Homographies et petits groupes de Galois
Réponses
-
Hello Claude,
Je comprends ce que tu veux dire. Et on peut commencer par le corps de Hilbert comme tu le proposes. Je vais regarder ce que dit Cox dans le livre.
Mais je pense que sur les quelques exemples que l'on a on va pouvoir prouver que l'on tient le truc.
Par exemple : p164.
Soit $K$ un corps de nombre. Il existe une unique extension abélienne $H$ de $K$ non ramifié tel que l'application d'Artin
passe au quotient et induit un isomorphisme :
$$
I_K / P_K = Cl(K) \to \text{Gal}(H \mid K)
$$
De plus, $H$ est l'extension maximal non ramifié.
Est-ce que c'est bon pour toi comme caractérisation. C'est-à-dire que l'on admet ça et on démontre dans certains exemples que l'on a que l'on tiens vraiment $H$ et on voit ce que l'on peut faire.
Et il faut aussi comprendre ce que les formes quadratiques viennent faire la dedans. Pour être clair, ce que j'ai raconté c'est juste essayé de comprendre ce que l'on peut tirer comme conséquence de disposer de ce corps de classe.
Ps : y'a pas mal de thème amusant dans le livre de Cox. Je pense que je vais bien m'amuser -
@Claude :
Pour ton exemple avec $X^3-X-1$, on avait travaillé [ici] sur le fait que $L/K$ n'est pas ramifiée ce qui permet de conclure.
J'ai fait pas mal de recherches ce soir sur la théorie du corps de classes effective et je suis tombé sur H. Cohen (que tu dois connaître) qui a pondu [ceci] qui m'a l'air compliqué mais qui a le mérite de donner des constructions explicites du corps de classes de Hilbert (voir par exemple le théorème 6.9 p.518). -
@gai requin
A propos de $K = \Q(\sqrt {-23})$, $L = K(x)$, $x$ racine de $X^3 - X -1$. Je ne suis pas d'accord avec toi dans le sens suivant : à la main, on arrive à montrer que l'application d'Artin $I_K \to \text{Gal}(L/K)$ (qui est bien définie car $L/K$ est abélienne non ramifiée) est surjective mais on n'arrive pas à démontrer (enfin moi je ne sais pas faire) qu'elle passe au quotient modulo les idéaux principaux.
Note : à l'aide de calculs plus ou moins fastidieux, on arrive à voir que $L/K$ est non ramifiée.
Bilan : il faut donc ``un théorème'' assurant que l'application d'Artin passe au quotient ; une ``machine'' ne peut pas le faire.
@flip flop
Je vais répondre en prenant mon temps.
A propos de $\text{Ram}(E^{\rm gal}/\Q) = \text{Ram}(E/\Q)$ in serre-bis.pdf, dans la petite section ``Ramification de $L$''. Je ne vois pas pourquoi $I(\mathfrak P)$ agit fidèlement sur $\Theta := \{ \tau \in \text{Hom}_K(E,L) \mid \tau^{-1}(\mathfrak P) = \mathfrak P \cap \mathcal O_E\}$. C'est fidèlement qui me chagrine. Moi, je virerais ce $\Theta$ et dirais $I(\mathfrak P)$ agit fidèlement sur $\text{Hom}_K(E,L)$ et toutes ses orbites sont de cardinal 1 (puisque par hypothèse, tous les $e_j$ de $p$ dans $E$ valent 1). Bilan : $I(\mathfrak P)$ est trivial.
Autre chose. Arithmétique. Pour une forme quadratique définie positive $Q = (a,b,c) = ax^2 + bxy + cy^2$, je note, pour $n \ge 1$, $r_{a,b,c}(n)$ le nombre de $(x,y) \in \Z \times \Z$ tels que $Q(x,y) = n$. Dans l'histoire de Serre $E = \Q(x)$ avec $x$ racine de $F(X) = X^3 - X - 1$, de discriminant $-23$, où interviennent les 3 formes $(1,1,6)$ et $(2,\pm 1,3)$ de discriminant $-23$, on obtient donc à la fin de la course (ou au milieu) l'égalité :
$$
2\nu_E(n) = \sum_{d \mid n} \big(r_{1,1,6}(d) - r_{2,1,3}(d) \big), \qquad n \ge 1
$$
où $\nu_E(n)$ désigne le nombre d'idéaux de $\mathcal O_E$ de norme $n$.
J'espère que vous serez d'accord. Ainsi deux mondes arithmétiques sont reliés : comptage des idéaux dans une extension cubique et nombre de représentations d'un entier par des formes quadratiques. Et des théorèmes de ce genre là, il y en a des milliers. Et même une infinité (dénombrable quand-même). -
@gai requin, flip -flop
On met enfin les pieds dans le ... Enoncé et notations de Flip-Flop : $H/K$ abélienne non ramifiée et l'application d'Artin $I_K \to \text{Gal}(H/K)$ qui passerait au quotient modulo les idéaux principaux et induirait un isomorphisme du groupe des classes $\text{Cl}(K)$ sur $\text{Gal}(H/K)$. A condition de disposer du bon cheval.
Notation $L$ versus $H$ fluctuante.
Il faut avoir conscience que c'est là que se situe ``Artin reciprocity theorem for the Hilbert Class Field''. Cox en parle une première fois dans le theorem 5.23 (page 109). Qui commence ainsi ``If $L$ is the Hillbert class field of a number field $K$, then''. Et puis vient l'énoncé ci-dessus. Et donc à cet endroit là, il est acquis que l'on sait ce que signifie ``Hilbert class field''. Et c'est énoncé comme un théorème. Qui sera prouvé à la page 161 (de mon édition) : c'est le théorème 8.2 dont le contexte est plus général.
