{n,p}(x))$$ est un corps qui contient $\zeta_n$, on trouve que $\phi_{n,p}\, | \, \Phi_n$ dans $\mathbf{F}_p[x]$ si $\text{ord}_n(p) > 1$. Donc $A_n$ contient $ \{ \zeta_n^{p^k}, p \text{ premier }, p \nmid n \} = \{ \zeta_n^m, gcd(n,m)=1\}$ et donc le polynôme cyclotomique $\prod_{m= 1, \gcd(n,m)=1}^n (x-\zeta_n^m) = \prod_{d | n} (x^{n/d}-1)^{\mu(d)} \in \mathbb{Q}[x]$ divise et est égal à $\Phi_n$.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
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@Claude : concernant ici

Je pense que c'est ok pour une racine de $\Phi_N$ est une racine d'ordre $N$. Par définition, $\Phi_N$ est le produit des racines primitives et les racines primitives sont par définition les générateurs de $\mathbb{U}_N(k)$ (groupe cyclique d'ordre $N$). Mais je sais que tu as un argument un beaucoup mieux grinning smiley

Sinon, j'ai vu que tu préfères $\text{Aut} \Z /N \Z$ à $\left( \Z /N \Z \right)^\star$ et considérer que $\textbf{j}$ la restriction à $\mathbb{U}_N$. Hum, j'ai envie de dire oui mais je vais devoir refaire un bout de mon texte sad smiley

Sinon, je viens de comprendre pourquoi j'ai pris $\ell$ a la place de $p$. C'est juste que pendant longtemps j'ai pris uniquement les polynômes cyclotomique $\Phi_p$ et non $\Phi_N$ et du coup j'avais besoin d'un autre nombre premier !!!

C'est bon pour les modifs si j'en ai pas oublié en cours de route !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
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Hello gai requin : j'ai pas encore regardé la preuve de Lang ! mon livre est en Belgique ( je dois avoir plus de 50 bouquins qui traîne en Belgiqe thumbs up)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@reuns Je ne comprends pas ta définition de $\phi_{n,p}(x) \in \mathbb F_p[x]$ : il n'y a pas de facteur irréductible privilégié de $\Phi_n$ dans $\mathbb F_p[x]$. Sauf si un premier de $\Z[\root n\of1]$ au dessus de $p$ a été fixé. D'ailleurs, les facteurs irréductibles de $\Phi_n$ dans $\mathbb F_p[x]$ sont en correspondance biunivoque avec les premiers de $\Z[\root n\of 1]$ au dessus de $p$ (les facteurs premiers de $p$ dans ...) ; disons pour $p$ ne divisant pas $n$, ce qui est le cas en ce moment. Dans le même genre c'est quoi $\mathbb F_p[\zeta_n]$ ?


@flip flop. Il en reste (des coquilles). Cela se voit tout de suite. Dans la définition 1.3 traîne un $n$ versus $N$. Et ``$m$ premier à $N$'' ne prend pas de $s$.

Non, je ne préfère pas $\text{Aut}(\Z/N\Z)$ à $(\Z/N\Z)^\times$. Et d'ailleurs, ce n'est pas $\text{Aut}(\Z/N\Z)$ mais $\text{Aut}(U_n)$. Et je n'ai pas de préférence : je tiens à voir les deux. Mais je n'oblige personne à .... Ne pas refaire quelque chose pour moi (imagine que je sois capricieux). Voir les deux car dans ma tête, cela me fait plaisir de penser que $\bf j$ est un morphisme de restriction : à un automorphisme $\sigma$ de $k'/k$ (tu mettras le contexte), on associe la restriction de $\sigma$ à $U_N$. C'est intrinsèque. Au départ, $\sigma$ est copain avec $(+, \times)$ et à l'arrivée, on relâche pas mal puisque dans $U_n$ n'intervient que $\times$.

Je crois que je comprends le truc pour cette histoire de racine primitive. Cela, vient du fait, que, de toute ma vie, je n'ai jamais mis d'indice de corps (ou d'anneau) $k$ à $\Phi_n$. J'arme $\Phi_n \in \Z[X]$ (via $\C$, petit travail à faire) et je le balance (à volonté) $\Phi_n$ sur tout anneau commutatif, peu importe la caractéristique. C'est mon choix. Par ailleurs, est encadrée dans mon bureau l'égalité :
$$
X^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_nd(X)
$$
Parce que j'aime bien et que j'en connais les bienfaits.

