Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
135 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
15 fvrier 2017, 22:22
Bonsoir. Comment va ?

J'apporte quelques précisions pour le calcul de $N_p(f=X^3-X-1)$ par Monsieur Serre.

Soit $L$ le corps de décomposition de $f$ et $K=\Q(\sqrt{-23})$.
Soit $\theta$ une racine de $f$ dans $L$ de telle sorte que $L=K(\theta)$.
Comme $-23=1\bmod 4$, on a
$$\mathcal{O}_K=\Z\left[\frac{1+\sqrt{-23}}{2}\right].$$
De plus, comme $-23$ est squarefree dans $\mathcal{O}_K$ (n'importe quoi, merci CQ) , on a aussi
$$\mathcal{O}_L=\mathcal{O}_K[\theta].$$
Soit alors $\mathfrak p$ un idéal premier de $\mathcal{O}_K$.
S'il est ramifié dans $\mathcal{O}_L$, on a $\mathfrak p=\mathfrak P^3$, ce qui implique que $f$ modulo $\mathfrak p$ a une racine triple : absurde.

On obtient assez facilement $N_2(f)=0$ et $N_{23}(f)=2$.
Soit alors $p$ premier impair $\neq 23$.
On a déjà vu [ici] que si $\left(\dfrac{p}{23}\right)=-1$, $\sigma_p$ est une transposition donc $N_p(f)=1$.
Sinon, $\sigma_p$ est l'identité (et $N_p(f)=3$) ou un $3$-cycle (et $N_p(f)=0$).
De plus, $-23$ est un carré modulo $p$ dans ce cas-là donc $(p)=\mathfrak p\overline{\mathfrak p}$ dans $\mathcal{O}_K$.
Soit enfin $\mathfrak P$ un idéal de $\mathcal{O}_L$ au-dessus de $\mathfrak p$.
On obtient
$$\sigma_p=1_L\Leftrightarrow \frac{\mathcal{O}_L}{\mathfrak P}=\mathbb F_p\Leftrightarrow \mathfrak p\text{ est principal }\Leftrightarrow \mathfrak p\in [1] \text{ dans }C\ell_K.$$
On conclut alors en utilisant la correspondance entre $C\ell_K$ et les formes quadratiques entières de discriminant $-23$.



Modifié 4 fois. Dernière modification le 16/02/2017 18:06 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 00:13
avatar
Hello Gai requin,

Ca va bien, et toi encore vacance ?

Merci pour ton résumé, je note le post pour lire plus tard, pour l'instant je comprends pas du tout !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 08:23
@flipflop :
Encore un peu de vacances et quelques copies...

Warning : mon résumé est peut-être bourré d'erreurs. confused smiley

En tout cas, j'essaie tranquillement d'étudier ces histoires de ramification.
Va encore pour le Frobenius (grâce à Claude) mais l'application d'Artin et la théorie des corps de classes, c'est pas pour tout de suite !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 11:01
avatar
@Gai requin : même si j'ai suivi un cours de théorie de corps de classe, je n'ai pas la moindre idée de ce que ça peut être !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 11:59
@vous deux
Cela va beaucoup trop vite pour moi. Exemple en ce qui me concerne : depuis 3 jours, de temps en temps, j'examine la page 215 de Fröhlich & Taylor, très exactement les 11 lignes qui encadrent les égalités (2.4.a) et (2.4.b). Je ne suis pas d'accord avec la preuve. Et bien sûr, pour moi ce n'est pas un détail.
Je continue à croire à l'importance des caractères primitifs et à l'unique caractère primitif associé à un caractère (de Dirichlet) quelconque. Sauf que .. mais j'ai tout mon temps.

@gai requin
Je n'ai pas compris ton explication du pourquoi $L/K$ n'est pas ramifiée.

@flip flop
Il doit y avoir du vrai dans ce que tu dis car produire le polynôme de degré 9 (et le reste) ne peut pas être le fruit du hasard. Mais est ce que cela ne serait pas une bonne chose de reprendre des points ? Et de détailler un peu pour C.Q. qui est bien vieux.

Exemples : pourquoi une seule extension de degré $9$ de $\Q$ contenue dans ..? Cela correspond à un sous-groupe de Galois d'indice 9 i.e. d'ordre 40 ? Car $(13-1)\times (31-1) = 9 \times 40 = 360$. Il y a un seul sous-groupe d'indice 9 dans $C_{10} \times C_{30}$? C'est quoi ce morphisme $\ell \mapsto -31\ell^4 - 65\ell^{10}$ ? Quelle est l'image de $\ell = 1$ ? J'ai été surpris par l'apparition de sommes de Gauss en terrain cyclotomique de niveau non premier.

Mais, j'insiste : il y a sans aucun doute quelque chose dans ce que tu dis. Peux tu ``le mettre en valeur'' ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 12:45
@CQ : Comment va ?

J'essaie de détailler pourquoi $L/K$ n'est pas ramifiée.