Et en theorem 8.10, p. 164, il est annoncé et prouvé (c'est un théorème) que ``The Hilbert class field $L$ is the maximal unramified abelian extension of $K$''.
Et au fait, c'est bien vrai, que tout idéal de $K$ devient principal dans $L$ ? Et cela s'insère comment dans la choucroute ?
Ne pas essayer de me faire croire que les choses sont simples.
@gai-requin
Dans ``Le théorème de Cebotarev, Benoit Jacob, Sujet proposé par David Harari'', que tu avais pointé il y a un certain temps, est ce que le théorème 2.6.2 (annoncé comme ``Voici maintenant la loi de reciprocité d'Artin'') est vraiment montré ? Comment se fait-il qu'en plein milieu de la preuve de 5 lignes, l'auteur prenne un joker en disant ``C'est fait dans Lang, des pages 200-207'' (8 pages versus 5 lignes) ? -
@gai-requin, flip flop
Dans la série ``Corps des écoles'' (je tiens à signaler que ce n'est pas moi qui ait commencé). En attaché 6 pages. Qu'en pensez vous ? En particulier de la page 458 ? Prendre son temps (en maths, rien ne peut se faire en 5 minutes ni même en 10 ni même en ...) -
Coucou Claude,
Pour la ramification OK pour moi ! Donc on va pouvoir utiliser ça pour comprendre un peu la ramification de :
$$
\xymatrix {
&L\ar@{-}[dl]_3 \ar@{-}[dr]^2 \ar@{-}[dd]_{S_3} \\
\Q(\sqrt{\Delta}) \ar@{-}[dr]_2 && E =
\Q(x)\ar@{-}[dl]^3 \\
&\Q \\
}
$$
Contexte $x$ est une solution de $f$ de degré $3$ avec discriminant non carré. Il me semble que tu as dit qu'il est préférable de prendre discriminant négatif.
Je veux juste t'expliquer ce que j'ai en tête (histoire d'être clean avec la poupoule et ses oeufs).
Perso je reste sur ce terrain. Etudier ça de manière complète. Le truc que je veux faire c'est dire des choses sur la ramification de $L \mid \Q(\sqrt{\Delta})$. Et bien sûr prouver les choses (je pense qu'avec nos petits outils on va pouvoir dire des choses. Je vais certainement dire que des trucs banals mais c'est pas grave car pour moi la situation n'est pas complètement claire et je veux vraiment être clair sur ça, sinon c'est le château de sable qui s'écroule !
Ensuite, on a "compris" (je dis on mais c'est plutôt je car je pense que ça fait longtemps que tu as compris que c'était important, moi ça fait que $6$ mois que j'ai entendu parlé de la réciprocité quadratique, avant je pensais que c'était un trop sans importance ... ) que les formes quadratiques sont importantes dans cette histoire. Beh, il va falloir que j'y passe sérieusement (j'en suis conscient).
Niveau corps de classes. Je pense qu'il ne faut pas utiliser quoique ce soit de cette théorie qui est trop complexe (je ne pourrais jamais comprendre les preuves et mettre en pratique de manière honnête .. on va pas faire semblant de comprendre). Par contre, je vais voir ça comme une théorie "géométrique" et utiliser le slogan "think geometrically and proof algebraically". Tu vois c'est comme une sorte de guide ? Pour trouver de la motivation d'étudier bien les choses et d'aller lire un peu dans la littérature (par exemple le livre de Cox). Je délire ?
Par exemple, hier tu as fait joujou avec l'invariant $j$ pour trouver le corps de Hilbert. Est-ce qu'on a prouvé que c'était le bon corps de Hilbert, bah non. C'est les grands qui savent pourquoi ça marche. C'est d'ailleurs complètement dingue qu'un truc prédit par cette théorie peut se construire d'une manière aussi dingue. Je me "souviens" de ta feuille (un peu dense) ou tu avais noté "toutes" les définitions pour $j$ (y'a des séries Eisenstein et le discriminant modulaire etc) ... c'est un binz incroyablement complexe .... c'est complètement dingue vu de loin, non ? C'est amusant d'essayé de constater un peu les choses que les grands ont inventé mais ça donnera pas de preuve ... sauf a rentrer entièrement dans les constructions mais là j'en suis incapable !
Edit Orthographe :-D -
@flip flop
Je te reçois 5/5. Et ok pour persister sur le degré 3. Pour ne pas oublier : quid de $d_p$ dans le dénominateur $1 - t_P T + d_pT^2$ du $p$-Euler facteur de la représentation irréductible $\rho$ de dimension 2 de $G = \text{Gal}(L/\Q) \simeq S_3$, celle qui figure dans notre chère $\rho_E$.
J'ai dit discriminant $< 0$ car on tombe sur les formes de discriminant négatif avec lesquelles je suis plus à l'aise. Et c'est vrai que le terrain quadratique discriminant $< 0$ est plus simple que celui de discriminant $> 0$. Elles sont importantes car celles de discriminant $\Delta$ encodent le groupe des classes d'idéaux (inversibles) de l'unique anneau quadratique (imaginaire) de discriminant $\Delta$. Dans ce contexte, on ne travaille pas avec l'anneau des entiers du corps quadratique mais avec n'importe quel sous-anneau de nombres. Autre avantage du discriminant $< 0$ : les séries $\Theta$.
