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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Je suis en train de me renseigner sur la notion suivante qui m'a l'air pertinente.
Soit $G$ un groupe de centre trivial dont on connaît une présentation.
Comment en déduire une présentation de l'extension centrale de $G$ par $C_2$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
J'avais marqué sur un bout de papier ``On a des extensions centrales de $S_4$ par $C_2$, et en général il y en a 3 pour $S_n$ et une seule pour $A_n$''. Impossible de savoir où j'ai vu cela. Quel rapport ? $S_4 \simeq \mathrm {PGL}_2(\mathbb F_3)$.

Rien à voir. L'application anti-podale de $\mathbb S^2$ i.e. $-\mathrm {Id}_3$, n'est pas dans $\mathbb {SO}_3(\mathbb R)$, seulement dans $\mathbb {O}_3(\mathbb R)$. Mais on peut ``quand même la passer'' du côté $\mathbb P^1(\mathbb C)$ i.e. du côté $\mathrm {PGL}_2(\mathbb C)$. On trouve combien à ton avis ?

Bon, j'espère que je ne te fais pas perdre ton temps. Moi, j'ai appris pas mal de trucs. J'ai un peu moins peur des groupes de réflections. J'ai pas regardé Shephard-Todd, car en cas de besoin, j'ai le chapitre 7 de Smith. J'ai aussi moins peur des coordonnées homogènes avec poids pour $\mathrm {Aut}(C)$ où $C$ courbe hyperelliptique. Petits progrès.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Tu vois qu'on ne perd pas notre temps.

Peut-être qu'en comprenant mieux les extensions centrales, on pourra récupérer $<\alpha,\beta>=\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ à partir d'une certaine présentation de $S_4$.
???
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
As tu vu, chez Alexandra van der Waall, example 3.1.5, p. 42 du chapitre 3, que la dernière fraction rationnelle de cet exemple (pour le cube) n'est PAS le carré de notre $F$ (notre fraction rationnelle pour le tétraèdre). Je recopie la sienne en mettant $x$ à la place de $t$ :
$$
j_G(x) = {(x^8 + 14x^4 + 1)^3 \over 108 x^4 (x^4 - 1)^4}
$$
Même pas peur ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Il suffit de changer le cube de position non ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Oui, bien sûr, changer le cube de position. Mais tu me connais : j'ai entrepris de le faire vraiment i.e. trouver une homographie en haut et en bas qui transforment une fraction rationnelle en l'autre. Et hier soir, j'ai reculé pensant que c'était compliqué. Mais en fait c'est ultra-simple, cf un post à venir. En attendant, j'attache une réponse à $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb Z[\sqrt {-2}])$, Gelbart-Ribet-Silverberg. C'est bien plus simple que prévu.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - GL2F3GelbartRibetSilverberg.pdf (188.9 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Super !
Deux petites coquilles :
$(X^2-1-\sqrt{-2}X)(X^2-1+\sqrt{-2}X)=X^4+1$.
Dans la suite de sous-groupes, tu as mis $Q_8$ à la place de $Q$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Ok, je vais corriger. Déplacement de la ramification de $F^2$ où $F$ est notre fraction rationnelle (galoisienne) tétraédrale. J'en rappelle la structure de ramification avec les points de branchement (en bas) :
$$
F : \qquad\qquad\qquad
\infty_{(2)}^{(6)}, \qquad (6i\sqrt{3})_{(3)}^{(4)}, \qquad (-6i\sqrt {3}) _{(3)}^{(4)} \qquad\qquad
2 \times 6 = 3 \times 4 = 3 \times 4 = 12
$$
En indice du bas, j'ai mis l'indice de ramification et en haut le nombre de points dans l'image réciproque. Quant à $F^2$, je la considère comme composée de $x \mapsto t = F(x)$ et $t \mapsto t^2$. En utilisant que $t \mapsto t^2$ a sa ramification en $0, \infty$ d'indice 2, cela donne pour $F^2$ :
$$
F^2 : \qquad\qquad\qquad
\infty_{(2\times2)}^{(6)}, \qquad (-108)_{(3)}^{(4+4)}, \qquad (0)_{(2)}^{(12)} \qquad\qquad
4 \times 6 = 3 \times 8 = 2 \times 12 = 24
$$
Note : $-108$ c'est le carré de $\pm 6i\sqrt {3}$. En louchant sur $j_O(x)$ de Waall page 42 ($O$ pour octaédrale) on voit qu'il faut diviser par $-108$ pour assurer le fait que les points de branchement sont $0, 1, \infty$.
$$
{F^2 \over -108} : \qquad\qquad\qquad
\infty_{(4)}^{(6)}, \qquad (1)_{(3)}^{(8)}, \qquad (0)_{(2)}^{(12)} \qquad\qquad
$$
En observant de nouveau $j_O(x)$, on voit qu'il y a un swap des points $0 \leftrightarrow 1$ à faire, réalisé par l'involution homographique $\mathrm {truc} \mapsto 1 - \mathrm {truc}$:
$$
1 - {F^2 \over -108} = 1 + {F^2 \over 108} : \qquad\qquad\qquad
\infty_{(4)}^{(6)}, \qquad (0)_{(3)}^{(8)}, \qquad (1)_{(2)}^{(12)} \qquad\qquad
$$
En bas, c'est bon pour coïncidence. Et en fait, il n'y a rien à déplacer en haut car nous avons installé (en haut) les points de ramification en les points remarquables du cube ou/et tétraèdre. Et Klein aussi évidemment. Dit autrement, on doit avoir $1 + {F^2 \over 108} = j_O$. Et ma foi, c'est bien vrai (calculette). Et dire que j'ai eu peur de le faire. Bilan $F^2$ est une fraction rationnelle (galoisienne) octaédrale tout ce qu'il y a de plus respectable (même si ces points de branchement ne sont pas tout-à-fait là où ils devraient être).



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Beau calcul de ramification.
En forme CQ ! Il doit faire moins chaud...

Vu ton super travail sur $\mathrm {GL}_2(\mathbb Z[\sqrt {-2}])$, pourrait-on se servir de cette réalisation pour en finir avec $\mathrm{Gal}(k(x,y)/k(t^2))$ ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
En théorie des groupes, j'utilisais magma comme un pied (je m'en doutais un peu). J'ai pris le temps de lire la doc (mais pas les 500 pages)

> Generators(GL2F3) ;
{
    [2 0]
    [0 1],

    [2 1]
    [2 0]
}

Ci-DESSUS, c'est le système de générateurs par défaut de magma. Mais je vais changer de système de générateurs en prenant les matrices $\alpha, \beta$ qui nous sont chères cette semaine (je mets une majuscule, tu vas voir pourquoi)

> Alpha, Beta ;
[2 1]
[2 0]

[1 2]
[1 1]
> GL2F3 := sub < GL2F3 | Alpha, Beta > ;
> assert Generators(GL2F3) eq {Alpha, Beta} ;
> assert GL2F3.1 eq Alpha  and  GL2F3.2 eq Beta ;

Désormais, tout va être référencé par rapport à ces deux matrices, dans l'ordre indiqué. On peut obtenir une présentation en $\alpha, \beta$. On y voit 3 relations, d'ailleurs assez simples : la première est $\alpha^3 = 1$, ...etC..

