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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 aot 2017, 17:22
$\def\bigP {\mathfrak P}$@flip flop
Je pense que cela va le faire (je suis en train d'écrire un document en TeX pour éviter le fait qu'il n'en reste rien). Moi aussi, j'ai m.rdé pendant pas mal de temps au niveau $E$, au niveau $L$, réduire modulo $p$ etc.. Grosso modo, la réduction doit être faite modulo $\bigP$ idéal premier de $L$.
Il faut comprendre ce que vaut :
$$
W := V^{I(\bigP)}, \qquad \hbox {où } V = \bigoplus_{\tau \in \text{Hom}_K(E,L)} \Z\ e_\tau
$$
Vu la définition du $p$-facteur d'Euler de $\rho_E$, où $p$ est la trace sur $\Z$ de $\bigP$, il est indispensable de prouver que $W$ est de dimension $f_1 + \cdots + f_g$ (notations habituelles : degrés des idéaux dans la factorisation de $p$ dans $E$, ne pas confondre $E$ et $L$).

Ce qui ferait chaud au coeur, c'est que $W$ possède une base stable sous le groupe de décomposition $D(\bigP)$, si bien que $D(\bigP)/I(\bigP)$ opèrerait de manière ``permutationnelle'' sur $W$. Et ce groupe est cyclique avec un générateur privilégié the so-called Frobenius $\text{Frob}_\bigP$. Et pourquoi ne pas rêver : le groupe $D(\bigP)/I(\bigP)$ y ferait (sur cette base) des orbites de longueur $f_1, \ldots, f_g$. Et on pourrait appliquer le petit truc sur :
$$
{1 \over \det(I_m - tP_\sigma)} \qquad \sigma \in S_m
$$
Or $G$ opère de manière permutationnelle sur $V$. Et donc pour tout sous-groupe $H$ de $G$, $V^H$ doit avoir comme base l'analogue des périodes de Gauss : faire la somme $s_C := \sum_{\tau \in C} e_\tau$ où $C$ est une classe à droite de $G$ modulo $H$. Damned de damned : la note sur les périodes de Gauss (aspect corporel et arithmétique) aurait dû être menée au bout. AUCUN SENS Je veux dire $s_C = \sum_{\tau \in C} e_\tau$ où $C \subset \text{Hom}_K(E,L)$ est une orbite de $\text{Hom}_K(E,L)$ sous $I(\bigP)$.

Donc, il reste du boulot mais à mon avis, on va y arriver. En fait j'ai commencé

Par le terrain de droite (se raccrocher aux branches). La correspondance $\tau_i \leftrightarrow x_i$ où $\text{Hom}_K(E,L) = \{\tau_1, \cdots, \tau_n\}$ avec $\tau_1 = \iota_{E,L}$ l'inclusion canonique de $E$ dans $L$ se fait par :
$$
x_i = \tau_i(x) \qquad x_1 = x \hbox { élément primitif de $E/K$}
$$
Il faut bien comprendre que le système $(x_i)$ et le système $(\tau_i)$ c'est pareil d'un point de vue CORPOREL mais pas d'un point de vue arithmétique : on a $E = K(x)$ mais pas $\mathcal O_E = \Z[x]$ !!

En un premier temps, j'ai réduit les $x_i$ modulo $\bigP$ pour comprendre en supposant que $p$ ne divise pas le discriminant de $F$ (polynôme minimal de $x$ sur $\Q$). Juste pour voir. On obtient le truc habituel de réduction modulo $p$ de $F$, polynôme minimal de $x$ sur $\Q$. En cherchant à comprendre ce que peut bien vouloir dire réduire $\tau_i$ modulo $\bigP$ :
$$
\overline {\tau_i }: {\mathcal O_E \over \mathcal O_E \cap \bigP} \longmapsto {\mathcal O_L \over \bigP} \qquad\quad ??
$$
HUM. Plutôt :
$$
\overline {\tau_i }: {\mathcal O_E \over \tau_i^{-1}(\bigP)} \longmapsto {\mathcal O_L \over \bigP}
$$
En un deuxième temps, je me suis mis en terrain favorable $\mathcal O_E = \Z[x]$ et en permettant la ramification. Et là, en principe, on peut tout suivre car la factorisation de $F$ modulo $p$ reflète la factorisation de $p$ dans $\mathcal O_E$ (petit théorème de Kummer) :
$$
F = F_1^{e_1} \cdots F_g^{e_g} \bmod p, \qquad\qquad
p\mathcal O_E = \mathfrak p_1^{e_1} \cdots \mathfrak p_g^{e_g}, \qquad
\mathfrak p_i = \langle p, F_i(x) \rangle, \qquad
f_i = \deg F_i = \deg \mathfrak p_i
$$
A suivre. J'y crois. Cela ne peut être que simple. Il peut y avoir des coquilles (merci de me les signaler).



Modifié 2 fois. Dernière modification le 23/08/2017 20:36 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 aot 2017, 19:05
@flip flop
Je parle d'éventuelles petites coquilles mais il doit y avoir de grosses c.nneries. Il faut bien par exemple qu'interviennent les orbites de $\text{Hom}_K(E,L)$ sous $I(\mathfrak P)$. Et j'ai même du écrire des choses qui n'ont pas de sens. Il faut donc prendre son temps.

Je te propose pour te détendre d'illustrer (modestement) Cebotarev. Je vais utiliser un certain langage de programmation. Avec parfois des choses cryptiques :

> [1^^4, 5^^2, 3, 5] ;                                  
[ 1, 1, 1, 1, 5, 5, 3, 5 ]
> sigma := Sym(12) ! (1,2,3) (4,5,6) (7,8)(9,10,11,12) ;
> sigma ;
(1, 2, 3)(4, 5, 6)(7, 8)(9, 10, 11, 12)
> CycleStructure(sigma) ;                               
[ <4, 1>, <3, 2>, <2, 1> ]

En première ligne, tu vois le ^^-opérateur, bien commode, que j'utilise parfois mais il faut s'en méfier. Ce qu'il faut savoir, c'est que la plupart des informations de fréquence retournées par les fonctions procèdent à des regroupements : en ce qui concerne $\sigma$, cela signifie qu'il y a 1 4-cycle, 2 3-cycles et 1 transposition. Je vais devoir ``aplatir'' cela. Idem, pour la factorisation des polynômes : les facteurs sont regroupés avec un exposant (ce qui est bien moral). Mais pour ce que je veux faire, je dois ``mettre à plat'' (bis).
Voici deux petites fonctions qui font le job avec utilisation

// [<a,3>, <b,2>, ...] -> [a,a,a,b,b ..]
Flatten := function(S)
  flatS := &cat [[fi^^ei] where fi,ei is Explode(fiei) : fiei in S] ;
  return Reverse(Sort(flatS)) ;
end function ;

FactorisationType := function(F)
  // Factorisation(F) = [<F1,e1>, <F2,e2> ... ]
  degres := [<Degree(Fi), ei> where Fi,ei is Explode(Fiei) : Fiei in Factorisation(F)] ;
  return Flatten(degres) ;
end function ;

> Flatten([<1,4>, <3,7>, <2,5>]) ;
[ 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1 ]
> F := X^2 * (X^2+1)^3 * (X^3+X+1) ;
> FactorisationType(F) ;
[ 3, 2, 2, 2, 1, 1 ]

L'usage veut également que l'on range les partitions de manière décroissante. C'est même presque une obligation.

Maintenant, c'est parti mon kiki. Je reprends le sempiternel $X^5 - X - 1$ de groupe de Galois $S_5$, et je vais compter le nombre d'objets produisant la partition $(3,1,1)$ de $5$. D'une part compter les premiers $p$ tels que la factorisation modulo $p$ de $F = X^5 - X - 1$ soit de type $(3,1,1)$ et d'autre part les permutations de $S_5$ (décomposition en cycles à supports disjoints) de ce type

> S5 := Sym(5) ;
> F := X^5 - X - 1 ;
> P := PrimesInInterval(2,10^4) ;
> p311 := [3,1,1] ;
> time P311 := [p : p in P | FactorisationType(ChangeRing(F,GF(p))) eq p311] ;
Time: 0.170
> // Permutations de type (3,1,1)
> S5_311 := [sigma : sigma in S5 | Flatten(CycleStructure(sigma)) eq p311] ;
> 
> // Cebotarev
> R!(#S5_311 / 120),  R!(#P311/#P) ;
0.1667 0.1644

Voilà, voilà. J'ai oublié de dire que cela se passe sous le scope de

> Z := IntegerRing() ;
> ZX<X> := PolynomialRing(Z) ;
> R := RealField(4) ;
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 aot 2017, 19:52
avatar
Il est vraiment spectaculaire ce théorème. Imagine un groupe comme $S_{15}$ les densités vont vraiment être faible. Même avoir un seul $p$ qui réalise la bonne décomposition devient déjà miraculeux !

