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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 19:15
Bonjour, je pense avoir un argument sympa pour les polynômes cyclotomiques.

Soit $\text{ord}_n(p)$ l'ordre de $p$ dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$. Grace au Frobenius on trouve que le polynôme $$\phi_{n,p}(x) = \prod_{k=1}^{\text{ord}_n(p)} (x-\zeta_n^{p^k}) \quad \in \mathbf{F}_p[x]$$ est irréductible.

Soit $\Phi_n \in \mathbb{Q}[x]$ le polynôme minimal de $\zeta_n$. Puisque $\Phi_n\, |\, x^n-1$ on sait qu'il est de la forme $\Phi_n(x) = \prod_{k \in A_n} (x-\zeta_n^k)$.

Parce que $$\{ \sum_{l=0}^{\text{ord}_n(p)-1} b_l \zeta_n^l, b_l \in \mathbf{F}_p\} = \mathbf{F}_p[\zeta_n] =\mathbf{F}_p[x]/(\phi_{n,p}(x))= \mathbb{F}_p[x]/(\Phi_n(x))/(\phi_{n,p}(x))$$ est un corps qui contient $\zeta_n$, on trouve que $\phi_{n,p}\, | \, \Phi_n$ dans $\mathbf{F}_p[x]$ si $\text{ord}_n(p) > 1$. Donc $A_n$ contient $ \{ \zeta_n^{p^k}, p \text{ premier }, p \nmid n \} = \{ \zeta_n^m, gcd(n,m)=1\}$ et donc le polynôme cyclotomique $\prod_{m= 1, \gcd(n,m)=1}^n (x-\zeta_n^m) = \prod_{d | n} (x^{n/d}-1)^{\mu(d)} \in \mathbb{Q}[x]$ divise et est égal à $\Phi_n$.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 18/08/2017 19:20 par reuns.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 19:38
avatar
@Claude : concernant ici

Je pense que c'est ok pour une racine de $\Phi_N$ est une racine d'ordre $N$. Par définition, $\Phi_N$ est le produit des racines primitives et les racines primitives sont par définition les générateurs de $\mathbb{U}_N(k)$ (groupe cyclique d'ordre $N$). Mais je sais que tu as un argument un beaucoup mieux grinning smiley

Sinon, j'ai vu que tu préfères $\text{Aut} \Z /N \Z$ à $\left( \Z /N \Z \right)^\star$ et considérer que $\textbf{j}$ la restriction à $\mathbb{U}_N$. Hum, j'ai envie de dire oui mais je vais devoir refaire un bout de mon texte sad smiley

Sinon, je viens de comprendre pourquoi j'ai pris $\ell$ a la place de $p$. C'est juste que pendant longtemps j'ai pris uniquement les polynômes cyclotomique $\Phi_p$ et non $\Phi_N$ et du coup j'avais besoin d'un autre nombre premier !!!

C'est bon pour les modifs si j'en ai pas oublié en cours de route !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/08/2017 19:46 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 20:19
avatar
Hello gai requin : j'ai pas encore regardé la preuve de Lang ! mon livre est en Belgique ( je dois avoir plus de 50 bouquins qui traîne en Belgiqe thumbs up)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 20:31
@reuns Je ne comprends pas ta définition de $\phi_{n,p}(x) \in \mathbb F_p[x]$ : il n'y a pas de facteur irréductible privilégié de $\Phi_n$ dans $\mathbb F_p[x]$. Sauf si un premier de $\Z[\root n\of1]$ au dessus de $p$ a été fixé. D'ailleurs, les facteurs irréductibles de $\Phi_n$ dans $\mathbb F_p[x]$ sont en correspondance biunivoque avec les premiers de $\Z[\root n\of 1]$ au dessus de $p$ (les facteurs premiers de $p$ dans ...) ; disons pour $p$ ne divisant pas $n$, ce qui est le cas en ce moment. Dans le même genre c'est quoi $\mathbb F_p[\zeta_n]$ ?


@flip flop. Il en reste (des coquilles). Cela se voit tout de suite. Dans la définition 1.3 traîne un $n$ versus $N$. Et ``$m$ premier à $N$'' ne prend pas de $s$.

Non, je ne préfère pas $\text{Aut}(\Z/N\Z)$ à $(\Z/N\Z)^\times$. Et d'ailleurs, ce n'est pas $\text{Aut}(\Z/N\Z)$ mais $\text{Aut}(U_n)$. Et je n'ai pas de préférence : je tiens à voir les deux. Mais je n'oblige personne à .... Ne pas refaire quelque chose pour moi (imagine que je sois capricieux). Voir les deux car dans ma tête, cela me fait plaisir de penser que $\bf j$ est un morphisme de restriction : à un automorphisme $\sigma$ de $k'/k$ (tu mettras le contexte), on associe la restriction de $\sigma$ à $U_N$. C'est intrinsèque. Au départ, $\sigma$ est copain avec $(+, \times)$ et à l'arrivée, on relâche pas mal puisque dans $U_n$ n'intervient que $\times$.

Je crois que je comprends le truc pour cette histoire de racine primitive. Cela, vient du fait, que, de toute ma vie, je n'ai jamais mis d'indice de corps (ou d'anneau) $k$ à $\Phi_n$. J'arme $\Phi_n \in \Z[X]$ (via $\C$, petit travail à faire) et je le balance (à volonté) $\Phi_n$ sur tout anneau commutatif, peu importe la caractéristique. C'est mon choix. Par ailleurs, est encadrée dans mon bureau l'égalité :
$$
X^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_nd(X)
$$
Parce que j'aime bien et que j'en connais les bienfaits.

Rappel : il en faut pour tout le monde.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
18 aot 2017, 20:38
@flip flop
J'ai trouvé encore 6 fautes (signalées et pas corrigées).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 08:58
@flip flop
Je ne sais pas quel est le nom du Frobenius cette semaine. Peu importe. Convenons de $\sigma_p$ dans le contexte (élémentaire) suivant : un polynôme unitaire irréductible $f \in \Z[X]$ de degré 3 tel que son discriminant ne soit pas un carré dans $\Z$. Cette dernière clause (discriminant non carré) c'est le régime de croisière. Si on note $K'/\Q$ le corps de décomposition de $f$ (à ne pas confondre avec le corps engendré par une racine de $f$), on a :
$$
\text{Gal}(K'/\Q) \simeq S_3
$$
Le groupe symétrique $S_3$ possède une (seule) représentation (complexe) irréductible en dimension 2 : faire agir $S_3$ sur l'hyperplan $x_1 + x_2 + x_3 = 0$. J'ai mis complexe, mais elle est définie sur $\Z$ (comme toute représentation complexe irréductible de $S_n$). On dispose donc de :
$$
\rho : \text{Gal}(K'/\Q) \longmapsto \text{GL}_2(\Z)
$$
Convenons aussi ce Samedi qu'un premier se note $p$ (j'hésite entre $p$ et $\ell$). Et bien, si $p$ ne divise pas le discriminant de $f$, on a:
$$
\#\{x \mid f(x) = 0 \bmod p\} = 1 + \chi_\rho(\sigma_p) \qquad\qquad (\star)
$$
Ci-dessus, $\chi_\rho$ est le caractère de la représentation $\rho$. Et $\sigma_p$ c'est ``le'' Frobenius de $K'$ en $p$ (je ne sais plus si c'est comme cela que l'on dit), qui n'est défini qu'à conjugaison près. Ce qui n'est pas grave car $g \mapsto \chi_\rho(g)$ est invariant par conjugaison.

Mais pourquoi je te raconte cela ? Ben, dans $(\star)$ [[à prouver !]], il y a du comptage de racines modulo $p$, le Frobenius .. et le caractère de la représentation $\rho$. Et je pensais, qu'en fin de semaine, cela te ferait plaisir de voir ces objets côte à côte.

@gai requin
Rien à voir. Le support d'une permutation $\sigma \in S_n$, c'est l'ensemble $\{ i \in \{1..n\} \mid \sigma(i) \ne i \}$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 09:07
avatar
Ok, Claude oups grinning smiley

Ah j'ai compris l'histoire de la restriction avec $\textbf{j}$ en fait je pense qu'on voit un peu dans le théorème 1.5.