Soit $\mathfrak p$ un idéal premier de $\mathcal O_K$.
Comme $L/K$ est galoisienne de degré $3$, on a $efr=3$, où $e,f,r$ désignent respectivement l'indice de ramification et le degré résiduel de $\mathfrak p$, et $r$ le nombre d'idéaux distincts dans sa décomposition.
Donc si $\mathfrak p$ est ramifié, $e=3,f=r=1$ et on peut trouver un idéal premier $\mathfrak P$ de $\mathcal O_L$ tel que
$$\mathfrak p=\mathfrak P^3.$$
Comme $f=1$ et $\mathcal O_L=\mathcal O_K[\theta]$, cette décomposition signifie que $X^3-X-1$ modulo $\mathfrak p$ a une racine triple.
Un petit calcul montre que ce n'est pas possible.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 14:03
@gai requin
Pas trop le temps. Pourquoi $\mathcal O_L = \mathcal O_K[\theta]$, la base n'étant plus $\Q$ ? Invoquer le discriminant sans facteur carré au dessus de ? Quel sens ?
Vu le coup de racine triple pas possible.
Plus généralement, soit $F \in \Z[X]$ unitaire, de degré 3, irréductible et tel que son discriminant $D$ soit sans facteur carré. Alors $K := \Q(\sqrt D) \subset L$ où $L$ est le corps de décomposition de $F$ (c'est une extension galoisienne de $\Q$ de degré 6 de groupe de Galois $S_3$).

Alors $L/K$ est non-ramifiée ? C'est cela que tu peux obtenir plus généralement ?

Impact pour moi (non prévu) : $3 \mid h_K$ où $h_K$ est le cardinal du groupe des classes d'idéaux de $K$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 14:06
avatar
@Claude : Oui je vais refaire vraiment proprement ! J'avoue que ça doit être super complexe à décrypter ! Sorry !

Un petit truc : pour les sommes de Gauss, il me faut construire explicitement un isomorphisme entre
$\left(\Z/13*31\Z\right)^*$ et son groupe dua
l ! Mais ce n'est pas visible dans ce que j'ai écrit, et du coup l'image de $\ell = 1$ ne correspond pas à $1$ mais à $307$ et pourtant je parle de morphisme de groupe ! On va croire que je n'ai jamais fait de théorie des groupes grinning smiley

En fait, c'est juste un petit modulo qui c'est glissé dans ma construction mais ça ne change pas les fibres.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 16/02/2017 15:09 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 14:43
@CQ :
Tu soulignes bien les tracas que Serre m'a causés !

1) Je pense avoir montré que
$$\mathcal O_L=\Z\left[\frac{1+\sqrt{-23}}{2},\theta\right].$$

2) On peut voir [ici] à l'exercice 3 qu'il n'existe pas d'extension non ramifiée de $\Q$.
Dans notre exemple, $p=23$ est ramifié dans $L$.

3) Donc, et Serre ne l'a pas dit, c'est bien $L/K$ qui devrait être non ramifiée !

Attention : je ne dis pas avoir fourni les justifications correctes parce que, comme tu dis, on a changé de corps de base ! confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 15:38
@gai requin

Ou est la preuve de $\mathcal O_L = \Z[{1 + \sqrt {-23} \over 2}, \theta]$ ?

Comment Serre ne l'a pas dit ? Ligne 3 du point 5.3 page 437 :
$L$ is a cubic cyclic extension of the quadratic field $K = \Q(\sqrt {-23})$ ; it is unramified, and since $h(-23)=3$, it is the Hilbert class field of $K$.

Et qu'est ce qui perdure pour polynôme plus général de degré 3 comme spécifié dans mon post précédent ?

@flip flop
Tu ne veux pas me spécifier les 9 valeurs que tu trouves à l'aide de ce soi-disant morphisme ? Que représentent-elles ?

Est ce que je peux poser une toute petite question super-précise sur UN point qui me turlupine ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 15:50
avatar
@Claude : oui oui pour les questions ?

Si si bien sûr, c'est l'isomorphisme chinois réciproque (avec des compositions sur chaques facteurs), je détails mieux ce soir !

C'est plus simple comme ça !
> m := 13*31;
> R := ResidueClassRing(m);
mu3mu3 := {-5*31*l^4 +12*13*l^10: l in R | GCD(l, m) eq 1  }; 
mu3mu3;

                          { 1, 211, 222, 191, 94, 315, 118, 373, 87 }

Les autres valeurs sont congrus modulo un sous groupe d'ordre $40$ mais promis je le fait très proprement ce soir, avec les détails manquants ! C'est pas complexe du tout !

Là, j'ai un petit cours grinning smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 16/02/2017 16:06 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 16:46
@CQ :
Ma justification pour $\mathcal O_L$ était :
Comme $-23$ est squarefree dans $\mathcal O_K$, $\mathcal O_L=\mathcal O_K[\theta]$.