Rappel : il en faut pour tout le monde.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
J'ai trouvé encore 6 fautes (signalées et pas corrigées).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Je ne sais pas quel est le nom du Frobenius cette semaine. Peu importe. Convenons de $\sigma_p$ dans le contexte (élémentaire) suivant : un polynôme unitaire irréductible $f \in \Z[X]$ de degré 3 tel que son discriminant ne soit pas un carré dans $\Z$. Cette dernière clause (discriminant non carré) c'est le régime de croisière. Si on note $K'/\Q$ le corps de décomposition de $f$ (à ne pas confondre avec le corps engendré par une racine de $f$), on a :
$$
\text{Gal}(K'/\Q) \simeq S_3
$$
Le groupe symétrique $S_3$ possède une (seule) représentation (complexe) irréductible en dimension 2 : faire agir $S_3$ sur l'hyperplan $x_1 + x_2 + x_3 = 0$. J'ai mis complexe, mais elle est définie sur $\Z$ (comme toute représentation complexe irréductible de $S_n$). On dispose donc de :
$$
\rho : \text{Gal}(K'/\Q) \longmapsto \text{GL}_2(\Z)
$$
Convenons aussi ce Samedi qu'un premier se note $p$ (j'hésite entre $p$ et $\ell$). Et bien, si $p$ ne divise pas le discriminant de $f$, on a:
$$
\#\{x \mid f(x) = 0 \bmod p\} = 1 + \chi_\rho(\sigma_p) \qquad\qquad (\star)
$$
Ci-dessus, $\chi_\rho$ est le caractère de la représentation $\rho$. Et $\sigma_p$ c'est ``le'' Frobenius de $K'$ en $p$ (je ne sais plus si c'est comme cela que l'on dit), qui n'est défini qu'à conjugaison près. Ce qui n'est pas grave car $g \mapsto \chi_\rho(g)$ est invariant par conjugaison.

Mais pourquoi je te raconte cela ? Ben, dans $(\star)$ [[à prouver !]], il y a du comptage de racines modulo $p$, le Frobenius .. et le caractère de la représentation $\rho$. Et je pensais, qu'en fin de semaine, cela te ferait plaisir de voir ces objets côte à côte.

@gai requin
Rien à voir. Le support d'une permutation $\sigma \in S_n$, c'est l'ensemble $\{ i \in \{1..n\} \mid \sigma(i) \ne i \}$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Ok, Claude oups grinning smiley

Ah j'ai compris l'histoire de la restriction avec $\textbf{j}$ en fait je pense qu'on voit un peu dans le théorème 1.5.

D'ailleurs je ne sais pas pourquoi j'ai mis $Z(\Phi_{N,k})$ à la place de $\mathbb{U}_{N,k}$. Une utilisation de ce théorème est ici

Sinon, je me souviens de $\ell$ vs $p$, en fait au départ j'ai toujours pris un polynôme cyclotomique $\Phi_p$ et non pas $\Phi_N$ du coup j'avais besoin d'un autre nombre premier $\ell$.

J'espère que je suis pas trop chiant a revenir (beaucoup) en arrière mais faut que je stabilise cette histoire proprement :) Mais le truc délicat (pour moi) maintenant ça va être de faire le lien proprement entre $\textbf{j}$ et les Frobenius
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
J'en vois encore d'autres (coquilles). Par exemple, dans la définition de $\bf j$, il manque le fait que $m$ est premier avec $N$.

Et si on le sait, on voit aussi des choses dans la PREUVE du Th 1.4. Est ce que cette preuve pourrait être ``améliorée'' ?

Mais pour moi (je dis bien pour moi, chacun a le droit de voir ce qu'il a envie de voir), on ne voit pas assez que, pour un groupe cyclique $G$ d'ordre $N$, le groupe $\text{Aut}(G)$ est canoniquement isomorphe à $(\Z/N\Z)^\times$. Et cet isomorphisme canonique c'est l'élévation à la puissance, si tu vois ce que je veux dire par là.