J'ai regardé un peu les $\overline{\tau_i}$ ... faut quotienter par le noyau ?
$$
\overline{\tau_i} : {\mathcal{O}_E \over \tau_i^{-1} (\mathfrak{P})} \to {\mathcal{O}_L \over \mathfrak{P}}
$$
Je vais regarder encore un peu (car avec ça on va certainement voir tous les idéaux premiers de $\mathcal{O}_E$ au dessus de $p$), après j'arrête ... faut pas trop s'acharner sur un truc sinon on ne voit plus rien :)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 aot 2017, 20:50
$\def\bigP{\mathfrak P}$@flip flop
J'ai corrigé mes âneries dans mon post [www.les-mathematiques.net] de manière bien visible (annonce en rouge). Une va sans le sens de ce que tu dis ci-dessus.

Oui, ne pas s'acharner mais persévérer. J'espère que tu es d'accord avec le fait que l'on doit avoir (si on veut prouver l'égalité des $p$-facteurs) l'égalité
$$
\dim W = f_1 + \cdots + f_g, \qquad \hbox {où} \qquad W = V^{I(\bigP)}
$$
Ceci pour la bonne raison que, par définition (cf Gelbard) le $p$-facteur de $L_{\rho_E}$ est
$$
{1 \over \det\big( I_W - T\rho(\text{Frob}_\bigP)_{|W}\big)} \qquad \hbox {et on veut que ce soit} \qquad
\prod_{i=1}^g {1 \over 1 - T^{f_i}}
$$
Si on est d'accord que cela doit se passer comme cela (sans que l'on sache encore pourquoi), cela sera un bon point pour avancer.

Et je vais même, dans mon post pointé, jusqu'à proposer une base de $W$ (en rectifiant ma grosse conn.rie dont je ne suis pas fier).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 aot 2017, 21:38
avatar
Yes complètement d'accord ! Je suis aussi d'accord avec le ça ne peux pas être trop complexe, faut "juste" trouver le bon point de vue : je vais regarder proprement les $\tau_i^{-1}(\mathfrak{P})$, c'est un peu casse pied mais je suis pense qu'il y a exactement $f_i$ $\tau_\bullet$ tel que $\tau_\bullet^{-1}(\mathfrak{P})= \mathfrak{p}_i$. Tu me diras pour l'instant j'essaie juste de retrouver le truc hors ramification (histoire de bien comprendre) après je regarde avec l'inertie J'y vais tranquillou mais je pense que c'est moins complexe que les choses concernant les courbes elliptiques.

J'y crois, et je dois avouer que ça m'amuse beaucoup grinning smiley

Ps / Je me suis encore fait embarqué dans un nouveau truc ... a l'origine je voulais prouver que le polynôme cyclotomique est irréductible grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 aot 2017, 22:16
$\def\p{\mathfrak p}\def\P{\mathfrak P}$@flip flop
Sorry de t'avoir embarqué là dedans. Je te relirais ton futur cyclo-date, promis, juré.

Mais cela valait le coup, non ? Surtout que l'on va y arriver (pas ce soir).

Comme depuis un certain temps, je note $\p_1, \ldots, \p_g$ les idéaux premiers de $E$ au dessus de $p$ et je pose :
$$
\Theta_j = \{ \tau \in \text{Hom}_K(E,L) \mid \tau^{-1}(\P) = \p_j \} \qquad 1 \le j \le g
$$
C'est une partition de $\text{Hom}_K(E,L)$ (qui est de cardinal $n$). Et donc
$$
\sum_{j=1}^g \#\Theta_j= n
$$
Et comme il y a un peu de morale dans ce bas monde, c'est que l'on DOIT avoir $\Theta_j = e_jf_j$. Mais en fait, comme la morale n'a rien à voir là dedans, c'est qu'on doit se forcer à le prouver.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 aot 2017, 23:09
avatar
C'est bon Claude, j'ai le truc non ramifié (je pense) : il faut prendre le groupe de décomposition intermédiaire !

En fait, si je prend $\mathfrak{p}$ dans $\mathcal{O}_E$. Alors si $\sigma \in \text{Gal}(L \mid K)$ vérifie $\sigma(\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$ alors $\sigma$ induit une permutation de l'ensemble des idéaux $\mathfrak{P}$ de $\mathcal{O}_L$ divisant $\mathfrak{p}$.

Mais l'ensemble des $\sigma$ en question est le groupe de décomposition $\text{D}(\mathfrak{p})$, groupe engendré par le Frobenius $\text{Frob} ((\mathfrak{p} / p, \mathcal{O}_E \mid \mathcal{O}_K)$ qui est d'ordre $f$ et du coup la permutation engendré par $\text{Frob}$ va donner une permutation circulaire d'ordre $f$ .... et ensuite les tricks avec les matrices de permutations !


il faut remettre en ordre, mais je vois a peu près
Re: Homographies et petits groupes de Galois
23 aot 2017, 23:56
avatar
Sinon Claude niveau Magma, j'ai testé le polynôme $G120$ ... il y a beaucoup de Garbage, non ? Le polynôme $G120bis$ répond beaucoup mieux ?