> G<alpha, beta>, Psi := FPGroup(GL2F3) ;
> G ;
Finitely presented group G on 2 generators
Relations
    alpha^3 = Id(G)
    (alpha * beta^-1)^2 = Id(G)
    (alpha^-1 * beta^-3)^2 = Id(G)
> Psi ;
Isomorphism of GrpFP: G into MatrixGroup(2, GF(3)) of order 2^4 * 3 induced by
    alpha |--> [2 1]
    [2 0]
    beta |--> [1 2]
    [1 1]
> Psi(alpha) eq Alpha and Psi(beta) eq Beta ;
true

Et puis, on peut obtenir l'écriture de n'importe quelle matrice sur $\alpha, \beta$:

> PsiInv := Inverse(Psi) ;
> g := Random(GL2F3) ;
> g ;
[1 0]
[0 2]
> PsiInv(g) ;
alpha * beta * alpha
> g := Random(GL2F3) ;
> g ;
[1 0]
[2 2]
> PsiInv(g) ;         
beta^2 * alpha * beta^2 * alpha * beta^2 * alpha * beta * alpha^-1

Bon, j'arrête de faire joujou. Pour l'instant, cela sert plus à rien mais il est préférable d'être prêt en cas de besoin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
J'ai essayé de faire ce genre de calcul ce matin en m'aidant de maple. Sans grand succès.
Je vais finir par être jaloux.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
A propos des diverses réalisations de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$, je commence à y voir un peu plus clair. Mais je vais oser poser une question de débutant sur les représentations linéaires des groupes finis. D'abord, je pense pouvoir dire que la représentation de Ribet-Sillverberg-Wiles est probablement la plus fine du point de vue arithmétique car elle est au dessus de l'ANNEAU quadratique $\mathbb Z[\sqrt {-2}]$. Ce n'est pas le cas de l'autre $G_{12}$, car, d'une part y a un dénominateur et d'autre part, elle est au-dessus du CORPS $\mathbb Q(\zeta_8)$, qui contient $\mathbb Q(\sqrt {-2})$, mais pas au dessus de l'anneau des entiers de ce corps cyclotomique.

Ces deux représentations sont conjuguées dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb C)$ car j'ai vérifié l'égalité les deux caractères. Et je suis persuadé (hum) qu'elles le sont dans $\mathrm {GL}_2(\mathbb Q(\zeta_8))$. Bêtise : il faut monter plus haut Bien sûr le caractère est à valeurs dans $\mathbb Z[\sqrt {-2}]$ puisque l'on y tient une représentation. Note que $\mathbb Q(\zeta_8)$ est le plus petit corps cyclotomique contenant le corps quadratique $\mathbb Q(\sqrt {-2})$.

J'en viens donc à ma question de débutant (pas fier). Soit $\rho : G \to \mathrm {GL}_n(\mathbb C)$ une représentation linéaire d'un groupe fini $G$ d'ordre $N$ et $\chi$ son caractère. C'est bien vrai que $\chi : G \to \mathbb C$ prend ses valeurs dans le corps cyclotomique $\mathbb Q(\root N \of 1)$ ?? Je note $k$ le corps de nombres engendré sur $\mathbb Q$ par les valeurs de $\chi$. Cela ne doit pas être vrai que $G$ admet une représentation linéaire $\rho' : G \to \mathrm {GL}_n(k)$ ? Modification merci gai-requin. Est ce que c'est vrai que $G$ admet une représentation $\rho' : G \to \mathrm {GL}_n(k)$ conjuguée dans $\mathrm {GL}_n(\mathbb C)$, à la représentation $\rho$ ? Si ce n'est pas vrai, contre-exemple ? Mais si au lieu de $\mathbb C$ au départ j'avais pris un sous-corps $K \subset \mathbb C$ ?? Ajout Je crois que je me mélange les pinceaux entre le lieu de vie des représentations et le lieu de vie des éventuelles conjugaisons.

Ce qui me fait dire qu'il doit y avoir des subtilités, c'est le théorème de Clark-Ewing. Soit $\rho : G \hookrightarrow \mathrm {GL}_n(\mathbb C)$ une représentation linéaire d'un groupe fini engendré par des pseudo-réflections. Alors $\rho$ est équivalente à une représentation définie sur le sous-corps de $\mathbb C$ engendré par les caractères de $G$ sur $\mathbb C^n$.

Je ne suis même pas sûr de comprendre l'énoncé (surtout les 5 derniers mots de la fin) : j'ai essayé de le recopier tel quel. Sauf que j'ai fait une traduction anglais -> français (enfin je pense). Il faut noter le coup de engendré par des pseudo-réflections (sinon, il n'y aurait pas de théorème de Clark-Ewing).

Bref, j'aimerai comprendre un peu mieux cette histoire de rationalité, avec exemples et contre-exemples, si possible. Comme je suis un gentil garçon, j'ai acheté il y a très longtemps l'ouvrage de Serre (Représentations linéaire des groupes finis), mais évidemment je n'ai lu que quelques chapitres. Je vois qu'il est question de rationalité aux chapitres 12, 13 (exemples), qui viennent après les théorèmes d'Artin et de Braueur (mais avant la théorie de Braueur).

Enfin, dans notre petite histoire, il y a une sacrée subtilité : la représentation fine de Ribet-Silverbeg-Wiles n'est pas unitaire i.e. à valeurs dans $\mathbb U_2(\mathbb C)$. Peut-être que l'on ne peut pas gagner sur tous les tableaux ? Mais c'est le cas de $G_{12} = \mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ (Waall). Mais pas n'importe quelle représentation unitaire !! Car en coordonnées habituelles, c'est EXACTEMENT le groupe des automorphismes de $y^2 = x^5 - x$.

Note : pour l'instant, je ne sais pas conjuguer explicitement la représentation de Ribet-.. et celle unitaire de Waall. C'est pas faute d'avoir essayé. J'ai cru comprendre qu'il fallait montrer à $\mathbb Q(i,\sqrt 2, \sqrt 3) = \mathbb Q(\zeta_{24})$, mais je cale.

