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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 18:16
Après avoir séché, j'ai cherché sur le net et on dirait que ce n'est pas facile du tout...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 18:42
avatar
Oui, j'ai regardé, les deux références de Claude ... pour l'instant c'est black box !!!
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 19:14
@vous deux
Vous avez raison, c'est Dimanche. Ben, le mini résumé (des 10 derniers jours), cela sera pour demain.

J'efface et je reprends plus loin. J'ai eu des soucis : le forum me prenait pour un robot ou je ne sais trop quoi. Moi, un robot, à mon âge, c'est n'importe quoi.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/01/2017 19:31 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 19:17
C'est-à-dire que $\Z[\zeta]$ a le bon rang en tant que $\Z$-module mais cela n'implique pas que c'est $\mathcal{O}_K$.
Je préfère définitivement les espaces vectoriels !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 19:29
@vous deux
Vous avez raison, c'est Dimanche. Ben, le mini résumé (des 10 derniers jours), cela sera pour demain.

@flip flop Preuve de la loi de réciprocité in [www.les-mathematiques.net]. C'est presque ok .. sauf qu'il n'y a aucune raison pour que $\sum_{i \in \mathbb F_p^*} x_i \zeta^i = \sum_{i \in \mathbb F_p^*} y_i \zeta^i$ cela entraîne $x_i = y_i$ pour tout $i$. Si tu me demandes un contre exemple, je pense pouvoir t'en fournir (mais c'est Dimanche). Cela vient du fait que les $\zeta^i, i \in \mathbb F_p^*$, ne sont pas linéairement indépendants sur $\mathbb F_q$.

Suggestion (et de plus je trouve que cela simplifie peut-être le calcul) : on écrit $\tau = \tau_0 - \tau_1$ où $\tau_0$ porte sur $\mathbb F_p^{*2}$ et $\tau_1$ porte sur le complémentaire $\mathbb F_p^* \setminus \mathbb F_p^{*2}$. Et du coup, plus de symbole de Legendre. Et il y a une petite vérification à faire :
$$
\hbox {$q$ carré mod. $p$} \Rightarrow \cases { \tau_0^q = \tau_0\cr \tau_1^q = \tau_1}\Rightarrow \tau^q = \tau
\qquad\qquad
\hbox {$q$ non carré mod. $p$} \Rightarrow \cases { \tau_0^q = \tau_1\cr \tau_1^q = \tau_0}\Rightarrow \tau^q = -\tau
$$
Du coup : $q$ carré mod. $p$ entraîne $p^*$ carré mod. $q$. Et $q$ non carré mod. $p$ entraîne $p^*$ non carré mod. $q$. Que l'on résume en :
$$
\hbox {$q$ carré mod. $p$} \Leftrightarrow \hbox {$p^*$ carré mod. $q$}
\qquad \hbox {ou encore} \qquad
\left( q \over p\right) = \left( p^* \over q\right)
$$
Et bien, ça c'est la loi de réciprocité quadratique.

@vous deux
$\Z[\root n\of 1]$ intégralement clos, ben non, c'est pas évident. Mais on va le faire (peut-être pas ce Dimanche). D'abord, est ce que c'est acquis que tout idéal premier de $\Z[\root n\of 1]$ est inversible ? Puis que tout idéal non nul est produit d'idéaux premiers ? Et de ce fait est inversible.

On va montrer qu'un anneau intègre dans lequel tout idéal non nul engendré par 2 éléments est inversible, est intégralement clos. Il va falloir localiser à tour de bras. En commençant par des choses simples. Je suis prêt.

Et au fait, cette histoire que l'on aurait pu obtenir la somme de Gauss au dessus de $\mathbb F_q$ en quotientant celle de la caractéristique $0$ par ?? est ce que j'avais bu un coup de trop ?

