Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
93 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
30 janvier 2017, 22:59
Bonsoir Claude,

je suis, de loin mais régulièrement, l'épopée "Homographies et petits groupes de Galois".
Je me régale particulièrement lorsque le nez se lève du guidon et que vous retournez vous abreuver aux sources chez Gauss, Dedekind, Weil etc...

Je me permets d'insister pour que vous partagiez votre sentiment sur la comparaison de l'efficacité méthodes analytiques vs. algébriques d'après la vidéo de Serre. N'hésitez pas à y consacrer une digression, c'est un point qui me semble très intéressant. L'exemple de la formule de Dirichlet est d'ailleurs particulièrement élégant et frappant.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 06:50
@gai requin
Critère de Dedekind : c'est exactement cela (le post que tu pointes écrit par noix de totos). Mais comment as tu pu le retrouver ? En tout cas maintenant, tu ne pourras plus te défiler quand on te demandera ``Gai requin, est ce que tu peux nous retrouver un fil où l'on causait de ...''.
Il s'agit de relever dans $\Z[X]$ une factorisation modulo $p$ du polynôme minimal $P \in \Z[X]$ d'un $x$ entier sur $\Z$ :
$$
P(X) = P_1^{e_1} \ldots P_g^{e_g} + pR, \qquad \hbox {$P_i \in \Z[X]$ unitaire, irréductible modulo $p$}
$$
Et d'examiner $R$ modulo $p$ et d'en déduire ...etc... A voir peut-être bientôt.

@Nonoche
Merci. Mais le big problem, c'est que l'arithmétique, ce n'est pas mon métier. Et l'analytique en théorie des nombres, encore moins. Mais c'est quoi mon métier ? Retraité. Et en activité, mon penchant était l'algèbre commutative (effective) et un peu de géométrie algébrique (celle que je peux comprendre).

La vérité, c'est que j'essaie de comprendre un peu de maths. Et c'est difficile. Et parfois, je crois comprendre pourquoi c'est difficile de comprendre. Je vais donner un exemple que j'ai déjà fourni, mais peu importe. Il s'agit de la théorie des nombres : anneau d'entiers de corps de nombres et factorisation des premiers de $\Z$. Ce qui suit est véridique et m'a toujours frappé. Dans l'excellent et complet Zariski-Samuel, Commutative Algebra, Vol I, Ouvrage de 329 pages exactement, il faut attendre la page 312, section 12 du chapitre V Dedekind domains, pour avoir comme exemple celui des corps quadratiques.

Moi, je serais plutôt partisan de mettre l'exemple des corps quadratiques à la page 1.

@vous deux.
J'ai une activité de ``stabilisation'' plus simple que $\Z[\root n\of 1]$. Il s'agit de cas quadratique. Ci-dessous $K/\Q$ est un corps quadratique, $\mathcal O_K$ son anneau d'entiers, $D$ le discriminant et $F(X) \in \Z[X]$ un trinôme unitaire définissant $\mathcal O_K$ i.e. $\mathcal O_K = \Z[x] = \Z[X]/\langle F\rangle$. Par exemple :
$$
F(X) = X^2 \pm D X + {D^2 - D \over 4} \qquad \hbox {de discriminant $D$}, \qquad\qquad
x = {\pm D \pm \sqrt D \over 2}
$$
Il faut accepter de changer de modèle à tout instant. Par exemple, pour $D = 5$, on peut prendre comme flip-flop le polynôme $X^2 - X - 1$ et $x = {1 + \sqrt 5 \over 2}$. En passant, $X^2 - X - 1$ c'est un cas particulier de $X^n - X -1$, un polynôme (le polynôme de Selmer) que Serre considère à plusieurs reprises (dans Topics in Galois Theory, pages 42-43) et dans un papier que l'on trouve sur le web (On a theorem of Jordan) dans lequel Serre s'amuse (?) en particulier à compter le nombre de racines de ce polynôme modulo $p$ (mais il ne fait pas que cela dans ce papier).

(1) Détermination du $p$-Euler facteur de la fonction zeta de Dedekind de $K$. Il s'agit de la fraction rationnelle :
$$
Z_p(T) = 1 + a_p T + a_{p^2} T^2 + a_{p^3} T^3 + \cdots
$$
où $a_m$, pour $m \ge 1$, est le nombre d'idéaux de $\mathcal O_K$ de norme $m$.

C'est faisable assez facilement mais il faut prendre son temps. Il faut savoir qu'il y a 3 cas pour la décomposition de $p$ en produit d'idéaux premiers :
$$
p = \mathfrak p_1\mathfrak p_2, \qquad\qquad p = \mathfrak p, \qquad\qquad p = \mathfrak p^2
\qquad\qquad (\star)
$$
On adopte les notations habituelles en terrain galoisien (un adjectif bien pompeux pour le cas quadratique) :
$$
p = (\mathfrak p_1 \cdots \mathfrak p_g)^e \qquad f = \dim_{\mathbb F_p} \mathcal O_K/\mathfrak p_i
$$
Et bien sûr, comme $e, f, g$ dépendent de $p$, on leur colle un indice. Et l'on a toujours :
$$
e_p f_p g_p = [K : \Q] = \dim_\Z \mathcal O_K
$$
Dans le cas quadratique, $e_pf_pg_p = 2$ bien plus simple que $e_pf_pg_p = \varphi(n)$ dans le cas cyclotomique $\Q(\root n\of 1)$.

La loi de factorisation dans $(\star)$ est fournie par la valeur du symbole de Legendre $\left( D \over p\right)$. Sauf que celui ci n'est pas défini pour $p=2$ et qu'il faudra bien un jour ou un autre le remplacer par le symbole de Kronecker $\chi_D(p)$ qui résiste à $p = 2$.

Car cela va être indispensable de traiter les choses de manière uniforme et pas traiter $p=2$ comme un premier pestiféré. Faut penser à mézigues quand je vais implémenter QuadraticEulerFactor(D, p).

