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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 mars 2017, 16:38
Oui, tout à fait. Histoire de prendre son temps, assurer les quelques points suivants ne peut pas faire de mal même si on a besoin de bien moins.

(1) $I$ un idéal d'un anneau commutatif $R$ quelconque. Alors :
$$
(R/I^e)^\times \longmapsto (R/I)^\times \quad \hbox {est surjective de noyau $1 + I/I^e$}
$$
En conséquence, si les groupes ci-dessus sont finis, alors :
$$
\# (R/I^e)^\times \quad =\quad \# (R/I)^\times \times \# (I/I^e)
$$
Je pense bien sûr à $R$ anneau de nombres et $I$ un idéal non nul. Et si $I$ est inversible, encore une petite simplification.

(2) Soit $A \subset B$ deux anneaux commutatifs avec $B$ entier sur $A$. Si $a \in A$ est inversible dans $B$, il l'est dans $A$. Cas particulier de $1 \in IB \Rightarrow 1 \in I$ pour $I$ idéal de $A$. Lui-même cas particulier d'un déterminant trick :
$$
IB \cap A \subset \sqrt {I}
$$

(3) Soit $B$ un anneau de nombres, $f \in \N^*$ et $A = \Z + fB$. Le conducteur de $B$ dans $A$ est $fB$ : why ? Et pourquoi :
$$
\Z \to A/fB \quad \hbox {induit un isomorphisme} \quad \Z/f\Z \simeq A/fB
$$

(4) Soient $A \subset B$ deux anneaux de nombres d'un même corps de nombres $K$ et $\mathfrak f$ le conducteur de $B$ dans $A$. Pourquoi dispose-t-on d'une injection canonique :
$$
B^\times / A^\times \hookrightarrow (B/\mathfrak f)^\times / (A/\mathfrak f)^\times
$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 10:24
@gai requin
C'est juste une anecdote qui est liée aux anneaux quadratiques réels qui ont été (provisoirement) mis de côté. Anecdote car ce n'était pas prévu. Pour essayer de te suivre, j'ai donc écrit des petits outils permettant de déterminer l'indice $[B^\times : A^\times]$ quand $B$ est l'anneau des entiers d'un corps quadratique réel et $A \subset B$ l'unique sous-anneau d'indice $f \in \N^*$ i.e. $A = \Z + fB$.

On sait (Pell-Fermat) que $B^\times$ et $A^\times$ sont isomorphes à $\{\pm 1\} \times \Z$. Ce qui veut dire pour $B$ par exemple qu'il existe un unique élément $u \in B^\times$, avec $u > 1$ tel que $B^\times = \pm u^\Z$. Le groupe quotient $B^\times / A^\times$ est cyclique et il s'agit donc de déterminer le plus petit exposant $n \ge 1$ tel que $u^n \in A$.

Je prends l'exemple le plus simple avec le nombre d'or lié à l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt 5)$ :
$$
\phi = {1 + \sqrt 5 \over 2}, \qquad \phi^2 = \phi + 1, \qquad B = \Z[\phi]
$$
Ajout Je dis que c'est le plus simple car $\phi$ est l'unité fondamentale (et $\phi$ est de norme $-1$).

Je considère la suite de Fibonacci :
$$
F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \qquad \cdots, \qquad F_{n+2} = F_n + F_{n+1}
$$
Et je la définis même pour $n \le 0$ de sorte que l'on ait $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$ pour tout $n \in \Z$:
$$
F_{-1} = 1, \quad F_{-2} = -1, \quad F_{-3} = 2 \qquad \cdots
$$
On a alors :
$$
\phi^n = F_{n-1} + F_n\ \phi \qquad \forall \quad n \in \Z
$$
On se donne $f \ge 1$ et on cherche donc le plus petit $n_0 \ge 1$ tels que $\phi^{n_0} \in \Z[f\phi]$, ce qui signifie $F_{n_0} \equiv 0 \bmod f$.
Et ce $n_0$, c'est l'indice convoité $[\Z[\phi]^\times : \Z[f\phi]^\times]$.

D'ailleurs, en passant, cela implique que :
$$
\{ n \in \Z \mid F_n \equiv 0 \mod f \} \qquad \hbox {est un sous-groupe non trivial de $\Z$}
$$
Et bien, c'est cela qui n'était pas prévu. Je ne le savais pas a priori.

Et la détermination de $[\Z[\phi]^\times : \Z[f\phi]^\times]$ en fonction de $f$. Et bien je ne sais pas. Disons que je ne m'en suis pas du tout occupé.