Par ailleurs, c'est pas ``de notre faute'' : en ouvrant l'exemple $X^3 - X - 1$ de Serre, il y a plein plein d'oiseaux qui se sont envolés. On peut pas les rattraper tous. Et si on en rattrape quelques uns, cela sera déjà pas mal. J'ai essayé d'illustrer qu'il y avait un oiseau qui débarquait dans le cadre général $E/\Q$ de degré 3 ...etc.. Je parle de l'oiseau modulaire (théorème de Hecke) concernant $\rho$ : j'en reviens pas que (expérimentalement), on puisse écrire $2S_\rho$ comme combinaison $\Z$-linéaire des $\Theta$-séries de discriminant $\Delta$. Je n'ai pas encore mis la main sur un bon vrai énoncé du théorème de Hecke dans ce cadre là (dihedral and odd representations en dimension 2).
Bis : je suis d'accord avec toi. Pas question de vouloir/pouvoir faire le tour de .. Juste apprendre (du mieux possible) quelques petits trucs pour les bébés. En choisissant les terrains de jeux dans lesquels on peut jouer. Mais parfois ceux ci nous réservent beaucoup de surprises. -
@vous deux
Il est bien loin le temps de $y^n = x^n(x+a)$, époque à laquelle FlipFlop s'était mis à compter comme un fou. Il y a belle lurette que je n'essaie plus de faire de résumé.
Corps des écoles : cela serait quand même une bonne chose de pouvoir prendre le temps de dire ce que l'on pense de la page 458, dans le pdf de 6 pages que j'ai attaché il y a 2 ou 3 posts. Bien plus simple que beaucoup de choses pointées depuis quelque temps. Si nous prenons le temps de le faire, il en ressortira quelque chose.
Histoire : je pointe de nouveau K. Conrad http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/cfthistory.pdf. Cela ne prend que 5 minutes de voir comment en 1898, Hilbert CONJECTURAIT ce que l'on attendait du corps de classes (de Hilbert) d'un corps de nombres $K$. Il s'agit de l'énoncé ``Conjecture 4.1'' page 7. Evidemment, Hilbert n'utilisait pas l'expression ``corps des classes de Hilbert''. On voit en bas de la page que cela mettra un peu de temps pour passer de ``conjecture'' à ``théorème'' (Furtwängler, en 1930, va achever le point 4. de la conjecture). Je crois comprendre qu'ensuite ou simultanément, d'autres points de vue vont émerger : aux pages suivantes, K. Conrad consacre une section entière avec un titre assez curieux Class Field Theory proved (Takagi). Mais peut-être que je ne comprends pas le titre (je ne parle pas du contenu).
Peut-être qu'il faut encore mentionner la volonté de ``faire des petites choses simples''. Et revenir encore et toujours dans le passé. Il y a beaucoup beaucoup de choses à comprendre dans les sous-extensions cyclotomiques. Je reprends à ce propos un thème déjà évoqué dans le passé. Soit $K$ un corps de nombres contenu dans une extension cyclotomique. L'ensemble des entiers $f \ge 1$ tels que $K \subset \Q(\root f \of 1)$ est stable par pgcd. Et donc si l'on convient de noter $f_K$ le plus petit des $f$ tels que ... on a:
$$
K \subset \Q(\root f \of 1) \qquad \Longleftrightarrow \qquad f_K \mid f
$$
Un résultat pas banal dit la chose suivante pour un premier $p$ de $\Z$ :
$$
\hbox {$p$ est ramifié dans $K$} \qquad \Longleftrightarrow\qquad p \mid f_K \qquad\qquad (\star)
$$
Est ce que cela nécessite ``la théorie du corps de classes'' ? NON. Pourquoi ? Parce que c'est fait dans Frölich-Taylor, (2.9) page 217 du chapitre Cyclotomic Fields et qu'il n'y a pas de théorie du corps de classes dans cet ouvrage. Est ce que $(\star)$ est simple ? Et bien, ce que je peux dire, c'est que l'on aimerait y voir plus clair, que cela soit plus limpide ...etc.. C'est ce genre de petites choses simples (parmi des centaines) sur lesquelles il est préférable de perdre du temps pour en gagner en fait plus tard. -
Salut Claude.
Effectivement, Benoît Jacob botte en touche sur le passage au quotient de l'application d'Artin.
Tu m'étonnes John !
Bon, je crois aussi que concernant la théorie du corps de classes en 2.6, il fait tout comme Lang donc renvoie à son bouquin dont tu faisais une bonne critique il me semble.
Au fait, tu connais H. Cohen ? Le pdf que j'ai mis en lien fait peur mais montre que des gens savent calculer ces corps de classes systématiquement. :-S
Mais ce que je préfère (ça me parle et c'est joli), c'est
$$\hbox {$p$ est ramifié dans $K$} \qquad \Longleftrightarrow\qquad p \mid f_K \qquad\qquad (\star).$$
Trop bien ! (tu) -
Je tente
On a le schéma suivant avec $m = n \times p^r$ avec $p$ ne divise pas $n$ et .$r>0$. Faire un peu attention au nombre premier $2$ ! Mais il a fait l'hypothèse $m \ne 2 \pmod{4}$.
$$
\xymatrix {
&\Q(m) \ar@{-}[dl]_{\varphi(p^r)} \ar@{-}[dr]^{\varphi(n)} \ar@{-}[dd]^{\varphi(m)} \\
\Q(n) \ar@{-}[dr]_{\varphi(n)} && \Q(p^r) \ar@{-}[dl]^{\varphi(p^r)}\\
&\Q \\
}
$$
Admis ici (1) et (2).
1. $p$ est totalement ramifié dans $\Q(p^r)$ i.e $e_p(\Q(p^r) \mid \Q) = \varphi(p^r)$.
2. $p$ est non ramifié dans $\Q(n)$.
