Homographies et petits groupes de Galois

@flip flop
J'ai pas un tel discriminant (en degré 3) dans mes tablettes. Cela existe ? Il y a des obstructions ? J'y connais rien (à part Stickelberger qui dit que le discriminant d'un corps de nombres est $\equiv 0, 1 \bmod 4$)

> NFD3 := NumberFieldDatabase(3) ;                 
> #NFD3 ;
984548
> DiscriminantRange(NFD3) ;
-999999 400415027599129
> 
> time NumberOfFields(NFD3, -44 * 4) ;
0
Time: 0.000
> time NumberOfFields(NFD3, -44) ;    
1
Time: 0.000
> 
> NumberFields(NFD3, -44) ;           
[  Number Field with defining polynomial $.1^3 + $.1^2 - $.1 + 1 over the Rational Field ]
> NumberFields(NFD3, -11) ;
[]

J'ai pas non plus $-11$ comme discriminant en degré $3$. Tu en vois la raison ? Moi, pour l'instant, non.

@flip flop
Je ne comprends pas ce que tu veux faire, mais c'est pas grave. Est ce que ce qui suit fait avancer ton schmilblick : avec $-11 \times 9^2 = -11 \times 3^4$ et $F = X^3 + 6X + 1$. Il se trouve que $F$ vérifie le Dedekind-test en $3, 11$, donc $\mathcal O_E = \Z[x]$ où $x$ est une racine de $F$.

> NFD3 := NumberFieldDatabase(3) ;           
> E := Explode(NumberFields(NFD3, -11*9^2)) ;
> F<X> := DefiningPolynomial(E) ;
> F ;
X^3 + 6*X + 1
> Discriminant(F) ;           
-891
> Discriminant(F) eq -11*9^2 ;               
true
> ClassNumber(-11*3^4) ;                     
6
> [ClassNumber(-11*3^k) : k in [0..10 by 2]] ;
[ 1, 2, 6, 18, 54, 162 ]
> [<k, ClassNumber(-11*3^k)> : k in [0..10 by 2]] ;
[ <0, 1>, <2, 2>, <4, 6>, <6, 18>, <8, 54>, <10, 162> ]

En théorie des nombres, il y a une formule (Dedekind-Siegel) qui donne le nombre de classes d'idéaux (inversibles) d'un ``anneau de nombres'' (sous-anneau ``plein-dimensionnellement'' de la fermeture intégrale d'un corps de nombres). On en avait parlé un peu avec gai-requin, dans ce fil je crois, mais je ne sais plus où.

@flip flop, gai requin
Si tu écris un pdf, prends le temps d'expliquer car pour l'instant, je comprends pas grand chose (et quand je dis cela, chez moi cela veut dire que je comprends rien).

Ton dernier post : le groupe de Galois de $E^{\rm gal}/\Q$ i.e. du polynôme $F$ de degré 3 est $S_3$. Qui contient un unique sous-groupe d'indice 2, à savoir $A_3$. Donc une unique extension quadratique contenue dans $L = E^{\rm gal}$, il s'agit de :
$$
\Q\big(\sqrt {\text{Disc}(F)}\big) = \Q\big(\sqrt {\text{Disc}(\mathcal O_E)}\big)
$$
En terme de racines $x_i$ de $F$ dans $L$, la racine carrée dont je cause (à un facteur multiplicatif rationnel près) est $(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2-x_3)$. Ce paragraphe étant valide pour $F$ de degré 3 dont le discriminant n'est pas un carré.

A propos de FrobeniusElement(E, p) : je ne l'utilise plus car je n'en comprends pas la sémantique. Et je n'ai pas confiance (je crois l'avoir mis en défaut sur défini à conjugaison près modulo l'inertie, conjugaison où : dans le groupe de Galois ou le groupe symétrique ?). Quand je dis que je n'en comprends pas la sémantique, c'est que je ne pige pas à quel moment le groupe de Galois est élaboré et figé (=ancré dans $E$ une fois pour toutes). Je ne sais même pas si le groupe de Galois est élaboré !

> F ;                                   
x^3 + 6*x + 1
> GalF, roots, data := GaloisGroup(F) ;
> GalF ;                
Symmetric group S3 acting on a set of cardinality 3
Order = 6 = 2 * 3
    (1, 2, 3)
    (1, 2)
> K := Universe(roots) ;
> K ;
Unramified extension defined by the polynomial (1 + O(5^20))*x^3 + O(5^20)*x^2 + (3 + O(5^20))*x + 3 + O(5^20)  over 5-adic ring
> DefiningPolynomial(K) ;               
(1 + O(5^20))*$.1^3 + O(5^20)*$.1^2 + (3 + O(5^20))*$.1 + 3 + O(5^20)
> ChangeRing(DefiningPolynomial(K), Z) ;
x^3 + 3*x + 3
> BaseRing(K) ;
5-adic ring

Visiblement, magma ne va pas chercher les racines (roots) de $F$ sous le sabot d'un cheval. Mais plutôt dans une extension non ramifiée de degré $3$ de $\Q_\ell$ avec $\ell = 5$.