> [Indice(f) : f in [1..10^2]] ;
[ 1, 3, 4, 6, 5, 12, 8, 6, 12, 15, 10, 12, 7, 24, 20, 12, 9, 12, 18, 30, 8,
30, 24, 12, 25, 21, 36, 24, 14, 60, 30, 24, 20, 9, 40, 12, 19, 18, 28, 30, 20,
24, 44, 30, 60, 24, 16, 12, 56, 75, 36, 42, 27, 36, 10, 24, 36, 42, 58, 60,
15, 30, 24, 48, 35, 60, 68, 18, 24, 120, 70, 12, 37, 57, 100, 18, 40, 84, 78,
60, 108, 60, 84, 24, 45, 132, 28, 30, 11, 60, 56, 24, 60, 48, 90, 24, 49, 168, 60, 150 ]




Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/03/2017 13:43 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 13:12
@CQ : Dans cet exemple, est-ce que l'unité fondamentale de $B$ est $\phi$ .
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 13:47
@gai requin
Oui et j'ai oublié de le dire. J'ai ajouté cette information. Et c'est bien pour cela que j'ai décrété que c'était l'exemple le plus simple (pour moi) car il n'y a pas à se faire ch.er à la chercher. Bien sûr, tu savais que, pour tout $f \ge 1$, $\{n\in \Z \mid F_n \equiv 0 \bmod f\}$ était un sous-groupe (non trivial de $\Z$).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 14:07
Je sais que la suite de Fibonacci modulo $f$ est périodique et comme $F_0=0$, $\{n\in \Z \mid F_n \equiv 0 \bmod f\}$ est un sous-groupe non trivial de $\Z$.

Ce que je ne connaissais pas, c'était Pell-Fermat...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/03/2017 14:23 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 15:59
Peut-être qu'on peut trouver des références pour calculer $[\Z[\phi]^\times : \Z[f\phi]^\times]=\min\{n\in \N^* \mid F_n \equiv 0 \bmod f\}$ en fonction de $f$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 16:25
@gai requin
Le roi des références, c'est toi. J'ignorais cette histoire de périodicité de la suite $(F_n)$ modulo $f$,

Et je comprends bien, en ce qui concerne le groupe des unités des anneaux quadratiques imaginaires, que tu trouves cela fade, ce $A^\times = \{\pm 1\}$ (à l'exception de $\Z[i\rbrack$ et $\Z[j]$). Hum, j'aurais pas dû te parler de la suite de Fibonacci.

Peut-être que si tu jouais avec quelques discriminants $D$ NEGATIFS fondamentaux exceptionnels, quelques uns parmi les 34 qui figurent dans [www.les-mathematiques.net], cela te ferait oublier les anneaux quadratiques réels ?

Si tu découvres en quoi ces discrimants $D$ sont exceptionnels, via les lois de représentation des premiers par les formes quadratiques de discriminant $D$, le champagne va couler à flot. Promis, juré.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 16:27
avatar
Champagne Champagne, je retiens Claude grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 18:50
@CQ :
1ère observation avant l'apéro smoking smiley : le groupe des classes de ces formes quadratiques est d'ordre une puissance de $2$.

Un exemple :
> G, phi := ClassGroup(BinaryQuadraticForms(-5460));
> G;
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/2 + Z/2 + Z/2
Defined on 4 generators
Relations:
    2*G.1 = 0
    2*G.2 = 0
    2*G.3 = 0
    2*G.4 = 0


Mais le mystère demeure entier ! confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 19:17
@gai requin
Oui. Et même mieux, car le groupe des classes en question est isomorphe à $(\Z/2\Z)^\bullet$.

Peut-être, du côté de la représentation des premiers par les formes de discriminant $D$, traiter un exemple, par exemple $D = -40$. Obtenir :
$$
p \equiv \hbox {certaines valeurs modulo un modulus} \qquad\iff\qquad
\hbox {$p$ est représenté par la forme quadratique untel}
\qquad\qquad (\star)
$$
Certes, c'est vague.

J'avais traité $-52$ dans [www.les-mathematiques.net] mais ce n'était pas réussi car laborieux. Peut-être que pour $D = -40$, faut expérimenter pour proposer quelque chose de type $(\star)$ sans en vouloir obtenir tout de suite une preuve. Ce ne sont pas des preuves dont on a besoin ici mais d'avoir quelque chose à prouver.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 19:58
Après l'apéro, je tente

$$p=1\bmod 4n \Leftrightarrow \exists\space x,y\in \mathbb{N}\quad p=x^2+ny^2.$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 21:07
Bonjour,

Si ton but est de démontrer cette équivalence, tu peux d' abstenir de toute précipitation dans la dégustation de ton apéro.