Donc $e_p(\Q[m] \mid \Q)$ est divisible par $\varphi(p^r)$. On a : $$e_p(\Q[m] \mid \Q) = e_p(\Q(m) \mid \Q(n)) \times e_p(\Q(n) \mid \Q) = e_p(\Q(m) \mid \Q(n)) $$
Or $e_p(\Q(m) \mid \Q(n))$ divise le degré de $\Q(m) \mid \Q(n)$ i.e $\varphi(p^r)$. Par suite : $e_p(\Q(m) \mid \Q(n)) =\varphi(p^r)$ i.e $p$ (enfin le premier au dessus) est complètement ramifié dans $\Q(m) \mid \Q(n)$.
On en déduit que : $\Q(n)$ est la sous-extension maximal où $p$ est non ramifié.
En effet, si $H$ est une sous-extension de $\Q(m)$ où $p$ est non ramifié alors $H\Q(n)$ est non ramifié en $p$ ( admis 3). Mais $H \Q(n)$ est une extension de $\Q(n)$ et la ramification est totale donc si $H \Q(n) \ne Q(n)$ alors $p$ est ramifié.
Du coup, ça donne le résultat que tu donnes.
Le $1$ et le $2$ (poupoule et ses oeufs). Pour le $(1)$, il utilise que toutes extensions de $\Q$ sont ramifiées en au moins un premier (209 (1.1) (ii). Je ne vois pas comment il conclu pour $p = 2$. Edit : ah si ... soit $\mathfrak{p}$ idéal de l'anneau d'entier divisant $p$, si $I(\mathfrak{p}) \ne \text{Gal}(\Q(\zeta_{p^r}) \mid \Q)$ alors on prend le corps fixé par le groupe d'inertie qui doit être non ramifiée en $p$ ? Mais il donne une autre approche juste après.
Admis $3$ ? il faut peut être autrement je ne vois pas, je ne sais pas (ça me parait normal comme propriété) mais je ne connais pas assez bien (td)
Tu as compris comment ses démonstrations ? -
@gai requin
Henri Cohen et calculs en théorie du corps de classes ? Mémoire courte ? Je vous ai fabriqué le 19 Février 2017 un ClassFieldFromMagmaHandbook.pdf de 38 pages. Et à la fin de ce chapitre (dans lequel on comprend très vite qu'une grosse partie de ce binz se calcule et qu'il va falloir quelques semaines pour bien l'utiliser), il y a 10 références bibbliographiques autour de la chose computationnelle, dont 4 références à Cohen (en particulier son Advanced Topics in Computational Number Theory).
Et la page 458 de .. ? -
D'ailleurs la démonstration du théorème 44. c'est exactement la démonstration à la fin du Samuel :-D
-
@Claude :
Tu sais que c'est peut-être celui de tes pdf que j'ai le plus utilisé pour faire mumuse avec qui tu sais !
Evidemment, je n'avais pas regardé la biblio. :-S
Quant à la page 458 de..., vive les corps de nombres abéliens !
Ça veut dire qu'on peut travailler plus sereinement avec les extensions quadratiques de $\Q$ ?
De quel ouvrage est tiré cet extrait ? -
@flip flop
J'ai jamais vraiment regardé car F & T, je les trouve pas toujours faciles. Mais cette fois, je vais le faire grâce à toi. D'abord, je tire (merci) car je suis lent. Nouvelles demain. Tu maintiens cela dans un pdf ? Il me semble que la durée de vie sera plus grande.
A propos de $m \ne 2 \bmod 4$ : cela vient de $\Q(\root 10 \of 1) = \Q(\root 5 \of 1)$. Je veux dire que si $m \equiv 2 \bmod 4$, on peut écrire $m = 2s$ avec $s$ impair de sorte que $\Q(\root m \of 1) = \Q(\root s \of 1)$. Et prouve au passage qu'un conducteur cyclotomique ce n'est pas n'importe quel entier.
A propos de 2 admis. Je ne sais pas si tu poses une question mais je réponds quand même. Provient de la factorisation du polynôme cyclotomique $\Phi_n$ modulo $p$ : il est produit de facteurs irréductibles DISTINCTS. Cela suffit. Car cela provoque une factorisation (explicite) en premiers deux à deux co-maximaux dans $\Z[\root n \of 1]$, qui perdure à l'anneau des entiers de $\Q(\root n \of 1)$.
Certes, $\Z[\root n \of 1]$ c'est l'anneau des entiers de $\Q(\root n \of 1)$. Or (attention à oeuf-poule, mais pas d'embrouille en fait), si on fait ce qu'il faut au bon moment, une analyse soigneuse de la factorisation des polynômes cyclotomiques modulo $p$ te donne à la fois le fait que $\Z[\root n \of 1]$ est l'anneau des entiers de $\Q(\root n \of 1)$ et fournit des renseignements sur la factorisation des premiers. Ce n'est pas un truc qui figure partout. Par exemple Washington botte en touche (Lang) dans son chapitre I. Mais, histoire de travailler pour les bébés, cela a été écrit quelque part noir sur blanc.
Idem, si je me souviens bien pour le point 1 (totale ramification) : c'est une propriété des polynômes cyclotomiques :
> p := 5 ; r := 3 ; > Phi<X> := CyclotomicPolynomial(p^r) ; > Phi<X> := ChangeRing(Phi, GF(p)) ; > Factorisation(Phi) ; [ <X + 4, 100> ] > Phi eq (X-1)^EulerPhi(p^r) ; true
Que veux tu dire dans les deux dernières lignes par ``Admis 3 ?''. Et avant quid de (209) (1.1) (ii) Ah, cela doit être (209) (11) (i), en haut de la page.
@Vous deux.