Zx<X> :=PolynomialRing(Integers());
G120bis :=X^120 + 5*X^119 + 19*X^118 + 46*X^117 + 101*X^116 + 127*X^115 - 76*X^114 - 882*X^113 - 2821*X^112 - 7708*X^111 - 
    21224*X^110 - 49862*X^109 - 88318*X^108 - 98906*X^107 + 67175*X^106 + 822966*X^105 + 2784768*X^104 + 6138817*X^103 +
    9955131*X^102 + 13321714*X^101 + 18980529*X^100 + 34600377*X^99 + 76658967*X^98 + 169654000*X^97 + 319511858*X^96 + 
    463496618*X^95 + 470261968*X^94 + 316361150*X^93 + 268753511*X^92 + 913348831*X^91 + 2670958955*X^90 + 
    4794387046*X^89 + 5236869837*X^88 + 2285176871*X^87 - 2177197812*X^86 - 2563352660*X^85 + 5407028029*X^84 + 
    19404726222*X^83 + 29551465032*X^82 + 26310765200*X^81 + 8515092320*X^80 - 12877435362*X^79 - 19761028890*X^78 + 
    5560698811*X^77 + 79077214393*X^76 + 197692056451*X^75 + 325748511814*X^74 + 385567764659*X^73 + 286015498553*X^72 -
    10816224449*X^71 - 423385347518*X^70 - 725423469942*X^69 - 647376346752*X^68 - 76509281732*X^67 + 786287022516*X^66 
    + 1486037509462*X^65 + 1573168386790*X^64 + 920395556733*X^63 - 192631336665*X^62 - 1212994407131*X^61 - 
    1617442541502*X^60 - 1212994407131*X^59 - 192631336665*X^58 + 920395556733*X^57 + 1573168386790*X^56 + 
    1486037509462*X^55 + 786287022516*X^54 - 76509281732*X^53 - 647376346752*X^52 - 725423469942*X^51 - 
    423385347518*X^50 - 10816224449*X^49 + 286015498553*X^48 + 385567764659*X^47 + 325748511814*X^46 + 197692056451*X^45
    + 79077214393*X^44 + 5560698811*X^43 - 19761028890*X^42 - 12877435362*X^41 + 8515092320*X^40 + 26310765200*X^39 + 
    29551465032*X^38 + 19404726222*X^37 + 5407028029*X^36 - 2563352660*X^35 - 2177197812*X^34 + 2285176871*X^33 + 
    5236869837*X^32 + 4794387046*X^31 + 2670958955*X^30 + 913348831*X^29 + 268753511*X^28 + 316361150*X^27 + 
    470261968*X^26 + 463496618*X^25 + 319511858*X^24 + 169654000*X^23 + 76658967*X^22 + 34600377*X^21 + 18980529*X^20 + 
    13321714*X^19 + 9955131*X^18 + 6138817*X^17 + 2784768*X^16 + 822966*X^15 + 67175*X^14 - 98906*X^13 - 88318*X^12 - 
    49862*X^11 - 21224*X^10 - 7708*X^9 - 2821*X^8 - 882*X^7 - 76*X^6 + 127*X^5 + 101*X^4 + 46*X^3 + 19*X^2 + 5*X + 1;
> F :=X^5 - X - 1;
G120 := X^120 + 12996*X^116 - 160524*X^115 + 79806466*X^112 - 2040829308*X^111 + 13181342526*X^110 + 303665075236*X^108 - 12098657806452*X^107 + 163271019110288*X^106 - 722077216500024*X^105 + 
    789362632969231*X^104 - 43486466494036356*X^103 + 928761610384758846*X^102 - 8622651098683574316*X^101 + 30722430603620633597*X^100 - 102954195211159356120*X^99 + 
    3130085854847345760060*X^98 - 46392614103585264592140*X^97 + 334659651384439062916196*X^96 - 1089337097157113563772328*X^95 + 6696015348128638334736140*X^94 - 
    143862544212874534709534880*X^93 + 1666314639192998000258511526*X^92 - 10020212347522051433377160892*X^91 + 32321388581336788746841826762*X^90 - 270227393723861036920845339840*X^89 + 
    4636624218397173258835149171991*X^88 - 44914320501660209477118369977856*X^87 + 234115265015751600274445827662360*X^86 - 751772507537634071908195864505628*X^85 + 
    7322333338812083829153519394716746*X^84 - 108413573290674436043438501138608260*X^83 + 916655922313311539074572135687799004*X^82 - 4154536441304880240663720899774656128*X^81 + 
    12541394874605203989832563742521540148*X^80 - 133930706315502041101500962586642174564*X^79 + 1838843168886343538277845000939336805374*X^78 - 
    13827744643331355482365246355752061423784*X^77 + 53218157308802403526068102712416582309480*X^76 - 125516118320731774534074674079449940493176*X^75 + 
    1574031889919230626593829608124153033821040*X^74 - 21689267656912540778616287565804892016050440*X^73 + 147981080368292818038872626604271675579670371*X^72 - 
    441851655326664974475247712141705082794919816*X^71 + 331047979562631421752698228275285301651655924*X^70 - 9481297404708664100709737555297059448294675700*X^69 + 
    165681108902912758278795642465689812376710811801*X^68 - 1037645400095072816751154556782791966847603186740*X^67 + 1950667148631037674508077187473734809477893793888*X^66 + 
    8328892597481866842706299847997035269985721066124*X^65 - 608392448433753885267472641430457698922301262979*X^64 - 701618715991221473786739829013837528842961716194564*X^63 + 
    4360578030576507251020096573442150191042494047530058*X^62 - 1932458151440947339394473020388203151051700499205308*X^61 - 90831607793378461787764199133943070284066386953570345*X^60 + 
    301537064666456740761777762263109727214603437145127852*X^59 + 1410628360544339409693378423792249924275785498250064554*X^58 - 
    10738477782736394988470912952757837382542337802780371460*X^57 - 938369872449119719639730611693373029795133634468095728*X^56 + 
    256342937980464995070717383379625748993604546457321162992*X^55 - 590163579881655271437218740413939829469026451605869835364*X^54 - 
    3118517219714241828190134270186213380721101328479373453156*X^53 + 19969929252643595926608649504431346363757216124058457661602*X^52 + 
    11102893105851267935357334101530261340882983702399250009004*X^51 - 342355562349082316914779337730375718806937063976553361045682*X^50 + 
    183952696523137405270440147411460875114306371655983656920360*X^49 + 3297741905544680985252214481488012756562682750082271890820711*X^48 - 
    21136312856087956503767147797181039802894702092227134352576464*X^47 - 35701627148594863148570729694751707969017184395195096543326368*X^46 + 
    148598277990669468899044895094351363161126062930797086575892268*X^45 + 51247754953381889235661782683891338947925405637362692230764566*X^44 + 
    10023617428460714651253218655663194015377800629026977268063673592*X^43 + 56934175752849324689010947997458907714787115976159526597982140108*X^42 + 
    301920448366290600439104976263394316100601371478771788053572547760*X^41 + 2594606926141076130898609821839263964840472708946547941665555073034*X^40 + 
    12741368600116957148948951069836984226648184284622914657755038968448*X^39 + 53199323885272245933482149878723441281578432388589941355270765403560*X^38 + 
    256256432440575885531807141546459801117240159912710621630448775530168*X^37 + 1220840291978741484019582649504618761471307751666512122192469029930624*X^36 + 
    5278456524829994343549492538665212394641002535470619173906076466410412*X^35 + 21280618469656798260337700628418628365738447516799035212167074568514908*X^34 + 
    96067425937026949016658666918302204291082420450996074564915064845408688*X^33 + 440984272852257412450841447438929874897948227153875378947508348664095822*X^32 + 
    1899905723324688753135016545146962266660811961935065469990333010473734876*X^31 + 8671430422060223428808774847790726570145175758277777548661408696351754610*X^30 + 
    39254216348446839841088357197872411791121248515532608238502275571056279256*X^29 + 164866482814404438190419780352837857844516909250366001296867037453227684500*X^28 + 
    680759061843020034487566290547251484133716257202098968607400752243237704668*X^27 + 2767023524448521960120222410370935573509768437922167049693125409652330800536*X^26 + 
    10365098219884562907552783456802075397464041261455180491386782622863904736656*X^25 + 35302985504151299039567755076128927282625147189719466092867854466963003414031*X^24 + 
    112745794130102116890140240566655375507070558449664431939310380016483144365628*X^23 + 337681268975592724875723148645398969754284788910222823844258721039331561836574*X^22 + 
    930298705162766290666440891067246740222606909635235278062265959796032724601012*X^21 + 2396219560368833154691371571109999925829209278056488061156927861028866550793461*X^20 + 
    5955877243812552127567383179662768547581284176345775027788673172148514444358944*X^19 + 14402040611115624543403895685079184948623145208350466892859004810178078254909132*X^18 + 
    34245048429921500386292428504676534291414249749119816360113108190175587368617476*X^17 + 81968225513526743029835524734933368331094065662582929049271703079077209706052368*X^16 + 
    194995549459730768231548662825153403368696801714898544819440321284897630461021880*X^15 + 444705780710793408467530798380388704428635849934822218316272251535701167442897616*X^14 + 
    963493138702601459969707385004833704799890781465070073483164805892851313358830928*X^13 + 1963122630884947704847766741417296620343120323079520897176882781804131542967029554*X^12 + 
    3595606701546336890698305717734749893017509556412715927815235028834244920442284148*X^11 + 5692424666409465294396846955332925911880762455175482115759429805827990999154311806*X^10 + 
    7806344030245069970912023341715109600930993307806426166974299406587130995199776704*X^9 + 9337222464847680138002561694914320014411075977763409364739338276518186489349858512*X^8 + 
    9376080681527720756704388364688926666827098168924041890520003584089288507827890112*X^7 + 7595272379906153027421685022447079875370438652328034375484547103158505854538711724*X^6 + 
    5251031771557198498915685814227627973380745990969351501402763758311291260832392380*X^5 + 3363416330555340418067007393620527906212692815218422131183896873152465375288973856*X^4 + 
    1698307867521016154114579729448928864584902471733061390770945118942075551628860864*X^3 + 505123224756935859271573370150893288094540800116798383456054936819948908495806416*X^2 + 
    112785736889728814839962420429561040213366951396890181527661;
> P := PrimesInInterval(2,10^5) ;                               
 #[p : p in P | #Roots(ChangeRing(G120bis, GF(p))) eq 120] ;
#[p : p in P | #Roots(ChangeRing(G120, GF(p))) eq 120] ;
 #[p : p in P | #Roots(ChangeRing(F, GF(p))) eq 5] ;

G120 je ne comprends pas ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 08:42
@flip flop
A propos de $L_{\rho_E} = \zeta_E$, c'est bon aussi de mon côté. Mais cela a demandé plus de travail que prévu. Je veux dire par là que j'ai été obligé d'utiliser tous les ingrédients de mise en place du Frobenius, par exemple la transitivité du groupe de Galois sur les idéaux premiers au dessus d'un même idéal. Ainsi que la théorie de la ramification : bref, les résultats classiques mais en allant voir plutôt les détails de toutes les preuves et pas seulement les énoncés.

Mon intention est de rédiger cela (je compte plusieurs jours).