(2) Détermination de la fonction zeta de comptage des zéros du trinôme $F(X)$ dans $\mathbb F_{p^r}$. Là, encore bien plus simple car un trinôme du second degré sur un corps admet $0,1,2$ racines.

(3) Formule de comptage vue dans Frölich-Taylor du nombre d'idéaux premiers de $\mathcal O_K$ de norme $m$
$$
a_m = \sum_{d \mid m} \chi_D(m)
$$
On note bien sûr, un nouvel arrivant (mais pas complètement) c'est le fameux caractère quadratique $\chi_D$ :
$$
\chi_D : (\Z/D\Z)^\times \twoheadrightarrow \{\pm 1\}, \qquad
\chi_D(p) = \left( D \over p\right) \qquad \hbox {pour $p$ premier impair $\ge 3$}
$$
Il faut absolument comprendre que lorsque l'on a $\chi_D$ dans sa poche .. c'est que l'on tient les 3 lois de réciprocité quadratique.

Qu'en dites vous ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 07:15
Bonjour Claude.
Ayant remarqué que noix de totos, mine de rien, a déjà posté quantité de résultats en théorie des nombres depuis le peu de temps qu'il est inscrit sur le forum, j'ai juste tapé " critère de Dedekind noix de totos" dans google et bingo !

Pour le reste, je veux bien rester dans le cadre quadratique plus simple of course mais quand même très parlant.

J'ai quand même une question cyclotomique : puisque tu parlais d'utiliser le critère de Dedekind, comment factorise-t-on $\phi_n$ dans $\mathbb F_p[X]$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 07:38
@gai requin
Rester dans le cas quadratique : hum pourquoi ``rester" ? Cela fait petit joueur. Frileux ? Plutôt traiter à fond le cas quadratique avant le cas cyclotomique. Et peut-être qu'entre temps, il y aura d'autres filons (le cas abélien ? le cas galoisien ?).

Factorisation de $\Phi_n$ sur $\mathbb F_p$ ou $\mathbb F_q$ : j'ai attaché un certain nombre d'exos corrigés (en TeX) mais je n'arrive pas à m'y retrouver. Celui qui est concerné est PolynomeCyclotomiqueCorpsFini.pdf. Oh, gai-requin, grand spécialiste des retrouvailles, comment s'y prendre pour retrouver le post où j'ai attaché cela. Tu en es capable ?

Mais je ne veux pas imposer mes affaires : cela doit être facile de trouver des pointeurs sur le Web.

C'est là qu'intervient, lorsque $q \wedge n = 1$, l'ordre $f$ de $q$ dans $(\Z/n\Z)^\times$. Le polynôme $\Phi_n$ se factorise en $g$ facteurs tous de même degré $f$ ; avec bien sûr $\varphi(n) = fg$, à voir comme $\varphi(n) = efg$ où $e=1$.

Et l'ordre de $p$ dans $(\Z/n\Z)^\times$, c'est le degré résiduel $f_p$ des premiers de $\Z[\root n \of 1]$ au dessus de $p$. Tandis que $g_p = \varphi(n)/f_p$ est le nombre de premiers au dessus. Toujours dans le cas $p \wedge n = 1$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 08:07
C'est [là].winking smiley

Pas trop le temps aujourd'hui mais j'essaierai de regarder ce pdf ce soir.

Bonne journée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 31/01/2017 09:29 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 09:31
avatar
Hello,

Pour la formule :
$$Z_p(T) = 1 + a_p T + a_{p^2} T^2 + a_{p^3} T^3 + \cdots$$

Par exemple, pour $a_p$ c'est le nombre d'idéaux de norme $p$. C'est à dire que $a_p = 1$ si $p$ est ramifié, $0$ si $p$ est inerte et $2$ si $p$ est décomposé ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 09:46
@flip flop
Tout à fait, Jean-Paul. Et peux tu me dire, lorsque $p$ est décomposé en $p = \mathfrak p_1 \mathfrak p_2$, quels sont les idéaux de norme $p^2$, $p^3$, $p^k$ ? Et combien il y en a ?

Note : la norme sur les idéaux est multiplicative (en général dans l'anneau de TOUS les entiers d'un corps de nombres) mais ici, en terrain quadratique, c'est immédiat car $N(I) = I\overline I$ où $\overline {\bullet} : \Q(\sqrt D) \to \Q(\sqrt D)$ réalise $\sqrt D \mapsto -\sqrt D$.

PS : cela va être un régal. Sacré idée Flip-Flop de le faire pour un autre polynôme que $X^n-1$ ou $\Phi_n$. Car le degré 2, c'est ce qu'il y a de plus simple. Mais comme on ne savait pas trop ce que l'on fabriquait, on n'a pas commencé par le plus simple.

Je viens d'implémenter. Et pour $X^2 - X - 1$, on va trouver en globalisant le comptage sur tous les premiers, une sorte de ``forme modulaire des pauvres'' (une bête fraction rationnelle).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 10:01
avatar
Je dirai que dans le cas décomposé : $$a_{p^k}=k+1$$
Du coup, la série $Z_P(t)$ va être exprimable facilement :
$$
1/(1-t)^2
$$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 31/01/2017 10:05 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 10:09
@flip flop
YES. Et maintenant, il nous faut la série :
$$
1 + 2T^1 + 3T^2 + 4T^3 + \cdots + (k+1)T^k + \cdots
$$
Ou encore, le mieux c'est de dire franchement d'où tu sors ton $k+1$, petit cachotier. Ben, des couples $(i,,j)$ tels que $i+j = k$ from $\mathfrak p_1^i \mathfrak p_2^j$. Il n'y a plus qu'à développer :
$$
(1 + T + T^2 + T^3 + \cdots )\ (1 + T + T^2 + T^3 + \cdots)
$$
Comment obtient-on le coefficient de $T^k$ dans le produit ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 10:22
Je tape moins vite que toi ! Et dans les autres cas, je te laisse bosser mais je te fournis quand même ma fonction qui vient de sortir il y a une heure chez moi.