Et en fait, l'ANNEAU $\text{End}(G)$ est canoniquement isomorphe à l'anneau $\Z/N\Z$ ; attention à la prise de tête(s) : le produit sur $\text{End}(G)$ [[ensemble des endomorphismes du groupe $G$]], c'est la composition, et la somme c'est le produit à l'arrivée. Suggestion (même si ``dans la pratique'', $G$ est multiplicatif) : passer $G$ en notation additive, si bien que la somme de deux endomorphismes de $G$ c'est la somme à l'arrivée (ouf), le produit étant loujours a composition.

Revenir en arrrière ? Cela ne me dérange pas. Et bien, puisque tu poses la question : est ce que ta note prend en charge les polynômes cyclotomiques ``sur $\Z$'' ? Et au fait comment peut-on les calculer ?

Ch.ant ? Mais non, l'objectif est de s'amuser et d'apprendre un peu de maths.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
@Claude : ici, : C'est rigolo ça, je pense que tu en as déjà parlé un peu.

En fait, il faut faire le lien entre l'anneau des entiers de $K^\prime$ et $\Z[ X] / (f)$ enfin plutôt, entre $\mathcal{O}_{K^\prime} / (p) $ et $\Z[ X] /(p,f)$. On a pas ce problème avec les extensions cyclotomiques, car l'anneau d'entier est exactement $\Z[ X] / \Phi_N$.

Je vois un peu mais c'est flou : si $f$ a trois racines modulo $p$ alors $(p)$ doit être complètement décomposé dans $\mathcal{O}_{K^\prime}$ et le Frobenius en $\mathfrak{p}$ (n'importe quel idéal au dessus de $p$) est trivial et la trace de l'identité est $2$ et (attention petit calcul) $1+2 = 3$. Mais je ne sais pas le faire proprement, c'est difficile ?

Je n'arrive pas a voir proprement le lien entre l'anneau des entiers de $K^\prime$ et $\Z[ X] / (f)$ , c'est ça mon problème confused smiley

Edit : j'ai remis le fichier ici avec l'heure de la modif dans le titre grinning smiley



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - cyclo-10h17.pdf (239.6 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
@Claude : Pour le polynôme de degré $3$, on a peut être un petit intérêt en regardant l'extension $\Q(\sqrt{D})$ avec $D$ le discriminant du polynôme $f$. Ce qui nous donnera une racine du discriminant dans ce corps.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Mettre une estampille (datation) : bonne idée. Pas relu cependant.
Revenir en arrière : très très bonne idée. Oui, on avait déjà parlé (essayé d'en parler) de cette histoire de $\chi_\rho(\sigma_p)$, mais c'était pas clair dans ma tête, dans un contexte confus, mélangé avec des histoires de corps des écoles. En clair, pour moi, il n'en restait quasiment rien.

Je reviens en arrière.

1) Théorie de Galois. Contexte $L/K$ galoisienne de groupe $G$. Classification des actions transitives de $G$ sur un ensemble (fini) $X$. Evidemment, groupistement parlant, via $X = (G/H)_{\rm gauche}$, $H$ sous-groupe de $G$, à conjugaison près. Et $H$ est le fixateur d'un élément de $X$.

Galoisiennement parlant (par points fixes). On perd $H$ mais on retient $E = L^H$. Action naturelle de $G$ sur $X = \text{Hom}_K(E, L)$ :
$$
\sigma \cdot \tau = \sigma \circ \tau, \qquad \sigma \in G = \text{Gal}(L/K), \qquad \tau : E \to L
$$
A méditer, car cette manière de faire agir $G$ est parfois plus intelligente que la sempiternelle action du groupe de Galois sur les racines d'un polynôme. On aurait d'ailleurs du mal ici vu qu'il n'y a pas de polynôme ! Des choses pertinentes à dire (plus tard). On retrouve $H$ car c'est le fixateur de $\iota_{E,L}$, injection canonique de $E$ dans $L$. Si on prend un élément primitif de $E/K$, $E = K(x)$, alors l'action naturelle de $G$ sur $\text{Hom}_K(E,L)$ s'identifie à l'action de $G$ sur les racines (dans $L$) du polynôme minimal de $x$ sur $K$.