D'ailleurs je ne sais pas pourquoi j'ai mis $Z(\Phi_{N,k})$ à la place de $\mathbb{U}_{N,k}$. Une utilisation de ce théorème est ici

Sinon, je me souviens de $\ell$ vs $p$, en fait au départ j'ai toujours pris un polynôme cyclotomique $\Phi_p$ et non pas $\Phi_N$ du coup j'avais besoin d'un autre nombre premier $\ell$.

J'espère que je suis pas trop chiant a revenir (beaucoup) en arrière mais faut que je stabilise cette histoire proprement :) Mais le truc délicat (pour moi) maintenant ça va être de faire le lien proprement entre $\textbf{j}$ et les Frobenius
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 09:32
@flip flop
J'en vois encore d'autres (coquilles). Par exemple, dans la définition de $\bf j$, il manque le fait que $m$ est premier avec $N$.

Et si on le sait, on voit aussi des choses dans la PREUVE du Th 1.4. Est ce que cette preuve pourrait être ``améliorée'' ?

Mais pour moi (je dis bien pour moi, chacun a le droit de voir ce qu'il a envie de voir), on ne voit pas assez que, pour un groupe cyclique $G$ d'ordre $N$, le groupe $\text{Aut}(G)$ est canoniquement isomorphe à $(\Z/N\Z)^\times$. Et cet isomorphisme canonique c'est l'élévation à la puissance, si tu vois ce que je veux dire par là.

Et en fait, l'ANNEAU $\text{End}(G)$ est canoniquement isomorphe à l'anneau $\Z/N\Z$ ; attention à la prise de tête(s) : le produit sur $\text{End}(G)$ [[ensemble des endomorphismes du groupe $G$]], c'est la composition, et la somme c'est le produit à l'arrivée. Suggestion (même si ``dans la pratique'', $G$ est multiplicatif) : passer $G$ en notation additive, si bien que la somme de deux endomorphismes de $G$ c'est la somme à l'arrivée (ouf), le produit étant loujours a composition.

Revenir en arrrière ? Cela ne me dérange pas. Et bien, puisque tu poses la question : est ce que ta note prend en charge les polynômes cyclotomiques ``sur $\Z$'' ? Et au fait comment peut-on les calculer ?

Ch.ant ? Mais non, l'objectif est de s'amuser et d'apprendre un peu de maths.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 10:12
avatar
@Claude : ici, : C'est rigolo ça, je pense que tu en as déjà parlé un peu.

En fait, il faut faire le lien entre l'anneau des entiers de $K^\prime$ et $\Z[ X] / (f)$ enfin plutôt, entre $\mathcal{O}_{K^\prime} / (p) $ et $\Z[ X] /(p,f)$. On a pas ce problème avec les extensions cyclotomiques, car l'anneau d'entier est exactement $\Z[ X] / \Phi_N$.

Je vois un peu mais c'est flou : si $f$ a trois racines modulo $p$ alors $(p)$ doit être complètement décomposé dans $\mathcal{O}_{K^\prime}$ et le Frobenius en $\mathfrak{p}$ (n'importe quel idéal au dessus de $p$) est trivial et la trace de l'identité est $2$ et (attention petit calcul) $1+2 = 3$. Mais je ne sais pas le faire proprement, c'est difficile ?

Je n'arrive pas a voir proprement le lien entre l'anneau des entiers de $K^\prime$ et $\Z[ X] / (f)$ , c'est ça mon problème confused smiley

Edit : j'ai remis le fichier ici avec l'heure de la modif dans le titre grinning smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 19/08/2017 10:22 par flipflop.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - cyclo-10h17.pdf (239.6 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 11:19
avatar
@Claude : Pour le polynôme de degré $3$, on a peut être un petit intérêt en regardant l'extension $\Q(\sqrt{D})$ avec $D$ le discriminant du polynôme $f$. Ce qui nous donnera une racine du discriminant dans ce corps.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 14:50
@flip flop
Mettre une estampille (datation) : bonne idée. Pas relu cependant.
Revenir en arrière : très très bonne idée. Oui, on avait déjà parlé (essayé d'en parler) de cette histoire de $\chi_\rho(\sigma_p)$, mais c'était pas clair dans ma tête, dans un contexte confus, mélangé avec des histoires de corps des écoles. En clair, pour moi, il n'en restait quasiment rien.

Je reviens en arrière.

1) Théorie de Galois. Contexte $L/K$ galoisienne de groupe $G$. Classification des actions transitives de $G$ sur un ensemble (fini) $X$. Evidemment, groupistement parlant, via $X = (G/H)_{\rm gauche}$, $H$ sous-groupe de $G$, à conjugaison près. Et $H$ est le fixateur d'un élément de $X$.

galoisiennement parlant (par points fixes). On perd $H$ mais on retient $E = L^H$. Action naturelle de $G$ sur $X = \text{Hom}_K(E, L)$ :
$$
\sigma \cdot \tau = \sigma \circ \tau, \qquad \sigma \in G = \text{Gal}(L/K), \qquad \tau : E \to L
$$
A méditer, car cette manière de faire agir $G$ est parfois plus intelligente que la sempiternelle action du groupe de Galois sur les racines d'un polynôme. On aurait d'ailleurs du mal ici vu qu'il n'y a pas de polynôme ! Des choses pertinentes à dire (plus tard). On retrouve $H$ car c'est le fixateur de $\iota_{E,L}$, injection canonique de $E$ dans $L$. Si on prend un élément primitif de $E/K$, $E = K(x)$, alors l'action naturelle de $G$ sur $\text{Hom}_K(E,L)$ s'identifie à l'action de $G$ sur les racines (dans $L$) du polynôme minimal de $x$ sur $K$.

2) Frobenius $\sigma_p$. On aurait dû depuis le temps qu'on en parle donner des exemples pertinents, l'illustrer, le faire vivre. C'est pas normal. Je change les notations avec le contexte $L/\Q$ galoisienne et $K$ un corps intermédiaire :
$$
\xymatrix @R=0.5cm {
&L\ar@{-}[dd]^G \\
K\ar@{-}[ur]\ar@{-}[dr] \\
&\Q \\
}
$$
Soit $p$ premier ne divise pas le discriminant de $L/\Q$ et $\sigma_p$ un Frobenius de $L$ en $p$ (un car défini à conjugaison près). Si je note $(G, X)$ l'action transitive définie par l'intermédiaire $K$, alors $\sigma_p$ sur $X$ est une permutation qui se décompose (il paraît, faut que je retrouve un certain fil) en des cycles à supports disjoints avec des longueurs disons $t_1, \ldots, t_s$. Alors $p$ se factorise dans $K$ en $s$ idéaux premiers distincts de degré $t_1, \ldots, t_s$.

Comment se fait-il, qu'on est loupé cela ? Que j'ai loupé cela ? Ou oublié ? Je viens de le voir dans un ouvrage NON spécialisé sur le sujet (Moreno/Wagstaff, Sums of squares of integers, p. 145-147).

En clair, si $x$ est un élément primitif de $K/\Q$ entier sur $\Z$, l'action de $\sigma_p$ sur les racines du polynôme minimal de $x$ sur $\Q$ est reliée à la factorisation de $p$ dans $K$, qui elle-même est reliée à la factorisation modulo $p$ de ce polynôme minimal.

Dans l'histoire du polynôme cubique $f$ de groupe de Galois $S_3$, on a trois classes de conjugaison : identité, transposition, 3-cycle. Je mentionne les longueurs des orbites de $\sigma_p$ et je mets le nombre $N_p$ de racines de $f$ modulo $p$, en utilisant le renseignement ci-dessus :
$$
\sigma_p : 1 + 1 + 1 \rightarrow N_p = 3 \qquad\qquad
\sigma_p : 2 + 1 \rightarrow N_p = 1 \qquad\qquad
\sigma_p : 3 \rightarrow N_p = 0
$$
Quid de $\rho$, l'unique représentation irréductible de $S_3 = \text{Gal}(f)$ de dimension 2 ? A conjugaison près :
$$
\sigma_p : 1 + 1 + 1 \rightarrow \sigma_p = \pmatrix {1 & 0\cr 0 & 1} \qquad\qquad
\sigma_p : 2 + 1 \rightarrow \sigma_p = \pmatrix {0 & 1\cr 1 & 0} \qquad\qquad
\sigma_p : 3 \rightarrow \sigma_p = \pmatrix {0 & 1\cr -1 & -1}
$$
Et à l'aide d'un calcul fastidieux, on vérifie que $N_p = 1 + \text{Tr}(\sigma_p)$.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 19/08/2017 18:51 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 15:13
Pour appuyer l'histoire du post précédent, j'apprends (depuis un certain temps) à utiliser la théorie des caractères de magma. Cela va être utile le jour où je ne comprendrais pas des objets plus complexes, c'est-à-dire presque à chaque instant. Je sais maintenant ``élaborer'' une représentation d'Artin et jouer avec sa $L$-série.