QuadraticEulerFactor := function(D, p)
  assert IsPrime(p) and IsFundamentalDiscriminant(D) ;
  ChiD := KroneckerCharacter(D) ;
  EulerFactor := 
    ChiD(p) eq 1 select       1/(1-T)^2 
    else ChiD(p) eq -1 select 1/(1-T^2) 
    else                      1/(1-T) ;
  return EulerFactor ;
end function ;

Parce qu'il va falloir que tu traduises en des termes tangibles les 3 cas : décomposé, inerte et ramifié. Et à cause du premier $p=2$ (un peu pestiféré quand même), on ne va pas s'en sortir avec le symbole de Legendre.
Mais $\chi_D$, auquel je te demande de CROIRE pour l'instant, va nous sortir de là : en quelque sorte le symbole de Kronecker va rendre le premier $p = 2$ honorable.

Bien sûr, on s'occupera de $\chi_D$ et $\Q(\sqrt D) \subset \Q(\root |D| \of 1)$ en temps utile. Mais on ne peut pas tout faire en même temps.

Et ce qui est dingue, c'est que ces trois petites fractions rationnelles là-haut, on va les retrouver comme fonctions zeta de $F(x) = 0$ sur $\mathbb F_{p^\bullet}$, $F$ étant le trinôme unitaire de degré $2$ qui définit $\mathcal O_K$. Oui, $\mathcal O_K$ et pas $K$, sacrée nuance : on fait de l'arithmétique.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 10:27
avatar
Yes !

Je pensais à un truc qui ressemble à $(1 + T + T^2 + T^3 + \cdots )\ (1 + T + T^2 + T^3 + \cdots)$ mais avec deux nombres premiers $p$ et $q$ en faisant le produit $Z_p \times Z_q$ mais ça fonctionne pas top !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 10:39
avatar
Du coup ensuite, on doit faire la série zéta ? et on va trouver la même chose ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 10:42
@flip flop
Vers la fin du post [www.les-mathematiques.net] (j'ai réussi à mettre la main dessus), il y a le développement de
$$
{1 \over (1-U)^g}
$$
en série formelle. C'est binomial, ce développement. Mais plus important que l'aspect quantitatif (le coefficient de $U^k$ est un coefficient binomial machin), ce qui compte c'est ce que représente le coefficient en $U^k$ : le nombre de $g$-uplets de $\N^g$ de somme $k$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 10:53
@flip flop
Oui, on doit trouver la même chose pour la série zeta de comptage de $F(x) = 0$ dans $\mathbb F_{p^r}$. Commence par le cas décomposé. Mais ce qui est pénible, c'est le cas $p=2$ : combien de racines pour un trinôme de degré $2$ dans un corps de caractéristique $2$ ? Le discriminant n'est pas suffisant. Alors j'ai zappé $p = 2$ disons, je l'ai aligné pour que cela marche. Mais n'oublie pas que le trinôme n'est pas un trinôme quelconque : il est de nature arithmétique car il tient $\mathcal O_K$.

De toutes manières, le caractère quadratique $\chi_D$, détenteur en son coeur des 3 lois de réciprocité quadratique, faudra y passer bientôt. On n'a plus le choix.

Mais à un moment donné, faudra expliquer SANS CALCUL, pourquoi on trouve la même chose. Et j'entends bien le faire dans le cas non monogène, en sortant le bon schéma de dimension $0$ sur $\Z$ qui encode le binz. Un polynôme en une variable ne suffira pas.

Elle est pas belle, la vie ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 11:04
@flip flop
T'as déjà vu une forme modulaire des pauvres ? Et bien en voilà une. Il s'agit de la fraction rationnelle :
$$
{T^2 + 2T^4 + T^5 \over (1-T)^5}
$$
Il s'agit dun NOUVEAU comptage ! Quand tu la développes en série formelle, le coefficient en $T^p$ pour $p$ premier, c'est le nombre de zéros du polynôme $X^2 - X - 1$ sur $\mathbb F_p$. Je me suis inspiré de Serre mais j'ai modifié, dans la section 5.2 page 7 son
$$
N_p(f) = 1 + a_p
$$
J'ai viré ce $1 + \ $. J'ai cru comprendre qu'il voulait la $L$-série liée à un certain caractère quadratique. Pas moi, en tout cas pas pour l'instant.

> // Serre, On a Theorem of Jordan, page 7
> NumberOfRoots := func < F, p | #Roots(ChangeRing(F, GF(p))) > ;
> 
> precision ;
70
> P := PrimesInInterval(2, precision) ; 
> P ;
[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 ]
> F := X^2 - X - 1  where X is IntegerRing(ZT).1 ;
> F ;
x^2 - x - 1
> assert Discriminant(F) eq 5 ;
> 
> ZerosCountingFraction := (2*T + 2*T^4 + T^5)/(1 - T^5) ;
> PSR!ZerosCountingFraction ;
2*t + 2*t^4 + t^5 + 2*t^6 + 2*t^9 + t^10 + 2*t^11 + 2*t^14 + t^15 + 2*t^16 + 2*t^19 + t^20 + 2*t^21 + 2*t^24 + t^25 + 
    2*t^26 + 2*t^29 + t^30 + 2*t^31 + 2*t^34 + t^35 + 2*t^36 + 2*t^39 + t^40 + 2*t^41 + 2*t^44 + t^45 + 2*t^46 + 2*t^49 
    + t^50 + 2*t^51 + 2*t^54 + t^55 + 2*t^56 + 2*t^59 + t^60 + 2*t^61 + 2*t^64 + t^65 + 2*t^66 + 2*t^69 + t^70 + O(t^71)
> [<NumberOfRoots(F,p), p> : p in P] ;
[ <0, 2>, <0, 3>, <1, 5>, <0, 7>, <2, 11>, <0, 13>, <0, 17>, <2, 19>, <0, 23>, <2, 29>, <2, 31>, <0, 37>, <2, 41>, <0, 43>,
 <0, 47>, <0, 53>, <2, 59>, <2, 61>, <0, 67> ]
> 
> assert &and [Coefficient(PSR!ZerosCountingFraction,p) eq NumberOfRoots(F,p) : p in P] ;
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 11:27
avatar
Bon bon ... je vais faire des petits calculs pour essayer de comprendre ce que tu essayes de m'expliquer grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 11:36
@flip flop
Je me suis mal expliqué. Pour l'instant, je ne sais pas pourquoi la série globale de comptage s'organise en une fraction rationnelle. En ce qui concerne l'exemple que tu avais choisis toi-même i.e. $D =5$ et $X^2 - X - 1$, je me suis inspiré de Serre (et je l'ai dit) mais en modifiant la chose comptée. C'était juste pour te signaler que tout cela n'était pas banal. Tout cela est pour moi mystérieux. L'implémentation date de ce matin et le cas quadratique au brouillon d'un peu avant.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 11:49
avatar
Je vais prendre un exemple, pour voir si j'ai compris :