2) Frobenius $\sigma_p$. On aurait dû depuis le temps qu'on en parle donner des exemples pertinents, l'illustrer, le faire vivre. C'est pas normal. Je change les notations avec le contexte $L/\Q$ galoisienne et $K$ un corps intermédiaire :
$$
\xymatrix @R=0.5cm {
&L\ar@{-}[dd]^G \\
K\ar@{-}[ur]\ar@{-}[dr] \\
&\Q \\
}
$$
Soit $p$ premier ne divise pas le discriminant de $L/\Q$ et $\sigma_p$ un Frobenius de $L$ en $p$ (un car défini à conjugaison près). Si je note $(G, X)$ l'action transitive définie par l'intermédiaire $K$, alors $\sigma_p$ sur $X$ est une permutation qui se décompose (il paraît, faut que je retrouve un certain fil) en des cycles à supports disjoints avec des longueurs disons $t_1, \ldots, t_s$. Alors $p$ se factorise dans $K$ en $s$ idéaux premiers distincts de degré $t_1, \ldots, t_s$.

Comment se fait-il, qu'on est loupé cela ? Que j'ai loupé cela ? Ou oublié ? Je viens de le voir dans un ouvrage NON spécialisé sur le sujet (Moreno/Wagstaff, Sums of squares of integers, p. 145-147).

En clair, si $x$ est un élément primitif de $K/\Q$ entier sur $\Z$, l'action de $\sigma_p$ sur les racines du polynôme minimal de $x$ sur $\Q$ est reliée à la factorisation de $p$ dans $K$, qui elle-même est reliée à la factorisation modulo $p$ de ce polynôme minimal.

Dans l'histoire du polynôme cubique $f$ de groupe de Galois $S_3$, on a trois classes de conjugaison : identité, transposition, 3-cycle. Je mentionne les longueurs des orbites de $\sigma_p$ et je mets le nombre $N_p$ de racines de $f$ modulo $p$, en utilisant le renseignement ci-dessus :
$$
\sigma_p : 1 + 1 + 1 \rightarrow N_p = 3 \qquad\qquad
\sigma_p : 2 + 1 \rightarrow N_p = 1 \qquad\qquad
\sigma_p : 3 \rightarrow N_p = 0
$$
Quid de $\rho$, l'unique représentation irréductible de $S_3 = \text{Gal}(f)$ de dimension 2 ? A conjugaison près :
$$
\sigma_p : 1 + 1 + 1 \rightarrow \sigma_p = \pmatrix {1 & 0\cr 0 & 1} \qquad\qquad
\sigma_p : 2 + 1 \rightarrow \sigma_p = \pmatrix {0 & 1\cr 1 & 0} \qquad\qquad
\sigma_p : 3 \rightarrow \sigma_p = \pmatrix {0 & 1\cr -1 & -1}
$$
Et à l'aide d'un calcul fastidieux, on vérifie que $N_p = 1 + \text{Tr}(\sigma_p)$.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
Pour appuyer l'histoire du post précédent, j'apprends (depuis un certain temps) à utiliser la théorie des caractères de magma. Cela va être utile le jour où je ne comprendrais pas des objets plus complexes, c'est-à-dire presque à chaque instant. Je sais maintenant ``élaborer'' une représentation d'Artin et jouer avec sa $L$-série.

Ci-dessous, c'est purement groupiste. J'ai déjà explicité la représentation irréductible de $S_3$ en dimension 2 dans un certain post et j'ai pas envie de me fatiguer à expliquer et à TeXer. Ci-dessous, probablement des instructions cryptiques : par exemple $g\ @\ \chi$ pour $\chi(g)$ où $\chi$ est un caractère sur $G$ et $g \in G$. Où est ce qu'ils ont été chercher cette syntaxe ? Cryptique mais pas plus cryptique que maple ou python. Arg, je retire : il y a la forme $\chi(g)$.

