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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 13:17
@flip flop
En guise de réponse à ta première ligne ``Claude, es tu d'accord ...'' in [www.les-mathematiques.net]. Je change un peu le contexte en prenant $q = p$ premier et en écrivant $n = mp^k$ avec $m \wedge p = 1$ (on peut avoir $k=0$). Alors :
$$
\Phi_n(X) = \Phi_m(X)^{\varphi(p^k)} \qquad \hbox {dans $\mathbb F_p[X]$}
$$
Et tu trouveras probablement satisfaction en regardant la première page (p. 169) du chapitre IX de [claire.tete.free.fr] (et un petit bout de la page 170).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 14:18
avatar
Merci, mais que je suis bête !!!

J'étais sur $$ \frac{ \phi_m(X)^{p^{k}} }{ \phi_m(X)^{p^{k-1} }} = \phi_m(X)^p$$
Bah oui : $$
\frac{p^{k}}{p^{k-1}} = p
$$ No comment, Claude ... !

Sinon, je suis en train de me battre avec les anneaux entiers quadratiques, le cas $d = 1 \pmod{4}$, $\Q(\sqrt{d})$.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 26/01/2017 15:22 par AD.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 17:40
@CQ : Et dans la thèse que tu as pointée, on y trouve un algorithme qui calcule l'anneau des entiers d'un corps de nombres ! Mais $533$ lignes de code. confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 18:15
@vous deux
En ce qui concerne l'extension cyclotomique $\Q(\root n\of 1)$ et les fonctions zeta (from Flip-Flop) de comptage de $\Phi_n$ sur $\mathbb F_p$, j'ai bien essayé d'écrire quelque chose mais ce n'est pas stable et devient rapidement obsolète.

Je tente ici une sorte de résumé. On fixe un $n \ge 2$ et on note $K = \Q(\root n \of 1)$. Je vais désigner, pour $m \ge 1$, par $\nu_k(m)$, le nombre d'idéaux de $\mathcal O_K = \Z[\root n\of 1]$ de norme $m$ ; je le désignerais aussi par $a_m$ ci-dessous pour alléger. On a $a_1 = 1$ et la suite est multiplicative :
$$
a_{mm'} = a_m a_{m'} \qquad m \wedge m' = 1
$$
Ce n'est très pédagogique mais pour $p$ premier, divisant $n$ ou pas, j'écris $n = mp^k$ avec $m \wedge p = 1$, et je pose
$$
Z_p(T) = {1 \over (1 - T^{f_p})^{g_p}} \qquad \hbox {avec $f_p$ l'ordre de $p$ dans $(\Z/m\Z)^\times$ et $g_p = \displaystyle {\varphi(m) \over f_p}$}
$$

CyclotomicEulerFactor := function(n, p)
  assert IsPrime(p) ;
  k := Valuation(n,p) ;
  m := ExactQuotient(n, p^k) ;
  return ((1 - T^o_pm)^ExactQuotient(EulerPhi(m), o_pm))^-1  where o_pm is OrderMod(p,m) ;
end function ;

Désolé flip-flop, mais quelques unes de mes fonctions n'ont plus le préfixe FlipFlop (mais il en reste beaucoup avec ce préfixe)

(1) Alors, $Z_p(T)$ est une SORTE de série génératrice pour $a_{p^\bullet}$ au sens précis suivant :
$$
Z_p(T) = \sum_{d \ge 0} \nu_K(p^d) T^d = 1 + a_p T^1 + a_{p^2} T^2 + a_{p^3} T^3 + \cdots
$$
Il est fondamental de bien observer l'indexation : ce n'est pas du style $\mathrm {truc}_i\, T^i$. En un certain sens, il faut laisser de la place (assemblage ``plus tard'') pour les coefficients qui ne sont pas des puissances d'un premier.

(2) La dérivée logarithmique décalée de $Z_p(T)$ est la série génératrice (au sens habituel) du comptage $\{\Phi_n(x) = 0\}(\mathbb F_{p^r})$, pour $r \ge 1$ qui varie.

