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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 17:47
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Je tente :)

On a le schéma suivant avec $m = n \times p^r$ avec $p$ ne divise pas $n$ et .$r>0$. Faire un peu attention au nombre premier $2$ ! Mais il a fait l'hypothèse $m \ne 2 \pmod{4}$.
$$
\xymatrix {
&\Q(m) \ar@{-}[dl]_{\varphi(p^r)} \ar@{-}[dr]^{\varphi(n)} \ar@{-}[dd]^{\varphi(m)} \\
\Q(n) \ar@{-}[dr]_{\varphi(n)} && \Q(p^r) \ar@{-}[dl]^{\varphi(p^r)}\\
&\Q \\
}
$$
Admis ici (1) et (2).
1. $p$ est totalement ramifié dans $\Q(p^r)$ i.e $e_p(\Q(p^r) \mid \Q) = \varphi(p^r)$.
2. $p$ est non ramifié dans $\Q(n)$.

Donc $e_p(\Q[m] \mid \Q)$ est divisible par $\varphi(p^r)$. On a : $$e_p(\Q[m] \mid \Q) = e_p(\Q(m) \mid \Q(n)) \times e_p(\Q(n) \mid \Q) = e_p(\Q(m) \mid \Q(n)) $$
Or $e_p(\Q(m) \mid \Q(n))$ divise le degré de $\Q(m) \mid \Q(n)$ i.e $\varphi(p^r)$. Par suite : $e_p(\Q(m) \mid \Q(n)) =\varphi(p^r)$ i.e $p$ (enfin le premier au dessus) est complètement ramifié dans $\Q(m) \mid \Q(n)$.

On en déduit que : $\Q(n)$ est la sous-extension maximal où $p$ est non ramifié.
En effet, si $H$ est une sous-extension de $\Q(m)$ où $p$ est non ramifié alors $H\Q(n)$ est non ramifié en $p$ ( admis 3). Mais $H \Q(n)$ est une extension de $\Q(n)$ et la ramification est totale donc si $H \Q(n) \ne Q(n)$ alors $p$ est ramifié.

Du coup, ça donne le résultat que tu donnes.

Le $1$ et le $2$ (poupoule et ses oeufs). Pour le $(1)$, il utilise que toutes extensions de $\Q$ sont ramifiées en au moins un premier (209 (1.1) (ii). Je ne vois pas comment il conclu pour $p = 2$. Edit : ah si ... soit $\mathfrak{p}$ idéal de l'anneau d'entier divisant $p$, si $I(\mathfrak{p}) \ne \text{Gal}(\Q(\zeta_{p^r}) \mid \Q)$ alors on prend le corps fixé par le groupe d'inertie qui doit être non ramifiée en $p$ ? Mais il donne une autre approche juste après.

Admis $3$ ? il faut peut être autrement je ne vois pas, je ne sais pas (ça me parait normal comme propriété) mais je ne connais pas assez bien thumbs up

Tu as compris comment ses démonstrations ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 07/09/2017 18:01 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 17:57
@gai requin

Henri Cohen et calculs en théorie du corps de classes ? Mémoire courte ? Je vous ai fabriqué le 19 Février 2017 un ClassFieldFromMagmaHandbook.pdf de 38 pages. Et à la fin de ce chapitre (dans lequel on comprend très vite qu'une grosse partie de ce binz se calcule et qu'il va falloir quelques semaines pour bien l'utiliser), il y a 10 références bibbliographiques autour de la chose computationnelle, dont 4 références à Cohen (en particulier son Advanced Topics in Computational Number Theory).