AJOUT Il y a des choses contradictoires dans ce que j'ai écrit. Car les deux représentations (celle de Ribet-... et celle de Waall) sont des groupes de réflections. Fort possible que je me mélange les pinceaux en faisant intervenir une troisième représentation, celle que que j'ai obtenue en unitarisant celle de Ribet-... (moyenne du produit hermitien habituel sur le groupe fini, truc classique quand on baigne dans $\mathbb C$ et que l'on se fiche de la rationalité). Ce qui m'a obligé à monter à $\mathbb Q(\zeta_{24})$. Et dire que j'ai mentionné au début ``je commence à y voir plus clair''. J'ai maintenant envie de dire : je n'y comprends plus rien (où a lieu l'équivalence dans le théorème de Clark-Ewing ?). Mamma-mia.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Il doit manquer une condition sur $\rho' : G \to \mathrm {GL}_n(k)$ parce que sinon, la représentation triviale convient.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Oui, merci. J'ai corrigé. Enfin, j'ai essayé. Par contre, je n'ai pas essayé de cacher un certain état de confusion dans lequel je suis. Et je crois comprendre, qu'en dimension 2, il y a 3 représentations irréductibles de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ : une serait rationnelle, et les deux autres conjuguées au sens complexe. Peut-être que je devrais arrêter d'utiliser l'adjectif ``conjuguées'' pour deux représentations ? Et dire ``isomorphes'' (en précisant éventuellement sur quel sous-corps de $\mathbb C$ l'isomorphie a lieu) ? Quel est l'usage officiel ? Et réserver le mot conjugaison pour $\mathrm {Aut}(\overline {\mathbb Q}/\mathbb Q)$ qui risque de débarquer. Ou plutôt $\mathrm {Aut}(\mathbb Q(\root\infty\of 1)/\mathbb Q)$ où $\mathbb Q(\root\infty\of 1)$ est l'extension cyclotomique maximale de $\mathbb Q$.

> CharacterTable(GL2F3) ;

Character Table of Group GL2F3
------------------------------

----------------------------------
Class |   1  2  3  4  5  6   7   8
Size  |   1  1 12  8  6  8   6   6
Order |   1  2  2  3  4  6   8   8
----------------------------------
p  =  2   1  1  1  4  2  4   5   5
p  =  3   1  2  3  1  5  2   7   8
----------------------------------
X.1   +   1  1  1  1  1  1   1   1
X.2   +   1  1 -1  1  1  1  -1  -1
X.3   +   2  2  0 -1  2 -1   0   0
X.4   0   2 -2  0 -1  0  1  Z1 -Z1
X.5   0   2 -2  0 -1  0  1 -Z1  Z1
X.6   +   3  3  1  0 -1  0  -1  -1
X.7   +   3  3 -1  0 -1  0   1   1
X.8   +   4 -4  0  1  0 -1   0   0

Explanation of Character Value Symbols
--------------------------------------

# denotes algebraic conjugation, that is,
#k indicates replacing the root of unity w by w^k

Z1     = (CyclotomicField(8: Sparse := true)) ! [ RationalField() | 0, -1, 0, -1 ]

Je crois voir, en dimension 2, X.3 qui serait rationnelle ? Et X.4, X.5 qui seraient conjuguées au sens de la conjugaison complexe ? Je délire ? Mais c'est quoi cette représentation X.3 ? Et on croit voir aussi X.6, X.7 de dimension 3 puis X.8 de dimension 4. Je ne sais pas lire la table ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
On dit plutôt "représentations isomorphes" et, si besoin, on précise le corps de base.

Tu as bien lu les dimensions des représentations irréductibles (sur $\mathbb{C}$).
En revanche, j'aimerais bien savoir ce que magma a choisi dans chacune des huit classes de conjugaison de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ (lignes $P=$ ???).



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Tu parles des deux lignes $p = 2$ et $p = 3$ ?? Ce sont les diviseurs premiers de $48 = \#\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$. On y raconte ce qui s'y passe concernant l'élévation à la puissance $p$. On y voit par exemple que $x \mapsto x^3$ préserve la classe de conjugaison numéro 7 (constituée de 6 éléments d'ordre 8). Bien sûr, elle écrase la classe 4 (qui est constituée de 8 éléments d'ordre 3) sur la classe 1. Peut-être pas grand chose à voir dans ces 2 lignes concernant $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$. Des fois, c'est plus mieux, car on voit que $x \mapsto x^p$ permute des classes.

C'est bien cela que tu demandais ?

La colonne 1, celle où il y a des + ou 0, je ne connais pas (c'est là ou magma indique ce qu'il sait des Frobenius-Schur indicators).

Tu connais la représentation rationnelle en dimension 2 ? Et tant qu'à faire les autres ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
C'est ce que je demandais. Merci.

Pour $X_2$, il s'agit de trouver un morphisme non trivial de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ dans $C^{\times}$.
Quelque chose qui ressemble au déterminant non ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Grâce à ton travail sur Gelbart-Ribet-Silverberg et la conjugaison complexe, on peut trouver $X_4$ et $X_5$.
En dimension $2$, il ne reste que le caractère rationnel $X_3$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Après quelques recherches, j'ai trouvé le moyen de trouver une représentation de caractère $X_3$.
On construit d'abord un morphisme surjectif $\sigma:\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)\rightarrow S_4$ puis, par quotient, un morphisme surjectif $S_4\rightarrow S_3$.
Soit alors $H_3$ la représentation standard de $S_3$ qui est de dimension $2$.
On obtient un morphisme $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)\rightarrow \mathrm{GL}(H_3)$.

Je chercherai demain les images de $\alpha$ et $\beta$ (trop fatigué là).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
J'allais te le dire (de manière un peu différente mais équivalente). A l'intérieur de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$, on a un (unique) sous-groupe des quaternions $Q = \{\pm 1, \pm i, \pm j \pm k\}$ qui est normal (et même caractéristique). Et l'on a $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)/Q \simeq S_3$ (cf plus loin). En faisant opérer $S_3$ sur l'hyperplan $x_1+x_2+x_3 = 0$ de $\mathbb Q^3$, on obtient une représentation de dimension 2, irréductible rationnelle de $S_3$, et par suite de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ (par quotient).

A propos de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)/Q \simeq S_3$. Tu sais bien comme je suis capricieux, et il faut absolument que l'on me dise qui est ce 3. Géométriquement, cela doit être lié aux trois axes $\mathbb Re_1, \mathbb Re_2, \mathbb Re_3$ de $\mathbb R^3$ et à $\mathrm {SO}(\mathrm {cube)}$ qui est le quotient de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ par son centre $\pm 1$. Plus terre à terre (et algébriquement, en restant là où l'on est), le $3$ c'est l'ensemble $X = \{ \{\pm i\}, \{\pm j\}, \{\pm k\}\} $. Le groupe $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ agit par conjugaison sur $X$, et le morphisme obtenu $\mathbb {GL}_2(\mathbb F_3) \to \mathrm {Perm}(X) = S_3$ est surjectif, de noyau $Q$.

Et le coup des axes, c'est bien lié au cube avec la surjection :
$$
\mathrm {SO}(\mathrm {cube}) = \mathrm {SO}(\{ e_1, e_2, e_3, -e_1, -e_2, -e_3\}) \twoheadrightarrow
\mathrm {Perm}(\mathbb Re_1, \mathbb Re_2, \mathbb Re_3) = S_3
$$
Retournerait-on de là où l'on est parti ?

Note : je crois que l'on peut ainsi obtenir les deux représentations irréductibles de dimension 3.