Maintenant, je ne sais pas si le coup du squarefree reste valable si le corps de base n'est pas $\Q$...
Je fais avec les moyens du bord.
Faudrait revoir tout ça avant de s'attaquer au cas général $\Q(\sqrt{D})\subset L$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 16:49
@flip flop
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par c'est ``plus simple comme cela''.

On peut utiliser le théorème Chinois de plusieurs manières, cf ce qui vient. Note que je mentionne très très rarement des valeurs ``en dur'' dans mes programmes magma (moi, ceinture jaune). Par exemple :

> q1 := 13  ; q2 := 31 ;
> d,u,v := XGCD(q1,q2) ;
> uq1 := u*q1 ;  vq2 := v*q2 ;
> assert 1 eq uq1 + vq2 ;
> q1q2 := q1*q2 ;
> 
> // Isomorphisme chinois : Z/q1Z x Z/q2Z -> Z/q1q2Z : (y,z) -> x = vq2*y + uq1*z
> IsoChinois := func < y,z | (vq2 * y + uq1 * z) mod q1q2 > ;
> 
> Uq1q2 := [x : x in [1..q1q2-1] | Gcd(x,q1q2) eq 1] ;
> // 3^3 = 1 mod 13 : g = 3 générateur de l'unique sous-groupe d'ordre 3 de U(Z/13Z)
> g := 3 ; assert Order(GF(q1)!g) eq 3 ;
> // 5^3 = 1 mod 31 : h = 5 générateur de l'unique sous-groupe d'ordre 3 de U(Z/31Z)
> h := 5 ; assert Order(GF(q2)!h) eq 3 ;
> 
> // On cherche l'unique sous-groupe C3xC3 de U(Z/13Z) x U(Z/31Z) ~ U(Z/(13x31)Z)
> // C3xC3 = {x in Uq1q2 | x^3 = 1}. Use  4 = (13-1)/3    10 = (31-1)/3
> // Brute force : on passe Uq1Uq2 tout entier pour trouver 9 valeurs
> G := {IsoChinois(x^4,x^10) : x in Uq1q2} ;
> G ;
{ 1, 87, 94, 118, 191, 211, 222, 315, 373 }
> assert #G eq 9 and &and [x^3 mod q1q2 eq 1  : x in G] ;
> // Moins brutal : on tabule les 9 valeurs
> C3xC3 := {IsoChinois(g^i, h^j) : i,j in {0..2}} ;
> assert C3xC3 eq G ;


Ma question est super-simple. Fröhlich-Taylor, page 215, preuve de (2.4.a.)
$$
G_m \cdot G_n = G_d
$$
Il est écrit $x = 1 + mmm' + nn' = (1+mm')(1 + nn') - mnm'n' \equiv yz \bmod g$ where $y = 1 + mm'$ et $z = 1 + nn'$.

Je ne comprends pas pourquoi $y$ est inversible modulo $g$. Ce $g$ est le ppcm (LCM) de $n,m$. Idem pour $z$.
Sur le papier, cela ne semble pas très grave. Mais en programmation, un peu plus. Il s'agit là de ce qui va armer l'unicité du caractère primitif associé à un caractère de Dirichlet. Faut surtout pas prendre cela à la légère.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 16:51
@gai requin
Cela veut dire quoi squarefree dans un anneau non principal (comme $\mathcal O_K$) ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 17:09
@CQ :
Et $\mathcal O_K$ n'est même pas factoriel !

Il vaut peut-être mieux raisonner avec la norme ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 17:12
@gai requin
Dans $\Q(\sqrt {-23})$, on a $-23 = \big( \sqrt {-23}\big)^2$ donc le côté squarefree, ben ...

Peut-être que quand j'ai dit ``cela va trop vite pour moi'', cela voulait dire ..euh...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 16/02/2017 17:13 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 17:39
Je t'assure que je prends mon temps ce qui ne m'empêche pas de dire des grosses c.nner.es ! thumbs up

Du coup, je pense qu'il faut décomposer dans $\mathcal O_K[\theta]$ l'idéal premier de $\mathcal O_K$ qui contient $23$.
C'est bien $23$ le problème non ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 18:42
@gai requin
Il y a (pour moi) un autre facteur que le temps, que le fait de prendre son temps. Il m'est impossible de faire autrement, car quand tu programmes, le verdict est terrible.

Bon, retour à $\mathcal O_L$. Un autre principe chez moi (c'est agaçant n'est ce pas), c'est de ne pas essayer de montrer quelque chose de faux. C'est trop de temps perdu. J'essaie de faire en sorte de m'assurer de la vraisemblance du binz. Ici, je vais pas m'emm.rder, je vais demander à magma. Tout en me méfiant de ses résultats. Ben, $\mathcal O_K[\theta]$, c'est loin du compte. C'est à distance 23 du Graal (distance au sens de l'indice).