Et la page 458 de .. ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 18:13
avatar
D'ailleurs la démonstration du théorème 44. c'est exactement la démonstration à la fin du Samuel grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 18:20
@Claude :
Tu sais que c'est peut-être celui de tes pdf que j'ai le plus utilisé pour faire mumuse avec qui tu sais !
Evidemment, je n'avais pas regardé la biblio. confused smiley

Quant à la page 458 de..., vive les corps de nombres abéliens !
Ça veut dire qu'on peut travailler plus sereinement avec les extensions quadratiques de $\Q$ ?
De quel ouvrage est tiré cet extrait ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 07/09/2017 18:23 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 18:45
@flip flop
J'ai jamais vraiment regardé car F & T, je les trouve pas toujours faciles. Mais cette fois, je vais le faire grâce à toi. D'abord, je tire (merci) car je suis lent. Nouvelles demain. Tu maintiens cela dans un pdf ? Il me semble que la durée de vie sera plus grande.

A propos de $m \ne 2 \bmod 4$ : cela vient de $\Q(\root 10 \of 1) = \Q(\root 5 \of 1)$. Je veux dire que si $m \equiv 2 \bmod 4$, on peut écrire $m = 2s$ avec $s$ impair de sorte que $\Q(\root m \of 1) = \Q(\root s \of 1)$. Et prouve au passage qu'un conducteur cyclotomique ce n'est pas n'importe quel entier.

A propos de 2 admis. Je ne sais pas si tu poses une question mais je réponds quand même. Provient de la factorisation du polynôme cyclotomique $\Phi_n$ modulo $p$ : il est produit de facteurs irréductibles DISTINCTS. Cela suffit. Car cela provoque une factorisation (explicite) en premiers deux à deux co-maximaux dans $\Z[\root n \of 1]$, qui perdure à l'anneau des entiers de $\Q(\root n \of 1)$.

Certes, $\Z[\root n \of 1]$ c'est l'anneau des entiers de $\Q(\root n \of 1)$. Or (attention à oeuf-poule, mais pas d'embrouille en fait), si on fait ce qu'il faut au bon moment, une analyse soigneuse de la factorisation des polynômes cyclotomiques modulo $p$ te donne à la fois le fait que $\Z[\root n \of 1]$ est l'anneau des entiers de $\Q(\root n \of 1)$ et fournit des renseignements sur la factorisation des premiers. Ce n'est pas un truc qui figure partout. Par exemple Washington botte en touche (Lang) dans son chapitre I. Mais, histoire de travailler pour les bébés, cela a été écrit quelque part noir sur blanc.

Idem, si je me souviens bien pour le point 1 (totale ramification) : c'est une propriété des polynômes cyclotomiques :

> p := 5 ; r := 3 ;
> Phi<X> := CyclotomicPolynomial(p^r) ;
> Phi<X> := ChangeRing(Phi, GF(p)) ;
> Factorisation(Phi) ;
[  <X + 4, 100> ]
> Phi eq (X-1)^EulerPhi(p^r) ;
true

Que veux tu dire dans les deux dernières lignes par ``Admis 3 ?''. Et avant quid de (209) (1.1) (ii) Ah, cela doit être (209) (11) (i), en haut de la page.


@Vous deux.
Sur le web, il y a documents et documents. K. Conrad est une valeur sûre. Pourquoi ? Parce qu'à la page 1, ils remercient pour relecture Lemmermeyer, Roquette et Serre.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 18:49
@gai requin
Attention : si je peux me permettre, tu vas peut-être trop vite. J'ai mis du temps (plusieurs jours) pour me rendre compte qu'à la page 458, il y avait euh ... Mais maintenant, que je t'ai alerté, cela ira plus vite pour toi pour comprendre que ..

En un mot, sois critique.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 18:53
@gai requin
Sois critique : analyse la PREMIERE ligne.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 18:53
Alors je vais tirer pour être plus perspicace.

@flipflop : C'est quoi la référence de [ceci] ?
F & T, ça doit être Fröhlich & Taylor non ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 19:15
avatar
Gai requin : c'est ici

Claude :

admis 3 : c'est parce que j'utilise la propriété que je donne et je ne sais pas faire la démonstration mais je pense que c'est ok ?
Soit $L$ et $M$ deux corps de nombre (abélien). Si $p$ un premier de $\Z$ n'est pas ramifié dans $L$ et dans $M$ alors $p$ n'est pas ramifié dans $LM$.