Enfin, je ne peux pas m'empêcher de me faire le petit plaisir qui vient. La surjection ci-dessus a pour noyau les 4 matrices diagonales (de déterminant 1, à coefficients $\pm 1$), groupe isomorphe à $C_2 \times C_2$. Et cette surjection est canoniquement scindée par $\sigma \mapsto \varepsilon(\sigma)P_\sigma$. Et c'est bien pour cette raison que l'on peut écrire les 48 isométries du cubes (directes ou indirectes) en une seule ligne :
$$
(x_1, x_2, x_3) \mapsto (\epsilon_1 x_{\sigma(1)}, \epsilon_2 x_{\sigma(2)}, \epsilon_3 x_{\sigma(3)}), \qquad \sigma \in S_3, \qquad \epsilon_i \in \{\pm 1\}
$$
Bon, on cause, on cause. Et ``notre affaire'' ? (euh, laquelle ?)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Salut Claude.

Citation

Note : je crois que l'on peut ainsi obtenir les deux représentations irréductibles de dimension $3$.

Comme $S_4$ a deux représentations irréductibles de degré $3$ bien connues, on peut répondre affirmativement à ta question en utilisant $\sigma:\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)\rightarrow S_4$ (que je peux calculer explicitement).

Citation

Bon, on cause, on cause. Et ``notre affaire'' ? (euh, laquelle ?)

Je crois qu'il reste notamment à prouver que $\mathrm{Gal}(k(x,y)/k(t^2))=\mathrm{WGL}_2(\mathbb F_3)$, où $k=\mathbb Q(\zeta_8)$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Oui, ce groupe fini unitaire de réflections $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ mérite notre estime. Ainsi que tous les groupes finis qui gravitent autour (Waall, Shephard-Todd). Je le dis au pif mais je suis persuadé de l'importance des groupes $G(m, p, n)$ qui interviennent chez Shephard-Todd p. 291 (9.1, 9.2, 9.3), et sous une nomenclature légèrement différente chez Smith. Je me pose l'éternelle question : comment se fait-il que je n'arrive pas à lire l'inforrmation en 5 minutes, en ce qui concerne ce $G(m,p,n)$, alors que des gens l'ont fait puisque c'est implémenté en magma.

Suite à ta question. Il s'agit d'une question sur les automorphismes de la courbe hyper-elliptique $y^2 = x^5-x$. On sait ce qu'il faut montrer (on n'est pas à la recherche d'un isomorphisme entre deux groupes abstraits) : il n'y a plus qu'à le faire ! Il faut donc régler dans un cadre le plus général possible le coup de l'homographie ${a x + b \over cx +d}$ et du $e$, si tu vois ce que je veux dire par là.

Et je viens de comprendre que $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ est aussi le groupe des automorphismes de $y^2 = x^8 + 14x^4 + 1$. Le polynôme de degré 8 que tu vois a pour racines les 8 sommets du cube. Alors que $x^5 - x$ a pour racines les 6 centres des faces (je suis à jeun et je sais bien que $5 \ne 6$ mais il faut tenir compte de $\infty$, je me comprends). Donc ici, une courbe hyper-elliptique de genre $g=3$ because $2g + 2 = 8$.

Et on pourrait faire la même chose avec les 12 milieux d'arêtes. Et même mélanger les genres (c'est le cas de le dire) car j'ai fait mu-muse (avec magma) avec $y^2 = (x^5-x)(x^8 + 14x^4 + 1)$. Tout cela étant dû au fait que les homographies attachées aux matrices de $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ permutent l'ensemble des points fondamentaux.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Je corrige (je ne sais pas lire ?). Chez Shephard-Todd, le groupe $G(m,p,n)$ est défini dans la section 2. Il faut supposer $p \mid m$, $m \ge 1$ et $n \ge 2$. Je crois comprendre que :
$$
G(m,q,n)_{\rm Smith} = G(m, m/q, n)_{\rm Shephard-Todd}
$$
Avec tout le respect que je dois à Smith, quel enfoiré. Heureusement, je crois comprendre que mon logiciel habituel a les mêmes conventions que les auteurs originaux Shephard-Todd. Je vois que $G(m,m,2)$ c'est la réalisation habituelle du groupe diédral $D_m$. Je peux pas résister :

> m := 4 ;                                                
> G := ShephardTodd(m, m, 2) ;
> G ;
MatrixGroup(2, Cyclotomic Field of order 4 and degree 2)
Generators:
    [0 1]
    [1 0]

    [ 0  z]
    [-z  0]
> Dm := DihedralGroup(m) ;
> Dm ;
Permutation group Dm acting on a set of cardinality 4
Order = 8 = 2^3
    (1, 2, 3, 4)
    (1, 4)(2, 3)
> IsIsomorphic(Dm, G) ;
true Mapping from: GrpPerm: Dm to GrpMat: G
Composition of Mapping from: GrpPerm: Dm to GrpPC and
Mapping from: GrpPC to GrpPC and
Mapping from: GrpPC to GrpMat: G

Ci-dessous, tu vois que C.Q. n'est bon qu'à jouer avec magma. Déjà, l'ordre du groupe, cela m'impressionne.

> G := ShephardTodd(3*7, 3, 5) ;
> #G ;
163364040
> #Generators(G) ;
6
> G ;
MatrixGroup(5, Cyclotomic Field of order 21 and degree 12) of order 2^3 * 3^5 * 5 * 7^5
Generators:
    [0 1 0 0 0]
    [1 0 0 0 0]
    [0 0 1 0 0]
    [0 0 0 1 0]
    [0 0 0 0 1]

    [1 0 0 0 0]
    [0 0 1 0 0]
    [0 1 0 0 0]
    [0 0 0 1 0]
    [0 0 0 0 1]

    [1 0 0 0 0]
    [0 1 0 0 0]
    [0 0 0 1 0]
    [0 0 1 0 0]
    [0 0 0 0 1]

    [1 0 0 0 0]
    [0 1 0 0 0]
    [0 0 1 0 0]
    [0 0 0 0 1]
    [0 0 0 1 0]

    [1 0 0 0 0]
    [0 1 0 0 0]
    [0 0 1 0 0]
    [0 0 0 0 z]
    [0 0 0 -z^11 + z^10 - z^8 + z^7 - z^5 + z^3 - z^2 + 1 0]

    [  1   0   0   0   0]
    [  0   1   0   0   0]
    [  0   0   1   0   0]
    [  0   0   0   1   0]
    [  0   0   0   0 z^3]

Tu vas me dire : <<STOP, C.Q. tu fais quoi alors que l'on ``doit terminer'' avec le tétraèdre ??>>. Réponse : je fais joujou. C'est pas interdit ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Réalisation habituelle du groupe diédral $D_n$, cela ne veut absolument rien dire : "habituelle" pour qui ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Je vois qu'on s'amuse bien. drinking smiley

En ce qui concerne $y^2 = x^8 + 14x^4 + 1$, tu dis retomber sur $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$. Mais en travaillant sur quel corps de nombres ?