Quant à G120 et G120bis, il y a effectivement du garbage i.e. des premiers $p$ qui divisent le discriminant de l'un sans diviser celui de l'autre. Pour y voir quelque chose, j'ai été obligé d'utiliser des multi-sets et la petite fonction que voici :

> {* 1,2,1,1,2,1,1,2 *} ;
{* 1^^5, 2^^3 *}

DegreeDistribution := func < F | {* ei where Fi,ei is Explode(Fiei) : Fiei in Factorisation(F) *} > ;

Et regarde bien ce qui suit :

> P := PrimesInInterval(2, 10^5) ;
> time PG120 := [p : p in P | #Roots(ChangeRing(G120,GF(p))) eq 120] ;
Time: 20.650
> #PG120 ;
78
> time PG120bis := [p : p in P | #Roots(ChangeRing(G120bis,GF(p))) eq 120] ;
Time: 20.960
> #PG120bis ;
76
> PG120minusPG120bis := [p : p in PG120 | p notin PG120bis] ;                                                   
> PG120minusPG120bis ;
[ 8161, 11903, 23567, 42689 ]
> p := PG120minusPG120bis[1] ;
> p ;
8161
> DegreeDistribution(ChangeRing(G120bis,GF(p))) ;
{* 1^^112, 2^^4 *}
> PG120bisminusPG120 := [p : p in PG120bis | p notin PG120] ;                                                   
> PG120bisminusPG120 ;
[ 3769, 67579 ]
> p := PG120bisminusPG120[1] ;
> p ;
3769
> DegreeDistribution(ChangeRing(G120,GF(p))) ;
{* 1^^114, 2^^3 *}

Et le compte est bon :
$$
120 = 112 \times 1 + 4 \times 2 = 114 \times 1 + 3 \times 2
$$
Do you see what I mean ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 09:52
avatar
Coucou Claude,

J'ai repris ce que j'ai fais hier faut faire super attention. Mais grosso modo, je pense que c'est vraiment ok. Je vais essayé d'écrire proprement sur le papier pour voir. Mais avec la partition que tu proposes il faut voir que $\text{Frob}(\mathfrak{P}, L \mid K)$ respecte la partition. Ensuite, c'est pas encore gagné mais ça va le faire grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 10:05
Bonjour Claude.

On trouvera [ici] un article de théorie de Galois constructive sur la détermination du groupe de Galois de la résolvante de Lagrange.
On y parle de matrice des groupes et des partitions.
L. Ducos est cité en référence.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 11:24
@flip flop
Un début de quelque chose (pas relu, c'est pas bien) : je me suis contenté de planter le décor et d'énoncer un résultat le plus précis possible (la proposition 1, page 2). C'est peut-être un peu lourd, comme énoncé. J'ai seulement pris en charge pour l'instant la preuve du point (i) [[le lemme qui suit la proposition]], ce qui m'a demandé un peu de travail. Mais peut-être que j'en fais trop ? Je continuerai plus tard : je t'avoue qu'il a fallu que je révise sérieusement la théorie de la ramification. Et d'ailleurs, j'ai encore un petit trou, ce qui prouve que je ne suis pas encore au clair. Cela rend modeste.

@gai requin.
Vu et je connaissais. Peut-être sais tu que cela a été ``mon métier'' pendant un certain nombre d'années ?
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - ArtinRhoEversusZetaE.pdf (276.2 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 11:36
@Claude.
Je sais bien quel était ton métier mais je ne sais pas quelles sont les références que tu connais même si je sais qu'il y en a pléthore. winking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 12:00
avatar
Merci Claude, il me manquais un lemme pour le (i) c'est l'utilisation de l'action transitive.

Coquille : page 3 en haut il y a un $\tau_2$ vs $\sigma_2$ (deux fois).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 12:40
@flip flop
Ok pour la coquille. Merci. Au fait, la transitivité elle est déjà sous jacente au fait que le $p$-Euler facteur ne dépend pas de l'idéal premier $\mathfrak P$ de $L$ au dessus de $p$ : car tu obtiens deux Frobenius conjugués donc même polynôme caractéristique.

Pour l'instant, je ne sais pas encore tout prouver par rapport à ce qui est énoncé dans la proposition : orbites sous l'inertie $I(\mathfrak P)$. Il faut vraiment que je révise à fond les sections 6.2 et 6.3 de Samuel (et d'atres ouvrages, histoire d'avoir plusieurs points de vue). Mais cela ne m'inquiète pas trop de ne pas savoir faire : je range cela dans l'activité ramification à comprendre dans les détails.

Autre chose : une fois que l'on a compris ce que l'on cherche (la définition du $p$-Euler facteur), c'est plus facile de le trouver. Cf par exemple page 87 def 4.4.2 in [webusers.imj-prg.fr] (pas lu).

Khan dit qu'au début, Artin n'avait défini ses fonctions L, qu'aux facteurs ramifiés près (1923). Et puis il a compris (1930), ce qu'il fallait coller pour les facteurs ramifiés (neutraliser l'inertie). Je te cacherais pas que cela m'agace quand les auteurs balancent une définition comme si cela allait comme du petit lait. Quel naze ce Artin pour avoir mis 7 ans pour trouver le bon concept.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 13:05
avatar
7 ans, on peut dire merci Artin ! Je pense que Serre en parle dans la vidéo 45 minutes.
(enfin a priori il était entrain de démontrer des résultats sur les corps de écoles et il a fait joujou avec le groupe de icosaèdre grinning smiley)

Je stop jusqu'a demain !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 24/08/2017 13:08 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 13:46
@flip flop
Même dans le cas abélien, Khan n'est pas très causant in [webusers.imj-prg.fr], avant le th 41.8 page 66. Je cite :

On voit ainsi qu’en considérant les caractères de Dirichlet de manière naïve, on n’arrive qu’à une expression approximative de $\zeta_{K,s}$ qui évite précisément les facteurs locaux correspondant aux idéaux premiers ramifiés. Pour obtenir une valeur exacte, il faut remplacer chaque caractère par le caractère primitif associé, et on obtient ...etc..

C'est l'histoire $\chi$ versus $\chi_{\rm prim.}$. Mais il ne va pas rentrer dans les détails. Sauf pour dire que $p$ est ramifié dans $\Q(\root m \of 1)$ si et seulement si $p \mid m$. Ce qui est faux : $2$ n'est pas ramifié dans $\Q(\root 10 \of 1)$ pour la bonne raison que $\Q(\root 10 \of 1) = \Q(\root 5 \of 1)$

Autre chose : Il mentionne aussi page 65, avant la proposition 4.1.7 une jolie preuve de l'irréductibilité du polynôme cyclotomique sur $\Q$ (dans un ouvrage que je possède). Cela pourrait peut-être t'intéresser. J'ai déjà regardé vaguement (c'est l'exposé de Birch) mais je crois que c'est la preuve qui figure à la fin du Samuel.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 14:37
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Un petit truc,

Avec le $(i)$ on a une action (transitive) de $D(\mathfrak{P})$ sur $\Theta_i$. Pour calculer le cardinal de $\Theta_i$, on peut regarder le stabilisateur. En fait le stabilisateur est le groupe de décomposition $D(\mathfrak{P}, L \mid E)$. Ce qui explique que le cardinal de $\Theta_i$ est $D(\mathfrak{P}) / D(\mathfrak{P}, L \mid E)$ .. je pense qu'on doit retrouver $e_i f_i$ ... (mince je suis en retard maintenant) !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 19:26
@flip flop
Il y a un truc qui ne va pas dans ce que tu dis car ton quotient ne dépend pas de $i$. Hors, il faut trouver $e_if_i$.

Je vais compléter au fur et à mesure tout en laissant reposer. Car tu te rends bien compte en fait qu'il n'y a rien de nouveau : c'est de la théorie algébrique des nombres on ne peut plus classique. Ce qui est nouveau pour moi c'est de constater que c'est indispensable que je fasse des révisions.

Et maintenant, je vois des L-séries partout. C'est grave docteur ? Tiens je te montre un petit truc.

> F := X^5 - 2 ;
> E<x> := NumberField(F) ;
> time ZetaE := LSeries(E : Method := "Direct") ;
Time: 0.050
> LCfRequired(ZetaE) ; 
11972

Ci-dessus, le montage de la L-série se fait super-vite. Et quand tu lui demandes combien de coefficients va-t-il devoir déterminer pour te fournir un $L(s)$, tu vois ce qu'il répond : 11972, rien que ça.
D'ailleurs, je vais le sentir passer. Je calcule $L(2)$ alors que j'en ai rien à foutre.

> time Evaluate(ZetaE, 2) ;
1.62821958028430973979175951536
Time: 8.620

8 secondes pour cela, même pas fort.

On va procéder autrement en se demandant quel est le groupe de Galois de $E^{\rm gal}$.

> time G := GaloisGroup(E) ;
Time: 0.140
> TransitiveGroupDescription(G) ;
F(5) = 5:4
> #G ;
20
> [Degree(chi) : chi in CharacterTable(G)] ;
[ 1, 1, 1, 1, 4 ]

Il n'est pas trop gros. Donc on va tenter de calculer la L-série par Artin (décomposition de $\rho_E$, je pense)


> time LE := LSeries(E : Method := "Artin") ;
Time: 0.860
> LCfRequired(LE) ; 
8754
> time Evaluate(LE, 2) ;
1.62821958028430973979175951542
Time: 0.890

Là, le montage se fait un peu plus lentement (0.860 secs versus 0.050) mais on voit qu'à l'avenir pour déterminer $L(s)$, cela sera plus rapide.