(3) J'évoque juste du bout des lèvres la chose analytique, du bout des lèvres car je suis crasse dans ce domaine, c'est le fait que :
$$
\zeta_K(s) \quad \buildrel {\rm def} \over =\quad \sum_{m \ge 1} {a_m \over m^s} = \prod_p Z_p\Bigl({1 \over p^s}\Bigl) =
Z_2\Bigr( {1 \over 2^s} \Bigl) Z_3\Bigr( {1 \over 3^s} \Bigl)Z_5\Bigr( {1 \over 5^s} \Bigl) \cdots
$$
J'en ai vraiment ch.é car je me suis mélangé les pinceaux entre les diverses séries (dérivée logarithmique décalée ou pas, indexation $a_{p^i} T^i$ au bon endroit ...etc..)

Et le pire dans l'histoire, c'est que je suis tombé sur un bug incontournable de magma. Il a fallu que je monte moi-même la $L$-série

load "FlipFlopZetaFunctionTools.magma" ;

CyclotomicDedekindZeta := function(n)
  K := CyclotomicField(n) ;
  OK := MaximalOrder(K) ;

  r1,r2 := Signature(K) ;
  assert r1 + 2*r2 eq EulerPhi(n) ;
  gamma := [0^^(r1+r2), 1^^r2] ;
  discK := Abs(Discriminant(OK)) ;

  // cf : coefficient function. d is not used
  cf := func < p,d | Numerator(1/CyclotomicEulerFactor(n,p)) > ;     // CyclotomicEulerFactor est NOTRE truc maison

  hK := #ClassGroup(OK);
  regK := Regulator(K);
  muK := #TorsionSubgroup(UnitGroup(OK));

  return LSeries(1, gamma, discK, cf : Parent := K, Sign := 1, Poles := [1], Residues := 
                                 [-2^(r1+r2)*Pi(RealField())^(r2/2) * regK * hK/muK]) ;
end function ;

Et le bilan, c'est qu'à 18h ce Jeudi 26 Janvier, tout marche sur des roulettes. La calculette Flip-flop-cyclotomique est prête pour exemples.

Ce n'est qu'une tentative de résumé. Maintenant que l'on a de quoi faire mumuse, on peut ralentir le rythme (et dormir)

Ne pas hésiter à poser des questions : par exemple pourquoi $a_m$ est fini ...etc..
Et si cela se trouve, on peut même s'amuser à les générer ces $a_m$ idéaux pour $m$ petit (et $n$ aussi). On peut profiter de certains $n$ (pas beaucoup) pour lesquels $\Z[\root n\of 1]$ est principal. J'ai commencé avec $n = 4$ ce qui correspond à $\Z[i\rbrack$ et fait des comparaisons avec la série :
$$
t + {1 \over 4} \sum_{a,b \in \Z \atop a^2 + b^2 \ne 0} t^{a^2 + b^2}
$$
Certes, c'est petit (le $4$, c'est pour les 4 unités $\pm 1, \pm i$ de $\mathbb Z[i\rbrack$).
Je pense que je vais faire la même chose avec $n = 3$ pour $\Z[j]$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 18:28
@gai requin (sorry)
Je connais (cette implémentation de la fermeture intégrale). 533 lignes de code, c'est rien du tout. Si tu voyais les fichiers de tests, c'est autre chose .. Je me permets de dire que je connais un petit peu le truc (de fermeture intégrale) car avec Manu (le Manu des entiers de Manu), nous nous sommes frottés à l'algorithme Round4, un truc de dingue dû en partie à Zassenhauss. Je ne me souviens plus bien de l'histoire du saut de Round2 à Round4 : il n'y a pas de Round3 ! (Round2, c'est du petit lait à côté de Round4).

Pour Manu : [www.math.univ-toulouse.fr]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/01/2017 18:41 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 18:38
Moi c'est gai requin au fait. smiling smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 18:42
avatar
Merci Claude, repose toi ! J'en suis encore avec les entiers quadratiques, je viens de comprendre la description des anneaux d'entier ... ça m'a bien cassé les pieds !

Demain, journée libre donc je devrai sûrement avancé dans le sujet !

Ps : Pas de soucis pour les fonctions, j'aime bien

load "FlipFlopZetaFunctionTools.magma" ;

Ça fait pro smoking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 18:43
@gai requin
Vraiment désolé. J'ai rectifié. Peut-être un petit coup de fatigue de ma part (on se demande bien pourquoi).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 18:46
No big deal. winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 19:20
Un oubli et de taille. Dans ce métier, on ne fait rien tout seul (enfin pas moi). Mes sources pour les L-séries

Frolich & Taylor, Algebraic Number Theory (que j'ai trouvé très bien)

Bordelles, Arithmetic Tales. Très bien aussi.