Mais peut être qu'il n'utilise pas ça mais je ne vois pas trop.

Le 209 .. Oui c'est la page sorry ! le point (ii) en haut de la page.

Admis 1 et Admis 2. c'est pour dire que c'est classique mais je ne sais pas exactement comment ils fait avec sa poule et ses oeufs grinning smiley Je regarde un peu mieux. Par contre, il renvoi un peu aux premiers chapitres. Mais je pense comme toi que c'est des choses du polynôme cyclotomique.

Pour l'anneau des entiers est ce que tu utilises le test de Dedekind (c'est fait dans la thèse de Claire, chapitre 9).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 19:21
avatar
@Claude : Pour F & T, je ne vois pas pourquoi il donne la propriété (2.9) en plein milieu de l'histoire des caractères confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 19:32
@flip flop
Sorry I : j'ai fini (je lis lentement) par localiser en plein milieu le "admis 3" alors que les autres admis I et 2 étaient plus visibles. Je vais PRENDRE MON TEMPS. News demain.

Sorry II. Degré 3 ...etc.. J'ai enfreint la consigne. M'eng.ule pas. En planquette, j'ai joué avec $E = \Q(x)$ où $x^4 = 2$, remplaçant ainsi $S_3 = D_3$ par $D_4$. Et j'ai écrit :
$$
\rho_E = \rho_{1a} \oplus \rho_{1b} \oplus \rho_2
$$
où l'indice indique la dimension. Et je me suis concentré sur $\rho_2$ car à valeurs dans $\text{GL}_2(\C)$ and of dihedral type ... etc.. c'est bon pour nous. J'ai eu pas mal de soucis avec les conducteurs des L-séries $L_\rho$ mais je me fais aider par qui tu sais. J'abrège (vraie information plus tard) en disant que $\rho_2$ a donné :
$$
{\zeta_E \over L(\chi_1) L(\chi_8)} \qquad\qquad (\star)
$$
$\chi_1$ c'est le caractère trivial si bien $L(\chi_1)$ c'est $\zeta$ ordinaire de Riemann. Et $\chi_8$ c'est le caractère de Kronecker du discriminant quadratique fondamental élémentaire $8$.

Et la chute ? C'est que $(\star)$ s'exprime comme la moitié de la différence de deux $\Theta$-séries de discriminant $-256$. Une vraie suite plus tard.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 20:23
@vous deux
On vient de me raconter une histoire qu'elle est bonne. J'essaie de vous en faire part. C'est l'histoire d'un gars qui dispose d'une petite tour galoisienne (en fait abélienne)
$$
K \subset E \subset L \qquad \hbox {avec $L/K$ et $E/K$ galoisiennes}
$$
Et il considère la surjection (classique) de restriction (que Flip Flop note plutôt Res) :
$$
\pi : \text{Gal}(L/K) \ni \sigma \longmapsto \sigma_{|E} \in \text{Gal}(E/K)
$$
Mais il en donne une définition tellement acabracandesque, à un point qu'on se demande si elle est bien définie, cette application (il y a une histoire de représentant ..). Et ellle n'est ni notée $\pi$ ni $\text{Res}$ mais $\text{Art}$ et répond au joli nom de .r.in map.

Mais vlà-t'y pas qu'en plein mitan, le gars dit ``It can be proved that the .r.in map is surjective''. Et s'ensuit un diagramme pas piqué des vers. Pour dire que $\ker\pi = \text{Gal}(L/E)$.