> F := X^3 - X - 1 ;
> assert Discriminant(F) eq -23 ;
> L<rm23, x> := NumberField([X^2 - (-23), F] : Abs := true) ;
> assert rm23^2 eq -23  and  Evaluate(F,x) eq 0 ;
> assert Degree(L) eq 6 ;
> 
> OL := MaximalOrder(L) ;
> B := Order([(1+rm23)/2, x]) ;
> Index(OL, B) ;
23
> ChangeUniverse(Basis(OL), L) ;
[
    1,
    1/2*rm23 + 1/2,
    x,
    1/2*rm23*x + 1/2*x,
    x^2,
    1/46*rm23*x^2 + 5/23*rm23*x + 7/46*rm23 + 1/2*x^2 + 1/2
]

Et si magma se trompait ?? Ne jamais oublier cela. Je vais quand même vérifier le fait que le dernier élément est bien entier.

> y := Basis(OL)[6] ;
> ZX ! MinimalPolynomial(y) ;
X^6 - 5*X^5 + 15*X^4 - 21*X^3 + 13*X^2 - 3*X + 1
> 
IsNormal(SimpleExtension(L)) ; 
true
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 18:58
avatar
@Claude : Oui c'est exactement ça que j'ai fait. Merci pour le code. Tu me l'a dis plusieurs fois de ne pas se fatiguer avec magma, mais bon j'ai quand même écrit en dur !

Pour la question concernant Fröhlich-Taylor.

En fait, $x$ est inversible modulo $g$ (par hypothèse) et on a : $x=yz \pmod{g}$. Ceci force, $y$ et $z$ a être inversible car on a : $1 = y x^{-1}z \pmod{g}$ ?

Dis moi si j'ai bien compris la question ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 19:01
Merci !
Donc tu as trouvé un élément primitif de $L$.
Est-ce que pour autant, $\mathcal O_L$ est monogène sur $\Z$ ? sur $\mathcal O_K$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 19:31
@flip flop
Je sais pas comment tu as pu faire cela en ligne. Tu vas te tuer. J'ai fini par comprendre, en désignant par $C_3 \times C_3$ le sous-groupe que l'on sait de $(\Z/(13 \times 31)\Z)^\times$, que tu avais pris les fibres de la surjection :
$$
(\Z/(13 \times 31)\Z)^\times \ni x \longmapsto x^{4 \times 10} \in C_3 \times C_3
$$
Peut-être que c'est bien, au préalable, d'avoir écrit :
$$
(\Z/(13 \times 31)\Z)^\times \simeq (\Z/13\Z)^ \times \times (\Z/31\Z)^\times \simeq C_{12} \times C_{30} \simeq
C_3 \times C_4 \times C_3 \times C_{10}
$$
Du coup, je retrouve ton polynôme :

> q1, q2, q1q2 ;
13 31 403
> C3xC3 ;
{ 1, 87, 94, 118, 191, 211, 222, 315, 373 }
> Fibres := [[x : x in Uq1q2 | Modexp(x,40,q1q2) eq y] : y in C3xC3] ;
> L<z> := CyclotomicField(q1q2) ;
> LT<T> := PolynomialRing(L) ;
> S := [&+[z^k : k in C] : C in Fibres] ;
> F := &*[T - s : s in S] ;
> F ;
T^9 - T^8 - 94*T^7 + 57*T^6 + 1686*T^5 - 968*T^4 - 4696*T^3 - 96*T^2 + 2560*T + 512

Il faut maintenant que je comprenne tes histoires de caractères.

En ce qui concerne Fröhlich & Taylor, mais c'est bien sûr. Quel c.n ! Je cherchais la chose en examinant la tronche de $x$.
Du coup, pour mes histoires de carcatères sur les anneaux finis, il me semble que cela va avancer.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 19:40
@gai requin
Non, je n'ai pas trouvé un élément primitif de $L/\Q$ mais en voilà deux : $\sqrt {-23} + x$ et ${1 + \sqrt {-23} \over 2} + x$. Mais au point de vue fermetures intégrales, c'est pas top (en faisant encore confiance à qui tu sais mais attention) :

> s := rm23 + x ;
> assert Degree(MinimalPolynomial(s)) eq 6 ;
> Index(OL, Order([ s])) ;
152770968
> t := (1+rm23)/2 + x ;
> assert Degree(MinimalPolynomial(t)) eq 6 ;
> Index(OL, Order([ t])) ;
357075
Je ne sais pas répondre à tes 2 questions.





Modifié 1 fois. Dernière modification le 16/02/2017 19:51 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 20:50
avatar
@Claude : Pour les caractères c'est encore plus cabalistique. Je vais refaire l'exemple, car là c'est pas du tout clair ! Vraiment navré ... je suis nul en magma ! Mais en ligne, c'est vraiment dur ! Je fais pas mal de calcul avec xcas en même temps, et d'autre à la main ! Du coup, mon code ne ressemble à rien !




L'idée que je veux mettre en oeuvre, AD si tu passes par ici, tu pourras sans doute nous éclairer ?

Soit $A$ un groupe abélien fini.



Un sous-groupe $G$ de $A$, peut se voir comme une image d'un morphisme $A \to A$. C'est à dire, un sous-groupe de $A$ est aussi un quotient de $A$.