Cohen, A course in Computational Algebraic Number Theory (merci pour les fameuses 5 lignes déjà signalées qui ont provoqué un déclic). J'ai été frappé par sa manière d'énoncer les conjectures de Weil sur $\mathbb F_p$ : car il part d'une variété définie sur $\mathbb Z$, ce qui est totalement inhabituel. A cogiter.

Ribenboim Classical Theory of Algebraic Numbers

Et bien sûr, la doc magma (dommage de disposer d'une veille version). J'ai fini par comprendre qu'une $L$-série au sens de magma est un objet d'une grande complexité. Certes, il y a la fonction analytique qui est ancrée dedans :
$$
L(s) = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s}
$$
Mais l'objet lui-même contient dans son coeur je ne sais combien d'attributs que je ne maîtrise absolument pas. Par exemple, où sont les $a_n$ ? Nulle part. Par contre, dans le coeur, il y a un algorithme de détermination des $a_n$. Pas question de demander $a_{100}$ : il faut demander $a_1, a_2, \ldots a_{100}$, qui vont être élaborés au moment de la demande. Dans le coeur de l'objet, il y a aussi le conducteur, le signe de l'équation fonctionnelle, ...etc... tout un tas de notions que j'ignore.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 19:29
J'avais testé une $L$-série dans magma et je ne pouvais que l'évaluer en des valeurs de $s$ de mon choix ce qui m'avait déçu.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 20:42
avatar
Citation
gai requin
@CQ : Et dans la thèse que tu as pointée, on y trouve un algorithme qui calcule l'anneau des entiers d'un corps de nombres ! Mais 533 lignes de code.

Oups winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 20:47
Salut Clairon.
Et regarde [ici] comme les gens se prennent la tête winking smiley pour calculer l'anneau des entiers d'un corps de nombres biquadratique.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/01/2017 20:50 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 20:58
avatar
Hello Clairon,

Je viens de faire le lien grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 21:08
avatar
Salut Flipflop,

cool smiley

Et pour l'anecdote, en 2007, moi, je faisais le sujet de géométrie ! [www.les-mathematiques.net]

[www.les-mathematiques.net]


Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 21:13
@vous deux
Comptons, comptons encore et beaucoup. Voir à la fin où j'en dis plus.
Mais je commence par gai requin qui est un cachotier (vouloir jouer avec les $L$-séries de magma).
Bon, mais cela tombe bien car j'ai mis au point des petits outils qui à mon avis vont dans ton sens.

> LK ;
L-series of Quadratic Field with defining polynomial x^2 + 47 over the Rational Field
> LGetCoefficients(LK, 2) ;
[* 1, 2.00000000000000000000000000000 *]
> Coeffs := LGetCoefficients(LK, 2) ;     
> Parent(Coeffs[1]) ;
Integer Ring
> Parent(Coeffs[2]) ;
Complex field of precision 30

Ci-DESSUS, j'ai fait calculer les 2 premiers coefficients de la $L$-série (voir d'où elle vient et ce que j'en fais plus loin). On voit que le premier coefficient est entier (au sens magma) mais pas le second. Du coup, j'ai mis au point la fonction ci-dessous :

Z := IntegerRing() ;
PSR<t> := PowerSeriesRing(Z) ;

FormalSeries := function(L, N)
  // L est une L-série, N une borne
  Coeffs := LGetCoefficients(L,N) ;
  RoundCoeffs := [Z| Round(c) : c in Coeffs] ;
  return &+[PSR| RoundCoeffs[i ]*t^i : i in [1..N]] ;
end function ;