Je la raconte pas bien peut-être ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
07 septembre 2017, 21:02
@gai requin
Je réponds à ton [www.les-mathematiques.net]. Tout simplement par sa situation : le chapitre se nomme Cyclotomic Fields (il faudra d'ailleurs faire attention qu'à un moment donné chez eux, à partir de ce chapitre, cyclotomic field désigne sous-extension d'une extension cyclotomique).

J'ai adoré un certain nombre de pages dans ce chapitre. Les notations $\Theta_K$, $\Psi_K$, les extended residue class characters, $\widetilde {\Theta}_K$. Et la légéreté du théorème 47. Question de tuer l'inertie :
$$
\prod_\nu (T - \nu_p) = T^{fg(e-1)}(T^f - 1)^g
$$
c'est pas top de voir ce $e$. Mais si on divise tout par $T^{efg} = T^{fg(e-1)} \times T^{fg} = T^{fg(e-1)} \times (T^f)^g$, on obtient ;
$$
\prod_\nu (1 - \nu_pT^{-1} ) = (1 - (T^{-1})^f )^g \quad\qquad \hbox {i.e.} \qquad\quad
\prod_\nu (1 - \nu_pU ) = (1 - U^f )^g
$$
Cette fois, l'inertie $e$ est bel et bien enterrée.

Suggestion : les chapitres 3 (Dirichlet Characters) et 4 (Dirichlet L-series) de Washington. Mais surtout, ne pas jeter F & T.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 02:34
avatar
@Claude : j'ai vu que tu as fait joujou avec le groupe $D_4$ grinning smiley

Du coup, j'ai pris l'anneau $\Z [ i]$ et en particulier son groupe des unités $\{1,-1,i,-i \}$ et si tu le dessine dans le plan complexe ses $4$ points ; ils forment un carré inscrit dans le cercle unité ! un peu de travers

Du coup, on a une jolie action de $D_4$ sur le carré.

Ce qui est bien c'est que l'on peut identifier $\{1,-1,i,-i \}$ avec la rotation quelle représente (ambiguïté $i$ ou $-i$), par contre pour contrôler les symétries ils faut introduire les angles moitie et sur le dessin on voit qu'il faut prendre une racine $8$ de l'unité ... c'est à dire que une racine de deux !

Ici j'ai écrit, Claude, sur mon cahier j'ai écrit $ \text{Grain de Folie}$ .... on dessine le treillis de sous-groupe de $D_4$. Il y a $4$ sous-groupes d'ordre $2$ que l'on place sur les $4$ milieu qui code les symétries de notre carré ! Le truc, c'est que l'action de conjugaison du groupe dihédrale sur son traillis de sous groupe est EXACTEMENT la même que l'action géométrique de départ !!!!!!!
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 06:51
@Claude :
p.458 1ère ligne : J'ai des doutes sur le fait que l'application choisie par l'auteur soit bien définie. confused smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 07:37
@gai requin
Enfin, on peut échanger sur quelque chose de précis. Oui, tu as bien raison d'avoir des doutes sur le fait que l'application est bien définie. Tu vas dire que je suis lourd (c'est pas faux) mais prend le temps d'analyser A FOND cette page 458. Et redresse le truc avec ce que tu sais de la théorie de Galois ``ordinaire''. Redresse TOUT. Peut-être penser, à un moment donné, remplacer $(\Z/f\Z)^\times$ par $\text{Gal}(\Q(\root f \of 1)/\Q)$. Et à un autre moment donné, rappelle toi, comment CANONIQUEMENT :
$$
\text{Gal}(\Q(\root f \of 1)/\Q) \quad \simeq\quad (\Z/f\Z)^\times
$$
Te laisse pas impressionner par les mots ``Artin map'', par ``Artin map is surjective''. Ne pas confondre avec le ``vrai'' résultat d'Artin. Prends le temps et tu vas comprendre en quoi il faut être critique sur ce qu'on lit.
Et n'oublie pas [www.les-mathematiques.net]