Pour nous $A := \left(\Z /n\Z\right)^*$ et $G$ un sous-groupe de $A$ (dans notre exemple, le sous groupe est $G=\text{C}_3\times \text{C}_3$). Savoir que c'est un sous-groupe n'est pas important car si l'on veut construire $K \mid \Q$ sous-extension de $\Q(\zeta_{n}) \mid \Q$ de groupe $G$ il nous faut plutôt avoir $G$ comme un quotient.



Mais je pense que la construction d'un isomorphisme de $A$ vers son dual $\widehat{A}$ permet de faire le lien.



En effet, une inclusion $G \to A$ devient une surjection $\widehat{A} \to \widehat{G}$ et comme $A \simeq \widehat{A}$ et $G \simeq \widehat{G}$, on a le truc en théorie ! Ça c'est le refrain .... nous on veut les paroles !



Il faut construire une bijection pour mener les calculs (ce n'est pas un problème, il me semble, a condition de dire que $2$ est chiant), mais je pense que le fait que la bijection entre $A$ et son dual n'est pas canonique va y avoir un problème confused smiley ... mais c'est pour ça que j'ai pris $p=13$ et $p=31$ pour garantir l'unicité du sous-groupe d'ordre $9$ pour virer le problème de non canonicité .

Mais c'est vraiment spéculatif ce que je raconte !!! J'ai mis : un délire magma, Claude. .. Je suis parti loin grinning smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 16/02/2017 21:45 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 21:48
@flip flop
CHAPEAU Je viens de reprendre ce que tu as fait, sans tout comprendre, surtout la définition de Chi3bis. Comme je connais un peu magma, j'ai pu pas mal simplifié. Par exemple, ta fonction zeta, telle que zeta(p) est le dénominateur du facteur $p$-Eulérien de la fonction $\zeta_K$ de Dedekind de $K$ ($K$ est la fameuse extension abélienne de $\Q$ dont le groupe de Galois $G$ est $\simeq C_3 \times C_3$)

QjT<T> := PolynomialRing(Qj) ;
zeta := map < Z -> ZX | m :-> ZX!&*[1 - Chi3(m)^i*Chi3bis(m)^j * T : i,j in [0..2]] > ;

p := 157 ;  assert zeta(p) eq (1-X)^9 ;

K<x> := NumberField(F) ;
OK := MaximalOrder(K) ;
EulerDenominator := func < p | (1 - X^fp)^gp	where gp is #Dp	where fp is Dp[1][1]
                                                     where Dp is DecompositionType(OK,p) > ;
time assert &and [zeta(p) eq EulerDenominator(p) : p in PrimesInInterval(2,500)] ;

J'espère que tu reconnais un peu tes affaires. Qj c'est le corps $\Q(j)$ qui suffit pour l'arrivée des caractères qui sont d'ordre 3 (à part le caractère trivial).

Détail dans la définition de zeta : le produit des $1 - \chi_3(x)^i \chi_{3\rm bis}(x)^j \ T$ est un polynôme à coefficients entiers même si ces facteurs sont à coefficients dans $\Z[j]$. D'où le ZX! (opérateur bang, forcing de conversion).

Mais c'est DINGUE, ce que tu as fait là, en ligne ! Tu as donc défini les caractères étendus sur le groupe de Galois $G$. Comme $G$ est un QUOTIENT de $\mathrm {Gal}(L/\Q)$ où $L$ est l'extension $m$-cyclotomique avec $m = 13 \times 31$, on a une injection :
$$
\widehat G \quad \longmapsto\quad \widehat {(\Z/m\Z)^\times}
$$
Ils sont vus (les habitants de $\widehat G$ i.e. ton Chi3 et Chi3bis et leurs produits) comme des caractères de Dirichlet modulo $m$. Mais à mon avis, tes deux caractères Chi3 et Chi3bis doivent être primitifs, de conducteur 3. Il faudrait en savoir plus.

Tu es FOU. Dans le bon sens du terme.

Tu saurais expliquer Chi3 et Chi3bis ? I.e. m'en dire plus.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 16/02/2017 22:19 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
16 fvrier 2017, 23:28
@CQ :
On voit [ici] que ces histoires d'extensions non ramifiées construites à partir de la théorie du corps de classes demandent un investissement lourd.
On voit quand même notre polynôme à la p.21.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 07:36
avatar
Hello Claude,



J'ai changé un peu pour chi3, j'ai plutôt construit un générateur de $\widehat{\left(\Z/13\Z\right)^*}$.
Pour le conducteur, je pense que c'est $13$, pour chi3bis c'est $31$ ?

Je veux créer $\chi : \left(\Z/13\Z\right)^* \to \C$ générateur de $\widehat{\left(\Z/13\Z\right)^*}$. Soit $g \in \left(\Z/13\Z\right)^*$ un générateur et $y$ une racine $12$-ième de l'unité. Alors, $\chi(g^k) := y^k$ est générateur du groupe des caractères.

