Polynôme caractéristique

MrJ · September 2016

Bonjour,

je me pose une question d'ordre théorique sur le polynôme caractéristique et j'espère que quelqu'un pourra éclairer ma lanterne.

Si $E$ est un espace de dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E)$, la définition du polynôme caractéristique que l'on donne en général est $\chi_u(X)=\det(u- X id_E)$. Or l'élément $u- X id_E$ est dans $\mathcal{L}(E)[X]$. Mon petit soucis commence ici, le déterminant n'est pas défini sur l'espace $\mathcal{L}(E)[X]$.

Je sais comment on fait en pratique pour le calculer, mais j'ai l'impression que la définition que j'ai donné ci-dessus, même si on la comprend bien, n'est pas très rigoureuse. Il serait plus rigoureux de dire que le polynôme caractéristique de $u$ est celui de sa matrice dans une base quelconque. (Pour une matrice, on utilise l'isomorphisme naturel $M_n(K)[X]\cong M_n(K[X])$ pour le calculer).

Qu'est-ce que vous en pensez?

GaBuZoMeu · September 2016

On peut voir aussi $X\,\mathrm{Id}-u$ (je le préfère dans ce sens là) comme un endomorphisme du $K[X]$-module libre de type fini $K[X]\otimes_K E$.

ev · September 2016

J'en pense qu'effectivement c'est plus sympa d'avoir des polynômes sur des anneaux commutatifs.
De ce fait, je n'aimerais pas qu'on me casse les oreilles avec $\mathcal{L}(E)[X]$ ou $(M_n(K))[X]$.

En revanche $M_n(K[X])$ c'est un anneau de matrices à coefficients dans un anneau commutatif. On peut discuter.
De déterminants pour commencer.

De ce fait j'ai comme un gros doute sur ton affirmation $M_n(K)[X]\cong M_n(K[X])$ disons pour $n>1$.

e.v.

1528 · September 2016

Dans les deux cours que je viens de consulter, on définit le polynôme caractéristique d'un endomorphisme en dimension finie comme étant celui d'une de ses matrices (et on vérifie l'indépendance en la base choisie). Pour avoir une définition intrinsèque, il faut se faire un peu mal à la tête.

Tu as trouvé des cours où on décrit les choses comme dans ton premier message sans plus de discussion ?

GaBuZoMeu · September 2016

Mon réflexe serait d'aller voir pour ça ce qui se raconte chez Bourbaki, mais là présentement je ne l'ai pas sous la main. On y trouve sans aucun doute le déterminant d'un endomorphisme d'un module libre de type fini sur un anneau commutatif, au chapitre algèbre extérieure.

Je n'ai pas trop de doutes sur l'isomorphisme $M_n(K)[X]\simeq M_n(K[X])$.

gai requin · September 2016

Définition (Bourbaki) : On appelle déterminant d'un endomorphisme $u$ d'un $A$-module libre $M$ de dimension finie $n$ le scalaire $\lambda$ tel que $\bigwedge^{n}(u)$ soit l'homothétie de rapport $\lambda$.

MrJ · September 2016

Merci pour vos réponses.

Si on veut donner un sens à la définition que j'ai écrite dans mon premier post, il faut voir $f-X id_E$ comme un endomorphisme d'un $K[X]$-module comme le suggère GaBuZoMeu. Du coup, il ne vaut mieux pas définir le polynôme caractéristique comme cela pour des étudiants, mais plutôt en passant par celui de la matrice.

ev : Pour l'isomorphisme $M_n(K[X])\equiv M_n(K)[X]$, c'est juste un jeu d'écriture. Par exemple, $M-X I_n$ est dans le second ensemble, mais si tu mets tout les coefficients dans une même matrice, on obtient un élément du premier ensemble.

1528 : C'est une question que je me suis posé pour les étudiants préparant l'agrégation. En classe préparatoire ou en licence, on contourne la difficulté en définissant le polynôme caractéristique comme une fonction polynomiale. Ce n'est pas satisfaisant quand on passe l'agrégation, car on peut avoir à faire avec des corps finis.

GaBuZoMeu · September 2016

On a aussi $\mathcal{L}(E)[X]\simeq \mathcal{L}(E[X])$, avec $E[X]=K[X]\otimes_K E$.

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