$p = 89$ et $n =11.$

$11$ est le plus petit entier $n$ pour lequel il n' existe pas de caractérisation "simple" des nombres premiers $p$ de la forme $p = x^2+ny^2$ .

Mais peut-être sais-tu tout cela et que je n' ai rien compris au contenu de ton post.

Amicalement



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/03/2017 21:20 par LOU16.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 mars 2017, 21:18
En fait, $n$ ne peut prendre que certaines valeurs (cf [www.les-mathematiques.net]).

Quand bien même, je ne suis pas du tout sûr de mon équivalence post-apéritive. winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 11:24
Bonjour,

Avec $4n=-88$, il me semble que:

Un nombre premier $p$ s'écrit $p=x^2+22y^2$ si et seulement si $p$ est un carré modulo $11$ et est congru à $1$ ou $7$ modulo $8$.
c'est à dire si $p$ est congru à $1,\:9,\:15,\:23,\:25,\:31,\:47,\:49,\:71,\:81$ modulo $ 88$.

Amicalement,



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/03/2017 11:27 par LOU16.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 12:46
Merci LOU16 d'avoir démonté ma conjecture post-apéritive. winking smiley

Plus sérieusement de mon côté, une condition nécessaire pour que $p$ s'écrive $x^2+ny^2$ est
$$\left(\dfrac{-n}{p}\right)=1.$$

Peut-être qu'elle est suffisante dans les cas proposés par Claude...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 14:51
@LOU16
C'est bon. Et je suis ``obligé'' d'attacher mon épreuve d'entraînement à l'Agrégation.

@Vous deux : je pense que cela serait bon de s'en tenir pour l'instant à $D = -88$ et de verrouiller la chose.

Un truc très très général (questions 3.a, 3.b. et 3.c. de la partie I). Général signifie pour tout discriminant $D$ (qui n'a pas à être fondamental ou négatif).

(1) Si $m$ est représenté par une forme quadratique $q$ de discriminant $D$, alors $D$ est un carré modulo $4m$. C'est la conclusion de la question 3.b mais cela vaut le coup de regarder comment cela se prouve dans la question 3.a i.e. le coup de la forme $(m, *, *)$ qui représente évidemment $m$.

(2) Une sorte de réciproque : si $D$ est un carré modulo $4m$, alors $m$ est représenté par une CERTAINE forme de discriminant $D$.

De plus : si $m$ est impair, $D$ carré modulo $m$ entraîne $D$ carré modulo $4m$.


Dans notre histoire maintenant avec $D = -88$ et $n = 22$. On prend $m = p$ premier impair ; on voit se pointer la condition $D$ carré modulo $p$ i.e. $-n$ carré modulo $p$.

gai-requin : $p = 19$ est tel que $-22$ est un carré modulo $19$ mais 19 n'est pas représenté par $x^2 + 22y^2$.

Il y a deux formes REDUITES de discriminant $-88$ :
$$
q_0 = x^2 + 22y^2, \quad \hbox {(la forme neutre ou normique)}, \qquad\qquad q_1 = 2x^2 + 11y^2
$$
Et donc, si $-22$ est un carré modulo $p$, alors $p$ est représenté par $q_0$ OU par $q_1$.

Mais LOU16 a réussi à affiner quelque chose.

En grattant un peu, beaucoup, on (sic) va finir par à la fois avoir une loi de représentation pour $q_0$ et aussi une pour $q_1$. Et c'est cela qui achèvera la chose ....

Note : dans ce type d'histoire, les premiers qui divisent le discriminant sont exclus du jeu, une fois pour toutes.


REGRETS : pour des raisons pédagogiques, on aurait dû commencer par les 9 anneaux quadratiques imaginaires principaux. Car dans ce cas là, il y a une seule forme réduite (la forme neutre) et moins de souci. Il n'est pas trop tard. Une page contenant ces 9 anneaux quadratiques imaginaires principaux est attachée quelque part dans un post précédent. Etes vous capables de le retrouver ?

J'ai relu mon scan -4x13.pdf concernant le cas $D = -52$ et je le trouve pas top ; je me polarise surtout sur les valeurs prises par les deux formes (car dans ce cas aussi, il y a deux formes réduites de discriminant $-52$), uniquement les valeurs qui tombent dans $(\Z/52\Z)^\times$.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - quadratic_gauss.pdf (127.5 KB)
ouvrir | télécharger - quadratic_gauss_corrige.pdf (122.3 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 15:33
avatar
Du coup l'anneau $\Z[\sqrt{-22}]$ n'est pas principal. Il y a bien un idéal premier de norme $19$ mais celui-ci n'est pas principal.