Bon je prend $\Q(\sqrt{5})$, on a : $5 = 1 \pmod{4}$ donc l'anneau d'entier est $
\mathcal{O}_K = \Z \Big[ \frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big]
$ et le polynôme qui décrit l'extension d'anneau est : $x^2-x-1$.

Soit $p$ un nombre premier $\ne 2$ (Tu connais l'histoire du nombre premier $57$ ?), tel que $5$ est un carré $p$.

Dans ce cas : l'idéal $p$ se décompose en un produit de deux idéaux $p_1$ et $p_2$ de norme $p$.
Et la fonction $Z_p(t) = \frac{1}{(1-t)^2}$.

D'un autre côté, puisque $5$ est un carré dans $\mathbb{F}_p$, on a :
$$
\# \{ x^2-x-1 = 0, \, x \in \mathbb{F}_{p^r} \} = 2 = 1^r+1^r
$$
et donc la fonction Zéta ... en utilisant "if the author is polite" :
$$
\mathcal{Z}(T) = \frac{1}{(1-t)^2}
$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 12:01
avatar
Et dans l'autre cas : $p$ inerte ($5$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_p$). Je trouve par les deux méthodes :
$$
\frac{1}{1-T^2}
$$
Je vois bien que l'on compte deux truc qui "se ressemblent" mais avec la fonction zéta y'a quand même le coup de "if the author is polite" ... confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 12:07
Attention il faut aussi que $p \not = 5$ dans ton premier cas, c'est le cas où $p$ est ramifié dans $K$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 12:23
avatar
@Claude : pour ta fonction rationnelle ici Tu as fait varier les $p$ ... et tu as fait une sorte de produit des $Z_p$ ? Mais il faut faire un changement de variable

@poirot : Exact ... dans ce cas ; $Z_p =1+T+T^2 +\dots = \frac{1}{(1-T)}$ et par le comptage de $x^2-x-1 =0$ dans $\mathbb{F}_{p^r}$ donne $N_r = 1^r$ et la fonction zéta est aussi
$$\exp\Big(\sum_{r >0} N_r {T^r \over r} \Big) = \frac{1}{(1-T)}$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 14:40
@flip-flop
Je suis pas Zorro et je navigue à vue, je t'assure. Le développement vrai du cas quadratique date de quelques heures. Bien sûr, j'en ai parlé peut-être depuis quelques jours mais je ne m'y suis collé que ce matin. En pataugeant un tantinet au début.

Mais par exemple, dans le cas $p=2$ décomposé, c'est ok pour le nombre de racines de $X^2 + DX + {D^2 - D \over 4}$ sur $\mathbb F_{2^r}$. En effet, on veut trouver $2 = 1^r + 1^r$ racines. La seule manière, c'est que la réduction modulo $2$ de ce trinôme soit $X(X+1)$. Voir les 4 trinômes de degré 2 sur $\mathbb F_2$. Mais comme $2$ doit être décomposé, lorsque l'on consulte le théorème 2 de mon brouillon (header_prime_...), on y voit que $D$ doit être impair et un carré modulo 8 i.e. $D \equiv 1 \mod 8$. Et donc :
$$
X^2 + DX + {D^2 - D \over 4} \equiv X^2 + X = X(X+1) \bmod 2
$$
Le bilan, c'est qu'ici ($p = 2$), je suis lourdingue et que le brouillon en question, il n'est pas top. Peut-être faut-il reformuler la loi de factorisation de $p=2$ en des termes plus mieux ?

Je repointe le papier de Serre [www.ams.org]

Bien sûr que je devrais être clair sur toutes ces séries. Mais ce n'est pas le cas. On peut se demander pourquoi je ne suis pas clair. Serre, page 7, section 5.2, n'est pas trop bavard sur la question et ne s'adresse peut-être pas aux bricolos que nous sommes.

Je ne sais même pas si ce qu'il réalise pour $D=5$ et $F(X) = X^2 - X - 1$ est spécifique à ce polynôme. Je vois juste qu'il joue avec le polynôme $X^n - X - 1$ pour $n =2, 3, 4$. Et pour $n \ge 5$, il pose des questions en disant : no explicit connexion with modular forms (or modular representations) is know, although somme exist because of the Langlands program.

Mais c'est bien sûr.

En fait, il en dit un peu plus : $X^n - X -1$ est irréductible (Selmer, j'ai la démo quelque part) et de groupe de Galois $S_n$ (ce n'est pas de la tarte, cela vient du fait que le groupe de Galois est engendré par les groupes d'inertie : c'est évoqué dans Topics, page 42, remark 2).