Enfin, un truc très pénible à dire. Je crois que dans notre (grand) papier Naturally-methods-in-microlocal-algebra.pdf, il y a une erreur à la page 3, en plein milieu. On y affirme, sans démonstration, que
$$
\sqrt 2 \ne \mathrm {sup} \mathrm {log}^{-1}(2)
$$
Et cela me semble complètement faux et invalide tout le reste.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/01/2017 19:34 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 19:45
@CQ : Quel est le discriminant de $\phi_n(X)$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 19:55
@gai requin
De tête, je sais pas. Il y a de la multiplicativité en $n$ au sens $D_{nm} = D_n^{\varphi(m)}\, D_{m}^{\varphi(n)}$ si $n \wedge m= 1$. C'est le problème 1 (Quelques résultants et discriminants utiles) du chap. III de notre livre avec Henri. Tu comprendras pourquoi je ne m'en souviens pas de tête.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 19:58
Parce que je viens de voir dans " Module sur les anneaux commutatifs " de qui tu sais winking smiley que si ce discriminant est sans facteurs carrés, on peut conclure.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 20:04
$\rm{disc}(\phi_4)=-4$. Dommage !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 20:15
Oui, mais cela n'arrive (presque) jamais. Déjà, pour $p$ premier impair, il vaut $(-1)^{p-1 \over 2} p^{p-2}$.

Je vous assure que $\Z[\root n\of 1]$ intégralement clos, ce n'est pas du tout évident. Souvent, on trouve le cas $n=p$ premier (un peu partout) mais pour $n$ quelconque; beaucoup moins.

De toutes manières, une des propriétés importantes, c'est tout idéal non nul est inversible. Ne pas oublier ce que dit Avigad : il y aura, chez Dedekind, plusieurs versions de la théorie des idéaux. Voir la section 6 (The final version of the theory of ideals) ; je n'ai pas bien compris les dates, mais je pense que chez Dedekind, la mise au point va durer plus de 20 ans.

Et on va bien s'amuser en localisant. Je suis prêt.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 20:18
Sur une feuille de TD qui traîne sur le net, on traite de le cas $n=p^r$ puis on termine par une belle récurrence.
Je n'ai lu aucun détail.
Donc en avant la localisation !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 20:23
@flip flop
J'ai pris $p = 3$ et $q = 7$. Comme cela, $p \mid q-1$ et j'ai pas eu à monter une clôture algébrique $\overline {\mathbb F_q}$ pour aller inventer une racine primitive $p$-ème de l'unité. C'est que c'est fatiguant le DImanche soir de monter un binz comme cela. Et paresseux que je suis, j'ai pris :
$$
\zeta = 2 \hbox { dans $\mathbb F_q = \mathbb F_7$}
$$
Y'a vachement de collapses dans les sommes :

> p := 3 ;  q := 7 ;
> Fq := GF(q) ;
> zeta := Fq ! 2 ;
> zeta^p ;
1
> zeta^2 + zeta + 1 ;
0
> 
> C := CartesianPower({-2,0,2}, 3) ;
> sum := func < c | c[1] + c[2]*zeta + c[3]*zeta^2 > ;
> Sums := {sum(c) : c in C} ;
> #Sums ;
7
> #C ;
27
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 20:34
@gai requin
On commence doucement. Par du ponctuel. Un idéal $I = \langle a_1, \ldots, a_n\rangle$ inversible avec une égalité au sens fort :
$$
\langle a_1, \ldots, a_n\rangle \langle b_1, \ldots, b_n\rangle = Aa
$$
En particulier :
$$
1 = \sum_i u_i \qquad \hbox {avec} \quad u_i = {a_i b_i \over a}
$$
Je localise en $u_1$ (qui peut être nul mais on s'en fiche). Alors dans le localisé en $u_1$ :
$$
I_{u_1} \hbox { est engendré par $a_1$}
$$
En maths classiques, un anneau de Dedekind se comporte localement comme un anneau de valuation discrète. Ici (plus tard), on va le faire se comporter localement comme un anneau principal. On utilisera qu'un principal est intégralement clos puis on globalisera (merci Henri).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 20:41
Va-t-on utiliser la page 6 de ce fil cool smiley [ici] ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 21:17
@Disons que l'on va utiliser ce type de techniques. Mais on peut aussi, pour un anneau de Dedekind, localiser en les idéaux premiers (car intégralement clos, c'est local-global). En fait, on peut procéder de 36 manières.

Voici d'ailleurs un argument direct pour montrer qu'un anneau intègre $A$ tel que tout idéal non nul de type fini est inversible, est intégralement clos. Je prends $x \in K$ (corps des fractions de $A$), entier sur $A$ et je veux montrer que $x \in A$. Je considère $J = A[x]$. Attention, je sors a priori de $A$. C'est un $A$-module de type fini car $x$ est entier sur $A$. Donc c'est un idéal fractionnaire de type fini. Il vérifie $J^2 = J$. Et comme il est inversible (hypothèse), je peux simplifier par $J$ pour tomber sur $J = A$. Bilan : $x \in A$.