Ci-dessous, c'est purement groupiste. J'ai déjà explicité la représentation irréductible de $S_3$ en dimension 2 dans un certain post et j'ai pas envie de me fatiguer à expliquer et à TeXer. Ci-dessous, probablement des instructions cryptiques : par exemple $g\ @\ \chi$ pour $\chi(g)$ où $\chi$ est un caractère sur $G$ et $g \in G$. Où est ce qu'ils ont été chercher cette syntaxe ? Cryptique mais pas plus cryptique que maple ou python. Arg, je retire : il y a la forme $\chi(g)$.

> S3 := Sym(3) ;
> S3 ;
Symmetric group S3 acting on a set of cardinality 3
Order = 6 = 2 * 3
> TS3 := CharacterTable(S3) ;                                                                                 
> TS3 ;
Character Table of Group S3
---------------------------
-----------------
Class |   1  2  3
Size  |   1  3  2
Order |   1  2  3
-----------------
p  =  2   1  1  3
p  =  3   1  2  1
-----------------
X.1   +   1  1  1
X.2   +   1 -1  1
X.3   +   2  0 -1

> [Degree(chi) : chi in TS3] ;
[ 1, 1, 2 ]
> 
> // Caractère de la représentation irréductible de dim 2
> rhoChi := TS3[3] ;
> rhoChi ;
( 2, 0, -1 )
> 
> c3 := S3!(1,2,3) ;
> c3 ;
(1, 2, 3)
> tau := S3!(1,2) ;
> tau ;
(1, 2)
> // Chi(c3)
> c3 @ rhoChi ;
-1
> // Pareil que
> rhoChi(c3) ;
-1
> tau @ rhoChi ;
0
> rhoChi(tau) ;
0
> Mrho := GModule(rhoChi) ;
> Mrho ;
GModule Mrho of dimension 2 over Cyclotomic Field of order 1 and degree 1
> rho := GModuleAction(Mrho) ;
> rho ;
Mapping from: GrpPerm: S3 to MatrixGroup(2, Cyclotomic Field of order 1 and degree 1)
> rho(c3) ;
[-1 -1]
[ 1  0]
> rho(tau) ;
[-1 -1]
[ 0  1]
> [Trace(rho(g)) eq rhoChi(g) : g in S3] ;
[ true, true, true, true, true, true ]

Pour moi, il n'y a plus rien de cryptique. De mauvaise foi ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 16:01
@flip flop
Je pense que tu as déjà entraperçu, dans le baby-context du polynôme unitaire irréductible $f \in \Z[X]$ de degré $3$ dont le discriminant n'est pas un carré, que l'on obtient une représentation continue :
$$
\rho : \text{Gal}(\overline \Q/\Q) \longmapsto \text{GL}_2(\C)
$$
T'as vu comment je cause ? Et que cette représentation $\rho$ possède une $L$-série disons $L_\rho$ dont le $p$-Euler facteur est du type :
$$
Z_p(T) = {1 \over 1 - a_pT + \det\big(\rho(\text{Frob}_p)\big) T^2}, \qquad
a_p = \text{Tr}\big(\rho(\text{Frob}_p)\big)
$$
Là, je suis pas trop sûr ce que j'écris. Et $\text{Frob}_p$, c'est le Frobenius qui a donc changé de nom depuis ce matin ($\text{Frob}_p$ versus $\sigma_p$).

Evidemment, quand $p$ est ramifié (et il y en a toujours de tels $p$ ramifiés), je ne sais pas encore ce que cela veut dire. Il faut tenir compte de l'inertie. Plus tard (j'en connais qui ont le livre de Hindry, pas moi).

Et $N_p = 1 + a_p$. Sauf que $N_p$ c'est quoi ? Quand $p$ n'est pas ramifié, tu peux observer le binz dans $\Z[x]$ où $x$ est un élément primitif de $K/\Q$, entier sur $\Z$. Mais en aucun cas $\Z[x]$ n'est égal à $\mathcal O_K$ ; alors que c'est lui, $\mathcal O_K$, le bon objet. Qui fournit un schéma défini sur $\Z$ dont on peut compter les points modulo $p$. Et $N_p$ c'est ce nombre de points.

Et bien sûr, les grands jours où il fait beau, et que tu veux assembler tous les résultats (histoire de se faire une petite fumette dans le jardin des délices modulaires), tu n'as pas intérêt à louper un $a_p$.

Je vais pas me gêner dès que j'aurais le temps. J'aime bien les contextes de bébé.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 18:36
avatar
@ Claude : bon j'ai compris ce que tu voulais dire avec le $\textbf{j}$ et la restriction. Ca va être plus joli, je vais modifier (peut être pas aujourd'hui).

@Claude et Reuns : j'ai essayé de déchiffrer ton message Reuns, je pense que c'est pareil que ce que je veux faire, le problème c'est qu'on ne vois pas trop bien car y'a un $\zeta_n$ qui vie dans "$\C$" et qui est noté pareil que celui qui vie dans "$\overline{\mathbb{F}_p}$".


Sinon Claude : ici :
$$
\sigma \cdot \tau = \sigma \circ \tau, \qquad \sigma \in G = \text{Gal}(L/K), \qquad \tau : K \to L
$$
C'est $\tau : E \to L$, je pense ! et aussi $p$ ne divise pas le discriminant de $L\mid K$ et non pas $L \mid E$ ?

Si j'ai vu l'histoire de la décomposition en cycle, je vais relire !

Sinon, ton dernier message grinning smiley

Bon déjà le $1$ dans $1 + a_p$ et la fonction $L$, là c'est sûr que tu as multiplié a un moment par la fonction $\zeta$ ... si je comprend ce qui remplace les caractères de Dirichlet dans un contexte abélien (j'ai toujours pas réussi a rédiger proprement cette histoire) c'est le caractère d'une représentation du groupe de Galois !

Et si je comprends la fin : tu as $ K \mid \Q$ galoisienne de groupe $G$. Tu prends l'anneau d'entier $O_K$ et la fonction de comptage i.e pour tout $p$ premier et $r$ entier tu regardes les $\mathbb{F}_{p^r}$-points de $O_K$ et tu notes $N_{p,r}$ le nombre de points (y compris quand y'a de la ramification), tu fabriques la fonction : (attention ça pique un peu) :
$$ \zeta_{O_K}(s) := \prod_{p \, \text{premier}} Z_p(p^{-s}) \qquad \text{avec} \qquad Z_p(T) := \exp \left( \sum_{r >0} N_{p,r} \frac{T^r}{r} \right)$$
et là tu divises (hum faut faire attention mais je pense qu'il faut diviser) par la fonction $\zeta$ de Riemann (pas de panique c'est normal) et tu obtiens une fonction que tu désignes par $L(s)$ ...

Et (fumette) la fonction $L$ vérifie des propriétés de symétries selon un certain sous-groupe de $\text{SL}_2(\Z)$ (oui oui grinning smiley) et du coup tu vas réussir à la retrouver avec Magma (je ne sais pas du tout comment tu vas t'y prendre car tu dois trouver le bon sous-groupe pour tomber sur un espace vectoriel de dimension fini qui va contenir $L$ et ensuite faire quelques ajustements = ceinture noir magma grinning smiley) !