Je ne suis pas né avec une $L$-série dans mon berceau (je n'ai pas eu cette chance). Je te dis tout ce que je sais et je ne te cache rien. Tiens regarde.

La série de comptage

> ZerosCountingFraction := (2*T + 2*T^4 + T^5)/(1 - T^5) ;
> PSR!ZerosCountingFraction ;
2*t + 2*t^4 + t^5 + 2*t^6 + 2*t^9 + t^10 + 2*t^11 + 2*t^14 + t^15 + 2*t^16 + 2*t^19 + t^20 + 2*t^21 + 2*t^24 + t^25 + 
    2*t^26 + 2*t^29 + t^30 + 2*t^31 + 2*t^34 + t^35 + 2*t^36 + 2*t^39 + t^40 + O(t^41)
> [<NumberOfRoots(F,p), p> : p in P] ;
[ <0, 2>, <0, 3>, <1, 5>, <0, 7>, <2, 11>, <0, 13>, <0, 17>, <2, 19>, <0, 23>, <2, 29>, <2, 31>, <0, 37> ]
> assert &and [Coefficient(PSR!ZerosCountingFraction,p) eq NumberOfRoots(F,p) : p in P] ;

La série qui figure dans Serre

> // La série (a_m)_{m >= 1} figurant dans Serre qui vérifie #{x^2-x-1 = 0}(F_p) = a_p + 1
> // Et qui est strongly multiplicative (dixit Serre) et qui est une certaine L-série
> D ;
5
> ChiD := KroneckerCharacter(D) ;
> LChiD := LSeries(ChiD) ;
> FormalSeries(LChiD, precision) ;
t - t^2 - t^3 + t^4 + t^6 - t^7 - t^8 + t^9 + t^11 - t^12 - t^13 + t^14 + t^16 - t^17 - t^18 + t^19 + t^21 - t^22 - t^23
    + t^24 + t^26 - t^27 - t^28 + t^29 + t^31 - t^32 - t^33 + t^34 + t^36 - t^37 - t^38 + t^39

La série zeta de Dedekind de $\Q(\sqrt 5)$ :

> // La fonction zeta de Dedekind de Q(\/5)
> F ;
x^2 - x - 1
> K<x> := NumberField(F) ;
> LK := LSeries(K) ;
> S := FormalSeries(LK, precision) ;
> S ;
t + t^4 + t^5 + t^9 + 2*t^11 + t^16 + 2*t^19 + t^20 + t^25 + 2*t^29 + 2*t^31 + t^36
> // Vérification du nombre d'idéaux de norme m
> assert &and [Coefficient(S,m) eq &+[ChiD(d) : d in Divisors(m)] : m in [1..precision]];
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 15:14
avatar
J'arrive à cette formule : en séparant selon les congruences et en utilisant un truc trouver sur la fonction zeta ...
$$
\prod_{p \in \mathbb{P}} Z_p(p^{-s}) = \zeta(s) \sum_{n > 0} \frac{\chi_D(n)}{n^s}
$$
Mais je ne absolument pas ce que je fabrique là confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 15:57
avatar
Dans le lien de Serre que tu as donné : la fonction rationnel est obtenu en utilisant ton trick et la $5$ périodicités des coefficients ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 15:59
flip-flop
J'avais pas compris qu'il fallait comprendre immédiatement ce que l'on étudiait. Mais c'est une bonne idée (de comprendre tout de suite), je la retiens. Bien sûr que c'est tout bon. Tu viens d'écrire pour un corps quadratique $K/\Q$ de discriminant $D$ que :
$$
\zeta_K(s) = \zeta(s)\, L_D(s), \qquad\qquad L_D(s) \quad \buildrel {\rm def} \over = \quad \sum_{n \ge 1} {\chi_D(n) \over n^s}
$$
Et si cela peut te rassurer (et moi aussi), c'est écrit chez Cohen, à la page 233. C'est bien sûr spécifique au cas quadratique.

On réinvente l'eau chaude ? Et alors ?

Je vois que tu t'habitues à $\chi_D$. Et en faisant un petit effort, tu pourrais pas en déduire :
$$
a_m = \sum_{d \mid m} \chi_D(d) \qquad\qquad \hbox {(rappel $a_m$ est nb. d'idéaux de norme $m$ de $K$)}
$$
C'est petit de jouer avec les corps quadratiques ? Ben, comment cela se fait que Frölich & Taylor s'y reprennent à 3 fois

V.1 Quadratic fields p. 175
VI.3 Quadratic fields revisited p. 220
VIII.6 Quadratic fields, again p. 306

Et à la page 306, cela commence à cartonner (on arrive vers la fin du livre) : c'est là qu'ils exposent les résultats analytiques, où l'on remonte $\mathbb F_p$ dans $[0..p[$, le coup des résidus non-résidus dans la première moitié (Dirichlet, cf vidéo de Serre).

Autre chose. Dans TOUS les cas, le $p$-Euler facteur de $K$ est :
$$
Z_p(T) = {1 \over (1 - T^{f_p})^{g_p}}
$$
C'est aussi la fonction zeta de $\{F(x)=0\}/\mathbb F_p$. Mais cela serait bien d'avoir la série génératrice de
$$
r \longmapsto \#\{\mathbb F(x) =0\}(\mathbb F_{p^r})
$$
J'ai pas eu le temps. Ce sont ces séries qu'il va falloir ``assembler''. Je suis pas sûr de moi.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 16:13
@flip flop
Ton post [www.les-mathematiques.net] à propos de Serre, je n'en sais pas plus que toi. J'ai quand même vu qu'il avait écrit :
$$
\left( {p \over 5} \right) \qquad \hbox {et pas} \qquad \chi_5(p) \quad \buildrel {p \ne 2} \over =\quad \left({ 5 \over p }\right)
$$
Mais c'est pareil !

