formes arithmétiques du logarithme
Salut salut,
Alors que je lisais un article sur les liens qu'entretiennent les fonctions exponentielle et logarithme népérien, je me suis demandé si l'on pouvait obtenir des résultats similaires à ceux que l'on trouvait avec la forme traditionnelle du logarithme népérien (ln(x)) via un autre moyen. Je parle ici d'une formule dépendant de x et permettant d'arriver à des valeurs semblables à celles qu'on pourrait trouver via l'utilisation de ln(x). En effet, si j'ai bien compris, ln(x) est définie comme la bijection réciproque de l'exponentielle mais cette dernière peut, ELLE, être appréhendée par un simple calcul à la main (à partir du moment où on connaît la valeur réelle de e). Voilà voilà, pour résumer, j'aurais donc aimé savoir si l'appréhension des valeurs données par la fonction logarithme n'est réalisable que par lecture graphique (ou par la calculatrice) ou si un formalisme mathématique avait réussi à conceptualiser cette fonction (en remplaçant le ln par une expression traitable à la main).
Merci d'avance pour vos réponses !
Alors que je lisais un article sur les liens qu'entretiennent les fonctions exponentielle et logarithme népérien, je me suis demandé si l'on pouvait obtenir des résultats similaires à ceux que l'on trouvait avec la forme traditionnelle du logarithme népérien (ln(x)) via un autre moyen. Je parle ici d'une formule dépendant de x et permettant d'arriver à des valeurs semblables à celles qu'on pourrait trouver via l'utilisation de ln(x). En effet, si j'ai bien compris, ln(x) est définie comme la bijection réciproque de l'exponentielle mais cette dernière peut, ELLE, être appréhendée par un simple calcul à la main (à partir du moment où on connaît la valeur réelle de e). Voilà voilà, pour résumer, j'aurais donc aimé savoir si l'appréhension des valeurs données par la fonction logarithme n'est réalisable que par lecture graphique (ou par la calculatrice) ou si un formalisme mathématique avait réussi à conceptualiser cette fonction (en remplaçant le ln par une expression traitable à la main).
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Réponses
$\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{5}x^5+...\right)$
Il y a aussi:
Pour $n>1$,
$\ln\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\right)=\ln(\pi)-\ln n-\dfrac{1}{n^2}\left(\dfrac{\pi^2}{6}\right)-\dfrac{1}{2n^4}\left(\dfrac{\pi^4}{90}\right)-\dfrac{1}{3n^6}\left(\dfrac{\pi^6}{945}\right)-...=\\
\ln(\pi)-\ln n-\dfrac{1}{n^2}\zeta(2)-\dfrac{1}{2n^4}\zeta(4)-\dfrac{1}{3n^6}\zeta(6)-...$
Je ne vois comment un "simple calcul à la main" te permet de calculer $e^{\sqrt2}$, même en connaissant la valeur de $e$.
Si tu veux juste calculer $e^x$ pour $x\in\mathbb N$ éventuellement...
Pour ce qui est du logarithme il y eut une époque où les "mathélem" n'étudiaient QUE le logarithme décimal et, pour cela, devaient manipuler suites arithmétiques et géométriques par ce qu'ils appelaient "insertion de moyens". La correspondance entre ces suites permet alors un calcul approché du logarithme décimal...
Pour le logarithme en base $b$ il existe des algorithmes simples permettant de calculer $\log_b$ à $\varepsilon$ près.
Par exemple, si $1\leqslant x<b$ on peut faire
$\qquad s\gets1;\;u\gets0$
TANTQUE $\varepsilon\leqslant s/2$ FAIRE
$\qquad z\gets x^2;\;s\gets s/2$
$\qquad$SI $z>b$ ALORS $x\gets z/b;\;u\gets u+s$
$\qquad$SINON $x\gets z$ FINSI
FINFAIRE
RETOURNER $u+s/2$
J'ignore ce que tu cherches, mais les logarithmes ont étés définis avant la fonction exponentielle. Néper n'a pas construit une fonction, mais une table permettant l'utilisation des logarithmes ; il a défini les logarithmes grâce à ce qu'on appelle à présent l'équation fonctionnelle [\forall\,(a,b) \quad f(ab) = f(a) + f(b)\]ceci afin de simplifier les calculs des produits de sinus. Inutile de préciser qu'en 1584 il n'existait pas de calculatrice, que le calcul à la plume était compliqué et que les nombres décimaux commençaient à peine leur carrière puisque "la dîme" de Simon Stevin date de 1584.
Bruno
Qu'est-ce que cette forme traditionnelle?
Les logarithmes, exponentielle et fonctions trigonométriques sont calculées par l'algorithme CORDIC : https://fr.wikipedia.org/wiki/CORDIC (prendre le temps de regarder les liens donnés à la fin).