Sur le web, il y a documents et documents. K. Conrad est une valeur sûre. Pourquoi ? Parce qu'à la page 1, ils remercient pour relecture Lemmermeyer, Roquette et Serre. -
@gai requin
Attention : si je peux me permettre, tu vas peut-être trop vite. J'ai mis du temps (plusieurs jours) pour me rendre compte qu'à la page 458, il y avait euh ... Mais maintenant, que je t'ai alerté, cela ira plus vite pour toi pour comprendre que ..
En un mot, sois critique. -
@gai requin
Sois critique : analyse la PREMIERE ligne. -
-
Gai requin : c'est ici
Claude :
admis 3 : c'est parce que j'utilise la propriété que je donne et je ne sais pas faire la démonstration mais je pense que c'est ok ?
Soit $L$ et $M$ deux corps de nombre (abélien). Si $p$ un premier de $\Z$ n'est pas ramifié dans $L$ et dans $M$ alors $p$ n'est pas ramifié dans $LM$.
Mais peut être qu'il n'utilise pas ça mais je ne vois pas trop.
Le 209 .. Oui c'est la page sorry ! le point (ii) en haut de la page.
Admis 1 et Admis 2. c'est pour dire que c'est classique mais je ne sais pas exactement comment ils fait avec sa poule et ses oeufs :-D Je regarde un peu mieux. Par contre, il renvoi un peu aux premiers chapitres. Mais je pense comme toi que c'est des choses du polynôme cyclotomique.
Pour l'anneau des entiers est ce que tu utilises le test de Dedekind (c'est fait dans la thèse de Claire, chapitre 9). -
@flip flop
Sorry I : j'ai fini (je lis lentement) par localiser en plein milieu le "admis 3" alors que les autres admis I et 2 étaient plus visibles. Je vais PRENDRE MON TEMPS. News demain.
Sorry II. Degré 3 ...etc.. J'ai enfreint la consigne. M'eng.ule pas. En planquette, j'ai joué avec $E = \Q(x)$ où $x^4 = 2$, remplaçant ainsi $S_3 = D_3$ par $D_4$. Et j'ai écrit :
$$
\rho_E = \rho_{1a} \oplus \rho_{1b} \oplus \rho_2
$$
où l'indice indique la dimension. Et je me suis concentré sur $\rho_2$ car à valeurs dans $\text{GL}_2(\C)$ and of dihedral type ... etc.. c'est bon pour nous. J'ai eu pas mal de soucis avec les conducteurs des L-séries $L_\rho$ mais je me fais aider par qui tu sais. J'abrège (vraie information plus tard) en disant que $\rho_2$ a donné :
$$
{\zeta_E \over L(\chi_1) L(\chi_8)} \qquad\qquad (\star)
$$
$\chi_1$ c'est le caractère trivial si bien $L(\chi_1)$ c'est $\zeta$ ordinaire de Riemann. Et $\chi_8$ c'est le caractère de Kronecker du discriminant quadratique fondamental élémentaire $8$.
Et la chute ? C'est que $(\star)$ s'exprime comme la moitié de la différence de deux $\Theta$-séries de discriminant $-256$. Une vraie suite plus tard. -
@vous deux
On vient de me raconter une histoire qu'elle est bonne. J'essaie de vous en faire part. C'est l'histoire d'un gars qui dispose d'une petite tour galoisienne (en fait abélienne)
$$
K \subset E \subset L \qquad \hbox {avec $L/K$ et $E/K$ galoisiennes}
$$
Et il considère la surjection (classique) de restriction (que Flip Flop note plutôt Res) :
$$
\pi : \text{Gal}(L/K) \ni \sigma \longmapsto \sigma_{|E} \in \text{Gal}(E/K)
$$
Mais il en donne une définition tellement acabracandesque, à un point qu'on se demande si elle est bien définie, cette application (il y a une histoire de représentant ..). Et ellle n'est ni notée $\pi$ ni $\text{Res}$ mais $\text{Art}$ et répond au joli nom de .r.in map.
Mais vlà-t'y pas qu'en plein mitan, le gars dit ``It can be proved that the .r.in map is surjective''. Et s'ensuit un diagramme pas piqué des vers. Pour dire que $\ker\pi = \text{Gal}(L/E)$.
Je la raconte pas bien peut-être ? -
@gai requin
Je réponds à ton http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1523560#msg-152356. Tout simplement par sa situation : le chapitre se nomme Cyclotomic Fields (il faudra d'ailleurs faire attention qu'à un moment donné chez eux, à partir de ce chapitre, cyclotomic field désigne sous-extension d'une extension cyclotomique).
J'ai adoré un certain nombre de pages dans ce chapitre. Les notations $\Theta_K$, $\Psi_K$, les extended residue class characters, $\widetilde {\Theta}_K$. Et la légéreté du théorème 47. Question de tuer l'inertie :
$$
\prod_\nu (T - \nu_p) = T^{fg(e-1)}(T^f - 1)^g
$$
c'est pas top de voir ce $e$. Mais si on divise tout par $T^{efg} = T^{fg(e-1)} \times T^{fg} = T^{fg(e-1)} \times (T^f)^g$, on obtient ;
$$
\prod_\nu (1 - \nu_pT^{-1} ) = (1 - (T^{-1})^f )^g \quad\qquad \hbox {i.e.} \qquad\quad
\prod_\nu (1 - \nu_pU ) = (1 - U^f )^g
$$
Cette fois, l'inertie $e$ est bel et bien enterrée.