Bien sûr, il s'agit de deux L-séries mathématiquement égales mais pas au sens magma.

> LE eq ZetaE ;
false
> P := PrimesInInterval(2,10^3) ;
> time &and [IntegralEulerFactor(LE,p) eq IntegralEulerFactor(ZetaE,p) : p in P] ;                    
true
Time: 0.190

Leur intérieur n'est pas le même. J'en ai pour un certain temps pour pouvoir utiliser intelligemment ces objets. Mais heureusement, pour l'instant, je n'ai pas besoin de $L(2)$ tous les 4 matins.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
24 aot 2017, 23:28
Tu peux aussi essayer des choses du genre :
avec $L/E/\mathbb{Q}, L/\mathbb{Q}$ Galois, $G = Gal(L/\mathbb{Q}), N=[L:\mathbb{Q}]=|G|$, $n = [E:\mathbb{Q}]$, $H = Gal(L/E)$, $\phi_p = \text{Frob}_p \in G$ et $e_p$ l'index de ramification
$$\zeta_L(s)^N = \prod_p \prod_{\sigma \in G}\prod_{k=1}^{N/e_p} \frac{1}{1-\zeta_{\text{ord}_G(\sigma^{-1} \phi_p \sigma)}^k p^{-s}}, \qquad \zeta_E(s)^{N} = \prod_p \prod_{\sigma \in G/H}\prod_{k=1}^{N/e_p} \frac{1}{1-\zeta_{\text{ord}_{G/H}(\sigma^{-1} \phi_p \sigma)}^k p^{-s}}$$ où $\text{ord}_{G/H}(\sigma)$ c'est l'ordre de $\sigma\in G$ en tant qu'action sur $G/H$ (où en tant qu'élément de $\text{Hom}(E,L)$)

L'idée que je trouve intéressante serait alors d'essayer de remplacer $\text{Frob}_p$ et $\rho(\text{Frob}_p^m)$ par une fonction $\text{Ro}$ de la structure de l'anneau $\mathcal{O}_L/(p^m)$, car $\mathcal{O}_L/(n) \simeq \prod_{p^m \| n}\mathcal{O}_L/(p^m)$, ce qui donnerait une chance de développer la fonction L d'Artin en une série de Dirichlet $$L(s,\rho) = \prod_p \det(1+\sum_{k \ge 1} p^{-sk} \rho(\phi_p^k)) = \det(\sum_{n=1}^\infty n^{-s} \text{Ro}(\mathcal{O}_L/(n)))$$
(à ma connaissance, en général le seul moyen d'écrire $L(s,\rho)$ comme une série de Dirichlet qu'on sait manipuler c'est d'utiliser le théorème de Brauer pour écrire $\text{tr}(\rho(\text{Frob}_p))$ comme une combinaison linéaire de caractères de Hecke)



Modifié 1 fois. Dernière modification le 24/08/2017 23:36 par reuns.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
25 aot 2017, 11:42
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Hello Claude,

Oui effectivement boulette de ma part, le noyau est un groupe de décomposition mais pas sur $L \mid E$ mais sur une extension $L \mid \tau(E)$, je vais mettre au point tranquillou, ça permet de se familiariser avec ces choses classiques !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 25/08/2017 19:21 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
25 aot 2017, 11:53
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Sinon pour le $11972$ pour fournir $L$ . Ca veux dire que la suites des coefficients satisfont une relation de récurrence d'ordre $11972$ ?

Sinon, ce qui est pas mal avec le petit travail que l'on a fait c'est que l'exemple de Serre (p437-438) devient un peu clair.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 25/08/2017 12:55 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
25 aot 2017, 17:34
@Claude :
Est-ce que $\rm{AGL}_1(\mathbb F_5)$ est isomorphe au groupe métacyclique $M_{20}=\langle (1,2,3,4,5),(2,3,5,4)\rangle$ ?

Si oui, on peut faire comme précédemment (résolvante...) pour dégoter un polynôme de degré $6$ tel que...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 aot 2017, 12:18
@gai requin
Tu poses une question mais je pense que tu as la réponse car d'où sortent ces permutations ? En notation $\Z/5\Z$ au lieu de $\{1,2,..,5\}$, il s'agit de $x \mapsto x+1$ et $x \to 2x$ (à vérifier quand même).

@flip flop
J'attache une nouvelle version. J'y vais tranquillou comme tu dis pour la bonne raison que je peux pas aller vite, vu que je trouve cela minutieux. Il y a des choses qui me sont destinées dans cette note : j'ai toujours cru que le lemme de transivité sur les idéaux premiers au dessus de .. était équivalent au lemme de transitivité sur les morphismes qui coïncident sur ... De loin, tout va bien, de près un peu moins bien.

Bref, saute les trucs qui me sont destinés, je pense que tu pourras les repèrer. Tu verras le lemme 1 que j'ai précisé (dans ton sens d'ailleurs) car on voit apparaître le groupe de décomposition de $\mathfrak P$ sous le groupe $\text{Gal}(L/\tau(E))$.
Il apparaît de la conjugaison un peu partout. Mais en ce qui concerne les orbites sous le groupe de décomposition, je pense que c'est réglé. Mais les orbites sous le groupe d'inertie, c'est une autre histoire. Cf par exemple l'énoncé du lemme 4 sans preuve. Je sèche et cela rend modeste.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - ArtinRhoEversusZetaE.pdf (324.2 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 aot 2017, 13:57
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Coucou Claude,

Oui, ultra minutieux !!! et j'ai pas encore fait mumuse avec les groupes d'inerties grinning smiley, Je suis toujours entrain de regarder proprement le $(i)$.

Je viens de voir un petit truc : si $\tau^{-1}(\mathfrak{P}) = \mathfrak{p}$ alors on a un isomorphisme :
$$
\frac{\mathcal{O}_E}{\mathfrak{p}} \to \frac{\tau(\mathcal{O}_E)}{\mathfrak{P} \cap \tau(\mathcal{O}_E}
$$
qui va permettre de travailler avec le groupe de décomposition $D(\mathfrak{P}, L \mid \tau(E))$ dans $\mathcal{O}_E$ (enfin je me comprends). Je pense que ça termine le cardinal de $\theta_i$. Je vais rédiger ça au propre, histoire d'être certain et ensuite je regarde l'inertie.

Sinon je regarde aussi des petits lemmes des actions de groupes.

Par exemple, je pense que le truc suivant doit permettre de faciliter les choses. (j'ai pas de référence pour ça ... mais je pense que ça marche ? même si j'ai écris une preuve, des fois j'ai vraiment pas confiance en moi)

Soit $G$ agissant transitivement sur un ensemble $X$. Soit $H$ un sous-groupe distingué de $G$, alors les orbites sous $H$ sont de même cardinaux. (conjugué par un élément de $G$)


EDIT / Ici $G := D(\mathfrak{P}, L \mid K)$, $H := I(\mathfrak{P}, L \mid K)$ et $X$ c'est $\Theta_i$.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 26/08/2017 15:48 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 aot 2017, 15:56
@flip flop
Oui, ton trick sur si $H$ distingué dans $G$, alors ... est vrai. J'ai pris $X = (G/G_0)_{\rm gauche}$ et j'ai déterminé le fixateur sous $H$ d'un point de $X$. Et j'ai trouvé :
$$
\text{Fix}_H(gG_0) = H \cap gG_0g^{-1}
$$
On voit alors que l'automorphisme $\text{Int}_g = g\bullet g^{-1}$ transforme $H \cap G_0$ en $H \cap gG_0g^{-1}$. Merci à $H$ distingué dans $G$. En particulier, tous les fixateurs ont pour cardinal $\#(H \cap G_0)$ indépendant de $g$. Bonus : on a mieux qu'une égalité de cardinaux.

Bonne chose de dégager des petits lemmes.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 aot 2017, 17:48
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Du coup, c'est bon pour $(i)$ $(ii)$ et $(iii)$ drinking smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 aot 2017, 18:16
$\def\bigP{\mathfrak P}$@flip flop
Tu es sûr ? Je commence à me mélanger les pinceaux ! Et me demande si je n'ai pas permuté $e_j$ et $f_j$ dans le point (ii) du Th 1 !! Notations : $\tau \in \Theta_j$ fixé et
$$
H = I(\bigP) \subset G = D(\bigP), \qquad G_0 = D(\bigP, L/\tau(E))
$$
Toutes les $I(\bigP)$-orbites de $\Theta_j$ ont même cardinal l'indice de $I(\bigP) \cap G_0$ dans $D(\bigP)$.
NON coquille Je veux dire
Toutes les $I(\bigP)$-orbites de $\Theta_j$ ont même cardinal l'indice de $I(\bigP) \cap G_0$ dans $I(\bigP)$.
OK ?