Mais attention : j'ai utilisé un idéal fractionnaire (par exemple $1 \in J$ !) et pour ne pas se mélanger avec les idéaux entiers, j'invite à faire moins concis et à faire rentrer $J$ dans $A$ par multiplication par un dénominateur non nul : i.e. $d \in A$ non nul tel que $I := dJ$ soit un brave idéal entier peinard. Et reprendre le truc ci-dessus avec $I$.

Inconvénient : pour moi, il y a une sorte d'astuce à considérer $A[x]$ (astuce qui figure probablement partout). Je préfère la localisation où il n'y a plus d'astuce.

Mais en aucun cas, cela ne donne une solution au truc PONCTUEL que j'ai posté. Dans ce truc ponctuel, on ne demande rien à l'anneau. On se bat juste avec un idéal inversible $I$ et on va localiser en des éléments $u_1, \ldots, u_n$, comaximaux (de somme 1) tels que dans chaque localisé l'idéal $I$ devienne principal. L'anneau n'est responsable de rien : c'est $I$ qui est responsable de lui-même.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 21:22
avatar
@Claude : D'accord, j'ai compris la boulette ...

[[ Je dois prendre $p$ un générateur de $\mathbb{F}_q^*$ pour que mon identification douteuse fonctionne, car dans ce cas, le polynôme cyclotomique $\Phi_q$ reste irréductible modulo $p$ et l'extension fini engendré par mon $\zeta$ est d'ordre $p-1$, d'où l'identification ]]

Je vais regarder avec $\tau_0$ et $\tau_1$, il y a l'air que c'est plus clair, merci smiling smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 21:26
Par exemple, si $x=\dfrac{b_1a_2}{a}$, $x\in A$ et $a_1\times\dfrac{x}{u_1}=a_2$.
Donc, dans le localisé en $u_1$, $a_2\in \langle a_1\rangle$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 21:43
@gai requin
OK, y'a un truc automatique pour tomber dessus. Enfin, c'est ce que je dis. Mais c'est Dimanche soir.

Il y a une tapée de choses à faire de cette nature là, histoire de s'entraîner. Mais essayons d'aller droit au but.

Contexte : $A$ intègre de corps des fractions $K$ et $a/b \in K$ avec $a, b \in A$ non nuls. Je suppose que $a/b$ est entier sur $A$ et que $\langle a, b\rangle$ est inversible. Alors $a/b \in A$ (c'est ce qu'il faut montrer).

Indication On veut montrer que $a \in Ab$. Il suffit le voir en ayant localisé en deux éléments comaximaux $t,u$ car si $a \in A_t b$ et $a \in A_u b$, alors $a \in Ab$. Or il existe $t, u$ tel qu'en localisant en $t$, $a$ engendre $\langle a,b\rangle$ et en localisant en $u$, $b$ engendre $\langle a,b\rangle$ ... Poursuivre (et ne pas oublier d'utiliser que $a/b$ est entier sur $A$, le traduire dans $A$ ...).


Un truc que l'on n'a pas fait : c'est que l'on a de la souplesse pour un idéal inversible $I$ : par définition, il y a un $a$ régulier et des $a_i, b_j$ tels que ...etc.. Mais quelque soit le système générateur $x_1, \ldots, x_p$ de $I$, il y a $y_1, \ldots, y_p$ et un élément régulier $z$ avec une égalité au sens fort :
$$
\langle x_1, \ldots , x_p\rangle \langle y_1, \ldots , y_p\rangle = Az
$$
On l'admet.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/01/2017 21:55 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 22:15
@gai requin Au fait, j'ai donné une indication mais j'ai oublié de le dire. Voilà c'est fait.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 22:23
Je cherche.
On a $a\in \langle b\rangle_u$ donc, pour conclure, il suffit d'avoir $a\in \langle b\rangle_t$...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 22:30
@gai requin
Mets toi carrément dans le localisé en $t$. Dans ce localisé, $b$ est multiple de $a$. Il faut utiliser le fait que $a/b$ est entier sur $A$ et avoir remonté cette information dans $A$, du genre
$$
a^n + c_1 a^{n-1} b + c_2 a^{n-2} b^2 + \cdots + c_n b^n = 0
$$
Ecrire $b = qa$ (on s'est mis dans le localisé) et en principe ..
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 22:43
$q=b/a$ est aussi entier sur $A$.