Suggestion : les chapitres 3 (Dirichlet Characters) et 4 (Dirichlet L-series) de Washington. Mais surtout, ne pas jeter F & T. -
@Claude : j'ai vu que tu as fait joujou avec le groupe $D_4$ :-D
Du coup, j'ai pris l'anneau $\Z [ i]$ et en particulier son groupe des unités $\{1,-1,i,-i \}$ et si tu le dessine dans le plan complexe ses $4$ points ; ils forment un carré inscrit dans le cercle unité ! un peu de travers
Du coup, on a une jolie action de $D_4$ sur le carré.
Ce qui est bien c'est que l'on peut identifier $\{1,-1,i,-i \}$ avec la rotation quelle représente (ambiguïté $i$ ou $-i$), par contre pour contrôler les symétries ils faut introduire les angles moitie et sur le dessin on voit qu'il faut prendre une racine $8$ de l'unité ... c'est à dire que une racine de deux !
Ici j'ai écrit, Claude, sur mon cahier j'ai écrit $ \text{Grain de Folie}$ .... on dessine le treillis de sous-groupe de $D_4$. Il y a $4$ sous-groupes d'ordre $2$ que l'on place sur les $4$ milieu qui code les symétries de notre carré ! Le truc, c'est que l'action de conjugaison du groupe dihédrale sur son traillis de sous groupe est EXACTEMENT la même que l'action géométrique de départ !!!!!!! -
@Claude :
p.458 1ère ligne : J'ai des doutes sur le fait que l'application choisie par l'auteur soit bien définie. :-S -
@gai requin
Enfin, on peut échanger sur quelque chose de précis. Oui, tu as bien raison d'avoir des doutes sur le fait que l'application est bien définie. Tu vas dire que je suis lourd (c'est pas faux) mais prend le temps d'analyser A FOND cette page 458. Et redresse le truc avec ce que tu sais de la théorie de Galois ``ordinaire''. Redresse TOUT. Peut-être penser, à un moment donné, remplacer $(\Z/f\Z)^\times$ par $\text{Gal}(\Q(\root f \of 1)/\Q)$. Et à un autre moment donné, rappelle toi, comment CANONIQUEMENT :
$$
\text{Gal}(\Q(\root f \of 1)/\Q) \quad \simeq\quad (\Z/f\Z)^\times
$$
Te laisse pas impressionner par les mots ``Artin map'', par ``Artin map is surjective''. Ne pas confondre avec le ``vrai'' résultat d'Artin. Prends le temps et tu vas comprendre en quoi il faut être critique sur ce qu'on lit.
Et n'oublie pas http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1523582#msg-1523582
@flip flop $X^4 - 2$ : j'ai eu peur que tu m'en.ueules car ce n'est pas de degré $3$ (ça, c'est sûr). Et n'oublie pas qu'en posant $y = x^2$ où $x^4 = 2$, on a $y^2 = 2$ (ça, c'est sûr). Et on a une inclusion $E' \subset E$ avec $E = \Q(x)$ et $E' = \Q(y) = \Q(\sqrt 2)$. Et $8$, c'est le discriminant de $\Q(\sqrt 2)$. On va pas se gêner pour remplacer $X^4 - 2$ par $X^4 - a$ avec $a \ge 2$ non carré (je mets $a$ positif pour pouvoir $\Theta$-jouer). Attention à ne pas trop miser sur $X^4 - a$ qui ne dit pas toujours la vérité (il pourrait être ``garbagé'') : ce qui compte, c'est $\mathcal O_E$ avec $E = \Q(\root 4\of a)$. C'est $\mathcal O_E$ qui tient le bon discriminant et pas $F = X^4 - a$.
Il va falloir que tu me donnes un coup de main car j'en bave avec les conducteurs des L-séries.
Note : notre petit truc de bébés $E \mapsto \text{Hom}_K(E,L)$ est compatible avec les morphismes. -
@gai requin flip flop
Petit souci avec le forum. Mon post (d'il y a quelques minutes) a fini par passer mais j'ai eu du mal (j'ai eu une erreur interne, puis je me suis fait traiter de robot et enfin on m'a dit que quelque chose était dupliqué). J'ai constaté qu'une mise à jour sur ``Dernier message'' n'était pas réalisée (je l'ai constaté aussi il y a quelques jours). Peut-être que le fil ``Homographies et petits groupes de Galois'' commence à contenir trop de pages ?
Cela recommence sur ce post : Service Unavailable, Error 503, Vanish Cache Server. -
Salut Claude.
J'ai eu le même bug sur le forum récemment mais plus depuis hier.
Ce bug peut se produire quand on envoie son message à partir de l'aperçu. :-S
Si tu retentes le coup, le même message est compté deux fois !
Edit : Ce message (envoyé après aperçu) a buggé !
EditBis : Ce message a aussi buggé après modification !
J'arrête parce que ça sent la mauvaise récurrence. (td) -
@Claude :
Merci pour les pistes sur la p.458.
De mon côté, j'avais pensé à remplacer $(\Z/f\Z)^\times$ par un idéal fractionnaire...
P.S. : Message envoyé sans aperçu (cf mon post précédent).
Edit : Bug quand même ! -
@gai requin, flip flop
Je suis du genre super-lourd. Mais je reviens encore une fois sur le document de K. Conrad in http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/cfthistory.pdf
Ben, ça vaut le coup de prendre 5 minutes (et même plus, si besoin) pour bien lire ce qui vient après la définition 6.1 d'Artin en 1923 (page 14). Il s'agit de définir ce qu'est la $L$-série d'un caractère $\chi$ sur le groupe de Galois $G$ d'une extension galoisienne $L/K$ de corps de nombres.