Il n'est pas bavard bavard dans la section 5.2. Mais, mais, as tu vu qu'à la fin de l'article, page 9, Notes, qu'il y a 6 pages et demi d'explications ``techniques''. A mon avis, il a voulu un texte agréable à lire. As tu vu aussi, dans ces Notes, pour la section 5.1, comptage du nombre de racines d'un polynôme sur $\mathbb F_p$ qu'il donne des détails et qu'il parle de PARI. Si, si.

J'espère que tu t'amuses un peu avec le cas quadratique ..
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 20:58
@vous deux
Petites nouvelles du front (quadratique). Soit $D$ un discriminant quadratique fondamental et la série
$$
L_D(s) = \sum_{m \ge 1} {\chi_D(m) \over m^s}
$$
En fait, cette somme je n'en ferais rien de spécial. Je la mentionne de manière à pouvoir la retrouver dans la littérature.

Ce qui m'intéresse, c'est la suite $(\chi_D(m))_{m \ge 1}$. Il est clair que cette suite est complètement multiplicative puisque $\chi_D$ est un caractère. Il est clair aussi qu'elle est périodique de période $|D|$ puisque $\chi_D$ est défini sur $(\Z/D\Z)^\times$ et propagé à $\Z/D\Z$ comme on le pense.

Bilan : on dispose d'une série formelle qui est une fractionnelle :
$$
K_D(T) \quad \buildrel {\rm def} \over = \quad \sum_{m \ge 1} \chi_D(m) T^m = {\sum_{m=1}^{|D|-1} \chi_D(m) T^m \over 1 - T^{|D|} }
$$
Par exemple, chez Serre, $D = 5$ donc le dénominateur est $1 - T^5$ et le numérateur est
$$
\chi_5(1) T + \chi_5(2) T^2 + \chi_5(3) T^3 + \chi_5(4) T^2 = T - T^2 - T^3 + T^4
$$
Donc pour l'instant, c'est banal.

Soit maintenant $F$ un trinôme unitaire du second degré définissant l'unique anneau quadratique de discriminant $D$. Et notons $N_p(F)$ son nombre de racines dans $\mathbb F_p$. Alors
$$
N_p(F) = 1 + \chi_D(p)
$$
A droite, $1 + \chi_D(p)$ prend les valeurs $0$ (quand $\chi_D(p) = -1$), $1$ (quand $\chi_D(p) = 0$) et $2$ (quand $\chi_D(p) = 1$). Une petite vérification montre c'est exactement $N_p(F)$.

Rien de bien compliqué donc. On peut alors produire une fraction rationnelle qui tient compte de ce $+1$ :
$$
{T \over 1-T} + K_D(T)
$$
Cette fraction fractionnelle, quand on la développe en série formelle, on trouve que son coefficient de $T^p$ est $N_p(F)$.

Bilan : on s'est fait peur pour rien. Tout cela est relativement banal. Enfin, ce qui ne l'est pas du tout, c'est l'existence de $\chi_D$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
31 janvier 2017, 21:37
avatar
Super le résumé !

Tu n'utilises pas vraiment le "caractère" complètement multiplicatif ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 08:01
avatar
Hello,

Pour la formule :
$$a_m = \sum_{d \mid m} \chi_D(d)$$
petite idée (je ne rédige pas complètement) j'ai fait pour $D=5$:

Alors je commence par le cas où $m=p^r$. Dans le cas où $\chi_D(P)=1$, on a vu que $a_{p^r} = r+1$ et on vérifie :
$$
\sum_{d \mid p^r} \chi_D(d) = r+1
$$
Ensuite si : $\chi_D(p)=-1$, on a vu que : $a_{p^r} = 0$ ou $1$ selon la parité de $r$ et on constate que ça colle avec la formule $\sum_{d \mid p^r} \chi_D(d) $.

Ensuite, il faut voir que si $m=\prod p_i^{r_i}$ alors $a_m = \prod a_{p_i^{r_i}}$ et on a également (sauf erreur de calcul) :
$$
\prod \sum_{d \mid p_i^{r_i}} \chi_D(d) = \sum_{d \mid m} \chi_D(d)
$$

Pas trouvé plus simple, comme approche !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 09:51
@flip flop
Il me semble que la formule en question devrait découler (ou du moins est liée) à $\zeta_K(s) = \zeta(s) L_D(s)$, pas eu le temps de réfléchir.

Un truc que j'aimerais bien (ici je me comporte en égoïste) : c'est que l'on fasse le point sur $\chi_D$ de manière à pouvoir clarifier des notes qui remontent à une dizaine d'années. Car tu peux pas savoir le merd.er que cela peut-être parfois (en tout cas, ce qu'il a été dans ma tête). Exemple : j'attache quelques pages de Ribenboim et si tu regardes la définition en 26.1 du caractère quadratique, tu vas te barrer en courant.

Certains auteurs (Ribenboim, Serre dans Cours d'Arithmétique) ont choisi d'indexer le caractère par l'entier sans facteur carré $d$. Personnellement, je préfère l'indexer par le discriminant ce qui me permet d'être en accord avec les 2 primitives magma KronekerCharacter [[from DirichletGroup]] et KroneckerSymbol (stand alone, à deux opérandes, dans le sens KroneckerSymbol(D, *)).