Et tu sais prouver que cet indice est $e_j$ ?

Juste oui, non. Te fatigues pas à donner la justification par post. Je suppose que tu as des notes ? On verra plus tard.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/08/2017 20:10 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 aot 2017, 20:36
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Tu me fais douter maintenant grinning smiley avec mon lemme d'action de groupe j'ai le nombre d'orbite (sous $I$) est $f_i$ et toutes les orbites sont de même cardinal (Là c'est certain !). Mais je pense que ça permet pas de calculer $e_i$ Grrr ! Bon je vais essayer de continuer en prenant une sorte d'action quotient (ça mets mon imagination a rude épreuve ce petit problème) : je tente un truc du style :
$$
D(\mathfrak P) / I (\mathfrak P) \to \text{Perm} \left( I(\mathfrak P) \backslash \Theta_i \right)
$$
($I(\mathfrak P) \backslash \Theta_i$ c'est l'espace des orbites de l'action de $I(\mathfrak P)$ sur $\Theta_i$ donc ensemble de cardinal $f_i$).
Après si ça ne marche pas, je regarde mieux ton pdf.

Sinon question à la con : même si on sens bien que ça doit être $e_i$ (parce que c'est jolie), est-ce qu'on en a besoin vraiment, car après on va tuer l'inertie ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 26/08/2017 20:50 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 aot 2017, 20:44
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ok avec la modif : $I(\mathfrak{P}$, l'action est $I(\mathfrak P)$ sur $\Theta_i$. Le stabilisateur est $I(\mathfrak P) \cap G_0$ ($G_0$ c'est le stabilisateur de l'action $D(\mathfrak P)$ sur $\Theta_i$). C'est quand même complexe niveau notation !!!
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 aot 2017, 21:40
@flip flop
Désolé de t'avoir fait peur : je n'ai pas mélangé $e_j$ et $f_j$. Juste un petit coup de chaleur de mon côté.

Voilà où j'en suis : sur un $\Theta_j$, toutes les $I(\mathfrak P)$ orbites ont même cardinal. Ca, c'est ok. Mais je ne sais pas pourquoi c'est $e_j$, et moi je ne sais pas non plus pourquoi il y en a $f_j$ orbites (toi, on dirait que si). J'attache de nouveau la chose avec une nouvelle page 5 avec ton trick sur les actions.

Par ailleurs, je suis contre le fait de faire les choses à moitié du genre : puisque l'on veut neutraliser l'inertie pourquoi se faire ch.er à la cerner. Et bien, moi je veux la cerner à fond. Et même faire plus que de compter : je veux caractériser les $I(\mathfrak P)$-orbites de $\Theta_j$. Comment ? Je n'en sais rien.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - ArtinRhoEversusZetaE.pdf (338.1 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
26 aot 2017, 21:46
@flip flop
Pendant que l'on y est, as tu remarqué également que $G := \text{Gal}(L/K)$ agissait transitivement sur l'ensemble $Y$ des extensions conjuguées de $E$ ? A ne pas confondre avec $\text{Hom}_K(E,L)$. Et on a une surjection :
$$
\text{Hom}_K(E,L) \ni \tau \longmapsto \tau(E) \in Y
$$
Et alors ? Euh, rien. Dans l'espoir de faire avancer le schmilblick.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 aot 2017, 00:55
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@Claude : oui, je suis contre aussi le fait de neutraliser un truc pour que ça marche ... même si je le fais tout le temps !!! Mais dans ce contexte, je suis complètement d'accord avec toi ! C'est super important cette définition-proposition donc faut vraiment bien bien comprendre !


Pour le nombre de $I(\mathfrak{P})$-'orbite $\Theta_j$ égal à $f_i$. C'est vraiment moche de prendre le cardinal ... j'ai honte mais je pense que le calcul marche ...j'essayes de traduire en action de groupe mais c'est hard pour moi !

Je prend l'action de $D(\mathfrak{P})$ sur $ \Theta_i$ (transitive) et
$$
\# \Theta_i = \frac{ \#D(\mathfrak{P}) }{\# D(\mathfrak{P}, L \mid \tau_i(E)) }
$$
Maintenant je prend l'action selon le sous-groupe normal $I(\mathfrak{P})$ et le lemme donne :
$$
\# \Theta_i = \# \text{(une orbite)} \times \# \text{(nombre d'orbite)}
$$
et chaque orbite est isomorphe à $I(\mathfrak{P}) / I(\mathfrak{P}, L \mid \tau_i(E))$.
Donc :
$$
\# \text{(nombre d'orbite)} = \frac{ \#D(\mathfrak{P}) }{\# D(\mathfrak{P}, L \mid \tau_i(E)) } / \frac{\#I(\mathfrak{P})}{ \# I(\mathfrak{P}, L \mid \tau_i(E))} = \frac{ \#D(\mathfrak{P}) } {\#I(\mathfrak{P}) } / \frac{\# D(\mathfrak{P}, L \mid \tau_i(E))} {\# I(\mathfrak{P}, L \mid \tau_i(E))}
$$
Du coup,
$$
\# \text{(nombre d'orbite)} = \# \text{Gal} (k(\mathfrak{P}) \mid k(p)) / \# \text{Gal} ( k(\mathfrak{P}) \mid k(\mathfrak{P} \cap \tau_i(E)) ) = \# \text{Gal} ( k(\mathfrak{P} \cap \tau_i(E)) \mid k(p))
$$
La on prolonge $\tau_i$ en un automorphisme $\sigma_i$ et
$$
\text{Gal} ( k(\mathfrak{P} \cap \tau_i(E)) \mid k(p)) \simeq \text{Gal} ( k( \sigma_i^{-1}( \mathfrak{P}\cap \tau_i(E))) \mid k(p)) = \text{Gal} ( k( \mathfrak{p}_i) \mid k(p))
$$



Modifié 2 fois. Dernière modification le 27/08/2017 08:01 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 aot 2017, 09:40
@flip flop
Impeccable ton petit calcul de $f_i$ le nombre de $I(\mathfrak P)$-orbites de ... Je pourrais plus confondre $e_i$ et $f_i$. Si tu permets, je vais l'ajouter bientôt à ma note, histoire de pouvoir s'appuyer sur de la terre ferme.

Tu peux pas nous refaire le coup pour le cardinal d'une orbite ?

Moi, j'ai tout mon temps. On ne peut pas comprendre de manière approximative.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 aot 2017, 10:32
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@claude : je pense que mon petit calcul, c'est moins précis que la proposition 1. Mais je pense qu'on peut présenter les choses un peu mieux !

Dans le contexte $G$ agissant transitivement sur un ensemble $X$ fini. $H$ un sous-groupe distingué. (toujours avec $G := D(\mathfrak{P}))$ et $H := I(\mathfrak{P}))$ et $X := \Theta_i$ (le $i$ provient d'un idéal $\mathfrak{p}_i$ de $\mathcal{O}_E$ divisant $p$.)

on a étudié un peu l'action de $H$ sur $X$ et je note $H \backslash X$ l'ensemble des orbites et je veux étudier l'action de $G / H$ sur $H \backslash X$. Je dois vérifier que c'est bien défini etc) ... normalement l'action est transitive et on va pouvoir récupérer le stabilisateur et retrouver mon petit calcul mais avec un peu plus, si la vie est belle je pense qu'on va sortir une bijection entre $I(\mathfrak{P})) \backslash \Theta_i$ et $\text{Gal}(k(\mathfrak{p}_i) \mid k(p))$ qui correspond à l'application de réduction que l'on voit dans la proposition 1. J'essayes de mettre ça au propre

Pour le cardinal de l'orbite, je ne vois pas (et même si ce que je dis plus haut fonctionne bien je ne pense pas que ça donnera le cardinal, je pense) ! Mais dans tous les cas c'est pas un simple truc numérique ! y'a un truc a comprendre smiling bouncing smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
27 aot 2017, 18:40
@flip flop : ton calcul moins précis que la proposition 1 (qui entre temps est devenu théorème 2). Bien d'accord, sauf que la proposition 1 (= théorème 2), on n'en a pas de preuve. J'ai rapporté ton calcul dans ma note (entre pages 5 et 6) mais j'ai rencontré une petite embrouille pas méchante : $\mathfrak p_j$ versus $\tau(\mathfrak p_j)$. J'espère que je respecte tes propos.

