Élément irréductible
Bonjour
Soit $K$ un corps, et $<xy-zw>$ l'idéal engendré par $xy-zw$ dans $K[X,Y,Z,W]$.
Je voudrais montrer que la classe $[x]$ du polynôme $x$ est irréductible dans $K[X,Y,Z,W]/<xy-zw>$.
J'essaie sur un cas plus général.
Soit $A$ un anneau intègre, $I \subset A$ un idéal premier de $A$ (ie: $A/I$ est intègre) et $x \in A$ un élément irréductible de $A$ (ie: $\forall a,b \in A,~ x=ab \Rightarrow a \text{ inversible ou }$b$\text{ inversible}$).
Je voudrais montrer que la classe de $x$ (notée $[x]$) dans $A/I$ est irréductible (dans $A/I$).
- Si $I$ n'est pas premier, ça ne marche pas, par exemple $3=3\times 3$ dans $\Z/6\Z$.
- Si $[x]=[p][q]$ alors $x-pq\in I$ et puis ??
(je ne vois pas comment utiliser l'hypothèse $I$ premier)
(et je n'ai pas non plus d'idées dans le cas particulier).
Si quelqu'un pouvait m'aider un peu...
Merci.
Soit $K$ un corps, et $<xy-zw>$ l'idéal engendré par $xy-zw$ dans $K[X,Y,Z,W]$.
Je voudrais montrer que la classe $[x]$ du polynôme $x$ est irréductible dans $K[X,Y,Z,W]/<xy-zw>$.
J'essaie sur un cas plus général.
Soit $A$ un anneau intègre, $I \subset A$ un idéal premier de $A$ (ie: $A/I$ est intègre) et $x \in A$ un élément irréductible de $A$ (ie: $\forall a,b \in A,~ x=ab \Rightarrow a \text{ inversible ou }$b$\text{ inversible}$).
Je voudrais montrer que la classe de $x$ (notée $[x]$) dans $A/I$ est irréductible (dans $A/I$).
- Si $I$ n'est pas premier, ça ne marche pas, par exemple $3=3\times 3$ dans $\Z/6\Z$.
- Si $[x]=[p][q]$ alors $x-pq\in I$ et puis ??
(je ne vois pas comment utiliser l'hypothèse $I$ premier)
(et je n'ai pas non plus d'idées dans le cas particulier).
Si quelqu'un pouvait m'aider un peu...
Merci.
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Réponses
$$x=\frac1{2i}\,(y-ix+1)(y+ix-1)\;,$$
où $y$ est la classe de $Y$.
Dans ton exemple, la classe de $X$ est bien irréductible modulo $I= \langle XY-WZ\rangle$. Vu que l'idéal $I$ est homogène, si $X-PQ$ appartient à $I$, alors forcément $P$ ou $Q$ est une constante non nulle modulo $I$.
Mais ça ne m'a pas encore permis de conclure :
J'écris $Q=\sum_{j} q^{(j)}$ avec $q^{(j)}$ la partie homogène de degré j de Q
et de même $Q=\sum_{i} p^{(i)}$ et $PQ=\sum_{d} f^{(d)}$
Alors, puisque, $PQ - X \in I=<XY-ZW>$ qui est homogène
on a donc $\forall d$, $f^{(d)} \in I$
J'en déduis $f^{(0)}=0$ car $I\neq A$
et $f^{(1)}=X$ par un argument de degré
Donc
(i) $q^{(0)}=0$ ou $p^{(0)}=0$
(ii) $\forall d>1, \sum_{i+j=d}q^{(j)}p^{(i)} \in I$
(iii) $q^{(0)}p^{(1)} + p^{(0)}q^{(1)} = X$
Par symétrie entre p et q, par exemple $q^{(0)}=0$ donc $p^{(0)}q^{(1)} = X$ donc $p^{(0)}\neq 0$
Reste à montrer $\sum_{i\geq 1} p^{(i)} \in I$ et $\sum_{j\geq 2} q^{(j)} \in I$
C'est là que je bloque.
Merci.
Pour la classe de $X$ modulo $\langle XY-ZW\rangle$, je raisonne dans l'anneau quotient qui est intègre et gradué (à cause de l'homogénéité). Avec $x=pq$ (égalité dans le quotient) je déduis que $p$ est de degré $0$ et $q$ de degré $1$, ou vice-versa.
Je vais regarder un peu plus cette histoire d'anneaux gradués mais ça me semble déjà un peu plus clair, merci.
Sur Wikipédia on peut lire :
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $XY$ est irréductible, pour moi c'est le produit de deux polynômes de $A$ non inversible qui sont $X$ et $Y$ qui eux pour le coup sont irréductibles !
Sinon c'est quoi leur truc avec "extrémal" ? Leur définition c'est que $a\not \in p \implies (a,p)=(1)$ ce qui est la définition de $p$ est maximal.
L'article ne parle même pas des idéaux premiers, c'est n'importe quoi. Faudrait arrêter de laisser Anne Beauval gérer seule wikipedia maths en français.
Cela te dérangerait de mentionner un CONTEXTE correct : soit $K$ un corps et $A = K[X^2, XY, Y^2]$ le sous-anneau de l'anneau des polynômes $K[X,Y]$ ...etc... Et ensuite, poser ta question. C'est si difficile ?
Sur Wikipédia on peut lire :
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $XY$ est irréductible, pour moi c'est le produit de deux polynômes de $A$ non inversible qui sont $X$ et $Y$ qui eux pour le coup sont irréductibles !