Avec tout le respect que je dois à Ribenboim, je trouve que sa section 26.1 est assez atroce ; de plus, il utilise comme pré-requis le symbole de Jacobi. Serre, comme à son habitude, possède un traitement bien plus élégant (cf d'une part p. 15, les 2 caractères $\chi_{-4}$ et $\chi_8$ et surtout VI.1.3 caractères modulaires)

Mon idée, c'était d'élever un peu le débat (si je peux me permettre) et de ``faire de la théorie de Galois'' avec le coup de l'inclusion $\Q(\sqrt D) \subset \Q(\root |D| \of 1)$. La première chose à faire, c'est de démontrer que tout discriminant quadratique fondamental est produit, de manière unique, de discriminants quadratiques fondamentaux primaires. Ici, primaire, c'est de mézigues : cela signifie de la forme $p^*$ avec $p$ premier impair $\ge 3$ ou bien les 3 discriminants fondamentaux exceptionnels :
$$
-4 = \mathrm {Dis}(\Z[i\rbrack), \quad \Z[i\rbrack = \Z[\root 4 \of 1] \qquad\quad
8 = \mathrm {Dis}(\Z[\sqrt 2]), \quad \Z[\sqrt 2] \subset \Z[\root 8 \of 1] \qquad\quad
-8 = \mathrm {Dis}(\Z[\sqrt {-2}]), \quad \Z[\sqrt {-2}] \subset \Z[\root 8 \of 1]
$$
Faire de la théorie de Galois ne signifie pas que l'on va planer à 15000 sans retombée concrète. Je veux dire par là, qu'il est indispensable d'obtenir (par exemple) les formules de Serre. De temps, en temps, faut savoir faire du vrai. Ainsi :
$$
\chi_8(m) = (-1)^{m^2 - 1 \over 8}, \qquad \chi_{-8}(m) = -\chi_8(m+2), \qquad \chi_{-4}(m) = (-1)^{m-1 \over 2} \qquad \hbox {$m$ impair}
$$
Et d'ailleurs les trois caractères $\chi_8, \chi_{-8}, \chi_{-4}$ sont reliés par :
$$
\chi_8 \chi_{-8} \widetilde {\chi_{-4}} = \varepsilon \quad \hbox {(le caractère trivial)}
$$
J'ai désigné par $\widetilde {\chi_{-4}}$ le composé de $\chi_{-4}$ défini sur $(\Z/4\Z)^\times$ par $(\Z/8\Z)^\times \to (\Z/4\Z)^\times$.

Note $\chi_D$ est un caractère primitif i.e. son conducteur est égal à $|D|$.

Voilà, voilà, encore du boulot. Mais on n'a rien sans rien.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - RibenboimClassicalTheoryAlgebraicNumbersPages568-573.pdf (1.33 MB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 11:14
@flip flop
La formule :
$$
a_m = \sum_{d \mid m} \chi_D(m)
$$
elle est multiplicative en $m$ i.e. les deux membres sont multiplicatifs au sens $\mathrm {truc}_{mm'} = \mathrm {truc}_m\, \mathrm {truc}_{m'}$ pour $m \wedge m' = 1$. Il suffit donc de la vérifier sur $m = p^r$. Bon, mais c'est ce que tu as réalisé en fait, sans le dire vraiment comme cela.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 11:16
avatar
Je fais juste un petit truc (pas trop de temps aujourd'hui) pour voir si j'ai bien compris.

Par exemple, pour calculer $\chi_8(3)$.

Je considère : $\zeta := \exp( i \pi / 4)$, on a : $\sqrt{2} = \zeta+\zeta^{-1}$. Du coup, $3$ agit sur $\zeta$ comme la puissance $3$. On a (je note $3 \star \sqrt{2}$ l'action de Galois de l'automorphisme qui correspond à $3$):
$$
3 \star \sqrt{2} = \zeta^3 +\zeta^{-3} = -\sqrt{2}
$$
Donc : $\chi_8(3)= -1$ et $2$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_3$.

Maintenant, si je prend $m=7$, donc ce cas là on trouve (je passe le calcul d'une ligne) : $\chi_8(7) = 1$ et $2$ est un carré modulo $7$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 11:38
flip-flop
Vu et OK. Je me permets de coucher une stratégie vu que j'y ai un peu réfléchi il y a 10 ans et de nouveau ces derniers temps.

(1) Assurer le bien fondé de $\chi_D$ pour $D$ discriminant quadratique fondamental primaire. Cela veut dire assurer d'abord l'inclusion $\Q(\sqrt D) \subset \Q(\root |D| \of 1)$. Mais cela a été fait justement pour $D = p^*, -8, 8, -4$. C'est le coup de ton $\sqrt 2$. Puis ensuite :
$$
\chi_D(p) = \left( {D \over p} \right) \qquad \hbox {pour $p$ premier impair $\ge 3$} \qquad\qquad (\star)
$$
Bien sûr, c'est une manière de parler de la loi de réciprocité.

Note : un caractère est caractérisé par ses valeurs sur les premiers impairs $\ge 3$.

(2) Procéder à l'assemblage du tout (inclusion et $(\star)$) par multiplicativité (produit de manière unique ..etc..)

(3) Disposer de formules concrètes pour $\chi_D$.

(4) Un point de vue structurel sur .. plus tard.

Faire gaffe à tout. Par exemple $20 = 4 \times 5$ n'est pas un discriminant quadratique fondamental ; c'est $5$ qui l'est (il faut dégraisser $4$). Tandis que $-20 = (-4) \times 5$ en est un et j'ai écrit sa décomposition en produits de discriminants quadratiques fondamentaux primaires.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 01/02/2017 11:41 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 17:47
@vous deux

Ci-dessous, quand je dis ``Si on croit en $\chi_D$'' où $D$ est un discriminant quadratique fondamental, cela voudra dire que l'on croit en l'existence d'un caractère quadratique non trivial :
$$
\chi_D : (\Z/D\Z)^\times \twoheadrightarrow \{\pm 1\} \qquad \hbox {vérifiant} \quad
\chi_D(p) \quad \buildrel {(\heartsuit)} \over =\quad \left( {D \over p}\right) \quad \hbox {pour $p$ premier impair $\ge 3$}
$$
Et rien de plus.

(1) Si on croit en $\chi_5$, alors on a la loi de réciprocité quadratique pour .... (à compléter)

(2) Soit $q$ un premier impair $\ge 3$ ; si on croit en $\chi_{q^*}$, alors on a la loi de réciprocité quadratique pour .... (à compléter)

(3) En anticipant (je ne sais trop quoi) : what about the quadratic character $\chi_K$ for the field $K = \Q(\sqrt {15})$ ?