Quant à ma réalisation habituelle de $D_n$, c'est celle qu'on a utilisée dans ce fil (avec $r$ et $s$ je crois) parce que... je ne suis pas sûr d'en avoir jamais utilisé une autre. confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
En ce qui concerne $D_n$, peut-être que l'on ne se comprend pas. Par exemple, Serre utilise (avec les notations que tu devines) :
$$
r \mapsto \pmatrix {\omega & 0\cr 0 & \omega^{-1}}, \qquad
s \mapsto \pmatrix {0& 1\cr 1 & 0}
$$
Ce n'est pas celle fournie par magma via ShephardTodd(n,n,2). Mais bien sûr, elles sont isomorphes (à vérifier quand même !).

Quant à l'autre question, c'est au dessus du corps $\overline {\mathbb Q}$, plus raisonnablement $\mathbb Q(\zeta_8)$. Au dessus de $\mathbb Q$, on obtient seulement 16 automorphismes parmi les $48 = \#\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$. Un peu bourrin mais :

> Q := RationalField() ;
> QX<X> := PolynomialRing(Q) ;
> C<x,y,z> := HyperellipticCurve(X^8 + 14*X^4 + 1) ;
> C ;
Hyperelliptic Curve defined by y^2 = x^8 + 14*x^4 + 1 over Rational Field
> Genus(C) ;
3
> time G, Phi := AutomorphismGroup(C) ;
Time: 0.090
> #G ;
16
> for g in G do Phi(g) : Minimal ; end for ;
(x : y : z) -> (x : y : z)
(x : y : z) -> (x : -y : z)
(x : y : z) -> (x - z : 4*y : -x - z)
(x : y : z) -> (z : y : -x)
(x : y : z) -> (x + z : 4*y : x - z)
(x : y : z) -> (z : y : x)
(x : y : z) -> (x + z : 4*y : -x + z)
(x : y : z) -> (x - z : 4*y : x + z)
(x : y : z) -> (x : y : -z)
(x : y : z) -> (x - z : -4*y : -x - z)
(x : y : z) -> (z : -y : -x)
(x : y : z) -> (x + z : -4*y : x - z)
(x : y : z) -> (z : -y : x)
(x : y : z) -> (x + z : -4*y : -x + z)
(x : y : z) -> (x - z : -4*y : x + z)
(x : y : z) -> (x : -y : -z)

Ceci correspond aux 16 matrices de $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ qui sont PROJECTIVEMENT $\mathbb Q$-rationnelles. J'ai mis projectivement en majuscule car il y a ici un truc pas piqué des vers (comme on dit chez moi). Ce n'est pas une mince affaire de savoir si une matrice $2 \times 2$ est égale, à un scalaire près, à une matrice à coeffficients dans $\mathbb Q$. Attention encore une fois de ne pas confondre matrices $2 \times 2$ et homographies. Il y a encore de la dentelle par ici.

Plus sur la géométrie du groupe $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ ; enfin plus de questionnements.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Il faut absolument comprendre que $G_{12} == \mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3) \subset \mathrm {U}_2(\mathbb C)$ n'est pas un groupe ``groupiste'' mais un groupe géométrique. Il ne faut surtout pas le remplacer par un groupe isomorphe et pas non plus le conjuguer au sens $P g P^{-1}$. On n'y touche pas. Car il a été installé là où il faut par Shephard-Todd, via les fameuses histoires tétraèdrales/octaèdrales/icosaédrales chères à Felix Klein (Klein figure à deux reprises dans la bibliographie de Shephard-Todd). Je n'ai pas encore lu les pages concernées 280-282 (peut-être plus). Lire au sens de comprendre en profondeur (imaginons que je veuille programmer et pas causer dans les salons mondains).

Le polynôme $X^8 + 14X^4 + 1$ n'est pas non plus un polynôme quelconque. Plus facile que $X^5 - X$, qui, dans NOTRE histoire, possède 6 racines (je me comprends). Pour piger tout cela, il faut revenir à la source dans notre brave espace euclidien de dimension 3 et sa sphère $\mathbb S^2$. Sachant que l'on y installe le cube de manière standard avec ses 8 sommets $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ ; ils ne sont pas sur la shpère mais on s'en fiche (diviser par $\sqrt 3$). On a aussi les 6 centres des faces. On a déjà dit cela un certain nombre de fois. Et on passe tout cela via la projection stéréographique dans $\mathbb P^1(\mathbb C)$. Laquelle (nord, sud) ? On s'en fiche because l'application anti-podale de la sphère respecte LE cube installé une fois pour toutes.

Ainsi un ensemble de 8 points $x_1, \ldots, x_8$ de $\mathbb P^1(\mathbb C)$. Utilisation des coordonnées habituelles (cela ne rigole pas). Ces points sont alors ``à distance finie'' i.e. dans $\mathbb C$. Et, le polynôme $X^8 + 14X^4 + 1$, qui SORT de la ramification (quand le binz est correctement installé au dessus des 3 points de branchement $0, 1, \infty$) vérifie:
$$
X^8 + 14X^4 + 1 = \prod_i (X - x_i)
$$
En un certain sens (degré pair), plus simple, au sens hyperelliptique, que $X^5 - X$ avec ses 6 points fondamentaux $0, \infty, \pm1, \pm i$ i.e. ses 5 racines et le point $\infty$.

Bref, on ne touche surtout pas à cela. Et l'installation de $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ dans $\mathrm {U}_2(\mathbb C)$, réalisée par Shephard-Tood, voire par le précurseur F. Klein est faite pour être compatible avec le monde précédent. Par exemple :
$$
\prod_i {1 \over cx_i+d} = 1 \qquad \hbox {pour tout} \quad g = \pmatrix {a & b\cr c & d \cr} \in \mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)
$$
Cette égalité signifie que $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ veut coopérer avec les 8 sommets du cube !! Et bien sûr, au sens hyperelliptique $y^2 = x^8 + 14x^4 + 1$. Là, aussi, il faut revenir aux fondamentaux, aux automorphismes hyperelliptiques pour comprendre en quoi le produit ci-dessus intervient.

Morale : revenir à la base et aux fondamentaux.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Intéressant.
Et si on veut regarder cette nouvelle courbe du point vue extensions de corps, on peut garder le même $t$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Bien sûr que c'est intéressant. Car cela vient de F. Klein ! En maths, il est rare que l'on invente, on redécouvre ou du moins on essaie de comprendre. Enfin, je parle de moi. On ne touche pas aux étages $k(x)/k(t)/k(t^2)$ mais on se méfie par exemple du fait que $k(t) = k(t+1951) = k(1/t)$. Souviens toi du déplacement $1 + {F^2 \over 108}$ pour ``retrouver les autres''.
On essaie surtout de comprendre les pages incriminées de Shephard-Todd. Car j'insiste, $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ a été installé là où il faut, permutant les 8 racines de $X^8 + 14X^4 + 1$ i.e. les 8 sommets du $\mathbb P^1(\mathbb C)$-cube ``standard''.