Bref, pas confiance tant que la sémantique n'est pas assurée. Faudrait que j'ai le courage de retrouver où j'ai vu une incohérence (voire plusieurs).

Par contre, j'ai assez confiance en les $p$-Euler facteurs déterminés par magma. Que je surveille. Jamais vu une incohérence. Visiblement, ils sont montés par un autre mécanisme que la neutralisation de l'inertie du Frobenius modulo l'inertie. Et on comprend que la machinerie $p$-Euler facteur d'une L-série doit être réglée au quart de poil si on veut correctement assembler tous les facteurs locaux.


Autre chose : pages 44-45 de la thèse http://algant.eu/documents/theses/ferraguti.pdf. L'auteur prend le temps d'expliquer (2 pages) ce que sont les facteurs locaux de la L-série d'une représentation de Galois $\rho : \text{Gal}(\overline {\Q}/\Q) \to \text{GL}_n(\C)$. Le coup de neutraliser l'inertie.

$\def\calQ{\mathcal Q}$@flip flop, gai-requin
Je viens de m'écrire une petite $\Theta$-calculette qui réalise, pour un discriminant quadratique $D < 0$ (pas fondamental)
$$
\calQ(D) / \text{GL}_2(\Z) \hookrightarrow \Zq, \qquad\qquad
Q = (a,b,c) \longmapsto \Theta_Q = \sum_{(x,y) \in \Z \times \Z} q^{Q(x,y)} = \sum_{(x,y) \in \Z \times \Z} q^{ax^2 + bxy + cy^2} =
\sum_{n \ge 0} r_n(Q) q^n
$$
$\calQ(D)$ désigne l'ensemble des formes quadratiques définies positives, de discriminant $D$ et primitives. Je quotiente par $\text{GL}_2(\Z)$ car deux formes de même discriminant ont même $\Theta$-série si et seulement elles sont $\text{GL}_2(\Z)$-équivalentes.

Et ce machin est non seulement injectif mais les séries à l'arrivée sont $\Z$-linéairement indépendantes.

Pourquoi faire ? Et bien dans l'histoire $E = \Q(x)$ où $x$ est racine d'un polynôme $F \in \Z[X]$, unitaire, irréductible, de degré 3, à discriminant non carré, je vais aller écrire la série $S_\rho$ :
$$
L_\rho(s) = {\zeta_E(s) \over \zeta(s)} = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s} \quad \longmapsto \quad S_\rho = \sum_{n \ge 1} a_n q^n
$$
comme combinaison linéaire de $\Theta$-séries de discriminant $\Delta$ avec $\Delta = \text{Disc}( \mathcal O_E)$. Cela sera un certificat du fait que $S_\rho \in M_1(\Gamma_0(N), \chi)$ où $N$ est le conducteur $|\Delta|$ et $\chi$ le caractère de Kronecker défini par $\Delta$ (j'en ai déjà parlé, attention à son modulus versus son conducteur).

Of course, $L_\rho$ est la $L$-série de la représentation irréductible de dimension 2 de $G = \text{Gal}(E^{\rm gal}/\Q) \simeq S_3$, celle qui figure dans $\rho_E$.

J'ai automatisé tout ce binz et cela marche super-bien.

> // Discriminant -11 * 9^2 from FlipFlop
> precision := 50 ;
> F := X^3 + 6*X + 1 ;
> F ;
X^3 + 6*X + 1
> E<x> := NumberField(F) ;
> OE := MaximalOrder(E) ;
> DiscOE := Discriminant(OE) ;
> assert DiscOE eq -11 * 9^2 ;
> DedekindZetaE := LSeries(E) ;
> Lrho := DedekindZetaE / RiemannZeta() ;
> Srho<q> := FormalSeries(Lrho, precision) ;
> Srho ;
q + q^4 - q^5 + q^11 + q^16 - q^20 + 2*q^23 - q^31 - q^37 + q^44 - q^47 + q^49

Ci-dessus, j'ai pris comme exemple le polynôme $F = X^3 + 6X + 1$ avec lequel Flip-Flop fait joujou en ce moment.