C'est une définition provisoire (cf expression provisional definition en haut de la page 15). Elle n'inclue pas les premiers ramifiés. Et Artin se doute que pour avoir une ``clean functional equation'' (bas page 14), il va falloir tenir compte des facteurs ramifiés. Et K. Conrad dit ``it is not at all clear how to make a correct definition for Euler factors at these primes bases on the way Euleur factors in the L-function are defined at the unramified primes''.
Et Artin en 1923, va déjà proposer une définition ``at ramified primes only by a roundabout way using class field theory''. Dernière ligne de la page 14. Et using est en italique. Ce n'est qu'en 1930 (haut de la page 15) qu'Artin ``found a definition of the correct Euler factors at the ramified primes using inertia groups without class field theory''.
Et de nos jours ? Du petit lait la définition d'une L-série. Et bien, pour une fois, je vais être grossier : un auteur qui écrit ``For the ramified primes, the local L-functions can be defined in a similar fashion'', je dis que c'est du foutage de gueule. Cela ne va pas empêcher l'auteur de jouer avec des égalités $L = L_1L_2$. On nous prend pour des c.ns ? -
@flip flop
A propos de ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1523484#msg-1523484
J'ai avancé mais pas terminé. Je crois comprendre (un peu près) ce que F & T fabriquent en haut de la page 209 pour prouver (en donnant deux arguments !) que $p$ est totalement ramifié dans $\Q(\root p^r \of 1)$. Pour moi, c'est immédiat si l'on sait d'une part que l'anneau des entiers de $\Q(\root N \of 1)$ est $\Z[\root N \of 1]$ et d'autre part si on connaît le comportement de $\Phi_{p^r}$ modulo $p$ (ce dernier point est facile).
Il faut absolument avoir ce résultat sur l'anneau des entiers de $\Q(\root N \of 1)$ avec soi sinon on va être obligé de pédaler pour fabriquer du courant. Au fait, dans la thèse de Claire, on n'utilise pas le critère de Dedekind pour montrer cela : on montre, de manière effective, que tout idéal non nul $I$ de $\Z[\root N \of 1]$ est inversible en exhibant (presque) un idéal $J$ tel que $IJ$ soit principal. C'est une manière de certifier que l'anneau $\Z[\root N \of 1]$ est intégralement clos. Là encore, cela vaudrait le coup de revenir à des considérations historiques sur le fondement des idéaux par Dedekind, cf Methodology and Metaphysics in the Development of Dedekind's Theory of Ideals de J. Avigad, en particulier section 6. In http://repository.cmu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1034&context=philosophy
Retour à nos moutons. Compositum de deux entensions non-ramifiées, OK : cf, Lang, Algebraic Number Theory, section 4 du chap II (Completion). Technique : un petit coup de complétion nous fait passer en ``super-local'' (un seul idéal premier en bas ET en haut).
Mais je crois comprendre que F & T utilisent la notion d'extensions arithmétiquement disjointes (1.14 page 209). On peut y apaiser le produit tensoriel (petites pensées pour les bébés que je n'oublie pas).
A suivre.
PS : tout au début de cette histoire, et on ne rit pas, c'est qu'on m'avait fait croire, pour prouver, étant donnée une sous-extension cyclotomique $K$, l'équivalence $p$ est ramifié dans $K$ si et seulement si $p \mid f_K$, qu'il fallait l'attirail de la théorie du corps de classes. Ben voyons. Note $f_K$ c'est le conducteur (cyclotomique) de $K$. -
@gai requin, flip flop
Une vraiment bonne nouvelle. La théorie du corps de classes, c'est vachement fastoche. Si, si. On va admettre deux ou trois petits trucs du genre : Artin reciprocity theorem (le grand et pas seulement celui des petits i.e. celui pour Hilbert Class Fields), Conductor Theorem et enfin Existence Theorem.
Et avec cela, on va torcher le théorème de Kronecker-Weber : toute extension abélienne de $\Q$ est contenue dans une extension cyclotomique. Quels nazes ces deux là (Kronecker et Weber). Kronecker a annoncé son résultat en 1853 ``avec des petites difficultés dans la preuve concernant le nombre premier 2''. Et Weber a bouché la chose en 1886 mais il y avait encore une erreur (en 2), sur laquelle on n'a pas mis le doigt pendant 90 ans. Heureusement qu'Hilbert a fourni une preuve correcte en 1896.
Idem on va torcher le théorème de Gauss concernant les premiers $p \equiv 1 \bmod 3$ qui peuvent s'écrire sous la forme $p = a^2 + 27b^2$ sous la condition que $x^4 \equiv 2 \bmod p$ possède une solution. Fini les petits calculs fastidieux avec des sommes de Gauss-Jacobi et la loi de réciprocité cubique.
Elle est pas belle la vie ?
PS : il y a des historiens des mathématiques qui bossent. Joli sous-titre ``A Comedy of Errors" in https://www.emis.de/journals/SC/1998/3/pdf/smf_sem-cong_3_243-273.pdf -
-
Ah bin si c'est fastoche :-D
-
@flip flop
Je vais avoir besoin d'un sérieux coup de main pour les conducteurs. C'est vachement important les conducteurs. Et j'en ai absolument besoin pour opérer. Lorsque, dans le cadre de $F = X^4 - a$, tu poses $E = \Q(x)$, $x$ racine de $F$, $G = \text{Gal}(L/\Q)$ avec $L = E^{\rm gal}$ et que tu décomposes :
$$
\rho_E = \rho_{1a} \oplus \rho_{1b} \oplus \rho_2
$$
Et bien je ne sais pas déterminer le conducteur de la L-série de $\rho_{1b}$ (note $\rho_{1a}$ est la représentation triviale).