Le problème dans cette histoire c'est que l'on ne connais pas bien les $N_{p,r}$ (la fois dernière il me semble que l'on pouvait s'appuyer sur la sous-extension quadratique de $K \mid \Q$, y'avais une histoire de groupe de classe d'idéaux égal à $3$ pour $\Q(\sqrt{-23})$).

Et là ce que tu ajoutes, c'est qu'il existe un autre moyen de construire la fonction $L$ (en fait, ça se voit au niveau des $p$-factor), c'est de considérer les représentations irréductibles de $\text{Gal}(K \mid \Q)$ en fait tu as pris $\rho : \text{Gal} (\overline{\Q} \mid \Q) \to \text{GL}_2(\C)$ continue, mais le continu ça doit vouloir dire que ça transite par le quotient fini de $\text{Gal} (\overline{\Q} \mid \Q)$ i.e par $\text{Gal}(K \mid \Q)$ et on sait très bien que ton corps algébriquement clos préféré $\C$ bah aujourd'hui c'est $\Z$ et peut-être que lundi ça sera une extension abélienne de $\Q$ grinning smiley Mais je ne vois pas trop comment tu vas t'en servir confused smiley

N'empêche que si tu arrives a trouver la fonction $L$ sur des exemples, beh on va pouvoir voir pleins de Frobenius (enfin des classes de conjugaison de Frobenius), hum j'ai du raconter quelques bêtises dans l'histoire grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 19:27
@flip flop
Je réponds partiellement. Oui, il y a des coquilles dans mon post [www.les-mathematiques.net]. Dans le point 1) (actions transitives du groupe de Galois), à un moment j'ai mélangé, à plusieurs reprises, $E$ (le corps intermédiaire) avec la base $K$. J'ai rectifié et en principe plus d'erreur dans ce point 1).

Quant au point 2), je voulais dire que $p$ n'est pas ramifié dans $L$ (l'extension galoisienne), ce qui équivaut, je crois, à $p$ non ramifié dans $K$. Pas sûr. Attention dans 2), la base est $\Q$ et le corps intermédiaire est $K$ (changement de notations signalé entre les deux points).

Oui, cette histoire de voir le Frobenius comme une permutation de $X$, où $(G,X)$ est n'importe quelle action transitive du groupe de Galois $L/\Q$, cela permet de ``faire vivre'' le Frobenius. Je ne sais pas si c'est simple à prouver. Tu n'as jamais vu cela quelque part ?

Et là, j'abrège. Oui, tu as raison, on a un quotient :
$$
L_\rho = {L_{\zeta_K} \over L_\zeta}
$$
où $\zeta_K$ est la fonction $\zeta$ de Dedekind de $K$, et $\zeta$ celle ordinaire (de Riemann).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 20:46
avatar
Peut être dans le livre des Douady, je sais qu'ils adoptent un point de vue en terme d'action de groupe sur des ensembles finis ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 21:24
@Flip flop
Quelques précisions : à un moment donné dans l'histoire, faut peut-être partir de $K/\Q$ et voir $L$ comme $K^{\rm gal}$ la fermeture galoisienne de $K$. De toutes façons, on en est au contexte de bébé avec notre polynôme de degré 3.

Et cette histoire de cycles, je connaissais sauf que le contexte était moins ``savant'' (pas de Frobenius visible) et que j'avais pas fait le rapprochement (la honte). J'appelais cela le critère de Van der Waerden car je l'avais vu dans son Modern Algebra, mais en fait je crois qu'il est dû à Dedekind. Voici l'énoncé que je faisais démontrer aux étudiant(e)s dans un ``projet'' en 2000. Soit $F \in \Z[X]$ unitaire, sans facteur carré, dont les racines sont notées $x_1, \ldots, x_n$. On considère un premier $p$ tel que $F \bmod p$ reste sans facteur carré et on considère sa factorisation modulo $p$ :
$$
\overline F = F_1 F_2 \cdots F_r
$$
Alors le groupe de Galois $\text{Gal}(F)$ contient un automorphisme $\sigma$ qui induit sur $\{x_1, \cdots, x_n\}$ une permutation dont la décomposition en cycles de supports disjoints est de la forme :
$$
(\hbox {cycle de longueur $\deg F_1$})\ (\hbox {cycle de longueur $\deg F_2$}) \ \cdots\ (\hbox {cycle de longueur $\deg F_r$})
$$
Tu vois que l'énoncé est élémentaire. On trouve la démonstration partout. Mais la preuve utilise les ingrédients qui mettent en place le Frobenius. Par exemple, le corollaire 15.1 dans [library.msri.org] Reste à faire le lien avec les idéaux premiers de ... Hum, je sais pas trop de qui (faut peut-être supposer alors $F$ irréductible alors que ce n'est pas exigé ci-dessus).

A propos du Frobenius : ne pas oublier le papier de K. Conrad in [www.math.uconn.edu] (la preuve de Frobenius !).

A propos de la représentation de $S_3$ en dimension $2$, on peut la monter soi-même en prenant par exemple comme base de $x_1+x_2+x_3=0$, la base $(e_1-e_2, e_2-e_3)$.

> S3 := Sym(3) ;              
> Z := IntegerRing() ;
> GL2Z := GL(2,Z) ;
> M12 := GL2Z ! [-1,-1,0,1] ; 
> M12 ;
[-1 -1]
[ 0  1]
> IsOne(M12^2) ;
true
> M123 := GL2Z ! [-1,-1,1,0] ; 
> M123 ;
[-1 -1]
[ 1  0]
> M12 * M123 * M12 eq M123^-1 ;
true
> rho := hom < S3 -> GL2Z | S3!(1,2) -> M12, S3!(1,2,3) -> M123 > ;
> chi := Character(rho) ;
> chi ;
( 2, 0, -1 )

Les 3 valeurs $(2, 0, -1)$ que l'on voit sont les valeurs de $\chi$ sur les 3 classes de conjugaison (identité, transposition, 3-cycle).

Dans les salons mondains, faut surtout pas que tu dises que tu joues avec $\rho : S_3 \mapsto \text{GL}_2(\Z)$ : tu vas passer pour un naze. C'est préférable que tu parles de représentation d'Artin ou un truc dans ce goût là ; un morphisme continu $\text{Gal}(\overline\Q/\Q) \to \text{GL}_d(\C)$, cela fait toujours son petit effet.
J'ai pris un polynôme AU PIF, je t'assure. Coup de bol, son discriminant est un premier. Je n'en demandais pas tant.

> ZX<X> := PolynomialRing(Z) ;
> F := X^3 + 4*X - 7 ;
> K<x> := NumberField(F) ;
> DiscF := Discriminant(F) ;
> DiscF ;
-1579
> Factorization(DiscF) ;
[ <1579, 1> ]
> ArtinRep := K !! chi ;
> ArtinRep ;
Artin representation of Number Field with defining polynomial x^3 + 4*x - 7 
       over the Rational Field with  character ( 2, 0, -1 )

Et ensuite, les choses de la vie ... Tiens on voit un conducteur

> Lrho := LSeries(ArtinRep) ;
> Lrho ;
L-series of Artin representation of Number Field with defining polynomial x^3 + 4*x - 7 over the Rational Field with
character ( 2, 0, -1 ) and conductor 1579
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 21:49
@flip flop
Conjugaison, quand tu me tiens. Un caractère $\chi$, c'est du solide. Mais faut se méfier de vouloir retrouver ``la représentation'' $\rho$ d'où provient $\chi$. Car elle n'est définie qu'à conjugaison près. Même de manière uniquement groupiste, notre logiciel habituel dispose d'algorithmes non déterministes pour élaborer les objets. Regarde ce truc :

> S3 := Sym(3) ;
> chi := CharacterTable(S3)[3] ;
> chi ;
( 2, 0, -1 )
> rho1 := GModuleAction(GModule(chi)) ;
> rho2 := GModuleAction(GModule(chi)) ;
> 
> rho1(S3!(1,2)) ;
[0 1]
[1 0]
> rho2(S3!(1,2)) ;
[-1 -1]
[ 0  1]

Mais évidemment, $\rho_1$ et $\rho_2$ sont conjuguées (hum sur $\Q$, je pense). Devinette : sur le forum, on demande à qui pour trouver une conjugaison ?

