Élément irréductible

Jesse
Jesse
dans Algèbre
Bonjour

Soit $K$ un corps, et $<xy-zw>$ l'idéal engendré par $xy-zw$ dans $K[X,Y,Z,W]$.
Je voudrais montrer que la classe $[x]$ du polynôme $x$ est irréductible dans $K[X,Y,Z,W]/<xy-zw>$.

J'essaie sur un cas plus général.
Soit $A$ un anneau intègre, $I \subset A$ un idéal premier de $A$ (ie: $A/I$ est intègre) et $x \in A$ un élément irréductible de $A$ (ie: $\forall a,b \in A,~ x=ab \Rightarrow a \text{ inversible ou }$b$\text{ inversible}$).
Je voudrais montrer que la classe de $x$ (notée $[x]$) dans $A/I$ est irréductible (dans $A/I$).
- Si $I$ n'est pas premier, ça ne marche pas, par exemple $3=3\times 3$ dans $\Z/6\Z$.
- Si $[x]=[p][q]$ alors $x-pq\in I$ et puis ??
(je ne vois pas comment utiliser l'hypothèse $I$ premier)
(et je n'ai pas non plus d'idées dans le cas particulier).

Si quelqu'un pouvait m'aider un peu...
Merci.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ton affirmation la plus générale est fausse. Prenons un exemple : $A=\C[X,Y]$, $I=\langle X^2+Y^2-1\rangle$. Alors la classe $x$ de $X$ n'est pas irréductible dans $A/I$. En effet :
    $$x=\frac1{2i}\,(y-ix+1)(y+ix-1)\;,$$
    où $y$ est la classe de $Y$.

    Dans ton exemple, la classe de $X$ est bien irréductible modulo $I= \langle XY-WZ\rangle$. Vu que l'idéal $I$ est homogène, si $X-PQ$ appartient à $I$, alors forcément $P$ ou $Q$ est une constante non nulle modulo $I$.
  • Jesse
    Jesse
    Ok, merci, je ne connaissais pas les idéaux homogènes (je suis en L3).
    Mais ça ne m'a pas encore permis de conclure :

    J'écris $Q=\sum_{j} q^{(j)}$ avec $q^{(j)}$ la partie homogène de degré j de Q
    et de même $Q=\sum_{i} p^{(i)}$ et $PQ=\sum_{d} f^{(d)}$

    Alors, puisque, $PQ - X \in I=<XY-ZW>$ qui est homogène
    on a donc $\forall d$, $f^{(d)} \in I$

    J'en déduis $f^{(0)}=0$ car $I\neq A$
    et $f^{(1)}=X$ par un argument de degré

    Donc

    (i) $q^{(0)}=0$ ou $p^{(0)}=0$
    (ii) $\forall d>1, \sum_{i+j=d}q^{(j)}p^{(i)} \in I$
    (iii) $q^{(0)}p^{(1)} + p^{(0)}q^{(1)} = X$


    Par symétrie entre p et q, par exemple $q^{(0)}=0$ donc $p^{(0)}q^{(1)} = X$ donc $p^{(0)}\neq 0$

    Reste à montrer $\sum_{i\geq 1} p^{(i)} \in I$ et $\sum_{j\geq 2} q^{(j)} \in I$
    C'est là que je bloque.

    Merci.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tout d'abord, un autre exemple : la classe de $X$ est-elle irréductible dans $\R[X,Y]/\langle X-Y^2\rangle$ ? L'exemple plus compliqué que j'avais donné précédemment est plus drôle, parce que la situation sur $\R$ est différente de celle sur $\C$.

    Pour la classe de $X$ modulo $\langle XY-ZW\rangle$, je raisonne dans l'anneau quotient qui est intègre et gradué (à cause de l'homogénéité). Avec $x=pq$ (égalité dans le quotient) je déduis que $p$ est de degré $0$ et $q$ de degré $1$, ou vice-versa.
  • Jesse
    Jesse
    La classe de $X$ n'est pas irréductible dans $\R[X,Y]/<X-Y^{2}>$ car $[X]=[Y][Y] $ et la classe de $Y$ n'est pas inversible dans $\R[X,Y]/<X-Y^{2}>$ ( sinon on aurait $A,P \in \R[X,Y]/<X-Y^{2}>$ tels que $YP(X,Y) - 1 = A(X,Y)(X - Y^{2})$ qui donnerait une absurdité en évaluant en $(X,Y)=(0,0)$ ).

    Je vais regarder un peu plus cette histoire d'anneaux gradués mais ça me semble déjà un peu plus clair, merci.
  • Gentil
    Gentil
    Bonjour,

    Sur Wikipédia on peut lire :
    Wiki a écrit:
    Dans K[X,Y], X est premier non extrémal (en fait K[X,Y] ne contient aucun élément extrémal) ;
    Dans A, l'élément XY est irréductible mais non premier (il divise divise X2Y2 mais ni X2, ni Y2).

    Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $XY$ est irréductible, pour moi c'est le produit de deux polynômes de $A$ non inversible qui sont $X$ et $Y$ qui eux pour le coup sont irréductibles !
  • reuns
    reuns
    Tu penses vraiment que sans donner le lien et définir $A$ on peut t'aider ? $A$ est défini plus haut et $X,Y$ n'y sont pas https://fr.wikipedia.org/wiki/Primalité_dans_un_anneau

    Sinon c'est quoi leur truc avec "extrémal" ? Leur définition c'est que $a\not \in p \implies (a,p)=(1)$ ce qui est la définition de $p$ est maximal.

    L'article ne parle même pas des idéaux premiers, c'est n'importe quoi. Faudrait arrêter de laisser Anne Beauval gérer seule wikipedia maths en français.
  • Gentil
    Gentil
    Du coup vous savez pourquoi $XY$ est irréductible ?
  • claude quitté
    claude quitté
    @Gentil
    Cela te dérangerait de mentionner un CONTEXTE correct : soit $K$ un corps et $A = K[X^2, XY, Y^2]$ le sous-anneau de l'anneau des polynômes $K[X,Y]$ ...etc... Et ensuite, poser ta question. C'est si difficile ?
  • Gentil
    Gentil
    Veillez m'excuser je pensais que le lien était clair. Je vais reformuler ma question.
  • Gentil
    Gentil
    Bonjour,

    Sur Wikipédia on peut lire :
    Wiki a écrit:
    Dans A:=K[X,Y] avec K un corps.
    Dans A, l'élément XY est irréductible mais non premier.

    Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $XY$ est irréductible, pour moi c'est le produit de deux polynômes de $A$ non inversible qui sont $X$ et $Y$ qui eux pour le coup sont irréductibles !
  • Poirot
    Poirot
    @Gentil : tu ferais bien de lire attentivement le lien en question (qui a été redonné pa reuns ci-dessus) et les réponses qui t'ont été données, l'anneau $A$ considéré n'est pas $K[X,Y]$ mais, comme rappelé par Claude, $K[X^2, XY, Y^2]$. Dans cet anneau, $XY$ est effectivement irréductible, à toi de le prouver. Dans $K[X,Y]$ c'est bien évidemment un élément réductible.
  • Gentil
    Gentil
    J'ai donc mal lu, très bien merci beaucoup.
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