Hum, je commence à comprendre grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 16:17
avatar
De toute manière, on doit avoir un truc du "style" :
$$
\text{tout $p$ premier tel que $-D$ est un carré $\pmod{p}$ s'écrit sous la forme $x^2+Dy^2$} \Longleftrightarrow \Z[\sqrt{-D}] \text{ est principal}
$$

Avec $D$ un discriminant fondamental imaginaire confused smiley enfin a peu près !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 24/03/2017 21:33 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 16:23
C'est pas plutôt $\mathfrak{P}$ au-dessus de $p$ qui doit être principal ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/03/2017 16:28 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 16:33
avatar
Si si !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 16:38
avatar
En fait, je veux dire que la condition ici est valide si et seulement si $\Z[\sqrt{-D}]$ est principal. Je fais la démonstration un peu plus tard ... boulot 1h là ;)



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/03/2017 16:39 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 16:38
Merci de remuer le couteau dans la plaie. winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 16:40
avatar
c'est pour ton apéro de ce soir :D
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 17:21
Re,

Claude Quitté

Je ne suis pas sûr de répondre à la question que tu poses.

Avec $D= - 88$, la situation est très simple. Comme tu le dis, les premiers $p$ tels que $-22$ est un carré modulo $p$ sont exactement ceux qui sont représentés par $q_0$ ou par $q_1$, et ils se scindent en deux classes:
Ceux qui sont congrus à $1,\:9,\:15,\:23,\:25,\:31,\:47,\:49,\:71,\:81$ mod $88$ sont représentés par $q_o$ et pas par $q_1.$
Les autres, congrus à $13,\:35, \:61,\:83,\: 29 ,\:51,\:19,\: 85,\:21,\:43$ mod $88$ sont représentés par $q_1$ et pas par $q_0.$

Amicalement,



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/03/2017 17:26 par LOU16.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 17:44
C'est encore plus simple quand il n'y a qu'une seule classe. grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 18:05
@LOU16
Le plus important est que tu aies proposé quelque chose. Et ce quelque chose est correct ! Je note que tes valeurs modulo 88 pour $q_0$ sont rangées par ordre croissant mais pas celles pour $q_1$ (je me suis aperçu de cela en voulant vérifier, mais c'est évidemment un détail).

Avoir ou pas la preuve de ce que tu dis n'est pas pour l'instant important. Le plus important, c'était de faire une observation.

On peut également noter que $\#(\Z/88\Z)^\times = \varphi(88) = 40$ dont la moitié vaut 20. Et qu'il y a 10 valeurs pour $q_0$ et 10 valeurs pour $q_1$. Et ces 20 valeurs forment un sous-groupe d'indice 2 de $(\Z/88\Z)^\times$ i.e. constituent le noyau d'un certain caractère.

Oui, la situation est simple pour $D = -88$ ... c'était fait pour. Et au fait, questions indiscrètes, disposes tu de la preuve de ce que tu affirmes ? Connais tu la théorie qui est derrière ? Les nombres convenables d'Euler ?

Et veux tu encore jouer avec quelques discriminants négatifs exceptionnels ? Où il y aura encore 2 classes de formes quadratiques pour continuer en douceur. Et si tu marches dans la combine et que tu es sportif (ou sportive ?), peut-être avec des discriminants pour lesquels il y aura 4 classes.

Par contre, avec le discriminant $D = -23$, il y a 3 classes de formes quadratiques. Et là, moi j'arrête de jouer. Et toi ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 18:10
@gai requin
Tu parles d'une seule classe in [www.les-mathematiques.net]. Mais je l'ai déjà proposé il y quelques jours (?) et flip-flop a commencé à répondre, disons partiellement mais cela collait (c'est trop compliqué pour moi de chercher dans les posts, je pense que cela remonte à moins de 10 jours). Et je l'ai proposé de nouveau dans mon avant-avant-dernier post, dans la rubrique REGRETS.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 18:55
Re,

La preuve de ce que j'ai écrit est une conséquence du "tour de force" réalisé un jour par un certain Gauss ,lorsqu'il découvrit la "composition des formes quadratiques":
Pour revenir à notre exemple : le produit de deux nombres de la forme $q_0$ est de la forme $q_0$.
le produit de deux nombres de la forme $q_1$ est de la forme $ q_0$.