> S3 := Sym(3) ;
> S3 ;
Symmetric group S3 acting on a set of cardinality 3
Order = 6 = 2 * 3
> TS3 := CharacterTable(S3) ;                                                                                 
> TS3 ;
Character Table of Group S3
---------------------------
-----------------
Class |   1  2  3
Size  |   1  3  2
Order |   1  2  3
-----------------
p  =  2   1  1  3
p  =  3   1  2  1
-----------------
X.1   +   1  1  1
X.2   +   1 -1  1
X.3   +   2  0 -1

> [Degree(chi) : chi in TS3] ;
[ 1, 1, 2 ]
> 
> // Caractère de la représentation irréductible de dim 2
> rhoChi := TS3[3] ;
> rhoChi ;
( 2, 0, -1 )
> 
> c3 := S3!(1,2,3) ;
> c3 ;
(1, 2, 3)
> tau := S3!(1,2) ;
> tau ;
(1, 2)
> // Chi(c3)
> c3 @ rhoChi ;
-1
> // Pareil que
> rhoChi(c3) ;
-1
> tau @ rhoChi ;
0
> rhoChi(tau) ;
0
> Mrho := GModule(rhoChi) ;
> Mrho ;
GModule Mrho of dimension 2 over Cyclotomic Field of order 1 and degree 1
> rho := GModuleAction(Mrho) ;
> rho ;
Mapping from: GrpPerm: S3 to MatrixGroup(2, Cyclotomic Field of order 1 and degree 1)
> rho(c3) ;
[-1 -1]
[ 1  0]
> rho(tau) ;
[-1 -1]
[ 0  1]
> [Trace(rho(g)) eq rhoChi(g) : g in S3] ;
[ true, true, true, true, true, true ]

Pour moi, il n'y a plus rien de cryptique. De mauvaise foi ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Je pense que tu as déjà entraperçu, dans le baby-context du polynôme unitaire irréductible $f \in \Z[X]$ de degré $3$ dont le discriminant n'est pas un carré, que l'on obtient une représentation continue :
$$
\rho : \text{Gal}(\overline \Q/\Q) \longmapsto \text{GL}_2(\C)
$$
T'as vu comment je cause ? Et que cette représentation $\rho$ possède une $L$-série disons $L_\rho$ dont le $p$-Euler facteur est du type :
$$
Z_p(T) = {1 \over 1 - a_pT + \det\big(\rho(\text{Frob}_p)\big) T^2}, \qquad
a_p = \text{Tr}\big(\rho(\text{Frob}_p)\big)
$$
Là, je suis pas trop sûr ce que j'écris. Et $\text{Frob}_p$, c'est le Frobenius qui a donc changé de nom depuis ce matin ($\text{Frob}_p$ versus $\sigma_p$).

Evidemment, quand $p$ est ramifié (et il y en a toujours de tels $p$ ramifiés), je ne sais pas encore ce que cela veut dire. Il faut tenir compte de l'inertie. Plus tard (j'en connais qui ont le livre de Hindry, pas moi).

Et $N_p = 1 + a_p$. Sauf que $N_p$ c'est quoi ? Quand $p$ n'est pas ramifié, tu peux observer le binz dans $\Z[x]$ où $x$ est un élément primitif de $K/\Q$, entier sur $\Z$. Mais en aucun cas $\Z[x]$ n'est égal à $\mathcal O_K$ ; alors que c'est lui, $\mathcal O_K$, le bon objet. Qui fournit un schéma défini sur $\Z$ dont on peut compter les points modulo $p$. Et $N_p$ c'est ce nombre de points.

Et bien sûr, les grands jours où il fait beau, et que tu veux assembler tous les résultats (histoire de se faire une petite fumette dans le jardin des délices modulaires), tu n'as pas intérêt à louper un $a_p$.

Je vais pas me gêner dès que j'aurais le temps. J'aime bien les contextes de bébé.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
@ Claude : bon j'ai compris ce que tu voulais dire avec le $\textbf{j}$ et la restriction. Ca va être plus joli, je vais modifier (peut être pas aujourd'hui).

@Claude et Reuns : j'ai essayé de déchiffrer ton message Reuns, je pense que c'est pareil que ce que je veux faire, le problème c'est qu'on ne vois pas trop bien car y'a un $\zeta_n$ qui vie dans "$\C$" et qui est noté pareil que celui qui vie dans "$\overline{\mathbb{F}_p}$".


Sinon Claude : ici :
$$
\sigma \cdot \tau = \sigma \circ \tau, \qquad \sigma \in G = \text{Gal}(L/K), \qquad \tau : K \to L
$$
C'est $\tau : E \to L$, je pense ! et aussi $p$ ne divise pas le discriminant de $L\mid K$ et non pas $L \mid E$ ?