Rien à voir, encore que. Je l'ai déjà dit une fois, mais j'en ai ch.é pour comprendre que les représentations irréductibles complexes de $S_n$ sont définies sur $\Z$. C'est probablement un truc que tout bébé doit savoir. Ensuite, via l'intermédiaire d'un logiciel que je ne nommerais pas, j'ai fini par comprendre, que pour ``la'' représentation associée à une partition $\lambda$ de $n$, il y avait plusieurs $\Z$-modèles (Kerber, Boerner, Specht, en voilà 3). C'est incroyable le temps qu'il faut passer pour comprendre des choses EXACTEMENT.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 22:34
@flip flop
Frobenius, Dedekind (Van der Waerden) réduction modulo $p$. Je pense que cela vaut le coup (toi qui veut revenir en arrière), de passer un peu de temps à comparer la formulation de divers énoncés (``réduction modulo $p$'') et les preuves. Car je pense, c'est ce que tu cherches en ce moment. Il y a des énoncés pour les petits et les grands. Grosso-modo, que le groupe de Galois ''du bas'' se relève dans le groupe de Galois ``du haut'' (dans les bons cas i.e. pas de ramification). En fait, c'est bien plus général que la réduction modulo $p$.

J'ai regardé rapidement dans mes ouvrages Galois pour un énoncé élémentaire. Il y a un exo de Bourbaki dans Algèbre. Sans idéaux premiers car Bourbaki ne rigole pas avec cela : on est dans le livre Algèbre et le livre Algèbre commutative viendra plus tard. Vu aussi des choses dans Lang mais c'est déjà plus pour un bébé mais pour un petit. Il y a bien sûr le Samuel que tu as sous la main. En Algèbre Commutative, Bourbaki a réalisé un truc haut de gamme de manière extrêmement épurée.

Je ne sais ce que l'on peut taper sous un moteur de recherche : Galois Group and reduction modulo a prime. Tiens je suis tombé sur [www.math.ku.edu]. Et on y voit que le grand Tate est passé par là.

Sincèrement, cela vaut le coup (de passer du temps). Ne pas croire que l'on a tout compris : si on me demandait d'implémenter Frobenius en tant que permutation sur un $G$-ensemble transitif, je serais bien en peine.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
19 aot 2017, 22:45
@flip flop
J'arrête, promis, juré. Chambert-Loir, [www.cmls.polytechnique.fr], sections 5.7 et 5.8 pages 117 .... Et en particulier, le lemme 5.8.6 page 123. Tu deviendras ainsi un ami intime du groupe de Galois ``du bas'' et celui ``du haut'.
Bon courage dans ta quête du Graal Frobenius and co.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 03:58
avatar
@Claude : j'aime beaucoup le Frobenius et la décomposition en cycle. Dans ici page 123 l'exemple de détermination du groupe de Galois de $P :=X^5-X-1$ est vraiment très simple :) Y'a un petit exercice a faire : montrer que $P$ est irréductible modulo $3$, histoire de s'amuser un peu avec $\mathbb{F}_{3^2}$ (y'a une indication pour éviter un calcul bourrin si $x \in \mathbb{F}_{3^2} ^\star$ alors $x^4 = \pm 1$ ... c'est mignon je trouve grinning smiley) D'ailleurs, y'a aussi l'exercice 5.8 page 134. qui ressemble un peu avec un polynôme de degré $7$.

Pour la représentation de degré $2$ de $S_3$, oui ça marche très bien à la main ! On prend l'action de $S_3$ sur une base $(e_1,e_2,e_3)$ d'un espace vectoriel de dimension $3$ (et la représentation qui en découle) et on regarde le plan d'équation $x_1+x_2+x_3=0$ qui est stable par l'action. et avec la base que tu donnes ça correspond bien !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 08:19
@gai-requin
Je m'en veux un peu d'avoir fourni un petit quelque chose de pas assez travaillé concernant l'écriture d'une perrmutation comme produit de transpositions. J 'ai revu ma copie, la voilà :

function TranspositionsDecompositionRecursiveVersion(sigma)
  Sn := Parent(sigma) ;
  if IsId(sigma) then return [Sn| ] ;  
  else
    i := Representative(Support(sigma)) ;
    tau := Sn ! (i,i^sigma) ;
    // sigma = (sigma * tau) * tau  -->  T(sigma) = [T(sigma * tau), tau]
    // Appel récursif
    return Append(TranspositionsDecompositionRecursiveVersion(sigma * tau), tau) ;
  end if ;
end function ;

TranspositionsDecompositionIterativeVersion := function(sigma0)
  sigma := sigma0 ;
  Sn := Parent(sigma) ;
  Tau := [Sn| ] ;
  while not IsId(sigma) do
    // Invariant : sigma0 = sigma * (Tau_1 * Tau_2 * ...)
    i := Representative(Support(sigma)) ;
    tau := Sn ! (i,i^sigma) ;
    // sigma0 = (sigma * tau) * (tau * Tau_1 * Tau_2 * ...)
    sigma := sigma * tau ;
    Tau := [tau] cat Tau ;
  end while ;
  // Invariant donne sigma0 = sigma * (Tau_1 * Tau_2 * ...) avec sigma = Id(S_n)
  // i.e. sigma0 = Tau_1 * Tau_2 * ...
  return Tau ;
end function ;

Il y a un fameux proverbe de programmation (in Ledgard's Programming Proverbs, [swaac.tamouse.org]) qui dit ``Réfléchissez d'abord, vous programmerez plus tard'' (Think first, Program later). Je sais bien mais ...

Petite émotion en parlant de Ledgard et en pensant à la grande époque (pour moi, à l'Université, encadré par des informaticiens) des années 1980-1985 de la révolution ``programmation structurée''. Je l'ai déjà évoquée et je radote. Je peux pas m'empêcher de citer un passage de Ledgard :

Ecrire des programmes qui fonctionnent correctement du premier coup est possible mais inhabituel. Puisque les programmeurs, sans aucun doute, essaient d'écrire des programmes qui marchent du premier coup, la question se pose : ``si c'est possible, pourquoi est-ce inhabituel ?''

Tu as remarqué que je ne participais pas à un certain autre fil. La raison en est simple : l'ambiance y est trop chaleureuse et moi, je suis un grand timide.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 08:24
De manière générale, l'action de $S_n$ ($n\geq 2$) sur l'hyperplan d'équation $x_1+\cdots +x_n=0$ fournit une représentation de degré $n-1$ de $S_n$ dont le caractère $\chi$ vérifie :
$$\chi(\sigma)=|\rm{Fix}(\sigma)|-1\text{ pour tout }\sigma\in S_n.$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 08:53
@gai requin, flip flop
Vu pour l'action sur l'hyperplan en degré $n$.
$$
\xymatrix {
&L \ar@{-}[dd]|{G}\\
E_1 \ar@{-}[ur]\ar@{-}[dr] && E_2\ar@{-}[ul]\ar@{-}[dl] \\
& K \\
}
$$
Cela vaut le coup avec l'exemple de Flip Flop, $X^5 - X - 1$ sur $K = \Q$, d'illustrer mon baratin d'hier sur les actions transitives du groupe de Galois. J'ai oublié de dire que si on veut en plus (d'une action transitive) une action fidèle de $G$ sur $(G/H)_{\rm gauche}$ i.e. que $G$ s'injecte dans $\text{Perm}\big((G/H)_{\rm gauche}\big)$, cela signifie que l'intersection des conjugués de $H$ est réduite au neutre. En termes galoisiens (avec les notations de mon post) pour une extension intermédiaire $E$ que $E^{\rm gal} = L$.

Si je raconte cela, c'est qu'il est impératif d'avoir piger cette histoire d'action pour comprendre la sémantique de la fonction FrobeniusElement(E, p) dans un certain langage que je ne nommerais pas.

