Famille de polynômes sur F5

Soit $n \geq 2$.
Le polynôme $\Delta_n=X^{2^{n-2}}-2$ est irréductible sur le corps $\mathbb{F}_5$.

Salut
Est-ce que quelqu'un sait comment vérifier cette proposition ... (j'ai un semblant de preuve, mais bien technique ${}^\bigstar$). Par contre, je n'ai pas trop les capacités informatiques pour faire des tests, j'utilise xcas comme logiciel et j'ai du mal !!!

${}^\bigstar$ Todo ... ma démo.

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On a : $$(X^{2^{n-2}}-2)(X^{2^{n-2}}+2)=X^{2^{n-1}}-4=X^{2^{n-1}}+1 \qquad \qquad (1)
$$ car on travaille sur $\mathbb{F}_5$, donc $4=-1$.
D'autre part, on introduit la suite de polynôme cyclotomique $\Phi_n$
--- Explication ----

On a $\ (2) \qquad \Phi_2=X+1$ et $\Phi_{2^n}=\Phi_2(X^{2^{n-1}})$, donc $\quad X^{2^{n-1}}+1=\Phi_{2^{n}}$.

En groupant (1) et (2) : $$
\Phi_{2^{n}}=\Delta_n \times (X^{2^{n-2}}+2)
$$ Donc $\Phi_{2^n}$ se décompose en au moins deux facteurs.

On va montrer que : $\Phi_{2^{n}}$ se décompose en exactement $2$ facteurs irréductibles sur $\mathbb{F}_5$.

Pour cela on va prendre deux points de vues :
1/ Calculer l'ordre de $5$ dans le groupe des inversibles de l'anneau $\mathbb Z/2^{n}\mathbb Z$.
2/ Relier cet ordre au nombre de facteurs dans la décomposition de $\Phi_{2^{n}}$ en polynômes irréductibles sur le corps $\mathbb{F}_5$.

Dis rapidement, on va prouver que le degré des facteurs irréductibles de $\Phi_{2n}$ sur $\mathbb{F}_5$ est exactement l'ordre de $5$ dans le groupe des inversibles de l'anneau $\mathbb Z/2^{n}\mathbb Z$.
1/ On utilise wikipédia : ici
La classe de $5$ est d'ordre $2^{n-2}$

2/ Soit $\zeta$ une racine de $\Phi_{2^{n}}$ dans une clôture algébrique dont le polynôme minimal est de degré $r$ : un facteur irréductible de .$\Phi_{2^{n}}$. Alors $\zeta \in \mathbb{F}_{5^r}$ (car il n'y a qu'une seul extension de degré $r$). D'après le théorème de Lagrange (sur le groupe des unitées),
$\zeta^{5^r-1}=1$. Donc ordre$(\zeta)$ divise $5^r-1$. Mais ordre$(\zeta)=2^{n}$. Donc :

$$5^r=1, \quad \textrm{ dans } Z / 2^{n}Z$$

Le degré de $\zeta$ est donc l'ordre de $5$ dans $Z / 2^{n}Z ^\star$. Donc le degré de $\zeta$ est $2^{n-2}$. Et donc les facteurs irréductibles de $\Phi_{2^{n}}$ sont de degré $2^{n-2}$, par conséquent il y a : $$ \frac{{2^{n-1}}}{{2^{n-2}}}=2$$
facteurs irréductibles ... en effet $\Phi_{2^{n}}$ est de degré $\phi({2^{n}})=2^{n-1}$ (indicatrice d'Euler).


Merci d'avance,