$( x^2+ 22y^2) (u^2+22v^2) = (xu-22y)^2 + 22(xv+yu)^2$ et $(2x^2+11y^2) (2u^2+11v^2)= (2xu-11yv)^2 + 22(xv+yu)^2$

Notons, pour tout entier $n$ premier à $22$ :
$\alpha(n) =\left\{\begin{array}{rl}1& \text {si n est un carré mod 11}\\ -1 &\text{ sinon}\end{array}\right.$ et $\beta(n) = \left\{\begin{array}{rl} 1& \text{si}\:n\equiv 1\:\:\text{ou}\:\:7\:\bmod 8\\ -1& \text{sinon}\end{array}\right.$

$\alpha$ et $\beta$ sont des caractères quadratiques multiplicatifs bien connus, et sont tous deux égaux à $1$ lorsque $n$ est la forme $q_o.$
Il résulte alors des précédentes formules de produit, que deux entiers appartenant à la même forme ($q_0$ ou $q_1$) ont le même caractère $\alpha$ et le même caractère $\beta.$
Ainsi $23$ appartient à la forme $q_0$ , donc pour tout nombre premier $ p$ appartenant à cette forme: $\alpha(p) = \alpha(23) =1$, et $\beta(p) =\beta(23)=1.$
$13$ appartient à la forme $q_1$ donc pour tout premier $p$ de cette forme, $\alpha(p) =\alpha(13)=-1$ et $\beta(p) = \beta(13)=-1.$
Amicalement,



Modifié 3 fois. Dernière modification le 22/03/2017 10:30 par LOU16.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 19:08
avatar
Bien joué pour la composition !

$2$ est un carré modulo $p$ (congruence modulo $8$), et $-11$ est un carré modulo $p$ (congruence modulo $11$) pour la forme $q_0$ ? et le contraire pour $q_1$.

Il y a une interprétation en terme de norme de $q_1$ ? Pour $q_0$, c'est la norme de $Z[\sqrt{-11}]$. 1
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 19:11
Remarque : le corps de classes de Hilbert de $K=\Q(\sqrt{-n})$ s'obtient à partir de $K$ par une tour d'extensions quadratiques.

Pour $\Delta=-88$ :

ZX<X>:=PolynomialRing(Integers());
K:=NumberField(X^2+22);
HilbertClassField(K);
Number Field with defining polynomial $.1^2 - 2 over K


Peut-être que
$$p=x^2+22y^2\Leftrightarrow \left(\dfrac{-22}{p}\right)=1\text{ et $2$ est un carré modulo $p$}.$$

Edit : J'ai posté avant de voir le message de LOU16.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/03/2017 19:14 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 19:19
avatar
Gai requin : $\Q(\sqrt{2},\sqrt{-11})$ ?

Champagne :D



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/03/2017 19:26 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 19:32
winking smiley

Un autre exemple : $\Delta=-228$.

ZX<X>:=PolynomialRing(Integers());
K:=NumberField(X^2+57);
HilbertClassField(K);
Number Field with defining polynomial [ $.1^2 + 1, $.1^2 + 3 ] over K


Peut-être que
$$p=x^2+57y^2\Leftrightarrow \text{$-57$, $-1$ et $-3$ sont des carrés modulo $p$}\Leftrightarrow \text{$-1$, $3$ et $19$ sont des carrés modulo $p$}.$$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/03/2017 19:36 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 19:35
avatar
$-19$ ? a la place de $-1$ ?

hot smiley



Modifié 2 fois. Dernière modification le 21/03/2017 19:38 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 19:37
Je viens de modifier mon message. Sorry.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 19:40
avatar
Je pense que Claude est parti acheter le Champagne grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 19:51
Le Frobenius Jean-Paul ! drinking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 20:02
avatar
Perso je dis que faut faire la réciprocité cubique avant de faire mumuse avec $-23$ grinning smiley

PS : @LOU16, ne t'inquiètes pas, non on est pas fou ;)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 mars 2017, 21:13
De manière plus générale, on pourrait peut-être procéder de la manière suivante pour $n$ quelconque :
Soit $K=\Q(\sqrt{-n})$, $L$ son corps de classes de Hilbert (magma help me) et $P\in\Z[X]$ tel que $L$ soit le corps de décomposition de $P$ dans $\C$. Alors :
$$p=x^2+ny^2\Leftrightarrow \text{$-n$ est un carré modulo $p$ et $P$ a ses racines dans $\mathbb{F}_p$}.$$


@LOU16 : merci pour ta contribution et j'espère que tu reviendras me remettre sur le droit chemin très souvent. smiling smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
22 mars 2017, 09:05
avatar
J'aime bien ta conjecture Gai requin !
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