@flip flop $X^4 - 2$ : j'ai eu peur que tu m'en.ueules car ce n'est pas de degré $3$ (ça, c'est sûr). Et n'oublie pas qu'en posant $y = x^2$ où $x^4 = 2$, on a $y^2 = 2$ (ça, c'est sûr). Et on a une inclusion $E' \subset E$ avec $E = \Q(x)$ et $E' = \Q(y) = \Q(\sqrt 2)$. Et $8$, c'est le discriminant de $\Q(\sqrt 2)$. On va pas se gêner pour remplacer $X^4 - 2$ par $X^4 - a$ avec $a \ge 2$ non carré (je mets $a$ positif pour pouvoir $\Theta$-jouer). Attention à ne pas trop miser sur $X^4 - a$ qui ne dit pas toujours la vérité (il pourrait être ``garbagé'') : ce qui compte, c'est $\mathcal O_E$ avec $E = \Q(\root 4\of a)$. C'est $\mathcal O_E$ qui tient le bon discriminant et pas $F = X^4 - a$.

Il va falloir que tu me donnes un coup de main car j'en bave avec les conducteurs des L-séries.

Note : notre petit truc de bébés $E \mapsto \text{Hom}_K(E,L)$ est compatible avec les morphismes.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 07:47
@gai requin flip flop
Petit souci avec le forum. Mon post (d'il y a quelques minutes) a fini par passer mais j'ai eu du mal (j'ai eu une erreur interne, puis je me suis fait traiter de robot et enfin on m'a dit que quelque chose était dupliqué). J'ai constaté qu'une mise à jour sur ``Dernier message'' n'était pas réalisée (je l'ai constaté aussi il y a quelques jours). Peut-être que le fil ``Homographies et petits groupes de Galois'' commence à contenir trop de pages ?

Cela recommence sur ce post : Service Unavailable, Error 503, Vanish Cache Server.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 08/09/2017 07:50 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 07:59
Salut Claude.
J'ai eu le même bug sur le forum récemment mais plus depuis hier.
Ce bug peut se produire quand on envoie son message à partir de l'aperçu. confused smiley
Si tu retentes le coup, le même message est compté deux fois !

Edit : Ce message (envoyé après aperçu) a buggé !

EditBis : Ce message a aussi buggé après modification !
J'arrête parce que ça sent la mauvaise récurrence. thumbs up



Modifié 2 fois. Dernière modification le 08/09/2017 08:04 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 08:15
@Claude :
Merci pour les pistes sur la p.458.
De mon côté, j'avais pensé à remplacer $(\Z/f\Z)^\times$ par un idéal fractionnaire...

P.S. : Message envoyé sans aperçu (cf mon post précédent).

Edit : Bug quand même !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 08/09/2017 08:16 par gai requin.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 08:22
@gai requin, flip flop
Je suis du genre super-lourd. Mais je reviens encore une fois sur le document de K. Conrad in [www.math.uconn.edu]

Ben, ça vaut le coup de prendre 5 minutes (et même plus, si besoin) pour bien lire ce qui vient après la définition 6.1 d'Artin en 1923 (page 14). Il s'agit de définir ce qu'est la $L$-série d'un caractère $\chi$ sur le groupe de Galois $G$ d'une extension galoisienne $L/K$ de corps de nombres.

C'est une définition provisoire (cf expression provisional definition en haut de la page 15). Elle n'inclue pas les premiers ramifiés. Et Artin se doute que pour avoir une ``clean functional equation'' (bas page 14), il va falloir tenir compte des facteurs ramifiés. Et K. Conrad dit ``it is not at all clear how to make a correct definition for Euler factors at these primes bases on the way Euleur factors in the L-function are defined at the unramified primes''.

Et Artin en 1923, va déjà proposer une définition ``at ramified primes only by a roundabout way using class field theory''. Dernière ligne de la page 14. Et using est en italique. Ce n'est qu'en 1930 (haut de la page 15) qu'Artin ``found a definition of the correct Euler factors at the ramified primes using inertia groups without class field theory''.