Z := IntegerRing();
p:=13;
Cyclo<y> := CyclotomicField(p-1);
BASE := {y^i : i in [0..p-2]};
K:=GF(p);
GENS := PrimitiveElement(K);
Chi_GENS := map <Z -> {0} join BASE | l :->  GCD(p,l) eq 1  select y^(Log(K!GENS, K!l)) else 0 > ;
Chi3 := map < Z -> {0} join BASE  | l :->  GCD(p,l) eq 1  select y^(ExactQuotient(p-1,3)*Log(K!GENS, K!l)) else 0 > ;
[Chi_GENS(l)^ExactQuotient(p-1,3) eq Chi3(l): l in [1..p-1]];
// unique sous-groupe d'ordre 3 , donc garantie



Modifié 3 fois. Dernière modification le 17/02/2017 07:58 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 07:36
@gai requin
Théorie du corps de classes : ce n'est pas pour moi. N'oublie pas que l'arithmétique ou la théorie des nombres, ce n'est pas du tout mon métier.

Formule de transitivité des discriminants (classique, cf par exemple Samuel p. 112, point 8). Il faut faire attention, pour les corps de nombres, au fait que, lorsque la base n'est plus $\Q$ avec son anneau d'entiers $\Z$ qui a la gentillesse d'être principal, les notions deviennent plus difficiles. Définir la norme d'un idéal (qui est un idéal) ou le discriminant (qui est aussi un idéal) demande du travail. Il faut souvent passer en local : le localisé, en un idéal premier, d'un anneau de Dedekind est un anneau de valuation discrète, et on retrouve ainsi en local le terrain agréable des anneaux principaux.

Soit $K_1 \subset K_2 \subset K_3$ trois corps de nombres. On a alors la formule, dite de transitivité (ce sont des idéaux de $\mathcal O_{K_1}$)
$$
\mathrm {Disc}(K_3/K_1) = N_{K_2/K_1}\bigl( \mathrm {Disc}(K_3/K_2)\bigr) \times \mathrm {Disc}(K_2/K_1)^{[K_3 : K_2]}
$$
Dans notre histoire avec :
$$
K_1 = \Q, \qquad K_2 = K = \Q(\sqrt {-23}), \qquad K_3 = L
$$
j'ai fait vérifier par magma que :
$$
\mathrm {Disc}(L/\Q) = (-23)^3 = (-23)^{[L:K]}
$$
Et donc $L/K$ n'est pas ramifiée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/02/2017 07:44 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 08:07
@CQ :
Est-ce que $\mathrm {Disc}(L/K)=\mathcal O_K$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 08:11
@flip flop
Comme je n'ai pas bien (?) compris tes définitions de Chi3 et Chi3bis, je les ai modifié ainsi (rappel chez moi $q_1 = 13$, $q_2 = 31$).

Qj<j> := CyclotomicField(3) ;
g := Fq1!2 ; assert Order(g) eq q1-1 ;
h := Fq2!3 ; assert Order(h) eq q2-1 ;
// Chi3 : 2 modulo 13 -> j
Chi3 := map < Z -> {0,1,j,j^2} | x :-> Gcd(q1,x) eq 1 select j^Log(g,Fq1!x) else 0 > ;
assert Chi3(2) eq j ;
// Chi3bis : 3 modulo 31 -> j
Chi3bis := map < Z -> {0,1,j,j^2} | x :-> Gcd(q2,x) eq 1 select j^Log(h,Fq2!x) else 0 > ;
assert Chi3bis(3) eq j ;

Je pense que nous sommes maintenant en l'état d'écrire une peite note entre-nous pour essayer de nous y retrouver. Faire attention à ne pas faire trop de magma (je sais de quoi je parle), qui souvent fournit des choses cryptiques.
De mon côté, c'est prévu (petite note). Comme le groupe de caractères du groupe de Galois d'une extension abélienne de $\Q$ se réalise canoniquement dans le groupe de Dirichlet de modulus le conducteur de cette extension abélienne, et comme j'ai un peu bossé cela, je vais compléter mon RingGaussSum (et l'attacher dans la matinée, je pense)

Pourquoi je crois à ce que je raconte ci-dessus :

13*31 ;
403
> G<chi1, chi2> := DirichletGroup(13*31, Qj) ;
> G ;
Group of Dirichlet characters of modulus 403 over Cyclotomic Field of order 3 and degree 2
> Order(G) ;
36
> C6xC6<a,b>, iso := AbelianGroup(G) ;
> C6xC6 ;
Abelian Group isomorphic to Z/6 + Z/6
Defined on 2 generators
Relations:
    6*a = 0
    6*b = 0
> assert Order(chi1) eq 6 ;
> // Donc chi1^2 est d'ordre 3
> chi1(2) ;
j + 1
> (chi1^2)(2) ;
j
> assert Order(chi2) eq 6 ;
> // Idem chi2^2 est d'ordre 3
> chi2(3) ;
j + 1
> (chi2^2)(3) ;
j