Torchon = 7 pages. Cela te dit ? Et que vient faire 1951 dans $t + 1951$ (aucun rapport avec la choucroute) ? C.Q. t'es lourd.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
La grande forme CQ. drinking smiley

Et j'imagine qu'on a toujours $\mathrm{Gal}(k(x,y)/k(t))=\widetilde{A_4}$ donc la vie est belle.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
A ce propos, on paye le prix d'absence de bonnes notations ou de notations pourries comme $\widetilde {A_4}$ introduites par mézigues. Par exemple, comment parler de $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)/\{\pm 1\}$ ? i.e. le groupe divisé par son centre. Le groupe $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$, quitte à insister lourdement, est un groupe matriciel $2 \times 2$, unitaire et de réflections s'il vous plaît. Ce qui est une super-qualité pour un (petit) groupe matriciel.
Le quotient est donc un groupe d'homographies (tiens on est dans le sujet du fil). Ce groupe d'HOMOGRAPHIES (t'es lourd C.Q.) a-t-il un nom ? Certes il est isomorphe à $\mathrm {PGL}_2(\mathbb F_3) \simeq S_4$ mais on va pas lui coller ce nom. Idem pour $\widetilde {A_4}$ qui suggère que c'est le $\widetilde {\phantom {A}}$ de $A_4$. Mais c'est qui $A_4$ ? Le groupe tétrèdral ? Quelle horreur (F. Klein va se retourner dans sa tombe). Alors quels beaux noms pour ces groupes géométriques qui sont des automorphismes de configuations géométriques de $\mathbb P^1(\mathbb C)$ ?

Mettre un $\mathbb P$ devant ? Sans bonne terminologie, on ne peut pas s'exprimer.

Of course, $\widetilde {A_4}$, comme son nom ne l'indique pas, c'est $\mathrm {WSL}_2(\mathbb F_3)$ i.e. les matrices de $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ de déterminant 1. Heureusement que par ailleurs, il y a des notations qui tiennent la route comme
$$
\mathrm {GL},\quad \mathrm {PGL}, \quad \mathrm {SL},\quad \mathrm {PSL},\quad \mathrm {U},\quad \mathrm {SU},
\quad \mathrm {O},\quad \mathrm {SO},
\qquad \hbox {...etc...}
$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Certes.
Le problème vient de la notation $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$ puisqu' en fait, on s'est débarrassé de la caractéristique $3$ (et affranchi des Douady) depuis qu'on a fait la connaissance de quelques groupes géométriques fort sympathiques.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Bien d'accord avec toi que $\mathrm {WGL}_2(\mathbb F_3)$, c'est bien pourrie comme notation (je peux le dire, cela vient de moi !). C'était surtout pour éviiter de dire (bêtement) $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ et le $W$ pour évoquer Waall. En fait, ce groupe, il s'appelle $G_{12}$ chez Shephard-Todd. Mais qui connait $G_{12}$ de Shephard-Todd. Comment je l'obtiens à partir de la table II p. 281 ? Et je vois page 280, ``In order to save space, whe shall arrange the result in tabular form''. Bon faut pas rêver, on peut pas appréhender l'information en 5 minutes (ni même en 10).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
J'avoue que mon anglais n'en est pas encore à "tabular form". Mais peut-être que c'est plutôt mon niveau en maths.confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
On va pas se laisser em.erd.r par une table, non ? Je monte $\mathbb Q(\zeta_8)$ et les matrices fondamentales $S_1$ et $T_1$, qui viennent avant la table (et quelques outils pour vérifier).

k<z> := CyclotomicField(8) ;
zeta_8 := z ;
i := z^2 ;        assert i^2 eq -1 ;
r2 := z + z^-1 ;  assert r2^2 eq 2 ;
ConjugaisonComplexe := iso < k -> k | z^-1  > ;
Star := func < M | ChangeRing(Transpose(M), ConjugaisonComplexe) > ;
Bar := func < M | ChangeRing(M, ConjugaisonComplexe) > ;

GL2k := GL(2,k) ;

// Avant Table II
S1 := 1/r2 * Matrix(2, 2, [i, 1, -1, -i]) ;
T1 := 1/r2 * Matrix(2, 2, [z, z, z^3, z^7]) ;
S1T1 := DiagonalMatrix([z^3, z^5]) ;
assert S1*T1 eq S1T1 ;
assert S1^2 eq -1  and T1^3 eq -1 and (S1T1)^4 eq -1 ;

Maintenant à moi. Je monte mon exemplaire de $G_{12}$ en suivant la table ($\lambda, \mu$ dans la colonne). Et je fais quelques petites vérifications (de réflections, unitaire ..etc..)

lambda := i ;  mu := 1 ;
myG12 := sub < GL2k | lambda*S1, mu*T1 > ;
assert IsIsomorphic(myG12, GL(2,GF(3))) ;
assert IsReflectionGroup(myG12) ;
assert &and [g*Star(g) eq 1 : g in Generators(myG12)] ;
assert &and [Bar(g) in myG12 : g in Generators(myG12)] ;

Personne n'est jamais trop prudent : je fais la comparaison avec Waall.

// Alexa van der Waall : Lamé Equations with Finite Monodromy p. 52
g1 := Matrix(k, 2, 2, [0,zeta_8, zeta_8^-1,0]) ;
g2 := 1/r2 * Matrix(k, 2, 2, [1,1, 1,-1]) ;
g3 := 1/r2 * Matrix(k, 2, 2, [1,i, -i,-1]) ;
WGL2F3 := sub < GL2k | g1, g2, g3 > ;
assert WGL2F3 eq myG12 ;
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Donc on a un groupe de réflections unitaires stable par conjugaison complexe. L'exemplaire tout en un quoi.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Il faut que je me méfie de magma. Car ShephardTodd(numero) implémente la version arithmétique et pas géométrique du groupe !! La version géométrique c'est celle qui est contenue dans $\mathrm {U}_2(\mathbb C)$ (u.g.g.r. comme disent Shephard-Todd en haut de la page 275 i.e. unitary group generated by reflections). Et la version arithmétique c'est celle réalisée sur le corps (et même sur l'anneau) engendré par les valeurs du caractère de la représentation. Autrement dit la représenation la plus fine au sens arithmétique. Ou encore ils ont implémenté le théorème de Clark-Ewing ! Cf par exemple, pour $G_{12}$ ou $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$, la représentation que j'ai attribuée à Ribet-Silverberg-Wiles. Enfin, je commence à y voir plus clair. Et je constate l'ampleur de mon ignorance car je ne sais pas mettre en isomorphie 2 représentations de $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ (une géométrique, l'autre arithmétique, en faisant très très attention à la conjugaison complexe qui crée d'autres représentations non isomorphes puisqu'elle conjugue les caractères).

En passant : comme tu sais, tous les caractères irréductibles du groupe des quaternions sont rationnelles, en particulier, celle(s) de dimension 2. Ce n'est pas pour autant que le groupe des quaternions admet une représentation de dimension 2 qui est rationnelle.

Une petite vue sur l'exemplaire arithmétique. Of course, c'est très rare qu'une matrice triangulaire soit unitaire.