Pourquoi théorème 2 (ex proposition 1) : parce que j'ai ajouté un point dont je n'ai pas la preuve. Et comme, on n'a pas de preuve pour aucun des points, je l'ai baptisé théorème.

Ce que je pense maintenant : il nous manque des résultats généraux qui doivent être classiques.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - ArtinRhoEversusZetaE.pdf (375.1 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 aot 2017, 10:00
@flip flop
Je compte t'envoyer bientôt la preuve de la surjectivité de $\pi$ dans le théorème 2. Mais cela demande un peu de soin de rédaction à cause du patacaisse $\mathcal O_E/\mathfrak p_j$ versus $\mathcal O_{\tau(E)} / \tau(\mathfrak p_j)$. J'espère que tu comprendras.

Histoire de motiver (?) les troupes, je donne un autre exemple de $\zeta_E$ versus $L_{\rho_E}$ en prenant
$$
E = \Q(x) \qquad \hbox {$x$ racine de $X^{12} - 3$}
$$
Je comprends pas tout mais peu importe.
C'est un peu le même genre que l'autre jour mais en plus pertinent. Je l'ai trouvé dans la doc. Il est choisi car le groupe de Galois $G$ de $X^{12}-3$ est un certain groupe d'ordre 24 parmi les 10 groupes d'ordre 24 qui opèrent transitivement en degré 12. Avec une représentation (en degré 12) qui se décompose vachement en petites représentations irréductibles (cf plus loin). Je n'ai pas encore bien cerné ce groupe MUNI de son action (peut-être que Alain pourrait nous le dire). Je l'ai baptisé $G_{24}$ faute de mieux. Groupistement, c'est le produit semi-direct non trivial
$$
G_{24} \simeq C_3 \rtimes D_4
$$
Mais cela ne m'aide pas trop concernant son action en degré 12. J'ai jamais compris la nomenclature de truc-muche : les 10 noms que tu vois ci-dessous ont été choisis pour que l'action en degré 12 soit bien visible.

> T12Order24 := TransitiveGroups(12, func <G | Order(G) eq 24>) ;
> assert #T12Order24 eq 10 ;
> [TransitiveGroupDescription(G) : G in T12Order24] ;
[ A_4(12)x2, A_4(6)[x]2=[1/8.2^6]3, S_4(12d), 1/2[1/8.2^6]S(3)=S_4(12e), S(3)[x]E(4), S(3)[x]C(4), 
1/2[3:2]cD(4), 1/2[3:2]eD(4), D(4)[x]C(3), 1/2[3:2]dD(4) ]
> G24, G24name := TransitiveGroup(12,13) ;
> G24 ;
Permutation group G24 acting on a set of cardinality 12
Order = 24 = 2^3 * 3
    (1, 5, 9)(2, 6, 10)(3, 7, 11)(4, 8, 12)
    (1, 10)(2, 5)(3, 12)(4, 7)(6, 9)(8, 11)
    (1, 7)(2, 8)(3, 9)(4, 10)(5, 11)(6, 12)
    (1, 11)(2, 10)(3, 9)(4, 8)(5, 7)
> assert G24name eq "1/2[3:2]eD(4)" ;

De plus, petit travail galoisien à réaliser du côté de $X^{12}-3$. Je passe. Ci-dessous, la décomposition de la représentation de degré 12 en caractères irréductibles :

> Chi := PermutationCharacter(G24) ;
> Chi ;
( 12, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0 )
> TG24 := CharacterTable(G24) ;
> TG24 ;

Character Table of Group G24

-----------------------------------------
Class |   1  2  3  4  5  6     7     8  9
Size  |   1  1  2  6  2  6     2     2  2
Order |   1  2  2  2  3  4     6     6  6
-----------------------------------------
p  =  2   1  1  1  1  5  2     5     5  5
p  =  3   1  2  3  4  1  6     3     3  2
-----------------------------------------
X.1   +   1  1  1  1  1  1     1     1  1
X.2   +   1  1  1 -1  1 -1     1     1  1
X.3   +   1  1 -1 -1  1  1    -1    -1  1
X.4   +   1  1 -1  1  1 -1    -1    -1  1
X.5   +   2  2 -2  0 -1  0     1     1 -1
X.6   +   2 -2  0  0  2  0     0     0 -2
X.7   +   2  2  2  0 -1  0    -1    -1 -1
X.8   0   2 -2  0  0 -1  0-1-2*J 1+2*J  1
X.9   0   2 -2  0  0 -1  0 1+2*J-1-2*J  1

Explanation of Character Value Symbols
--------------------------------------
J = RootOfUnity(3)

> composantes, difference :=  Decomposition(TG24, Chi) ;
> assert Chi eq &+[composantes[ i]*TG24[ i] : i in [1..#TG24]] ;
> assert Parent(difference) cmpeq Parent(Chi) ;
> ChiIrreds := TG24[[1,4,5,6,7,8,9]] ;
> ChiIrreds ;
[
    ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ),
    ( 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1 ),
    ( 2, 2, -2, 0, -1, 0, 1, 1, -1 ),
    ( 2, -2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, -2 ),
    ( 2, 2, 2, 0, -1, 0, -1, -1, -1 ),
    ( 2, -2, 0, 0, -1, 0, -2*zeta(3)_3 - 1, 2*zeta(3)_3 + 1, 1 ),
    ( 2, -2, 0, 0, -1, 0, 2*zeta(3)_3 + 1, -2*zeta(3)_3 - 1, 1 )
]
> chi1, chi4, chi5, chi6, chi7, chi8, chi9 := Explode(ChiIrreds) ;
> assert Chi eq chi1 + chi4 + chi5 + chi6 + chi7 + chi8 + chi9 ;

Pour l'instant, que du groupiste. J'en viens à $\zeta_E$. Il y aurait des choses à dire sur $\mathcal O_E$. Je passe. Le code qui suit est un extrait.

> time ZetaE := LSeries(E : Method := "Direct") ;
Time: 0.030
> LSeriesData(ZetaE) ;
<1, [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1 ], 1579460446107205632, function(p, d) ... end function, 1, [ 1 ], []>
> GammaFactors(ZetaE) ;
[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1 ]
> ZetaE`prod ;
false
> assert Conductor(ZetaE) eq Abs(Discriminant(OE)) ;
> Sign(ZetaE) ;
1
> ZetaE`weight ;
1
> MotivicWeight(ZetaE) ;
0
> LCfRequired(ZetaE) ;
92968955438

On y voit des choses sur $\zeta_E$ : elle connaît son $\Gamma$-facteur (celui qui intervient dans l'équation fonctionnelle, le signe de l'équation fonctionnelle, son poids ..etc..). Bref, en tant que L-série, elle est bien renseignée.
Par contre, encore pire que l'autre jour : c'est la dernière ligne qui est catastrophique : $92968955438$ représente le nombre de coefficients $a_n$ à déterminer dans
$$
\zeta_E(s) = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s}
$$
pour pouvoir faire des calculs approchés. Donc, c'est plié : impossible de faire quelque chose dans cet état.

Par opposition, on va monter $\rho_E$ en la découpant en petites rondelles. Je passe les détails techniques et je coupe pas mal de code.

.......
> ArtinRepE := &+[E!!chi : chi in ChiComponents] ;
> LArtinRepE := LSeries(ArtinRepE) ;
> LCfRequired(LArtinRepE) ;
1709
> 
> Sign(LArtinRepE); // 0   <----- HERE
0
> LArtinRepE`gammapoles ;
[ 0, 1 ]
> CheckFunctionalEquation(LArtinRepE) ; 
6.31088724176809444329382852226E-30
> Sign(LArtinRepE) ; // 1  <--- AND NOW
0.999999999999999999999999999994
> LArtinRepE`gammapoles ;
[ 0, 1 ]
> 
> P := PrimesInInterval(2,50) ;
> time assert &and [IntegralEulerFactor(LArtinRepE,p) eq IntegralEulerFactor(ZetaE,p) : p in P] ;
Time: 0.080

Plusieurs trucs à voir : d'abord le coup du 1709 coefficients à calculer. Mais surtout, le fait que cette L-série est mal renseignée car montée par mézigue dont ce n'est pas le métier. Si j'interroge le signe de l'équation fonctionnelle, elle donne 0. Ce n'est pas un signe de bonne santé. Qu'à cela ne tienne : je vais réaliser CheckFunctio.. qui va vérifier l'équation fonctionnelle tout en corrigeant le signe pourri 0 ! Le résultat retourné par CheckFunct.. est proche de $0$ (on y voit du $10^{-30}$). Cela c'est un signe de bonne santé : à l'intérieur de cette procédure Check, on a réussi à trouver le signe et à vérifier que tout baigne.