Si j'ai vu l'histoire de la décomposition en cycle, je vais relire !

Sinon, ton dernier message grinning smiley

Bon déjà le $1$ dans $1 + a_p$ et la fonction $L$, là c'est sûr que tu as multiplié a un moment par la fonction $\zeta$ ... si je comprend ce qui remplace les caractères de Dirichlet dans un contexte abélien (j'ai toujours pas réussi a rédiger proprement cette histoire) c'est le caractère d'une représentation du groupe de Galois !

Et si je comprends la fin : tu as $ K \mid \Q$ Galoisienne de groupe $G$. Tu prends l'anneau d'entier $O_K$ et la fonction de comptage i.e pour tout $p$ premier et $r$ entier tu regardes les $\mathbb{F}_{p^r}$-points de $O_K$ et tu notes $N_{p,r}$ le nombre de points (y compris quand y'a de la ramification), tu fabriques la fonction : (attention ça pique un peu) :
$$ \zeta_{O_K}(s) := \prod_{p \, \text{premier}} Z_p(p^{-s}) \qquad \text{avec} \qquad Z_p(T) := \exp \left( \sum_{r >0} N_{p,r} \frac{T^r}{r} \right)$$
et là tu divises (hum faut faire attention mais je pense qu'il faut diviser) par la fonction $\zeta$ de Riemann (pas de panique c'est normal) et tu obtiens une fonction que tu désignes par $L(s)$ ...

Et (fumette) la fonction $L$ vérifie des propriétés de symétries selon un certain sous-groupe de $\text{SL}_2(\Z)$ (oui oui grinning smiley) et du coup tu vas réussir à la retrouver avec Magma (je ne sais pas du tout comment tu vas t'y prendre car tu dois trouver le bon sous-groupe pour tomber sur un espace vectoriel de dimension fini qui va contenir $L$ et ensuite faire quelques ajustements = ceinture noir magma grinning smiley) !

Le problème dans cette histoire c'est que l'on ne connais pas bien les $N_{p,r}$ (la fois dernière il me semble que l'on pouvait s'appuyer sur la sous-extension quadratique de $K \mid \Q$, y'avais une histoire de groupe de classe d'idéaux égal à $3$ pour $\Q(\sqrt{-23})$).

Et là ce que tu ajoutes, c'est qu'il existe un autre moyen de construire la fonction $L$ (en fait, ça se voit au niveau des $p$-factor), c'est de considérer les représentations irréductibles de $\text{Gal}(K \mid \Q)$ en fait tu as pris $\rho : \text{Gal} (\overline{\Q} \mid \Q) \to \text{GL}_2(\C)$ continue, mais le continu ça doit vouloir dire que ça transite par le quotient fini de $\text{Gal} (\overline{\Q} \mid \Q)$ i.e par $\text{Gal}(K \mid \Q)$ et on sait très bien que ton corps algébriquement clos préféré $\C$ bah aujourd'hui c'est $\Z$ et peut-être que lundi ça sera une extension abélienne de $\Q$ grinning smiley Mais je ne vois pas trop comment tu vas t'en servir confused smiley

N'empêche que si tu arrives a trouver la fonction $L$ sur des exemples, beh on va pouvoir voir pleins de Frobenius (enfin des classes de conjugaison de Frobenius), hum j'ai du raconter quelques bêtises dans l'histoire grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Je réponds partiellement. Oui, il y a des coquilles dans mon post [www.les-mathematiques.net]. Dans le point 1) (actions transitives du groupe de Galois), à un moment j'ai mélangé, à plusieurs reprises, $E$ (le corps intermédiaire) avec la base $K$. J'ai rectifié et en principe plus d'erreur dans ce point 1).

Quant au point 2), je voulais dire que $p$ n'est pas ramifié dans $L$ (l'extension galoisienne), ce qui équivaut, je crois, à $p$ non ramifié dans $K$. Pas sûr. Attention dans 2), la base est $\Q$ et le corps intermédiaire est $K$ (changement de notations signalé entre les deux points).

Oui, cette histoire de voir le Frobenius comme une permutation de $X$, où $(G,X)$ est n'importe quelle action transitive du groupe de Galois $L/\Q$, cela permet de ``faire vivre'' le Frobenius. Je ne sais pas si c'est simple à prouver. Tu n'as jamais vu cela quelque part ?