En action maintenant avec l'anneau quadratique imaginaire $K = \Q(\sqrt D)$ où $D = -47$. On dispose d'un caractère quadratique :
$$
\chi_D = \left( D \over \bullet\right)
$$
qui possède la propriété :
$$
\hbox {nombre d'idéaux de $\mathcal O_K$ de norme $n$ } = \sum_{d \mid n} \chi_D(n)
\qquad\qquad (\star)
$$
> // Chi(n) = (D / n)_Kronecker
> // Frolich/Taylor Th 65 p. 296
> // #{I idéal de Q(\/D) de norme m} = sum_{d | m} Chi(m)
> 
> precision := 10^2 ;  
> D := -47 ;
> ChiD := KroneckerCharacter(D) ;
> G<chi> := Parent(ChiD) ;
> G ;
Group of Dirichlet characters of modulus 47 over Integer Ring
> Order(G) ;
2
> ChiD ;
chi
> 
> K := QuadraticField(D) ;
> LK := LSeries(K) ;
> LK ;
L-series of Quadratic Field with defining polynomial x^2 + 47 over the Rational Field
> S := FormalSeries(LK, precision) ;
> S ;
t + 2*t^2 + 2*t^3 + 3*t^4 + 4*t^6 + 2*t^7 + 4*t^8 + 3*t^9 + 6*t^12 + 4*t^14 + 5*t^16 + 2*t^17 + 6*t^18 + 4*t^21 + 8*t^24
    + t^25 + 4*t^27 + 6*t^28 + 6*t^32 + 4*t^34 + 9*t^36 + 2*t^37 + 8*t^42 + t^47 + 10*t^48 + 3*t^49 + 2*t^50 + 4*t^51 + 
    2*t^53 + 8*t^54 + 8*t^56 + 2*t^59 + 2*t^61 + 6*t^63 + 7*t^64 + 6*t^68 + 2*t^71 + 12*t^72 + 4*t^74 + 2*t^75 + 2*t^79 
    + 5*t^81 + 2*t^83 + 12*t^84 + 2*t^89 + 2*t^94 + 12*t^96 + 2*t^97 + 6*t^98 + 3*t^100
> assert &and [Coefficient(S,m) eq &+[ChiD(d) : d in Divisors(m)] : m in [1..precision]] ;
La dernière ligne vérifie $(\star)$. Pas que je n'ai pas confiance en $(\star)$. Mais je me méfie de ce que je comprends dans ce terrain (ce n'est pas de l'algèbre commutative) et surtout je me méfie de magma.

JE COMPTE, TU COMPTES, IL COMPTE, NOUS COMPTONS ...etc..
En ayant compté (sans savoir où cela allait nous mener) à travers les polynômes $X^n-1$ et $\Phi_n(X)$ sur $\mathbb F_q$, je dois avouer que lorsque flip-flop a suggéré de le faire pour d'autres polynômes, j'ai trouvé cette idée totalement saugrenue. Pardon, flip flop. Je crois maintenant que j'ai eu tort de penser cela.

Et je pense que cela vaudrait le coup de compter avec des polynomes quadratiques, surtout si vous êtes un peu dedans (les anneaux qadratiques). Qu'est ce que l'on risque ? De perdre du temps ?

Et je me suis souvenu du papier de Serre in [www.ams.org] Peut-être qu'il serait bon de jeter un oeil sur 5.2 page 7. Le risque n'est pas gros.

En se méfiant de magma si on l'utilise. Cela m'a fait quand même un choc, dans le cas cyclotomique, pour $p^2 \mid n$, lorsque EulerFactor m'a retourné un $1/Z_p(T)$ égal à $-1$. C'est pour cette raison, que j'ai ré-armé moi-même dans la $L$-série les facteurs d'Euler corrects : les $a_m$ sont calculés de manière multiplicative à partir des $a_{p^\bullet}$ et y'a pas intérêt à se louper dans ceux là (que $p$ soit de bonne ou mauvaise réduction).

Drôle de métier où l'on ignore ce que l'on fera la semaine prochaine.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 21:16
avatar
Les faisceaux de coniques ! Ça me rappelle que je n'ai pas fini mon truc de déformation ...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/01/2017 21:19 par AD.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 21:21
@clairon, flip-flop, gai-requin

Quelle surprise, vous trois ensemble.

Et Clairon, quelques années après ta licence, est ce que tu étais un Samedi matin en train de plancher pendant 6 heures (préparation à l'Agrégation) sur les sommes de Gauss/Jacobi ? Ou peut-être sur les formes quadratiques entières $ax^2 + bxy + cy^2$ de Gauss ?

Moi, j'ai oublié. Mais pas toi, je suppose ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 21:21
@Clairon : Et [celui-là] aussi ?