Sans oublier :

> Modulus(chi1^2) ;
403
> Conductor(chi1^2) ;
13
> Modulus(chi2^2) ;  
403
> Conductor(chi2^2) ;
31
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 08:22
@gai requin
Oui tout à fait. On a une égalité de type $\mathrm {truc} = N_{K/\Q}(J) \times \mathrm {truc}$ donc $1 \in N_{K/\Q}(J)$ et donc $1 \in J$. Et $J$, c'est $\mathrm {Disc}(L/K)$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 08:25
avatar
@Claude : c'était pas une bonne idée de ma part de mettre le corps Qj il faut voir $\Q(\zeta_{13})$ pour chi3 et $\Q(\zeta_{31})$ pour chi3bis ... c'est les conducteurs de mes caractères ...les deux sont d'ordres $3$ donc ils vont dans les racines $3$-ième de l'unité.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/02/2017 08:32 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 08:26
@CQ :
Et donc, si $L/K$ était ramifiée, on n'aurait pas $\mathrm {Disc}(L/K)=\mathcal O_K$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 09:05
@gai requin
Yes

@flip flop
Oui, j'ai bien compris qu'il y avait une sorte de bricolage sur l'exemple $m = 13 \times 31$. Mais j'insiste : de mon côté, je vais mettre le paquet sur les caractères sur les anneaux finis (conducteur et tout le truc). Immense avantage (pour moi) : je n'affronte qu'UN terrain à la fois. Exit dans ma manière de faire les extensions abéliennes de $\Q$.

Par ailleurs, W. Stein, dans son ouvrage sur les formes modulaires, consacre un chapitre entier aux caractères de Dirichlet et ce n'est pas pour rien (je pense que c'est lui l'implémenteur en magma, mais je n'arrive pas à retrouver cette information). Idem, Frohlich & Taylor prennent le temps, à leur manière, de présenter ce dont ils ont besoin sur les caractères de Dirichlet. Je t'accorde que leur ``extended residue class characters'' $\widetilde {\Theta}_K$, c'est un peu dur à avaler. Mais l'information est dedans !

Encore une excécution magma au cas où tu ne me croirais pas. Attention chi1, chI2 n'ont plus le même sens que dans le post précédent (post que l'on a déjà oublié). Ici, je ne parle PAS de $\Q(j)$ ! Mais la MECANIQUE des caractères de Dirichlet va retrouver ce corps cyclotomique où tombent CERTAINS caractères qui nous concernent. Si je peux me permettre, cela vaut le coup de prendre son temps pour voir les PRIMITIVES qui sont utilisées. Car les implémenteurs connaissent la vie (dans ce domaine) bien mieux que nous. J'aime certes bricoler mais je fais confiance aux professionnels (Fröhlich & Taylor)

> G<chi1, chi2> := FullDirichletGroup(13*31) ;
> G ;
Group of Dirichlet characters of modulus 403 over Cyclotomic Field of order 60 and degree 16
> Order(G) ;
360
> EulerPhi(13*31) ;
360
> AbG<a,b>, iso := AbelianGroup(G) ;
> AbG ;
Abelian Group isomorphic to Z/6 + Z/60
Defined on 2 generators
Relations:
    12*a = 0
    30*b = 0
> Order(chi1) ;
12
> Order(chi1^4) ;
3
> Conductor(chi1^4) ;
13
> Order(chi2) ;
30
> Order(chi2^10) ;
3
> Conductor(chi2^10) ;
31
> 
> Chi3 := AssociatedPrimitiveCharacter(chi1^4) ;
> Codomain(Chi3) ;
Cyclotomic Field of order 60 and degree 16
> Modulus(Chi3), Conductor(Chi3) ;
13 13
> Chi3Min := MinimalBaseRingCharacter(Chi3) ;
> Codomain(Chi3Min) ;
Cyclotomic Field of order 3 and degree 2     <------------------- Q(j) s'invite à table
> 
> Chi3bis := AssociatedPrimitiveCharacter(chi2^10) ;
> Codomain(Chi3bis) ;
Cyclotomic Field of order 60 and degree 16
> Modulus(Chi3bis), Conductor(Chi3bis) ;
31 31
> Chi3bisMin := MinimalBaseRingCharacter(Chi3bis) ;
> Codomain(Chi3bisMin) ;
Cyclotomic Field of order 3 and degree 2     <------------------- Q(j) s'invite (de nouveau) à table




Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/02/2017 09:07 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 09:13
@CQ :
Comme quoi, le discriminant que je connais mal permet de faire énormément de choses.
A moi de combler cette lacune...

Dernière question pour aujourd'hui : puisque $L$ est le corps de classes de Hilbert de $K$, est-ce que $h_L=1$, i.e. $\mathcal O_L$ est-il principal ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 09:59
@gai requin
Mais je n'y connais rien de rien, je t'assure. Il y a ici, sur le forum, une personne qui connaît bien, je pense, la théorie du corps de classes : noix de totos. Peut-être que tu pourrais ouvrir un fil là-dessus pour poser des questions ?