Exercice : prendre $K = \Q$, $E_1 = \Q(x_1)$ et $E_2 = \Q(x_1x_3 + x_2x_4)$, où je désigne par $x_1, \ldots, x_5$ les racines de $X^5 - X - 1$. Là haut donc $L = \Q(x_1, x_2, \cdots, x_5)$ de groupe $G \simeq S_5$. L'action correspondant à $E_1$ est l'action ordinaire de $S_5$ sur $\{1..5\}$, tandis que l'action de $S_5$ correspondant à $E_2$ est celle de $S_5$ sur $(S_5/D_4)_{\rm gauche}$, $D_4$ groupe diédral d'ordre 8, i.e. l'action sur les 15 1-1-2 partitions de $\{1..5\}$. Note : $15 = \#S_5 / \#D_4 = 5!/8$. Agiter tout cela dans un bocal et déguster ensuite.

Ce qui est dommage en degré $n=5$, c'est qu'il n'y a pas beaucoup de sous-groupes transitifs de $S_n$ dont l'intersection des conjugués est triviale. Pour $n=6$, il y a 16 sous-groupes transitifs et on risque de trouver un peu plus de monde.

J'attache un scan d'une page écrite il y a une heure sur le point de vue de Bourbaki concernant la décomosition et l'inertie. C'est grandiose. Et ce n'est pas compliqué. Pourquoi ? Parce ce que c'est du Bourbaki, il qu'il fait tout de A à Z.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - BourbakiDecompositionInertie.pdf (464.5 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 08:57
Salut Claude.
Pour nos chères lectrices, n'oubliez pas de composer de la gauche vers la droite dans ce qui suit. confused smiley

> S:=SymmetricGroup(6);
> p:=S!(1,2,3,4)(1,4,5,6,2);
> TranspositionsDecompositionRecursiveVersion(p);
[
    (5, 6),
    (3, 5),
    (2, 3)
]
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 09:18
@gai requin
Pour m'en sortir, je distingue $\circ$ (nous) de $*$ (magma). En fait, je me plie à magma car j'y suis obligé : plus de $\sigma(i)$ mais $i^\sigma$ ..etc.. Cela ne me pose pas trop de problème de travailler avec les permutations. Faut quand même faire attention au fait que $G/H$ en magma c'est $(G/H)_{\rm droit}$ et pas $(G/H)_{\rm gauche}$ et il ne faut pas remplacer bêtement $xH$ par $Hx$.

Là où cela va moins bien pour moi, c'est pour les matrices où l'image magma d'une matrice est l'espace engendré par les lignes (et pas les colonnes) : je peux pas m'empêcher de penser à notre manière et de faire ensuite la traduction via la transposée. Le mieux serait de penser directement en magma. A chaque fois que je procède ainsi (penser directement dans le langage cible), je gagne un temps fou. Sauf que je n'y arrive pas souvent et que mes travers ressortent au bout d'un certain temps (travers = penser à notre codage à la française).

@gai requin, et flip flop
Rien à voir. Dans le contexte du $\rho$ de bébé (polynôme unitaire cubique $\in \Z[X]$ irréductible de discriminant non carré), on a $\det\big( \rho(\text{Frob}_p)\big) = \pm 1$. C'est quoi ce $\pm 1$ ??
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 10:05
Il me semble que le point intéressant dans l'exercice sur $X^5-X-1$ est de calculer le Frobenius de $E_2/K$ (de degré $15$) parce qu'on ne connaît pas le polynôme minimal de $x_1x_3+x_2x_4$.
Je suis aux fraises ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 11:13
avatar
Hello vous deux,

Petite ballade aujourd'hui pour moi

Par contre, j'ai pas réfléchi du tout mais la représentation de Gai requin est irréductible ou non ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 11:45
Salut flipflop.
Oui, la représentation standard de $S_n$ est irréductible (cf [cretin] p.5).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 14:44
@gai requin
Je ne comprends pas ta question in [www.les-mathematiques.net]. Cela veut dire quoi calculer le Frobenius de $E_2/K$ ?

Pour moi, ce qui est intéressant, c'est de s'agiter. Et ici, c'était pour l'instant s'agiter autour des actions transitives (resp. transitives et fidèles) du groupe de Galois. Cette agitation n'a aucun intérêt pour celui qui a tout compris.

D'ailleurs, je vois que j'ai raconté une grosse bourde concernant le nombre petit de sous-groupes transitifs de $S_5$ et que chez $S_6$, cela serait mieux.
Car cela n'a aucun rapport avec la choucroute. Par exemple $D_4$ réalisé dans $S_5$ comme fixateur de la 2-2-1partition $\{\{1,3\}, \{2,4\}, \{5\}\}$ n'est absolument pas transitif sur $\{1..5\}$. Ce que l'on veut : les sous-groupes $H$ de $S_5$ dont l'intersection des conjugués est réduit au neutre.

Pour l'instant, ce à quoi je pensais est donc essentiellement groupiste. Et pas arithmétique.
La classification à conjugaison près donne 19 sous-groupes de $S_5$. Parmi ces 19, il y en a deux à exclure : $H = A_5$ et $H = S_5$ dont l'intersection des conjugués n'est visiblement pas triviale. Il en reste 17 qui sont bons (j'ai vérifié).

Exemple : il y a deux classes de conjugaison de sous-groupes d'ordre 2. Vois tu lesquelles ? Cela va donner des polynômes de quel degré ? Par quel mécanisme ?

Note : on a déjà réglé 3 cas : $H = \{1\}$ qui donne la grosse extension $L$ de degré $120$, $H = S_4$ qui donne $E_1$ et $H = D_4$ qui donne $E_2$ (à propos de $E_2$, il y a une vérification à réaliser).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 18:22
@gai requin
Je constate qu'il y beaucoup de choses à faire avec ce polynôme $F = X^5 - X - 1$ concernant les actions transitives de son groupe de Galois $\simeq S_5$. D'abord, il n'y a que 3 sous-groupes distingués dans $S_5$ : $S_5$, $A_5$ et le sous-groupe trivial. Et donc si on prend un sous-groupe $H \subset S_5$ autre que $S_5, A_5$, l'intersection des conjugués de $H$ est triviale, ce qui fait que la représentation $S_5 \longmapsto \text{Perm}\big( (S_5/H)_{\rm gauche} \big)$ est injective.

Et donc, il y a de quoi s'amuser. Inutile de disposer de la classification des sous-groupes de $S_5$ : on prend des $H$ comme on veut et on joue.

Quant à $H = D_4$, il s'agit du $D_4 \subset S_4 \subset S_5$, faut commencer par vérifier que le stabilisateur de $X_1X_3 + X_2X_4$ est bien ce $D_4$ (ici les $X_i$ sont des indéterminées) et croiser les doigts ensuite. On peut calculer le polynôme minimal de $x_1x_3 + x_2x_4$ sur $\Q$, disons en travaillant (avec un logiciel) dans l'algèbre de décomposition universelle de $F$.
Si $F = X^n - a_1X^{n-1} + a_2 X^{n-2} - \cdots + (-1)^n a_0$, l'algèbre de décomposition universelle de $F$ est le quotient de $K[X_1, \ldots, X_n]$ par les $n$ relations
$$
\sigma_i(X_1, \ldots, X_n) - a_i, \qquad\qquad \hbox {$\sigma_i$ fonction symétrique élémentaire de degré $i$}, \qquad 1 \le i \le n
$$
Et ici, dans le cas de $F = X^5 - X -1$, l'algèbre de décomposition universelle et un corps car le groupe de Galois est $S_5$. Et avec qui tu sais, j'ai fait le calcul : le polynôme minimal $G$ de $x_1x_3 + x_2x_4$ est

> G ;
X^15 + 6*X^13 + 7*X^11 - 21*X^10 - 8*X^9 - 109*X^8 - 17*X^7 - 144*X^6 - 355*X^5 - 48*X^4 + 103*X^3 + 5*X^2 - 56*X + 29

Un petit truc marrant : ce polynôme $G$ est irréductible sur $\Z$. Mais il est réductible modulo $p$ pour tout premier ; en effet, ou bien $p$ divise le discriminant de $G$ et $G$ est réductible modulo $p$. Ou bien $p$ ne divise pas le discriminant de $G$ ; si $G$ restait irréductible modulo $p$, l'application du critère de réduction de Dedekind, annoncerait que son groupe de Galois, qui est isomorphe à $S_5$, contiendrait un 15-cycle (vu opérant sur les racines de $G$). Mais dans $S_5$, il n'y a pas d'élément d'ordre 15.