Citation

J'ai souvenir que les épreuves blanches se passaient le Samedi matin (6 heures) et certains étudiant(e)s à la fin (vers 15 h) me faisaient un peu la gueule, on se demande bien pourquoi.

Edit : On s'est posé la même question au même moment avec CQ. smoking smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/01/2017 21:24 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 21:27
avatar
Hello Claude,

Je n'ai pas bossé sur les sommes de Gauss/Jacobi.
Mais sur les formes quadratiques entières $ax^2+bxy+cy^2$ de Gauss, oui, oui !
J'ai le sujet papier dans mes archives, dans le Poitou. Puis-je en avoir le pdf (souvenir-souvenir) ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 21:31
@CQ : Merci pour les $L$-series dans magma pour les nuls.
J'avais cherché toute une soirée pendant les dernières vacances sans aucun résultat !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 janvier 2017, 23:49
avatar
J'ai fais un tour sur le forum (hors ici) ... bilan : Mais pourquoi les gens veulent faire des trucs qui ne maîtrise absolument pas ... Style, je vais inventer une théorie galoisienne des distributions tempérées !

Je vois le même problème avec mes jeunes, quand je demande ce qu'ils veulent faire, ils me répondent souvent : un exercice compliqué ! Mais pourquoi faire un truc compliqué qu'on ne comprend pas ! pffff ... bref !



Du coup, je fais simple !

Soit $D=-47$ , on considère le corps $\Q(\sqrt{-47})$, son anneau des entiers est $\Z[\frac{1+i \sqrt{47}}{2}]$.

Le truc que je veux regarder c'est comment un nombre premier $p$ de $\Z$ se "factorise" dans cet anneau.

Je fais demain ! Faut comprendre le discriminant et tout ...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/01/2017 23:56 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 08:25
J'ai un petit souci avec l'exemple $A=\Z[\frac{1+i \sqrt{47}}{2}]$ de flipflop.

Comme $-47=1\bmod 8$, $2A$ est décomposé dans $A$ donc n'est pas maximal.
De plus, $A$ est un anneau de Dedekind donc $2A$ n'est pas premier non plus.
Le problème, c'est que je n'arrive pas à factoriser $2$ dans $A$.
C'est moi le problème non ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 08:26
@vous deux

(1) Dans le fil [www.les-mathematiques.net], j'ai finalement attaché 6 pages de Cohen (au lieu de 3), et j'ai numéroté correctement par rapport aux pages de l'ouvrage (et pas par rapport aux pages du viewer pdf). Je trouvais dommage d'avoir coupé Cohen en plein milieu de la (petite) section sur les courbes elliptiques.

Et également pour me souvenir que Cohen parle, à la page 390, du conducteur $N$ d'une courbe elliptique rationnelle, qu'il va étudier en détails plus loin dans la section 7.5. Dans cette section 7.5, il donne l'algorithme de Tate que l'on ne trouve pas sous les sabots d'un cheval. J'ai envie de dire que Cohen ne peut pas se permettre d'être approximatif : je pense que qu'une grosse partie des méthodes décrites dans A course in Computational Algebraic Number Theory ont été implémentées en Pari. Et cela ne supporte pas l'approximation.

(2) Réinventer l'eau chaude. Je vois écrit noir sur blanc dans Bordellès, Arithmetic Tales, section 7.4.2 The Dedekind Zeta-Functions, remarque 7.122 point 2. page 431. Le contexte est $K/\Q$ un corps de nombres galoisien
$$
\zeta_K(s) = \prod_p \left( 1 - {1 \over p^{sf_p}} \right)^{-g_p}
$$
Les deux nombres entiers $f_p$ et $g_p$ ont la signification habituelle. C.a.d. qu'en notant $f, g$ pour alléger, on a la décomposition :
$$
p\mathcal O_K = \mathfrak p_1^e \cdots \mathfrak p_g^e \qquad f = \dim_{\mathbb F_p} \mathcal O_K/\mathbb p_i
$$
C'est le côté galoisien qui provoque l'égalité (au dessus d'un $p$ fixé) des degrés résiduels et des indices de ramification.