Et de nos jours ? Du petit lait la définition d'une L-série. Et bien, pour une fois, je vais être grossier : un auteur qui écrit ``For the ramified primes, the local L-functions can be defined in a similar fashion'', je dis que c'est du foutage de gueule. Cela ne va pas empêcher l'auteur de jouer avec des égalités $L = L_1L_2$. On nous prend pour des c.ns ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 09:09
@flip flop
A propos de ton post [www.les-mathematiques.net]

J'ai avancé mais pas terminé. Je crois comprendre (un peu près) ce que F & T fabriquent en haut de la page 209 pour prouver (en donnant deux arguments !) que $p$ est totalement ramifié dans $\Q(\root p^r \of 1)$. Pour moi, c'est immédiat si l'on sait d'une part que l'anneau des entiers de $\Q(\root N \of 1)$ est $\Z[\root N \of 1]$ et d'autre part si on connaît le comportement de $\Phi_{p^r}$ modulo $p$ (ce dernier point est facile).

Il faut absolument avoir ce résultat sur l'anneau des entiers de $\Q(\root N \of 1)$ avec soi sinon on va être obligé de pédaler pour fabriquer du courant. Au fait, dans la thèse de Claire, on n'utilise pas le critère de Dedekind pour montrer cela : on montre, de manière effective, que tout idéal non nul $I$ de $\Z[\root N \of 1]$ est inversible en exhibant (presque) un idéal $J$ tel que $IJ$ soit principal. C'est une manière de certifier que l'anneau $\Z[\root N \of 1]$ est intégralement clos. Là encore, cela vaudrait le coup de revenir à des considérations historiques sur le fondement des idéaux par Dedekind, cf Methodology and Metaphysics in the Development of Dedekind's Theory of Ideals de J. Avigad, en particulier section 6. In [repository.cmu.edu]

Retour à nos moutons. Compositum de deux entensions non-ramifiées, OK : cf, Lang, Algebraic Number Theory, section 4 du chap II (Completion). Technique : un petit coup de complétion nous fait passer en ``super-local'' (un seul idéal premier en bas ET en haut).

Mais je crois comprendre que F & T utilisent la notion d'extensions arithmétiquement disjointes (1.14 page 209). On peut y apaiser le produit tensoriel (petites pensées pour les bébés que je n'oublie pas).

A suivre.

PS : tout au début de cette histoire, et on ne rit pas, c'est qu'on m'avait fait croire, pour prouver, étant donnée une sous-extension cyclotomique $K$, l'équivalence $p$ est ramifié dans $K$ si et seulement si $p \mid f_K$, qu'il fallait l'attirail de la théorie du corps de classes. Ben voyons. Note $f_K$ c'est le conducteur (cyclotomique) de $K$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 09:43
@gai requin, flip flop
Une vraiment bonne nouvelle. La théorie du corps de classes, c'est vachement fastoche. Si, si. On va admettre deux ou trois petits trucs du genre : Artin reciprocity theorem (le grand et pas seulement celui des petits i.e. celui pour Hilbert Class Fields), Conductor Theorem et enfin Existence Theorem.

Et avec cela, on va torcher le théorème de Kronecker-Weber : toute extension abélienne de $\Q$ est contenue dans une extension cyclotomique. Quels nazes ces deux là (Kronecker et Weber). Kronecker a annoncé son résultat en 1853 ``avec des petites difficultés dans la preuve concernant le nombre premier 2''. Et Weber a bouché la chose en 1886 mais il y avait encore une erreur (en 2), sur laquelle on n'a pas mis le doigt pendant 90 ans. Heureusement qu'Hilbert a fourni une preuve correcte en 1896.