Cela donne envie de s'amuser avec d'autres $H \subset S_5$. Par exemple, $H = \text{AGL}_1(\mathbb F_5)$, qui est d'ordre $20$, donc donne une action en degré $5!/20 = 6$ : tu reconnais le 5-6 binz. Et en prenant des $H$ divers et variés d'indice $N$ dans $S_5$, on obtient un polynôme de degré $N$ de groupe de Galois $S_5$, avec une action (transitive et fidèle) de $S_5$ sur ses $N$ racines.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 18:58
avatar
Hello,

Bon j'ai vu que $S_5$ est de la partie, je remet une description des sous-groupes que AD nous a proposé : ici. Je ne sais pas si ça va servir mais c'est là au cas où !

Du coup, je suis juste à l'exercice ici.

Pour $E_2$ on doit trouver le groupe de Galois (sous-groupe de $G \simeq S_5$) de $L \mid E_2$. Je ne sais pas trop bien faire proprement.

Mais j'ai envie de dire que, $\sigma$ fixe $5$. Et ensuite on regarde l'image de $1$.

  1. Si $\sigma(x_1) = x_1$ alors $\sigma \in \{ id, (2,4) \}$
  2. Si $\sigma(x_1) = x_2$ alors $\sigma \in \{ (1,2)(3,4), (1,2,3,4) \}$
  3. Si $\sigma(x_1) = x_3$ alors $\sigma \in \{ (1,3)(2,4), (1,3)\}$
  4. Si $\sigma(x_1) = x_4$ alors $\sigma \in \{ (1,4)(2,3), (1,4,3,2)\}$

Bon c'est un peu barbare et je ne suis pas complètement clean sur ça ! Je vais réfléchir un peu !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 20:20
@gai requin, flip flop
C'est bien parti pour s'amuser (il y a bien 19 classes de conjugaison de sous-groupes de $S_5$ dans le post de $AD$ pointé par FlipFlop, merci).

Le monde est vraiment petit car je viens de m'apercevoir que le critère de Stickelberger (sur la parité du nombre de facteurs irréductibles d'un polynôme sur un corps fini) s'invite à table en ce qui concerne la représentation $\rho$ pour les bébés. Je cause de celle de $S_3$ sur l'hyperplan en dimension $2$ et le coup du polynôme cubique unitaire $F \in \Z[X]$ dont le discriminant $D$ n'est pas un carré. On trouve, grâce au critère en question que :
$$
\det\big( \rho(\text{Frob}_{L,p})\big) = \left( {D \over p}\right) \qquad \qquad L = \Q(x)^{\rm gal}, \quad F(x) = 0
$$
A prendre plutôt comme le symbole de Kronecker : c'est pareil que le symbole de Legendre sauf que celui-ci n'est pas défini pour $p=2$. Mais il n'y a pas de raison de mettre systématiquement $p=2$ de côté.


Vraiment petit, petit, le monde. Car en ce qui concerne la représentation hyperplane de $S_n$ en dimension $n-1$, on peut s'amuser de la manière suivante. On considère d'abord une représentation par permutations d'un groupe fini $G$ sur un ensemble fini $X$. Je note $Y = X/G$ l'ensemble des orbites. On a alors la formule de Burnside :
$$
\sum_{g \in G} \#\{ x \in X \mid g.x = x \} = \#G \times \#Y \qquad \qquad (\heartsuit)
$$
Exercice. Indication : évaluer de deux manières le cardinal des $(g,x)$ tels que $g.x = x$.
En fait cette formule de Burnside, c'est une formule de Riemann-Hurwitz des pauvres. Il faut penser à une sorte de revêtement ramifié (c'est un peu ollé-ollé)
$$
\xymatrix {
X \ar[d] \\ Y = X/G \\}
\qquad
\#X = \#G \times \#Y - \sum_{x \in X} (e_x-1),\qquad e_x = \#\{ g \in G \mid g.x = x\}
$$
L'égalité ci-dessus à la Riemann-Hurwitz, c'est exactement la formule de Burnside $(\heartsuit)$. Si, si. Faut juste prendre son temps pour le vérifier.

Et comme application : si $G$ opère DOUBLEMENT transitivement sur $X$, on obtient en faisant agir $G$ sur $X^2$ que :
$$
\sum_{g \in G} \left( \#\{ x \in X \mid g.x = x \}\right)^ 2 = 2 \times\#G
$$
Exercice. Et on en déduit sur le caractère de la représentation que je note $\chi_X$ que $\langle \chi_X, \chi_X\rangle = 2$.

J'en viens à la représentation hyperplane de $S_n$ en prenant $X = \{e_1, \cdots, e_n\}$ et en écrivant, sur mon corps de base préféré $K$ (par exemple $K = \C$) :
$$
K^X = K^n = H \oplus D
$$
Où $H$ est l'hyperplan $x_1 + \cdots + x_n = 0$ engendré par tous les $e_i-e_j$ et $D$ la droite orthogonale engendrée par le vecteur $e_1 + \cdots + e_n$ (le vecteur debout plein de $1$). La décomposition est $S_n$-stable et avec des notations que l'on devine :
$$
\chi_X = \chi_H + \chi_D, \qquad \langle \chi_X, \chi_X\rangle = \langle \chi_H, \chi_H\rangle + 2 \langle \chi_H, \chi_D\rangle + \langle \chi_D, \chi_D\rangle
$$
Mais comme $\langle \chi_X, \chi_X\rangle = 2$, c'est que:
$$
\langle \chi_H, \chi_H\rangle = \langle \chi_D, \chi_D\rangle = 1, \qquad\qquad \langle \chi_H, \chi_D\rangle = 0
$$
Bilan : les $S_n$-représentations fournies par $H$ et par $D$ sont irréductibles.

Hum, j'ai l'impression que l'on va perdre le fil de ce que l'on était en train de faire.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/08/2017 09:39 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 20:42
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Sinon Claude : une question avant que l'on se perde (je lis ton post après). Tu veux dire qu'il y a un lien entre les actions fidèles obtenu a l'aide d'un sous-groupe $H$ de $G$ tel que l'intersection des conjugués de $H$ soit trivial et l'action que l'on obtient en considérant l'action de $G$ sur les idéaux premiers au dessus d'un nombre premier $p$ (je prend le corps de base $\Q$). C'est très très très flou ce que je dis (c'est pas grave, c'est pour que je n'oublie pas le Frobenius).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 21:27
@flip flop
Rapport entre .. : non je crois pas. Disons, que pour l'instant, ce que je raconte sur les actions transitives (resp. transitives et fidèles) d'un groupe $G$, c'est un petit truc ``groupiste banal''. Et quand $G$ est un groupe de Galois $G = \text{Gal}(L/K)$, se branche, via la correspondance galoisienne, le coup des extensions intermédiaires $K \subset E \subset L$. Et je voulais juste que cela soit bien clair dans notre tête. Car il faut savoir distinguer $G = \text{Gal}(L/K)$ sans action et $G$ avec actions. Et donc un $\sigma \in G$ devient une permutation ``quelque part'', et ceci de 36 façons.

Je prends encore un exemple. Je regarde le post de AD et je vois qu'il y a un seul sous-groupe de $S_5$ d''ordre 10, à conjugaison près, bien entendu. C'est $D_5$. Pour jouer galoisiennement avec un exemplaire de $D_5$ dans $S_5$, il faut d'abord donner à $D_5$ une coloration polynomiale. Par exemple, à travers le polynôme
$$
R = X_1X_2 + X_2X_3 + X_3X_4 + X_4X_5 + X_5X_1
$$
En quoi $R$ donne une coloration polynomiale à $D_5$ ? Parce que le stabilisateur de $R$ sous $S_5$ est exactement l'exemplaire que je me suis donné de $D_5$. Pour un sous-groupe $H$ de $S_n$, si tu n'as pas d'idée d'un tel $R$, tu peux toujours prendre le $H$-résolvant des bourrins :
$$
R_H = \sum_{\sigma \in H} \sigma \cdot X_1^1 X_2^2 \cdots X_n^n
$$
Et ensuite dans notre histoire débarque $X^5 - X - 1$. Et là, tu croises les doigts en prenant
$$
E = K(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1), \qquad \hbox {$x_1, \ldots, x_5$ racines de $X^5-X-1$}
$$
Avec un peu de pot, le groupe de Galois de $L/E$ est $D_5$. Et disons aussi :
$$
[L : E] = 10, \qquad [E : K] = 12
$$
Plus tard, pour le coup de ``un peu de pot''. Faisons du vrai en vérifiant que l'élément primitif de $E/K$ a bien un polynôme minimal de degré $ \#S_5 / \# D_5 = 5!/10 = 12$.