Le fait d'être bloqué par l'analytique (je parle de mézigues) fait que l'on peut passer facilement à côté de cette information. Le $p$-Euler facteur de la fonction zeta de Dedekind est pourtant bien visible :
$$
{1 \over (1-T^{f_p})^{g_p}} \qquad \quad T \leftrightarrow {1 \over p^s}
$$
Bilan le cas galoisien est plus général que le cas cyclotomique.
Par contre, Bordellès ne mentionne pas cette histoire de fonction zeta de comptage modulo $p$ ... pour la bonne raison que l'on ne dispose pas dans ce contexte d'un polynôme unitaire irréductible de $\Z[X]$ que l'on pourrait réduire modulo $p$ (pour lui faire les choses de la vie i.e. compter).
En effet, il n'y a aucune raison que $\mathcal O_K$ soit monogène. C'est cependant le cas dans les deux cas suivants : extensions cyclotomiques ou quadratiques.

Mais, du point de vue ``Objet de dimension $0$ défini sur $\mathbb Z$'', il n'y a pas que le coup de $\{ P(x) = 0 \}$ où $P \in \mathbb Z[X]$ est un ``bon'' polynôme. Cela veut probablement dire, de manière pompeuse, qu'il doit y avoir un ``bon'' schéma de dimension $0$ défini sur $\mathbb Z$. Et le groupe de Galois de $K/\Q$ y interviendrait. Dans le cas cyclotomique, on le voit bien intervenir le groupe de Galois de $\Q(\root n \of 1)/\Q$ sous la forme innocente de $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$.

@flip flop : je ne sais faire que des choses simples. Mais c'est parfois compliqué de faire des choses simples. Moi aussi de temps en temps, je vois les gugusses dont tu parles. Laisse béton.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 08:53
@gai requin
Je suis scrupuleusement le théorème 2 et sa preuve, en espérant ne pas avoir fait de boulette. Mais comme j'ai un peu la flemme de faire les (petits) calculs devant toi, je m'aide d'une calculette

> Z := IntegerRing() ;                
> ZX<X> := PolynomialRing(Z) ;
> S := 1 ;  P := 12 ;
> F := X^2 - S*X + P ;
> Discriminant(F) ;
-47

Bon, là tu ne peux être que d'accord. Je suis toujours la méthode et comme $p = 2$, il y a cette histoire un peu pénible de racine modulo 8 du trinôme $X^2 - SX + P = X^2 - X + 12$. Je vais finir par trouver $a = 4$ (je prends les notations de ma note, enfin presque car $\alpha_{\rm note}$, c'est $x$ ici).

> K<x> := NumberField(F) ;            
> 
> [<a,Evaluate(F,a)> : a in [0..5]] ;
[ <0, 12>, <1, 12>, <2, 14>, <3, 18>, <4, 24>, <5, 32> ]
> a := 4 ;
> OK := MaximalOrder(K) ;
> OK eq Order([x]) ;         
true
> 
> P1 := ideal < OK | 2, x-a > ;
> IsPrime(P1) ;
true
> P2 := ideal < OK | 2, y-a where y is S-x> ;   // y = conjugate of x
> IsPrime(P2) ;                              
true
> ideal < OK | 2 > eq P1*P2 ;
true

J'ai utilisé le fait que le conjugué de $x$ c'est $y$ défini par $x+y = S$ ; d'où le where.
Après calcul comme dit l'autre, ça marche. Je n'ai jamais compris pourquoi on disait ``après calcul''. On se doute que cela ne peut pas être ``avant calcul''.

Ben du coup, c'est pas mal d'avoir un petit guide, non ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 08:54
avatar
@Gai requin : pour l'instant j'en suis là ...

On a : $$A=\Z[\frac{1+i \sqrt{47}}{2}] \simeq Z[X] / X^2-X+12$$
Donc $$A/(2) \simeq \mathbb{F}_2[X] / X^2-X+12 =\mathbb{F}_2[X] / X(X-1)$$
"Donc" n : $$(2)=(2,\alpha) \times (2,\alpha-1) \quad \quad \alpha = \frac{1+i \sqrt{47}}{2} $$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:00
Je suis d'accord avec vos calculs mais je cherche, s'il en existe (précaution), une factorisation de $2$ (le nombre, pas l'idéal) dans $A$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:00
Il m'énerve ce FlipFlop à faire bien plus simple. Je crois que parfois j'ai une approche éléphantesque

> FlipFlop1 := ideal < OK | 2, x > ;         
> FlipFlop2 := ideal < OK | 2, x-1 > ;
> IsPrime(FlipFlop1) and IsPrime(FlipFlop2) ;
true
> ideal <OK | 2> eq FlipFlop1 * FlipFlop2 ;  
true
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:02
@gai requin
Exercice : 2 est irréductible dans l'anneau quadratique de discriminant $-47$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:03
C'est ce que je trouve en utilisant la norme !