Idem on va torcher le théorème de Gauss concernant les premiers $p \equiv 1 \bmod 3$ qui peuvent s'écrire sous la forme $p = a^2 + 27b^2$ sous la condition que $x^4 \equiv 2 \bmod p$ possède une solution. Fini les petits calculs fastidieux avec des sommes de Gauss-Jacobi et la loi de réciprocité cubique.

Elle est pas belle la vie ?

PS : il y a des historiens des mathématiques qui bossent. Joli sous-titre ``A Comedy of Errors" in [www.emis.de]
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 09:57
Fastoche ! winking smiley

Une page du MIT avec toutes les preuves et beaucoup de références, dont beaucoup ont déjà été données par Claude.
Des cours [ici] et des problèmes [là].
Fastoche ? grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 10:43
avatar
Ah bin si c'est fastoche grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 10:51
@flip flop
Je vais avoir besoin d'un sérieux coup de main pour les conducteurs. C'est vachement important les conducteurs. Et j'en ai absolument besoin pour opérer. Lorsque, dans le cadre de $F = X^4 - a$, tu poses $E = \Q(x)$, $x$ racine de $F$, $G = \text{Gal}(L/\Q)$ avec $L = E^{\rm gal}$ et que tu décomposes :
$$
\rho_E = \rho_{1a} \oplus \rho_{1b} \oplus \rho_2
$$
Et bien je ne sais pas déterminer le conducteur de la L-série de $\rho_{1b}$ (note $\rho_{1a}$ est la représentation triviale).

Il nous faut la définition du conducteur d'une $L_\rho$ ? Ben oui, évidemment. Ferrugati (Andrea) est vachement réglo : gros effort pour définir ce conducteur et aboutir à la page 39 en def 2.41 à la définition, cf [algant.eu]

Mais comment faire pour l'appliquer à $L_{\rho_{1b}}$ ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 11:00
avatar
@Claude : Pour ici

Le problème c'est qu'il y a plein de $2$ partout avec $D_4$.

J'ai aussi un problème de Internal Error. (mais ça date d'il y a quelques jours) d'ailleurs y'a d'autre bug également.

Sinon j'ai pas trop compris, application D'Artin surjective ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 11:19
@gai requin
J'espère que tu ne laisses pas tomber la page 458

@flip flop
Tu dis ``Sinon j'ai pas trop compris, application D'Artin surjective''. Tu parles de quoi ? La page 458 ? Mais TU sais, depuis belle lurette, que l'application (mal) définie en haut (première ligne) de la page, est surjective.

@Vous deux
Peut-être que le forum sature du Fil "Petits groupes de Galois ...etc.." ? D'où les bugs ? Ouvrir un nouveau fil ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 11:30
avatar
C'est Chebotarev (version le Frobenius visite toutes les classes de conjugaison) ou on ne parle pas de la même chose !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 11:49
@flip flop
On ne parle pas de la même chose. Pour l'instant, je te parle de 6 pages que j'ai attachées hier en [www.les-mathematiques.net]. Et en particulier de la page 458 où en plein milieu est écrit ``It can be proved that the Artin map is surjective'' (en italique surjective). Il s'agit de l'application qui vient d'être définie en haut de la page 458 et dont le doux nom est en bas de la page 457.

On pourra pas dire que je n'ai pas fait d'efforts.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 12:05
avatar
Ah mais je viens de voir la p458. dont vous parlez ! C'est louche, j'avais vraiment pas vu ce message et je pensais que vous discutiez (avec Gai requin) d'un pdf magma sur le corps de classe.

Du coup, ok c'est le polynôme cyclotomique qui est irréductible donc y'a surjectivité de la map d'Artin dans $\text{Gal}(\Q(\zeta_f) \mid \Q)$ et ensuite tu as la restriction que tu notes $\pi$ et que je note $\text{Res}$.