(4) Est-il utile de préciser ``non trivial'' vu la propriété $(\heartsuit)$ ?

(5) Quand j'ai besoin, en programmation, d'une racine primitive $p$-ième de l'unité en caractéristique $0$ i.e. ``au dessus de $\Q$'', où est ce que je vais la chercher ? Dans $\C$ ? (il faut savoir que je ne suis pas trop riche, et que $\C$, je n'ai peut-être pas les moyens).

(6) Question du même type : j'ai besoin de ``monter'' une somme de Gauss sur $\mathbb F_p$, du type $\sum_{a \in \mathbb F_p} \Psi(a)\chi(a)$ où $\chi$ est un caractère multiplicatif d'ordre 4 et $\Psi$ le caractère additif $a \mapsto \zeta^ a$ où $\zeta$ est une racine primitive $p$-ème de l'unité. Je me fournis où ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 17:54
avatar
Je fais la une smiling smiley


(1) On croit en $$\left( {5 \over p}\right)$$
ne dépend que de la classe de $p$ modulo $5$ !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 18:46
avatar
@Claude : je vois le truc mais j'ai du mal a mettre tous les acteurs a en place.

Je veux dire il faut considérer l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt{D^*}) =\Q(\tau)$ et réduire modulo un premier $\ell$ et voir comment agit $x \to x^\ell$ ... si l'action est trivial alors c'est ce que $\ell$ se décompose et donc $D^*$ est un carré modulo $\ell$. et si l'action n'est pas trivial. C'est encore flou, mais ça va venir grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 18:58
@flip flop

Doucement. J'ai l'impression que tu veux aller plus vite que la musique.
Pour l'instant, estimes tu avoir répondu au (1). J'y vois que $\left( {5 \over p}\right)$ ne dépend que de $p$ modulo 5 pour $p$ premier impair $\ge 3$. Et alors ?

Un truc : faut vachement vachement faire attention à tout. Par exemple, ``pour $p$ premier impair $\ge 3$ ..''.

En tout cas, cette histoire m'a permis de mettre de l'ordre dans mes affaires et dans ma tête. J'ai implémenté une fonction de nom MyKnroneckerCharacter dont tu imagines le job. Et je l'ai comparée à KroneckerCharacter de magma. Evidemment, cela ne marchait pas. Cela ne marche jamais au début malgré tout le soin que tu y mets. Bon mais avec un peu d'habitude, cela va assez vite quand même.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 20:36
avatar
Oui, je reprend. Je sais pas si ça va être plus clair !

Pour $D = 5$. Je prend $\ell$ (je me mélange les pinceaux avec $p$ et $q$), donc je prend $\ell \in (\Z/D\Z)^*$. Si $\ell$ est un carré alors $\chi_D(\ell)=1$. Et comme le morphisme $\chi_D$ est non trivial on doit avoir $\chi_D(\ell)=-1$ pour les $\ell$ non carrés de . $ (\Z/D\Z)^*$

Démonstration : si il existe $\ell_0$ non carré modulo $D$ et vérifiant $\chi_D(\ell_0) = 1$, alors l'application $\Z /D\Z^* \to (\Z\ / D\Z)^*$ de multiplication par $\ell_0$ est un bijection des non-carrés dans les carrés modulo $D$. On en déduit que le morphisme $\chi_D$ est trivial.

Ensuite, je voulais considérer les anneaux d'entiers et réduire tous le monde modulo $\ell$. Et c'est là que je veux faire entrer dans le jeu le $\tau$ de la somme de Gauss, d'abord je prend $\zeta$ racine primitive $|D|$-ième de l'unité et on forme la somme de Gauss :
$$ \tau := \sum_{i \in (\Z\ / D\Z)^*}\chi_D(i) \zeta^i$$
et, (cf ton jolie exercice) :
$$
\tau_1 := \sum_{i \, | \, \chi_D(i)=1} \zeta^i \quad \text{et} \quad \tau_0 := \sum_{i \, | \, \chi_D(i)=-1} \zeta^i
$$
De sorte que : $\tau = \tau_1 - \tau_0$.

Bien sûr, on a : $\tau^2 = D^*$ et $\tau$, $\tau_1$ et $\tau_0$ sont des entiers de $\Q(\zeta)$, mais aussi de $\mathcal{O}_{\Q(\sqrt{D^*})}$


Je peux prendre un nombre premier $\ell$ ne divisant pas $D$ et réduire $\tau$, $\tau_1$ et $\tau_0$ modulo $\ell$ dans $\mathcal{O}_{\Q(\sqrt{D^*})}$. Et là je pense qu'on doit pouvoir comprendre la valeur de $\chi_D(\ell)$ en regardant l'action de $x \to x^\ell$ dans $\mathcal{O}_{\Q(\sqrt{D^*})} / (\ell)$ (en utilisant la réduction de $\tau_1$ et $\tau_0$). Si cette action est trivial ($\chi_D(\ell)=1$) alors $\ell$ est décomposé dans $\mathcal{O}_{\Q(\sqrt{D^*})}$ et $D^*$ (le discriminant) est un carré dans $\mathbb{F}_\ell$.

J'arrête là ... 1522m d'altitude grinning smiley

Dans quoi tu m'as embarqué Claude confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 21:13
Salut les arithméticiens.
Trop fatigué pour faire des maths. thumbs up
Mais demain, c'est les vacances ! drinking smiley
Je vais pouvoir reprendre mes investigations sur le critère de Dedekind qui règlerait son cas à $\Z[\sqrt[n]{1}]$.
Bonne soirée. winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
01 fvrier 2017, 21:41
avatar
@gai requin : cool les vacances drinking smiley
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 151 387, Messages: 1 539 029, Utilisateurs: 28 278.
Notre dernier utilisateur inscrit light544.


Ce forum
Discussions: 19 964, Messages: 201 662.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page