Edit : N'importe quoi.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/01/2017 22:46 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 22:51
$q$ est inversible donc $a\in \langle b\rangle_t$.
Comme $a\in\langle b\rangle_u$, $a\in Ab$ d'après le principe local-global !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
29 janvier 2017, 23:09
Donc Claude, si je ne m'abuse, il faut encore montrer que les idéaux non nuls de $\Z[\zeta]$ sont inversibles.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 07:28
avatar
@Claude : c'est bon normalement avec $\tau_1$ et $\tau_0$. C'est plus simple grinning smiley

Notons :
$$
\tau_1 := \sum_{i \in \mathbb{F}_p^{* 2}} \zeta^i \quad \text{et} \quad \tau_1 := \sum_{i \in \mathbb{F}_p \setminus \mathbb{F}_p^{* 2}} \zeta^i
$$
De sorte que : $\tau = \tau_1 - \tau_0$.

On a vu que :
$$
p^* \in \mathbb{F}_q^2 \Longleftrightarrow \tau^q =\tau
$$
On a :
$$
\tau^q = \tau_1^q-\tau_0^q
$$
Alors si $q$ est un carré dans $\mathbb{F}_p$, on a :
$$
\tau_1^q = \tau_1 \quad \text{ et } \quad \tau_0^q=\tau_0
$$
Car $i \to qi$ réalise une bijection des carrés modulo $p$ vers les carrés modulo $p$ (car $q$ est un carré).

Je rédige au propre. Merci smiling smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 08:48
@flip-flop
Rédiger au propre : c'est une bonne idée car on ne va pas s'y retrouver sinon.
Le bilan pour l'instant là-dessus, c'est que pour $p$ premier impair $> 0$ (faire vachement attention à la positivité), on est clair sur l'inclusion $\Q(\sqrt {p^*}) \subset \Q(\root p \of 1)$, ou plutôt sa version arithmétique, comme je dis souvent [[on sait que cela passe par la $p$-somme de Gauss quadratique $\tau$]] et sur une preuve de la loi de réciprocité quadratique générale pour $p,q$ [[qui utilise une $p$-somme de Gauss au dessus de $\mathbb F_q$]].

Je veux dire par là que l'on dispose de preuves self-contained.

Et ces deux résultats (l'inclusion et la loi de réciprocité) sont liés. J'explique mon histoire de quotient de la caractéristique $0$. La somme de Gauss quadratique $\tau$, il est important de remarquer qu'elle habite $\Z[\root p \of 1]$. Soit $\mathfrak q$ un idéal maximal de cet anneau contenant $q$ [[c'est possible car $q$ n'est pas inversible dans $\Z[\root p\of 1]$, why ?]]. Alors, on dispose de l'inclusion
$$
\mathbb F_q \hookrightarrow \Z[\root p\of 1]/\mathfrak q := K
$$
Et $K$ joue le rôle du surcorps de $\mathbb F_q$ dans lequel on va chercher une racine primitive $p$-ième de l'unité. Le corps $K$ est le $\overline {\mathbb F_q}$ des pauvres qui n'ont pas les moyens de s'acheter une clôture algébrique de $\mathbb F_q$.

Bref, on peut réduire modulo $\mathfrak q$.

D'ailleurs, prendre un idéal maximal est une ``idée moderne''. A. Weil, dans ``La cyclotomie jadis et naguère'', dit dans le point 6 que la sixième preuve de Gauss (1818) revient à utiliser des congruences modulo $q$ dans l'anneau $\Z\root p \of 1]$. Modulo $q$ et pas modulo $\mathfrak q$.

Un truc important pour moi (et probablement pour vous, vous n'êtes pas si jeunes) : c'est qu'une fois que l'on en a bien ch.é avec la technique, la tête dans le guidon ...etc.. il faut être capable d'en sortir et de lire un peu d'histoire. Sinon, on ne comprend rien.

Un pointeur sur le célèbre papier de A. Weil : [archive.numdam.org]

Un autre truc Flip-Flop (tout est de ta faute). Il va y avoir, plus tard, un quelque chose pas piqué des vers : c'est ce que l'on appelle la somme de Gauss quadratique ANALYTIQUE. Alors que la nôtre est algébrique :
$$
\tau_{\rm alg} = \sum_{k \in \mathbb F_p^*} \left( k \over p\right) \zeta_p^k \qquad \hbox {versus} \qquad
\tau_{\rm ana} = \sum_{k\in \mathbb F_p^*} \left( k \over p\right) e^{2ik\pi/p}
$$
Pourquoi de ta faute ? Ben, quand tu as pointé l'exposé de Serre, tu as bien vu que celui-ci parlait d'inefficacité des méthodes algébriques en théorie des nombres versus l'efficacité des méthodes analytiques. Dirichlet ...etc... On en reparlera si je n'oublie pas.