(Blague a part : heu t'as peut-être raison concernant le forum, des fois y'a vraiment des bugs).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 13:41
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@Claude : Pour $D_4$ je veux bien faire mais lundi, là c'est pause week-end et je ne veux pas rentrer dans ce truc trop complexe sinon je vais avoir ça en tête tout le week-end grinning smiley

Je vais juste dessiner un jolie treillis de sous-groupe de $D_4$.

Sinon, elles sont vraiment sympas les pages que tu as scanner, MERCI ! J'imprime.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
08 septembre 2017, 19:08
@flip flop
OK. J'essaie de fixer des notations pas trop pourries pour travailler. D'abord du groupiste avec actions. Présentation du groupe diédral $D_4$ et représentation dans le plan complexe, matrices dans la $\R$-base $(1,i)$
$$
D_4 = \langle r,s \mid r^4 = s^2 = 1, srs = r^{-1}\rangle, \qquad r : z \mapsto iz, \quad s : z \mapsto \overline z, \qquad
R = \pmatrix {0 & -1\cr 1 & 0\cr}, \quad S = \pmatrix {1 & 0\cr 0 & -1 \cr}
$$
D'où une représentation irréductible : $\rho_2 \to \text{GL}_2(\Z)$.

Une représentation permutationnelle sur $\{\pm 1, \pm i\}$ que je note $\rho_4 : D_4 \to \text{GL}_4(\Z)$ :
$$
r : (1,i,-1,-i), \qquad s : (i,-i)
$$
Et $1 + 3$ représentations irréductibles en dimension 1, en commençant par la triviale
$$
\varepsilon, \qquad \rho_{1,2} = \det(\rho_2), \qquad \rho_{1,4} = \det(\rho_4), \qquad \rho'_1 = \rho_{1,2}\rho_{1,4}
$$
Pour ces représentations en dimension 1, on voit que l'on a les 4 cas de figure $r \mapsto \pm 1, s \mapsto \pm 1$. Et on a la décomposition :
$$
\rho_4 = \varepsilon \oplus \rho'_1 \oplus \rho_2
$$
Maintenant débarquent $F = X^4 - a$ avec $a$ entier $\ge 2$ non carré afin que $F$ soit irréductible sur $\Q$ (j'espère), $x = \root 4 \of a$ une racine de $F$ et $L$ le corps de décomposition de $F$ sur $\Q$ avec les 4 racines $\pm x, \pm ix$. Et $G = \text{Gal}(L/\Q) \simeq D_4$, le $\simeq$ précis comme on le pense (action en degré 4). Ainsi qu'un ``observateur'' $E = \Q(x)$ de sorte que $L = E^{\rm gal}$. Et bien sûr, l'arithmétique avec les anneaux d'entiers $\mathcal O_E$ et tous ceux qui voudront bien jouer dans la pièce.

Il s'agit alors d'identifier les L-séries $L_{\rho_2}$, $L_{\rho_{1,2}}$, $L_{\rho_{1,4}}$ et $L_{\rho'_1}$. Identifier signifiant donner le $p$-Euler facteur, le conducteur, ...etc.. Et tout ce que l'on peut raconter d'intelligent (que j'ignore).

Et ensuite déguster le truc : par exemple, si à $L_{\rho_2}$, on associe la série en $q$ de nom $S_{\rho_2}$, on doit avoir une appartenance au monde de la fumette $S_{\rho_2} \in M_1(\Gamma_0(N), \chi)$. Expérimentalement, on doit pouvoir exprimer $S_\rho$ comme une combinaison linéaire de $\Theta$-séries de discriminant $-N$.

Et tout ce que j'oublie que l'on pourrait dire de pertinent. Surveiller si pas trop de coquilles.

Bon week-end.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
09 septembre 2017, 12:18
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Bonjour [www.les-mathematiques.net]

Signature: Je suis de passage .
Re: Homographies et petits groupes de Galois
22 fvrier 2018, 11:45
Peut-être que la maintenance de ces derniers jours a corrigé le bug du message n° $3177$ ! cool smiley
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