> G12 := ShephardTodd(12) ;                    
> L<z> := BaseRing(G12) ; 
> L ;
Cyclotomic Field of order 8 and degree 4
> G12 ;                                        
MatrixGroup(2, L)
Generators:
    [          -1            0]
    [-z^3 - z + 1            1]

    [          1 z^3 + z + 1]
    [          0          -1]

    [ z^3 + z - 1           -2]
    [-z^3 - z - 1 -z^3 - z + 1]
> 
> i := z^2 ; i^2 eq -1 ; 
true
> K<a> := sub < L | i*(z + z^-1) > ;
> K ; 
Number Field with defining polynomial $.1^2 + 2 over the Rational Field
> a^2 ;
-2
> [Eltseq(g) subset K : g in Generators(G12)] ;
[ true, true, true ]
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
La dernière commande, c'est bien pour vérifier que les $3$ générateurs de ShephardTodd(12) version magma sont à coefficients dans $\mathbb Q(i\sqrt{2})$ ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Oui, c'est exactement cela (le coup de à coefficients dans $\mathbb Q(i\sqrt {2}))$. Ce n'est pas le cas de la réalisation géométrique, le $G_{12}$ unitaire, qui contient par exemple :
$$
g_1 = \pmatrix {\zeta_8 & 0\cr 0 &\zeta_8^{-1}}
$$
Le corps de définition du $G_{12}$ unitaire est l'extension cyclotomique $\mathbb Q(\zeta_8)$, de degré $4$, qui contient strictement le corps quadratique $\mathbb Q(i\sqrt 2)$. Faut donc tempérer un peu le mot isomorphisme : la courbe hyperelliptique $y^2 = x^5 - x$, elle n'a qu'un groupe d'automorphismes (sur $\overline {\mathbb Q})$ et pas 2. Et tempérer bien sûr ce <<tue la géométrie complexe>> qu'est $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Donc, en résumant, on aurait $\mathrm{Gal}(k(x,y)/k(t^2))\simeq_{\mathrm{can}}G_{12}$ (version géométrique non implémentée dans magma), avec en prime, $\mathrm{Gal}(k(x,y)/k(t))\simeq_{\mathrm{can}}\{M\in G_{12};\det (M)=1\}$ (comment nommer ce dernier groupe?).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Oui, comme tu dis, en résumant c'est exactement cela. On se demande bien pourquoi on n'a pas écrit cela le premier jour où le tétraèdre a débarqué : cela nous aurait fait gagné du temps ! On peut oublier le fait que $G_{12}$ n'est pas implémenté directement en magma. Je crois pouvoir dire que je m'en fiche car en cas de besoin, je me sens capable d'implémenter les $19 = 4 + 8 + 7$ groupes unitaires de réflections en dimension 2 (je crois qu'il faut ajouter primitifs mais je ne sais pas ce que cela veut dire). Les nombres 4, 8, 7, sont respectivement pour la famille tétraèdrale, octaèdrale, icosaèdrale. Nous, on est passé dans la famille octaèdrale because le $k(t^2)$ versus $k(t)$. Même si cela ne te concerne pas directement, je t'attache un extrait de la doc magma. Moi, je trouve qu'on y apprend des choses. Je ne comprends pas pourquoi ce sont les versions arithmétiques qui ont été installées ; mais si cela se trouve, peut-être que l'on peut avoir accès aux modèles géométriques.

Que reste-t-il à faire ? Tout. Par exemple, la preuve de $\mathrm {Gal}(k(x,y)/k(t^2)) \simeq_{\rm can} G_{12}$, n'est pas franchement faite. J'adore ce $\simeq_{\rm can}$, tu t'en doutes. Et bien sûr $\mathrm {Gal}(k(x,y)/k(t)) \simeq_{\rm can} \mathrm {SG}_{12}$. J'ai mis un S devant pour $\det = 1$. Pourquoi pas ?

Soit $C$ la courbe hyperelliptique $y^2 = x^5 - x$, et $\pi : C \to \mathbb P^1_{t^2}$ le revêtement galoisien de degré 48, composé du revêtement hyperelliptique $(x,y) \mapsto x$ de degré $2$ et de $x \mapsto 1 + {F^2 / 108}$, galoisien de degré $24$. J'ai normalisé pour faire en sorte que les 3 points de branchement soient $0, 1, \infty$. Structure de ramification ?

Bien sûr, on tient le vrai groupe de Galois de $\pi$, qui a une réalité géométrique. Tu crois bien sûr que les groupes d'inertie sont cycliques. Mieux : qu'ils possèdent un générateur canonique (si on prend un système cohérent de racines de l'unité mais $\zeta_8$ devrait nous suffire). Tu me vois venir ? Les points $0, 1, \infty$ forment un triangle qui sépare $\mathbb P^1(\mathbb C)$ en deux composantes connexes. Enfin, le coup des petits triangles et tout le binz. Mais attention, tout là haut ce n'est plus $\mathbb P^1$ mais $C$. Cela va demander un certain travail (vraiment aucune idée). Faudrait probablement commencer par s'occuper des groupes d'inertie. Pourquoi ne pas commencer par celui de $(x=0, y=0)$ ? Sorry, je continue à travailler en affine comme avant l'an 2000. Mais comme par hasard, moi, je dois m'absenter? Curieux, non ?

Of course, faut quand même pas jeter $\mathrm {GL}_2(\mathbb F_3)$ à la poubelle car on sera bien content de voir les classes de conjugaison. Ne pas oublier que l'on va se concentrer sur certains sous-groupes cycliques de $G_{12}$ (les groupes d'inertie de $\pi$).

Elle est pas belle la vie ? Respect pour F. Klein.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Pièces jointes:
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Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
$\mathrm {SG}_{12}$, c'est simple et "standard". Je plussoie.

Les groupes d'inertie des points $(x,y)$ de $C$ ont leurs ordres qui divisent $48$ donc pas sûr que $\zeta_8$ suffise.
Peut-être faut-il d'abord calculer la ramification.

Bagages bouclés ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Faire des maths en s'amusant, c'est un réel problème (pour moi). Exemple : le th 6.3.1, p. 58, de Topics in Galois Theory. Il y est dit (par Serre) que (je cite) : The algebraic fundamental group is isomorphic to the completion of the topological fundamental group. Regarde le contexte au début de la section 6.3 (From $\mathbb C$ to $\overline {\mathbb Q}$) et dans la preuve, tu verras apparaître un système cohérent de racines de l'unité. Attention : est ce que je comprends vraiment de quoi il est question ? La réponse est non, mais je voudrais bien.