Il nous faut la définition du conducteur d'une $L_\rho$ ? Ben oui, évidemment. Ferrugati (Andrea) est vachement réglo : gros effort pour définir ce conducteur et aboutir à la page 39 en def 2.41 à la définition, cf http://algant.eu/documents/theses/ferraguti.pdf
Mais comment faire pour l'appliquer à $L_{\rho_{1b}}$ ? -
@gai requin
J'espère que tu ne laisses pas tomber la page 458
@flip flop
Tu dis ``Sinon j'ai pas trop compris, application D'Artin surjective''. Tu parles de quoi ? La page 458 ? Mais TU sais, depuis belle lurette, que l'application (mal) définie en haut (première ligne) de la page, est surjective.
@Vous deux
Peut-être que le forum sature du Fil "Petits groupes de Galois ...etc.." ? D'où les bugs ? Ouvrir un nouveau fil ? -
C'est Chebotarev (version le Frobenius visite toutes les classes de conjugaison) ou on ne parle pas de la même chose !
-
@flip flop
On ne parle pas de la même chose. Pour l'instant, je te parle de 6 pages que j'ai attachées hier en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1523346#msg-1523346. Et en particulier de la page 458 où en plein milieu est écrit ``It can be proved that the Artin map is surjective'' (en italique surjective). Il s'agit de l'application qui vient d'être définie en haut de la page 458 et dont le doux nom est en bas de la page 457.
On pourra pas dire que je n'ai pas fait d'efforts. -
Ah mais je viens de voir la p458. dont vous parlez ! C'est louche, j'avais vraiment pas vu ce message et je pensais que vous discutiez (avec Gai requin) d'un pdf magma sur le corps de classe.
Du coup, ok c'est le polynôme cyclotomique qui est irréductible donc y'a surjectivité de la map d'Artin dans $\text{Gal}(\Q(\zeta_f) \mid \Q)$ et ensuite tu as la restriction que tu notes $\pi$ et que je note $\text{Res}$.
(Blague a part : heu t'as peut-être raison concernant le forum, des fois y'a vraiment des bugs). -
@Claude : Pour $D_4$ je veux bien faire mais lundi, là c'est pause week-end et je ne veux pas rentrer dans ce truc trop complexe sinon je vais avoir ça en tête tout le week-end :-D
Je vais juste dessiner un jolie treillis de sous-groupe de $D_4$.
Sinon, elles sont vraiment sympas les pages que tu as scanner, MERCI ! J'imprime. -
@flip flop
OK. J'essaie de fixer des notations pas trop pourries pour travailler. D'abord du groupiste avec actions. Présentation du groupe diédral $D_4$ et représentation dans le plan complexe, matrices dans la $\R$-base $(1,i)$
$$
D_4 = \langle r,s \mid r^4 = s^2 = 1, srs = r^{-1}\rangle, \qquad r : z \mapsto iz, \quad s : z \mapsto \overline z, \qquad
R = \pmatrix {0 & -1\cr 1 & 0\cr}, \quad S = \pmatrix {1 & 0\cr 0 & -1 \cr}
$$
D'où une représentation irréductible : $\rho_2 \to \text{GL}_2(\Z)$.
Une représentation permutationnelle sur $\{\pm 1, \pm i\}$ que je note $\rho_4 : D_4 \to \text{GL}_4(\Z)$ :
$$
r : (1,i,-1,-i), \qquad s : (i,-i)
$$
Et $1 + 3$ représentations irréductibles en dimension 1, en commençant par la triviale
$$
\varepsilon, \qquad \rho_{1,2} = \det(\rho_2), \qquad \rho_{1,4} = \det(\rho_4), \qquad \rho'_1 = \rho_{1,2}\rho_{1,4}
$$
Pour ces représentations en dimension 1, on voit que l'on a les 4 cas de figure $r \mapsto \pm 1, s \mapsto \pm 1$. Et on a la décomposition :
$$
\rho_4 = \varepsilon \oplus \rho'_1 \oplus \rho_2
$$
Maintenant débarquent $F = X^4 - a$ avec $a$ entier $\ge 2$ non carré afin que $F$ soit irréductible sur $\Q$ (j'espère), $x = \root 4 \of a$ une racine de $F$ et $L$ le corps de décomposition de $F$ sur $\Q$ avec les 4 racines $\pm x, \pm ix$. Et $G = \text{Gal}(L/\Q) \simeq D_4$, le $\simeq$ précis comme on le pense (action en degré 4). Ainsi qu'un ``observateur'' $E = \Q(x)$ de sorte que $L = E^{\rm gal}$. Et bien sûr, l'arithmétique avec les anneaux d'entiers $\mathcal O_E$ et tous ceux qui voudront bien jouer dans la pièce.
Il s'agit alors d'identifier les L-séries $L_{\rho_2}$, $L_{\rho_{1,2}}$, $L_{\rho_{1,4}}$ et $L_{\rho'_1}$. Identifier signifiant donner le $p$-Euler facteur, le conducteur, ...etc.. Et tout ce que l'on peut raconter d'intelligent (que j'ignore).
Et ensuite déguster le truc : par exemple, si à $L_{\rho_2}$, on associe la série en $q$ de nom $S_{\rho_2}$, on doit avoir une appartenance au monde de la fumette $S_{\rho_2} \in M_1(\Gamma_0(N), \chi)$. Expérimentalement, on doit pouvoir exprimer $S_\rho$ comme une combinaison linéaire de $\Theta$-séries de discriminant $-N$.
Et tout ce que j'oublie que l'on pourrait dire de pertinent. Surveiller si pas trop de coquilles.
Bon week-end. -
Le 😄 Farceur
-
Peut-être que la maintenance de ces derniers jours a corrigé le bug du message n° $3177$ ! B-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 18
+12 Invités