Donc $(2)$ est premier sans être maximal !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:10
@gai requin
L'idéal $\langle 2\rangle$ premier dans $A$ mais pas maximal ?? T'as fumé quoi au petit déjeuné ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:12
Je crois avoir la solution.
$A$ est de Dedekind donc $(2)$ n'est pas premier (sinon, il serait maximal).
Comme $2$ est irréductible, $A$ n'est pas factoriel.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:15
avatar
@Claude : spinning smiley sticking its tongue out

Je vais faire $p=5$ histoire de faire mumuse.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:19
avatar
Par contre, j'ai un doute ... niveau algèbre commutative.


Dans un anneau factoriel, on a : si $x$ est irréductible, alors $(x)$ est premier ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:19
@flipflop :
Ce serait cool de trouver dans $A$ un premier impair ramifié (il n'y en a qu'un), un premier impair décomposé et un premier impair inerte. Je n'ai plus trop le temps ce matin. cool smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/01/2017 09:20 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:21
avatar
@Gai requin : Je vois a peu près comment faire, bon boulot !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:23
Merci.

@CQ : Il n'y a pas que $\mathbb Z$ dans la vraie vie !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:28
@gai requin
Exact. Et le groupe des classes d'idéaux est $\simeq \Z/5\Z$. C'est ce que savait déjà faire Gauss avec les formes quadratiques $ax^2 + bxy + cy^2$ de discriminant $-47$.

> G<g>, f := ClassGroup(OK) ;
> G ;
Abelian Group isomorphic to Z/5
Defined on 1 generator
Relations:
    5*g = 0
> f ;
Mapping from: Abelian Group isomorphic to Z/5
Defined on 1 generator
Relations:
    5*$.1 = 0 to Set of ideals of OK
> f(g) ;
Ideal of OK
Two element generators:
    [2, 0]
    [1, 1]
> Generators(f(g)) ;
[ [2, 0],   [1, 1] ]
> ChangeUniverse(Generators(f(g)), K) ;
[   2,   x + 1 ]

On tombe sur un des facteurs de l'idéal $\langle 2\rangle$. Peu importe lequel. Je le note $P_1$ comme tout à l'heure même si c'est $P_2$. Ceci veut dire que $P_i$ n'est pas principal mais $P_i^5$ l'est. Et que tout idéal de $A$ est équivalent à une puissance de $P_i$. Equivalent au sens $aI = bJ$ où $a,b$ sont non nuls.

> G!Inverse(f)(P1) ;
4*g
> G!Inverse(f)(P2) ;
g
> ok, generateur := IsPrincipal(P2^5) ;
> ok ;
true
> generateur ;
[-5, 1]
> K!generateur ;
x - 5
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:37
Equivalent à une puissance de $P_1$ non ? (ce qui donne bien $5$ classes d'idéaux)

Combien de classes dans un anneau principal ? Dans un anneau factoriel plus généralement ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 janvier 2017, 09:45
avatar
@gai requin :

On cherche la décomposition de $X^2-X+12$ dans $\mathbb{F}_p$. Alors $\Delta = 1-48=-47$. Donc si $p = 47$, on a :
$ \Delta = 0 \pmod{47}$, et $X^2-X+12 = (X-a)^2$.

Je n'avais jamais fait le lien entre le discriminant (le $b^2-4ac$ du lycée) et le discriminant de l'anneau des entiers ... C'est bien la même chose ?

Ensuite, pour les inertes : on cherche $p$ tel que $X^2-X+12$ n'a pas de racine dans $\mathbb{F}_p$. Donc, on fait intervenir le symbole de Legendre (pour savoir si $\Delta$ est un carré ou non):
$$
\left(\dfrac{-47}{p}\right)
$$

Par exemple, si $p=5$ alors $-47$ n'est pas un carré et $5$ est inerte.
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