Ecrivons $S_\rho$ comme combinaison linéaire de $\Theta$-séries de discriminant $-11 \times 9^2$.

> Q := BinaryQuadraticForms(DiscOE) ;
> QmodSL2Z := ReducedForms(Q) ;
> <q : q in QmodSL2Z> ;
<<1,1,223>, <5,-3,45>, <5,3,45>, <9,-3,25>, <9,3,25>, <11,11,23>>
> 
> c, QmodGL2Z, T := ThetaDecomposition(QmodSL2Z, Srho, precision) ;
> <q : q in QmodGL2Z> ;
<<1,1,223>, <5,-3,45>, <9,-3,25>, <11,11,23>>
> c ;
[ -1, 1, 1, -1, 2 ]
> T ;
[
    1 + 2*q + 2*q^4 + 2*q^9 + 2*q^16 + 2*q^25 + 2*q^36 + 2*q^49 + O(q^51),
    1 + 2*q^5 + 2*q^20 + 4*q^45 + 2*q^47 + O(q^51),
    1 + 2*q^9 + 2*q^25 + 2*q^31 + 2*q^36 + 2*q^37 + O(q^51),
    1 + 2*q^11 + 4*q^23 + 2*q^44 + 4*q^45 + O(q^51)
]
> combinaison := &+[c[j]*T[j] : j in [1..#T]] ;
> assert Valuation(-c[#c]*Srho - combinaison) ge precision ;

Sur les 6 formes, classes modulo $\text{SL}_2(\Z)$, j'en retiens 4 modulo $\text{GL}_2(\Z)$ car il ne faut surtout pas mettre par exemple $(5,-3,45)$ et $(5,3,45)$ qui ont même $\Theta$-série. La fonction ThetaDecomposition c'est de mézigue. Elle retourne 3 résultats : les coefficients $c$ de la combinaison linéaire, ...etc... Qu'il faut comprendre ici comme :
$$
(-1) \times \Theta_{(1,1,223)} + 1 \times \Theta_{(5,-3,45)} + 1 \times \Theta_{(9,-3,25)} + (-1)\times \Theta_{(11,11,23)} + 2S_{\rho} = 0
$$
C'est de la bête algèbre linéaire sur $\Z$. Et je trouve que c'est efficace.

@flip flop
Mais comment sais tu qu'il faut écrire la $\Theta$-décomposition de $2S_\rho$ sous cette forme ? Tu veux que je te dise : j'ai fait un certain (sic) nombre de tests (toujours dans le cadre des polynômes $F \in \Z[X]$ de degré 3 ...etc..). Il faut absolument dire dont le discriminant est NEGATIF. Et pas bêtement dont le discriminant n'est pas un carré (comme je disais avant, pas fier). Et bien, il y a toujours une relation que j'écris (comme un pied visiblement) :
$$
2S_\rho = \sum_{Q \in \mathcal Q(D)/\text{GL}_2(\Z)} \lambda_Q\ \Theta_Q \qquad \lambda_Q \in \{ \pm 1, \pm 2\}
$$
Note bien où vit le coefficient $\lambda_Q$. Toutes les formes interviennent. J'ai pas fait assez de tests ? Of course, $D$ c'est le discriminant (négatif) de $\mathcal O_E$ où $E = \Q(x)$, $x$ racine de $F$.

Au fait, dans mes notations, je continue à indexer les caractères quadratiques par le discriminant mais je vais me permettre maintenant, pour un discriminant quadratique $D$ (pas nécessairement fondamental) d'utiliser $\chi_D$ pour le caractère ``de Kronecker'' dont le modulus est $|D|$ et le conducteur est $|D_{\rm fond.}|$ où $D_{\rm fond}$ est le discriminant quadratique fondamental de l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt D)$.

Et donc, suite à ma $\Theta$-story d'hier, on a un sous-espace basé :
$$
\Theta_D \subset M_1(\Gamma_0(|D|), \chi_D)
$$
La base ce sont les $\Theta$-séries. La dimension c'est facile : dans un groupe fini d'ordre $N$, tu notes $N_2$ le nombre d'éléments $x$ tels que $x^2 = 1$ et $N_1$ la moitié des autres de sorte que
$$
N = 2N_1 + N_2 , \qquad N_1 + N_2 = {N + N_2 \over 2}
$$
C'est ce que je fais pour les formes quadratiques : j'isole les formes ambigües et celles qui ne le sont pas. Si bien que :
$$
\dim_\Z \Theta_D = {\#\text{Cl}(D) + \#\text{Cl}(D)_2 \over 2}
$$
$\text{Cl}(D)$ c'est le groupe des classes d'idéaux inversibles de l'unique anneau quadratique de discriminant $D$. Et avec un indice 2, sa 2-torsion.