> // D5-résolvant : X1X2 + X2X3 + ....
> D5 := sub < S5 | (1,2,3,4,5), (1,5)(2,4) > ; 
> assert D5 eq DihedralGroup(5) ;
> X := [P.i : i in [1..5]] cat [P.1] ;
> <Xi : Xi in X> ;
<X1, X2, X3, X4, X5, X1>
> D5resolvant := &+[X[ i]*X[i+1] : i in [1..5]] ;
> D5resolvant ;
X1*X2 + X1*X5 + X2*X3 + X3*X4 + X4*X5
> assert Stabilisateur(D5resolvant) eq D5 ;
> G12 := MinimalPolynomial(A!D5resolvant) ;   // A est l'algèbre de décomposition universelle de X^5 - X - 1
> G12 ;
X^12 + 10*X^10 + 55*X^8 + 140*X^6 + 175*X^4 - 3019*X^2 + 25
> assert IsIrreducible(G12) ;

Là, j'ai eu du pot car $G_{12}$ est irréductible. Et le polynôme $G_{12}$ obtenu a pour groupe de Galois évidemment $G \simeq S_5$ puisque $E^{\rm gal} = L$ et que le groupe de Galois de $L/K$ n'a pas changé (rires) !! Et cette fois, ce $G \simeq S_5$ agit transitivement fidèlement sur les 12 racines de $G_{12}$, action que l'on ne peut pas confondre avec celle de $G$ sur les 5 racines de $X^5 - X - 1$.

It's all. Tiens encore un polynôme irréductible sur $\Z$ mais réductible modulo tous les premiers : application du critère de réduction de Dedekind. Car il n'y a pas d'élément d'ordre 12 dans $S_5$; n'est ce pas ? (oui, les ordres possibles sont $1,2,3,4,5,6$).

Cela ne ressemble pas à la théorie de Galois que l'on apprend à l'école ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/08/2017 21:42 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 22:37
Une dernière remarque (un peu ollé, ollé). Si $H$ est un sous-groupe de $S_n$, alors $S_n$ agit transitivement sur $(S_n/H)_{\rm gauche}$. C'est banal et $S_n$ n'a rien à voir là-dedans et peut être remplacé par n'importe quel groupe $G$.

Mais parfois, cette action de $S_n$ sur $(S_n/H)_{\rm gauche}$, elle n'est ``pas très parlante''. Il peut-être préférable de la remplacer par une action isomorphe de $S_n$ sur $X$, ``plus géométrique'', ou ``plus combinatoire'' ou ``plus je-ne-sais-trop-quoi''. Un exemple tout bête : est ce que l'action de $S_5$ sur $(S_5/(S_2 \times S_3))_{\rm gauche}$, ça cause ? Si ça cause pas, on peut prendre l'action naturelle de $S_5$ sur les parties de cardinal 2 de $\{1..5\}$. C'est la même chose.

En théorie de Galois, dans un certain contexte, $X$ c'est la $S_n$-orbite d'un résolvant $R_H$ de $H$.

Et peut-être qu'il y aura des jours où il faudra aller dans l'autre sens : si on dispose dune jolie action de $S_n$ sur un bel ensemble $X$, peut-être qu'il faudra la remplacer par l'action de $S_n$ sur $(S_n/H)_{\rm gauche}$ où $H$ est le fixateur d'un point de $X$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 22:58
avatar
J'ai "Compris" Claude ! Faut que je fasse joujou avec un groupe de décomposition à la place de $D_5$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
20 aot 2017, 23:04
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Une jolie action : j'aime bien l'action du groupe de Galois sur les idéaux premiers au dessus d'un nombre premier ... fixateur c'est un peu comme groupe de décomposition grinning smiley

Je vais essayer de rendre ce que je dis précis !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 aot 2017, 08:29
Il me semblait bien qu'au début de ce fil, on avait évoqué les modules de Cauchy au travers de la résolvante cubique diédrale d'un polynôme de degré $4$ (cf [www.les-mathematiques.net]).

Une référence incontournable [ici]. winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
21 aot 2017, 10:23
@gai requin
Je ne sais pas comment tu as trouvé cela. J'ai même pas cette note ``dans mes affaires''.

Une remarque : à un moment donné dans [www.les-mathematiques.net], je calcule un polynôme minimal sur $\Q$ et ensuite je vérifie s'il est irréductible sur $\Q$, ce qui s'avère vrai et me procure satisfaction. Il ne faudrait pas croire à ce moment là, en se disant qu'un polynôme minimal, c'est nécessairement irréductible, que j'étais bourré. Car je travaille dans une $\Q$-algèbre (commutative) $A$ de dimension finie et qu'il n'y a aucune raison pour que le polynôme minimal d'un élément de $A$ soit un polynôme irréductible sur $\Q$. Par exemple, si $e \in A$ est un idempotent, le polynôme minimal de $e$ divise $X(X-1)$ ; et c'est $X$ si $e = 0$, $X-1$ si $e =1$ et $X(X-1)$ sinon, ce dernier polynôme étant rarement irréductible.
Mais dans le contexte dans lequel j'étais, $A$ est en fait un corps ... Et je prends trop de précautions inutiles.

Résumons : trop de précautions mais pas bourré.

@tous les deux.
Revenir en arrière : oui, oui, oui. Car je constate que rien n'est terminé et que c'est une véritable catastrophe (pour moi). On ne peut pas s'appuyer sur quelque chose. Un exemple : loi de réciprocité abélienne pour les bébés ? Terminée : non ? Qualifiée de bébé car il s'agit de l'arithmétique des sous-extensions de $\Q(\root p \of 1)$ et surtout pas de $\Q(\root n \of 1)$. Comment voulez vous que l'on s'appuie sur quelque chose ?

Pourquoi je me suis mis à parler d'actions transitives de groupes de Galois ? Pour la bonne raison, que, dans le cadre d'une extension galoisienne $L/\Q$ de groupe $G$, si on cause de $\sigma := \text{Frob}_{L,p}$ qui est un habitant de $G$, où va-t-on ``observer $\sigma$'' ? Sur une omoplate de chameau ? Non. On va observer $\sigma$ comme une certaine permutation qui est celle résultant de l'action de $G$ correspondant à une extension intermédiaire $\Q \subset E \subset L$ telle que $E^{\rm gal} = L$. Si on n'est pas clair sur la base, je ne vois pas comment on peut avancer.

Autre exemple ; le 5-6 binz : terminé ? Non. Et bien, j'en quand on veut réaliser un exemplaire de $D_6$ dans $S_5$ (il y a deux classes de conjugaison de sous-groupes d'ordre 12 de $S_5$, cf l'excellent post d'Alain, et qui vont donc donner des actions transitives fidèles en degré $10 = 120/12$), j'ai eu un peu de mal à trouver du $D_6$ dans $\text{PGL}_2(\mathbb F_5) \simeq S_5$, agissant en degré $6$ sur la droite projective $\mathbb P^1(\mathbb F_5)$.

Je souhaite revenir en arrière pour m'appuyer sur de la terre ferme. Quitte à passer pour un prétentieux, je peux affirmer que je sais ce que je n'ai pas compris dans le passé des quelques derniers mois. Je suis obligé de le savoir à cause de ...

@flip flop : Une vision combinatoire de $(S_5/D_5)_{\rm gauche}$ i.e. une action transitive de $S_5$ en degré 12 : je sais pas trop
@gai requin Une vision combinatoire de $(S_5/A_4)_{\rm gauche}$ i.e. une action transitive de $S_5$ en degré 10 ? Pour $A_4$, il s'agit par exemple, de l'exemplaire de $A_4$ contenu dans $S_4$ que l'on balance dans $S_5$ en fixant 5.
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