Et là, j'abrège. Oui, tu as raison, on a un quotient :
$$
L_\rho = {L_{\zeta_K} \over L_\zeta}
$$
où $\zeta_K$ est la fonction $\zeta$ de Dedekind de $K$, et $\zeta$ celle ordinaire (de Riemann).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
avatar
Peut être dans le livre des Douady, je sais qu'ils adoptent un point de vue en terme d'action de groupe sur des ensembles finis ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@Flip flop
Quelques précisions : à un moment donné dans l'histoire, faut peut-être partir de $K/\Q$ et voir $L$ comme $K^{\rm gal}$ la fermeture galoisienne de $K$. De toutes façons, on en est au contexte de bébé avec notre polynôme de degré 3.

Et cette histoire de cycles, je connaissais sauf que le contexte était moins ``savant'' (pas de Frobenius visible) et que j'avais pas fait le rapprochement (la honte). J'appelais cela le critère de Van der Waerden car je l'avais vu dans son Modern Algebra, mais en fait je crois qu'il est dû à Dedekind. Voici l'énoncé que je faisais démontrer aux étudiant(e)s dans un ``projet'' en 2000. Soit $F \in \Z[X]$ unitaire, sans facteur carré, dont les racines sont notées $x_1, \ldots, x_n$. On considère un premier $p$ tel que $F \bmod p$ reste sans facteur carré et on considère sa factorisation modulo $p$ :
$$
\overline F = F_1 F_2 \cdots F_r
$$
Alors le groupe de Galois $\text{Gal}(F)$ contient un automorphisme $\sigma$ qui induit sur $\{x_1, \cdots, x_n\}$ une permutation dont la décomposition en cycles de supports disjoints est de la forme :
$$
(\hbox {cycle de longueur $\deg F_1$})\ (\hbox {cycle de longueur $\deg F_2$}) \ \cdots\ (\hbox {cycle de longueur $\deg F_r$})
$$
Tu vois que l'énoncé est élémentaire. On trouve la démonstration partout. Mais la preuve utilise les ingrédients qui mettent en place le Frobenius. Par exemple, le corollaire 15.1 dans [library.msri.org] Reste à faire le lien avec les idéaux premiers de ... Hum, je sais pas trop de qui (faut peut-être supposer alors $F$ irréductible alors que ce n'est pas exigé ci-dessus).

A propos du Frobenius : ne pas oublier le papier de K. Conrad in [www.math.uconn.edu] (la preuve de Frobenius !).

A propos de la représentation de $S_3$ en dimension $2$, on peut la monter soi-même en prenant par exemple comme base de $x_1+x_2+x_3=0$, la base $(e_1-e_2, e_2-e_3)$.

> S3 := Sym(3) ;              
> Z := IntegerRing() ;
> GL2Z := GL(2,Z) ;
> M12 := GL2Z ! [-1,-1,0,1] ; 
> M12 ;
[-1 -1]
[ 0  1]
> IsOne(M12^2) ;
true
> M123 := GL2Z ! [-1,-1,1,0] ; 
> M123 ;
[-1 -1]
[ 1  0]
> M12 * M123 * M12 eq M123^-1 ;
true
> rho := hom < S3 -> GL2Z | S3!(1,2) -> M12, S3!(1,2,3) -> M123 > ;
> chi := Character(rho) ;
> chi ;
( 2, 0, -1 )

Les 3 valeurs $(2, 0, -1)$ que l'on voit sont les valeurs de $\chi$ sur les 3 classes de conjugaison (identité, transposition, 3-cycle).

Dans les salons mondains, faut surtout pas que tu dises que tu joues avec $\rho : S_3 \mapsto \text{GL}_2(\Z)$ : tu vas passer pour un naze. C'est préférable que tu parles de représentation d'Artin ou un truc dans ce goût là ; un morphisme continu $\text{Gal}(\overline\Q/\Q) \to \text{GL}_d(\C)$, cela fait toujours son petit effet.
J'ai pris un polynôme AU PIF, je t'assure. Coup de bol, son discriminant est un premier. Je n'en demandais pas tant.