Maxime : une fois que l'on en a bien bavé, essayons de prendre du recul et de lire un peu d'histoire.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 08:53
@flipflop : Je viens de finir de regarder l'exposé historique de Serre sur le cas abélien des groupes de Galois.
On retrouve quantité de thèmes abordés dans ce fil ! confused smiley
Et au fait, Pierre Dèbes était dans l'assistance (on le voit vers la fin de la vidéo). winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 09:03
@gai requin
Par rapport à ton [www.les-mathematiques.net].

Oui, il faut montrer que les idéaux (autres que l'idéal nul) de $\Z[\root n \of 1]$ sont inversibles. Et cela a été dit (par mézigues) au moins 2 ou 3 fois, sinon plus. En commençant par les idéaux premiers ... etc .. Et la morale, c'est que ce n'est PAS vrai que l'on peut communiquer uniquement par posts. Il faut faire des bilans d'une autre manière : des notes au brouillon, des petits pdfs ...etc.. Sinon, on ne va pas s'en sortir (bis).

Et là encore, après la tête dans le guidon, il faut essayer de prendre du recul (on n'a plus 20 ans, le bel âge) et prendre le temps de lire un peu d'histoire. Car cela a été très compliqué pour Dedekind de mettre au point la théorie des idéaux dans les corps de nombres.

A la page 23 du papier de Avigad : [repository.cmu.edu], The final version of the theory of ideals.
Un petit extrait. C'est DEDEKIND qui parle :

In §172 of the third edition of the Number Theory, as well as in §23 of my essay Sur la théorie des nombres entiers algébriques, I have emphasized that the greatest difficulty to be overcome for the foundation of the theory of ideals lies in the proof of the following theorem:

1. If the ideal $c$ is divisible by the ideal $a$, then there is an ideal $b$ which satisfies the condition $ab = c$.

This theorem, through which the relationship between the divisibilty and multiplication of ideals is ascertained, is, in the presentation of the time, only provable at nearly the conclusion of the theory. This fact is palpable in a most oppressive way, especially since some of the most important theorems could be formulated in appropri- ate generality only gradually, by successively removing restrictive assumptions. I therefore came back often to this key point over the years, with the intention of obtaining a simple proof of Theorem 1, relating directly to the concept of the integers; or a proof of one of the following three theorems, which, as one easily sees, are of equal significance to the foundation of the theory:

2. Each ideal $m$ can, by multiplication with an ideal $n$, be turned into a principal ideal.

... etc ...

Il s'agit exactement de la notion d'inversiblité. Il aura fallu peut-être 20-30 ans Dedekind pour mettre cela au point.

Est ce que l'on en parle dans les ouvrages ? En général, NON.

Faut-il alors s'étonner que tout cela ne va pas être du petit lait ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 09:08
@vous deux
J'ose vous le demander : j'ai besoin d'une pause i.e. pas de question pendant quelque temps (une demi-douzaine d'heures) de manière à essayer de pouvoir faire un résumé des 10-12 derniers jours car je ne m'y retrouve pas. Merci.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 09:18
@CQ :
Je regarde régulièrement des vidéos sur le point de vue historique plutôt que technique.
J'ai l'impression que c'est plus difficile de trouver ce genre de choses dans les ouvrages.
Heureusement, tu en connais un rayon. winking smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/01/2017 09:19 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 09:19
avatar
Bien reçu Claude winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 09:21
@CQ : J'ai supprimé une question de mon message précédent.
De mon côté, je bosse jusqu'à 17h.
Bon courage et à ce soir. smiling smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 18:16
@vous deux
J'attache quelque chose sinon vous allez croire que je fiche rien. Mais c'est un torchon écrit vite fait et qui est loin d'être terminé. Je compte m'y remettre demain et peut-être après demain.

La première chose que je ressens, c'est qu'il va falloir ``se calmer'' car cela me semble un peu la folie, cette histoire. En tout cas, cela serait bon de remonter dans les posts car il y a (pour moi) des dizaines et des dizaines de choses à assurer. De manière précise car j'en ai absolument besoin pour programmer (je peux pas faire dans l'approximatif).