A la fin, je vérifie quelques $p$-Euler facteurs de $\zeta_E$ et $L_{\rho_E}$. Tout cela pour te dire : en ce qui concerne
$$
\zeta_E = L_{\rho_E}
$$
faut tenir bon (encore un peu).



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/08/2017 10:04 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 aot 2017, 10:40
avatar
Coucou Claude,

Je me suis mis un peu au clair sur les actions de groupe. C'est toujours un peu scabreux ma tentative mais un peu mieux que de prendre le cardinal seulement grinning smiley

Le contexte :

On a l'action de $D(\mathfrak{P})$ sur $\Theta_j$ qui est transitive (preuve lemme 1.1. merci pour le pdf) et pour tout $\tau \in \Theta_j$, on a : $\text{Stab}_ {D(\mathfrak{P})}(\tau) = D(\mathfrak{P}, L \mid \tau(E))$.

Maintenant, on restreint l'action à $I(\mathfrak{P})$, alors pour tout $\tau \in \Theta_j$, on a : $\text{Stab}_ {I(\mathfrak{P})}(\tau) = I(\mathfrak{P}, L \mid \tau(E))$.

Le truc que je veux faire :

De manière naïve on a envie de faire une "action quotient" pour relier le quotient des groupes qui agissent $D(\mathfrak{P}) / I(\mathfrak{P})$ et "le quotient des stabilisateurs" ... Car ses quotients sont les groupes de Galois résiduels et (via Galois) on va pouvoir relier ça à $\text{Gal}(k(\mathfrak{p}_j\mid k(p))$ ... c'est pas uniquement numérique c'est groupiste (avec action ?).


Comme le sous-groupe $I(\mathfrak{P})$ est distingué dans $D(\mathfrak{P})$, on peut mettre en place les tricks actions de groupe.

On considère l'action de
$$
D(\mathfrak{P}) / I(\mathfrak{P}) \qquad \times \qquad I(\mathfrak{P}) \quad \backslash \quad \Theta_j \qquad \longrightarrow \qquad
I(\mathfrak{P}) \quad \backslash \quad \Theta_j
$$

Là le groupe qui agit est isomorphe au groupe de Galois résiduel $\text{Gal}(k(\mathfrak{P})\mid k(p))$. Et si on prend le cardinal, on "trouve" (c'est nul de prendre le cardinal, on perd TOUS) que l'ensemble qui reçoit l'action c'est ? ... $\text{Gal}(k(\mathfrak{p}_j ) \mid k(p))$ ... c'est-à-dire que l'action "quotient" c'est pareil que ? :
$$
\text{Gal}(k(\mathfrak{P})\mid k(p)) \qquad \times \qquad \text{Gal}(k(\tau(\mathfrak{p}_j))\mid k(p)) \qquad \longrightarrow \qquad
\text{Gal}(k(\tau(\mathfrak{p}_j))\mid k(p))
$$



Du coup pour voir si c'est vraiment pareil, j'ai bricolé encore un peu le petit lemme d'action de groupe.

Lemme : (j'écris pas la preuve, j'ai essayé de contrôler point par point normalement c'est bon !)

Soit $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble $X$ et soit $H$ un sous-groupe distingué de $G$ je note $\text{Red}_{\mid H} : G \to G /H$ le morphisme canonique.
Alors :
  1. $G$ et $G /H$ agissent transitivement sur l'ensemble $H \backslash X$.
  2. pour $\tau \in X$, en notant $[ \tau ] \in H \backslash X$ son orbite sous $H$, on a :
    $$
    \text{Stab}_{G / H} ([ \tau ]) = \text{Red}_{\mid H} \left( \text{Stab}_{G } ([ \tau ]) \right) \qquad \text{ et } \qquad \text{Stab}_{G } ([ \tau ]) = H \text{Stab}_{G } (\tau)
    $$

De sorte que :
$$
\text{Stab}_{G / H} ([ \tau ]) = H \text{Stab}_{G } (\tau) / H \simeq \text{Stab}_{G } (\tau) / H \cap \text{Stab}_{G } (\tau)
$$
Le isomorphe $\simeq$ est donnée par le troisième théorème d'isomorphisme ... c'est chiant ça ... car c'est ça qu'il nous faut : le truc après le $\simeq$ ... j'ai mis des $\simeq_?$ au niveau ou c'est chiant. :



La traduction c'est : $G := D(\mathfrak{P})$ qui agit sur l'ensemble $X := \Theta_j)$ et je prend un sous groupes distingué de $G$ que je note $H := I(\mathfrak{P})$.

$$ \text{Stab}_{G } (\tau) := D(\mathfrak{P}, L \mid \tau(E)) \qquad \qquad \text{et} \qquad \qquad I(\mathfrak{P}) \cap \text{Stab}_{G } (\tau) := I(\mathfrak{P}, L \mid \tau(E))$$

Comme l'action quotient est transitive on a : $$
H \backslash X \quad \simeq
\quad
G / H
\quad / \quad \text{Stab}_{G / H } \qquad \qquad \text{i.e} \qquad \qquad I(\mathfrak{P}) \backslash \Theta_j \quad \simeq_? \qquad D(\mathfrak{P}) \, / \, I(\mathfrak{P}) \quad / \quad \ D(\mathfrak{P}, L \mid \tau(E)) \, / \, I(\mathfrak{P}, L \mid \tau(E))
$$
Et on a :

$$
D(\mathfrak{P}) \, / \, I(\mathfrak{P}) \simeq \text{Gal}(k(\mathfrak{P})\mid k(p)) \qquad \text{et} \qquad D(\mathfrak{P}, L \mid \tau(E)) \, / \, I(\mathfrak{P}, L \mid \tau(E)) \simeq \text{Gal}( k(\mathfrak{P}) \mid k(\mathfrak{p}_j))
$$
et la "si on y croit" on branche la théorie de Galois (pour les corps finis) :
$$
I(\mathfrak{P}) \backslash \Theta_j \qquad \simeq_? \qquad \text{Gal}(k(\mathfrak{P})\mid k(p)) \, / \, \text{Gal}( k(\mathfrak{P}) \mid k(\mathfrak{p}_j)) \simeq_{\text{Gal}} \, \text{Gal}(k(\mathfrak{p}_j)\mid k(p))
$$

Par contre là j'ai pas été précis du tout avec $\mathfrak{p}_i$ et le patacaisse comme tu dis !!!

Je délire ou pas , sur le lemme actions de groupes ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 aot 2017, 11:45
$\def\bigP{\mathfrak P}$@flip flop
Je vais prendre mon temps pour relire minutieusement ton dernier post. Bien sûr qu'à côté de l'égalité de cardinaux, un isomorphisme entre deux ensembles munis d'une action d'un même groupe, il n'y a pas photo.

A ce propos, je prends la moitié gauche de ta dernière ligne que je ré-écris ainsi :
$$
I(\bigP)\backslash \Theta_j \quad \simeq_? \quad \Gamma \qquad\qquad (\spadesuit)
$$
où $\Gamma$ est le quotient de deux groupes de Galois de corps finis. Je ne ré-écris surtout pas la chose qui vient tout à droite de cette dernière ligne.

Peu importe ce qui s'est passé auparavant dans ton post. Et je la joue légère en ce qui concerne $\kappa(p_j)$ versus $\kappa(\tau(\mathbb p_j))$ [[il y a des jours où on ne peut pas se permettre cette légèreté, ici, on verra plus tard]].

Ma question : dans $(\spadesuit)$, les deux ensembles qui figurent de part et d'autre de $\simeq_?$ sont des $D(\bigP)$-ensembles, n'est ce pas ? Et même que $\Gamma$ est un groupe avec un morphisme $D(\bigP) \to \Gamma$, n'est ce pas ?

Et ce que tu dis, c'est que ces deux $D(\bigP)$-ensembles sont $D(\bigP)$-isomorphes. C'est cela ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
28 aot 2017, 12:08
avatar
Claude : Oui c'est ce que j'ai voulu faire .... fabriquer un isomorphisme d'action de groupe entre :

d'un côté $D(\mathfrak{P}) / I(\mathfrak{P})$ qui agit sur les $I(\mathfrak{P})$-orbites de $\Theta_j$ (le Frobenius en tuant l'inertie ?)

et d'un autre côté $\text{Gal}(k(\mathfrak{P})\mid k(p)) $ qui agit par restriction sur $\text{Gal}(k(\tau(\mathfrak{p}_j))\mid k(p))$.

Je ne suis pas certain que ça fonctionne vraiment bien !
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