Figure toi que j'ai lu dans Kani (pointeur en bas), que le groupe des caractères sur le groupe abélien $\text{Cl}(D)$ intervient pour former une autre base ``caractérielle''. Et pour clore le tout il y a une base distinguée dans l'espace plus gros $M_1(\Gamma_0(|D|), \chi_D)$, base dite d'Atkin-Lehner.

Mais où est ce que l'on est parti, là ?

J'ai tiré ta note : je ne comprends toujours pas ton hésitation entre $-11$ et $-22$. En principe, j'ai expliqué la chose dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1522480#msg-1522480. Et il suffit d'écrire $-44 = 4 \times (-11)$ et d'utiliser le fait que $4$ est un carré. On se comprend ? Mais ton $p = 179$, il vient faire quoi dans l'histoire ?

Moi, je t'embarque dans une histoire que tu n'aurais pas voulue ? Absolument pas, je t'assure. On navigue au gré du vent. Par contre, toi, tu veux m'embarquer dans le corps des écoles. Et moi, je veux pas. Enfin, peut-être que si .. mais à des conditions (j'ai quelque chose derrière la tête).


Kani in http://www.mast.queensu.ca/~kani/lectures/Bintheta3.pdf. Je cite son theorem 6 (la partie a). Let $\rho : G_\Q \to \text{GL}_2(\C)$ be a Galois representation. If $\rho$ is of dihedral type and is odd, then $\rho = \rho_f$ forme some $f \in S_1(N, \Psi)$.

Et $N$ on va le trouver comment ? Idem pour $\Psi$ (un Nebentypus) ? Pourquoi les auteurs en disent le minimum dans le sens facile ? Comment se fait-il qu'en jouant avec $X^4 - 2$ (et le groupe $D_4$), j'ai monté une $L$-série qui connaissait son Artin conductor $N$ et son Nebentypus. Alors que je ne lui avais PAS fourni. Magma a peut-être trouvé ces renseignements sous le sabot d'un cheval ?

PS : j'ai commencé à jouer en degré 4 (mais avec $D_4$ et surtout pas $S_4$) pour éviter de penser que je fais une fixette sur le degré 3 et que je suis infoutu de faire d'autre chose.

@flip flop
On s'est engagé à aller doucement, n'est ce pas ? Ne pas brûler d'étapes ...etc... Donc faire gaffe en ce qui concerne corps des écoles ..

Une question : dans le contexte $K \subset E \subset L$ et $L = E^{\rm gal}$, à propos de la représentation $\rho_E$ de $G = \text{Gal}(L/K)$ que l'on connaît bien. La question est : quel est, au sens Artin conductor, le conducteur de $\rho_E$ ? Je n'ai pas la réponse.

@flip flop
Suite : un point important. Il y a un théorème dû à Gauss qui s'énonce ainsi. Soit $p \equiv 1 \bmod 3$. Alors $p$ est de la forme $a^2 + 27b^2$ si et seulement si la congruence $x^3 \equiv 2 \bmod p$ possède une solution.

Ce n'est pas un résultat évident. Une preuve possible pour les petits, c'est d'utiliser la loi de réciprocité cubique. Ce n'est pas rien et le petit risque de râler. Cox dans son chapitre 4 (et Ireland & Rosen) ont choisi cette approche (loi de réciprocité cubique).

Mais Cox en redonne un coup dans le chapitre 8. En sortant cette fois $L = \Q(j, \root 3 \of 2)$ et ses propriétés mirifiques (ring class field of $\Z[\sqrt {-27}]$). Cela coûte de montrer ce dernier résultat. Et une fois que ce résultat (ring class field) est MONTRE et COMPRIS, alors le théorème de Gauss tombe.

@flip flop
Là sérieux. Dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1523012#msg-1523012, j'avoue que je ne comprends pas les deux lignes qui viennent au début après ``Ce que je pense c'est''

I.e. ``On regarde les formes qui représentent $N(\mathfrak p) = p^f$ ....etc...''

Visiblement tu as une intuition de la chose. Peut-être que j'en demande beaucoup : pourras tu développer ces 2 lignes ? Et j'en demande encore plus : où va-t-on ensuite ? Je suis d'accord qu'il est capital d'agiter les objets (et je le fais sans cesse, tu le sais bien). Mais de temps en temps, et c'est vachement difficile, je crois que c'est pas mal d'avoir une idée directrice.

Quand tu auras le temps (peut-être jamais).