> ZX<X> := PolynomialRing(Z) ;
> F := X^3 + 4*X - 7 ;
> K<x> := NumberField(F) ;
> DiscF := Discriminant(F) ;
> DiscF ;
-1579
> Factorization(DiscF) ;
[ <1579, 1> ]
> ArtinRep := K !! chi ;
> ArtinRep ;
Artin representation of Number Field with defining polynomial x^3 + 4*x - 7 
       over the Rational Field with  character ( 2, 0, -1 )

Et ensuite, les choses de la vie ... Tiens on voit un conducteur

> Lrho := LSeries(ArtinRep) ;
> Lrho ;
L-series of Artin representation of Number Field with defining polynomial x^3 + 4*x - 7 over the Rational Field with
character ( 2, 0, -1 ) and conductor 1579
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Conjugaison, quand tu me tiens. Un caractère $\chi$, c'est du solide. Mais faut se méfier de vouloir retrouver ``la représentation'' $\rho$ d'où provient $\chi$. Car elle n'est définie qu'à conjugaison près. Même de manière uniquement groupiste, notre logiciel habituel dispose d'algorithmes non déterministes pour élaborer les objets. Regarde ce truc :

> S3 := Sym(3) ;
> chi := CharacterTable(S3)[3] ;
> chi ;
( 2, 0, -1 )
> rho1 := GModuleAction(GModule(chi)) ;
> rho2 := GModuleAction(GModule(chi)) ;
> 
> rho1(S3!(1,2)) ;
[0 1]
[1 0]
> rho2(S3!(1,2)) ;
[-1 -1]
[ 0  1]

Mais évidemment, $\rho_1$ et $\rho_2$ sont conjuguées (hum sur $\Q$, je pense). Devinette : sur le forum, on demande à qui pour trouver une conjugaison ?

Rien à voir, encore que. Je l'ai déjà dit une fois, mais j'en ai ch.é pour comprendre que les représentations irréductibles complexes de $S_n$ sont définies sur $\Z$. C'est probablement un truc que tout bébé doit savoir. Ensuite, via l'intermédiaire d'un logiciel que je ne nommerais pas, j'ai fini par comprendre, que pour ``la'' représentation associée à une partition $\lambda$ de $n$, il y avait plusieurs $\Z$-modèles (Kerber, Boerner, Specht, en voilà 3). C'est incroyable le temps qu'il faut passer pour comprendre des choses EXACTEMENT.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
Frobenius, Dedekind (Van der Waerden) réduction modulo $p$. Je pense que cela vaut le coup (toi qui veut revenir en arrière), de passer un peu de temps à comparer la formulation de divers énoncés (``réduction modulo $p$'') et les preuves. Car je pense, c'est ce que tu cherches en ce moment. Il y a des énoncés pour les petits et les grands. Grosso-modo, que le groupe de Galois ''du bas'' se relève dans le groupe de Galois ``du haut'' (dans les bons cas i.e. pas de ramification). En fait, c'est bien plus général que la réduction modulo $p$.

J'ai regardé rapidement dans mes ouvrages Galois pour un énoncé élémentaire. Il y a un exo de Bourbaki dans Algèbre. Sans idéaux premiers car Bourbaki ne rigole pas avec cela : on est dans le livre Algèbre et le livre Algèbre commutative viendra plus tard. Vu aussi des choses dans Lang mais c'est déjà plus pour un bébé mais pour un petit. Il y a bien sûr le Samuel que tu as sous la main. En Algèbre Commutative, Bourbaki a réalisé un truc haut de gamme de manière extrêmement épurée.

Je ne sais ce que l'on peut taper sous un moteur de recherche : Galois Group and reduction modulo a prime. Tiens je suis tombé sur [www.math.ku.edu]. Et on y voit que le grand Tate est passé par là.

Sincèrement, cela vaut le coup (de passer du temps). Ne pas croire que l'on a tout compris : si on me demandait d'implémenter Frobenius en tant que permutation sur un $G$-ensemble transitif, je serais bien en peine.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a deux années
@flip flop
J'arrête, promis, juré. Chambert-Loir, [www.cmls.polytechnique.fr], sections 5.7 et 5.8 pages 117 .... Et en particulier, le lemme 5.8.6 page 123. Tu deviendras ainsi un ami intime du groupe de Galois ``du bas'' et celui ``du haut'.
Bon courage dans ta quête du Graal Frobenius and co.
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