J'ai juste vu qu'il y avait un chapitre dans [webusers.imj-prg.fr]. Mais je n'y connais RIEN RIEN RIEN.

Cependant, j'ai vérifié dans notre cas PARTICULIER que $h_L = 1$. De plusieurs manières : en reprenant le $L$ déjà fabriqué avec $\sqrt {-23}$ et $x$ racine de $X^3 - X - 1$, mais en en faisant une SimpleExtension pour ne PAS FATIGUER magma. Et en demandant à magma de déterminer lui-même le corps des classes de Hilbert de $\Q(\sqrt {-23})$.


> time ClassNumber(L) ;
1
Time: 6.820
> Lbis := SimpleExtension(L) ;
> time ClassNumber(Lbis) ;    
1
Time: 0.290
> 
> K<rm23> := QuadraticField(-23);
> time Lter<s> := HilbertClassField(K) ;                                                                      
Time: 0.090
> Lter ;
Number Field with defining polynomial $.1^3 - 3*$.1 + rm23 over K
> AbsoluteField(Lter) ;
Number Field with defining polynomial $.1^6 - 6*$.1^4 + 9*$.1^2 + 23 over the Rational Field
> IsIsomorphic(Lbis, AbsoluteField(Lter)) ;
true 
Mapping from: FldNum: Lbis to Number Field with defining polynomial $.1^6 - 6*$.1^4 + 9*$.1^2 + 23 over the Rational Field

Exercice faisable (mais du boulot quand même) : en faisant semblant de ne pas connaître $X^3 - X-1$, mettre $L_{\rm ter}/K$ sous la forme ``simplest cubic field''. Voir un post antérieur avec mention d'un exercice corrigé sur l'extension galoisienne générique universelle de groupe de Galois $C_3$. La solution n'est PAS dans l'énoncé mais dans le corrigé.

Plus le temps : une question de 2 lignes me conduit à une réponse de plus de 2 lignes.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 10:14
Merci ! (et désolé pour le dérangement)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 11:44
avatar
J'ai fais quelques tests, il y a l'air que ça fonctionne bien smiling smiley C'est vraiment dingue, Claude !

J'arrête avec magma ... c'était marrant grinning smiley

Je mets en pièce jointe un code avec 2 fonctions.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - magma_galois.tex (3 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 17:01
@vous deux
C'est quand que vous vous procurez magma ?

J'ai eu le temps de taper 2 ou 3 bricoles. J'attache mais c'est pas relu. Chantier à C.Q., vous voyez le genre ? Est ce que vous pouvez me donner un coup de main pour le lemme 4 qui dépend du lemme 3 (section Conducteur) ? Merci. Coup de main : cela veut dire que des choses devraient être plus limpides.

J'ai essayé aussi de faire une mise à jour sur $\chi_D$ et les sommes de Gauss. Mais c'est loin d'être terminé. J'ai failli tomber sur oeuf-poule. Si les choses ne sont pas un peu stabilisées maintenant, elles ne le seront jamais. Et moi, j'ai besoin de m'appuyer sur de la terre ferme.

Besoin d'un coup de main aussi pour le lemme 11. Il y a beaucoup beaucoup de trous (compter le nombre de A FAIRE dans les preuves).

@flip flop
J'ai bien vu ton code. Tu es fou (bis). Je l'ai bien arrangé encore (si je peux me permettre). J'ai même osé le faire tourner pour $p$ puissance d'un premier .. Et tout c'est écroulé comme je m'en doutais.
Il faudra (plus tard) assurer la cohérence dans les racines de l'unité. Do you see what I mean ?

Flip-flop : dis le, tu ne crois pas à mes histoires (qui, en fait ne sont pas les miennes) de caractères primitifs, de conducteurs ..etc.. Hein ?

Une chose (importante) à faire qui ne mange pas de pain. Cela veut dire quoi spécifier de manière concrète une extension abélienne $K/\Q$ ? On se la donne comment ? Par son conducteur cyclotomique $m$ et par un morphisme surjectif $\theta : (\Z/m\Z)^\times \twoheadrightarrow G$ avec $G = \mathrm {Gal}(K/\Q)$ ? J'ai continuellement des hésitations entre quotients et noyaux. Si on se donne $\theta$, cela détermine $K \subset \Q(\root m \of 1)$ comme étant le sous-corps des points fixes de $\ker\theta$. Mais il n'y a aucune raison pour que $m$ soit le conducteur cyclotomique de $K$ ??

AJOUT De temps en temps, je suis pris pour un robot !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/02/2017 17:11 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 17:08
@CQ :
J'ai déjà acheté le costume. winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
17 fvrier 2017, 17:29
@gai requin
Noir, le costume ? Couleur cravate ?
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 151 323, Messages: 1 537 972, Utilisateurs: 28 262.
Notre dernier utilisateur inscrit felz.


Ce forum
Discussions: 19 951, Messages: 201 605.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page