Pourquoi je te parle de cela ? Comment continuer et s'amuser quand même ? Soyons plus terre à terre (que le résultat ci-dessus) et considérons une courbe algébrique lisse $C$ en caractéristique $0$ (sur $\mathbb C$ comme disent ``les gens''), de genre $g \ge 2$ (le genre $g=0$ ou $g=1$, c'est spécial). Fixons un point $p$ de $C$ et considérons le groupe d'inertie $I_p$ de $p$ dans $\hbox {Aut}(C)$ tout entier (qui est un groupe fini de cardinal $\le 84(g-1)$) :
$$
I_p = \{ g \in \mathrm {Aut}(C) \mid g(p) = p \}
$$
Fixons une uniformisante $u$ au point $p$. Alors :
$$
I_p \to \mathbb C^*, \qquad g \longmapsto \left( {u \circ g \over u}\right) (p)
\qquad \qquad \hbox {(il s'agit de l'évaluation d'un quotient de 2 fonctions au point $p$)}
$$
est un morphisme du groupe $(I_p, \circ)$ dans le groupe $(\mathbb C^*, \times)$. Il est indépendant de l'uniformisante. Et surtout, il est injectif : c'est toute l'histoire dans Serre (Corps locaux, cette fois) des groupes de ramification d'ordre supérieur (pages 69, 74, 75 ...etc..) vu qu'ici les corps résiduels sont de caractéristique nulle. Bref (sic), si je note $N_p$ l'ordre du groupe fini $I_p$, alors, le morphisme super-précis là-haut (lui et pas un autre), fournit un isomorphisme canonique :
$$
I_p \simeq_{\rm can} \mathbb U_{N_p}
$$
où $\mathbb U_{N_p}$ est le groupe des racines $N_p$-ièmes de l'unité. Nous y voilà.

S'amuser avec cela ? Comment ? Bigre, je n'en sais rien. Beaucoup de mots ici font peur aux enfants : une courbe algébrique lisse, c'est quoi VRAIMENT ? Et le genre ? ...etc.. Comment procéder ? Aller apprendre tout cela et revenir plus tard (dans des années ?) pour s'amuser ? Je n'y crois pas trop. Et donc, je fonctionne avec des exemples. Mais dans l'histoire tétraèdrale/octaèdrale, il ne faudrait pas que cela nous embarque dans des calculs bourrins.

Et uniformisante ? Le mot est lâché. C'est, en quelque sorte, la contre-partie géométrique des anneaux de valuation discrète. Tiens les re-voilà.

Oublions (mais pas trop) l'histoire ci-dessus. Et considérons la courbe algébrique projective $x^3y + y^3z + z^3x = 0$. Elle est lisse. Les points $Q_1 = (1 : 0 : 0)$ et $Q_2 = (0 : 1 : 0)$ sont des points de cette courbe. Et la question est combien vaut la fonction $x^2y/z^3$ au point $Q_1$, au point $Q_2$ ? Certes, c'est de la forme $0/0$ ; mais, en un point lisse d'une courbe, une indétermination du type $0/0$, cela n'existe pas. Et ceci est lié aux uniformisantes, à la lissité ...etc...

Il y a ici, je pense matière à réflexion. Et ce qui me tue un peu dans l'histoire, c'est que derrière tous ces mots savants, il y a en fait un truc terre à terre de développement de Newton (la preuve, j'avais écrit à l'époque un petit programme maple pour déterminer la valeur de $x^2y/z^3$ au point $Q_1$).

Résumons : faut continuer à s'amuser.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
On sait gérer ces groupes d'inertie si on reste dans $k(x)$.
On va quand même pas se coucher devant la petite extension quadratique $k(x,y)$.cool smiley

Je tente un truc :
La valeur de $x^2y/z^3$ au point $Q_1$, c'est $1$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Non, on va pas se coucher devant ..etc... Quant à la valeur du quotient au point $Q_1$ (je vais vite, peux tu vérifier) :
$$
{x^2 y \over z^3} = {-x^3 \over x^3 + y^2z}
$$
Et maintenant, je peux faire $y=z=0$ !!! Pour trouver $-1$. Mais cela sent le bricolage à plein nez. Il y a une manière systématique de traiter cela. Par exemple, passer en $\{x=1\}$-affine car la coordonnée $x$ de $Q_1$ est non nulle. De $x^3y + y^3z + z^3x = 0$, en CE affine là, j'obtiens, sans changer les notations (c'est pas bien), $y + y^3z + z^3 = 0$ i.e. $y(1 + y^2 z) = -z^3$ donc :
$$
y = {-z^3 \over 1 + y^2z}, \qquad\quad
{y \over z^3} = {-1 \over 1 + y^2z}
$$
On retrouve le coup du $-1$. Mais également, en passant, du point de vue des valuations au point $Q_1$, que $v_{Q_1}(z) = 1$ et $v_{Q_1}(y) = 3$. On dit que $z$ i.e. $z/x$ si on revient au modèle initial, est une uniformisante au point $Q_1$ i.e. engendre l'idéal maximal de l'anneau local au point $Q_1$. Tout cela est très très concret.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Sympa.
J'ai essayé au point $Q_2$ sans succès, y compris en tentant le coup de la carte affine $\{y=1\}$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Bonjour,

Claude, sais tu ce qu'il faut faire pour acheter Magma à un prix raisonnable quand on est un particulier ?
Je suis allé sur leur site et je n'ai vu que des procédures compliquées pour des institutions.
Je ne crois pas que je puisse passer par les deux écoles d'ingénieurs où je travaille encore (ENAC et EMA) car ça n'a rien à voir avec ce que j'y fais, c'est pour m'amuser, comme tu dis, avec tout ce que vois passer dans ce fil, sans tout comprendre, malheureusement.

Cordialement,

Rescassol
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Bonjour Rescassol,

Non, je ne sais pas (pour un particulier). Tu peux peut-être envoyer un mail à admin@maths.usyd.edu.au (Geoffrey Bailey), c'est là que je transmets mes rapports de bugs (ou peut-être directement geoff.bailey@sydney.edu.au). Aucune idée s'il va te répondre : j'ai affaire à eux depuis des années et assez souvent les échanges sont chaotiques (car dans l'équipe, ils m'ont l'air surbookés). Je suppose que sur leur site, tu t'es fait une idée de ce que le langage peut offrir. Je n'arrive pas à mettre la main sur le pdf du handbook total (environ 6000 pages) seulement à des morceaux pas toujours à jour. Je ne pense pas que magma intègre ``des choses comme tu fais'' mais c'est probablement pas cela qui t'intéresse.

Es tu sûr que tu ne peux pas passer par ton école (tes écoles) d'ingénieurs même si cela n'a rien à voir avec ce que tu y pratiques ? Certes, il faut bien avouer que magma est plutôt fait pour des matheux que pour des ingénieurs (pour lesquels des systèmes comme Mathematica seraient plus adaptés, mais en fait je n'en sais rien). Ce que je peux te dire c'est que j'ai appris beaucoup de mathématiques à travers magma.

Salut à toi et bon courage.
PS : je n'ai aucune action dans magma comme on pourrait peut-être le croire.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Quelques actions de groupes non ? Désolé. thumbs up

Dans la carte affine $\{y=1\}$, $\dfrac{z^3}{x^2}=\dfrac{-xz^2}{1+xz^2}$ donc $\dfrac{x^2y}{z^3}$ vaut $\infty$ en $Q_2$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
il y a trois années
Bonjour,

Merci Claude, j'ai envoyé un mail, on verra.

Cordialement,

Rescassol
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