Et du coup, bien avant l'innocente question de gai-requin sur l'anneau local d'un point lisse d'une courbe, je me suis aperçu que dans le passé (flip flop n'était pas encore vraiment dans la course) j'avais préparé et implémenté un certain nombre ``de trucs'' sur $\mathrm {PSL}_2(\mathbb Z)$ et certains sous-groupes modulaires, sur les extensions centrales de $S_n$ par $C_2$, sur des rudiments de cohomologie des groupes (je dis bien rudiments) ...etc.. En vue de .. Et on est passé à d'autres choses, on se demande bien pourquoi.

Plus on remontera loin, plus on bétonnera mieux (c'est pas français, ça), mieux cela sera (elle est nulle cette phrase).
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - ResumeFlipFlopGaiRequin.pdf (264.2 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 19:30
Merci pour ton travail.

Ce fameux quotient de la courbe de Fermat date d'il y a cinq semaines ! (cf [www.les-mathematiques.net])

Je crois que je voulais poser une question irrésolue n°2 sur ces extensions centrales au sujet desquelles on était tombé sur des problèmes inextricables de notations dans la littérature !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/01/2017 19:33 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 19:47
avatar
Merci Claude : ça c'est vite enchaîné ! J'ai fais un petit point sur les posts de mon côté ici ... C'est plus pour moi, mais y'a des liens sur quelques posts !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 20:19
avatar
Sinon j'aime bien aussi les groupes ... Cohomologie des groupes, j'ai suivi un cours y'a $x$ années, mais je n'ai jamais fait d'exemple grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 21:13
@vous deux
Rudiments de cohomologie des groupes ? On verra plus tard quand on remontera le fil à l'envers. Peut-être que dans 6 mois, on sera revenu aux extensions centrales de $S_n$ par $C_2$ ? Qui sait ?

@gai-requin : 5 semaines, les quotients de $x^4 + y^4 + z^4 = 0$ ! Le temps passe vite. Faudra revenir dessus car cette courbe a pour groupe d'automorphismes $\mathrm {SO}_3(\mathrm {cube}) \simeq S_4$ ; et il y a donc de quoi s'amuser pour encore mieux comprendre des choses.

Bien pratique, flip flop le post sur lequel tu pointes qui rassemblent divers pointeurs. Je parle de [www.les-mathematiques.net] que visiblement tu as mis à jour au fur et à mesure.

Autre chose :
Je viens d'avoir une idée à laquelle je n'avais pas pensé : le polynôme cyclotomique $\Phi_n(X)$ vérifie le critère de Dedekind en tout premier $p$. C'est un autre moyen pour montrer que $\Z[\root n\of 1]$ est l'anneau des entiers de $\Q(\root n \of 1)$ ; et en prime, on se récupère les lois de factorisation des premiers donc c'est tout bénéfice. Bien sûr, il faut comprendre ce critère de Dedekind. Disons que c'est la suite de ``petit Kummer''. Je pourrais fournir des pointeurs sur de la littérature mais souvent, ce dont on a besoin au début, c'est d'un exemple très simple qui permet de comprendre.

Donc quand ``petit Kummer'' sera ingurgité, on pourra s'y coller.

J'ai droit à une petite question du type ``en admettant disposer du caractère quadratique $\chi_D : (\Z/D\Z)^\times \to \{ \pm 1\}$ avec soi (admis), alors .." ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 21:28
Le critère de Dedekind, c'est celui qui consiste à regarder les groupes de Galois de plusieurs classes de $\phi_n$ ici modulo des nombres premiers ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 22:01
@gai requin
Arg, j'avais oublié que Dedekind, il avait fait ``pas mal de choses''. Non, c'est pas celui-là. Pour un polynôme unitaire irréductible $P \in \Z[X]$ avec une racine $x$, c'est un critère qui permet, pour un premier $p$, de montrer que $\Z[x]$ est ``intégralement clos localement en $p$''. Si cette phrase n'est pas claire, laisse béton pour l'instant. Et si c'est vrai pour tous les $p$ qui divisent le discriminant de $P$, alors $\Z[x]$ est l'anneau des entiers de $\Q(x)$. J'ai $X^3 - 2$ en état waiting.

Certes, de manière globale, ce critère ne s'applique pas souvent. Mais quand il s'applique, on aurait tort de s'en priver. Et justement, c'est le cas de $\Phi_n$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 22:46
Est-ce cela dont tu parles ? [www.les-mathematiques.net]
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