Symétrisation d'un semi-groupe abélien

Laborieux · October 2016

Bonjour,
je me remets au travail en algèbre avec l'ambition de réussir le concours de l'agrégation externe dans quelques années.
J'ai toujours pratiqué l'algèbre linéaire de plus ou moins loin (analyse numérique) mais je n'ai quasiment pas touché à l'algèbre générale depuis la fin de ma prépa (plus de 20 ans).

Je travaille avec le tome 1 des cours de E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux [RDO].

J'en arrive à ma question...

A la fin du chapitre 1 de [RDO], il y a un paragraphe sur la symétrisation des semi-groupes (abéliens).

Le modèle de cette construction est la construction de $\mathbb{Z}$ à partir de $\mathbb{N}$. Dans ce cas, le groupe obtenu n'est constitué que de deux sortes d'éléments :
- les entiers naturels (leur image par isomorphisme), ensemble sur la base duquel on veut construire un groupe,
- les symétriques des entiers naturels non nuls (i.e. les entiers non symétrisables).
Il y a donc le strict minimum pour avoir un groupe contenant $\mathbb{N}$.

Je me demande si c'est une propriété de cette construction de produire un ensemble ne contenant que les éléments du semi-groupe de départ (à isomorphisme près) et leur symétrique.
En reprenant les notations de [RDO], cela revient à prouver que dans un semi-groupe commutatif, si $(a,b)$ est un couple quelconque d'éléments de $E$, on est toujours dans l'une des deux situations suivantes :
1) $\exists x \in E, \; a = x + b$, dans ce cas $\varphi(a,b)$ est dans la partie isomorphe à $E$,
2) $\exists x \in E, \; b = x + a$, dans ce cas $\varphi(a,b)$ n'est pas dans la partie isomorphe à $E$, mais son symétrique $\varphi(b,a)$ l'est.

Démontrer cette alternative à partir des seuls axiomes de définition d'un semi-groupe commutatif me semble difficile (mais si c'est le cas, merci de me le signaler, cela me fera un bon exercice !).
D'autre part, existe-t-il des exemples de groupe obtenu par symétrisation d'un semi-groupe commutatif et contenant "plus que" les éléments de $E$ et leur symétrique ?

Merci d'avance !

oblomov · October 2016

Je n'ai pas le RDO, mais je pense que ce que tu essayes de prouver n'est pas vrai.

Contre-exemple: les fractions rationnelles (non nulles) construites à partir des polynômes (non nuls) en rajoutant leurs inverses.

Crapul · October 2016

Juste quelques mots, d'autres en diront plus :
il est facile de parler de symétriques quand l'exemple est concret comme $\N$ et $\Z$.
D'une manière générale, on construit des différences formelles des éléments du semi-groupe.
Comme pour $\N$, on va se retrouver avec des différences formelles "équivalentes" : 5-7 et 8-10 par exemple. On quotiente alors ensuite par une bonne relation.
Par exemple pour $\N$, on quotienterait par la relation $n-p \simeq n'-p'$ ssi $n+p'=n'+p$.
Sauf erreur, ce procédé est attribué à Grothendieck.

Maxtimax · October 2016

oblomov a raison si je ne me trompe pas : il y a des semi-groupes dans lesquels on ajoute plus que juste les symétriques. Considère encore plus simplement $\mathbb{N}[X]$, et la classe de $(X,1)$ dans ta construction pour obtenir un groupe (qui représente donc $X-1$)

reuns · October 2016

Si on regarde la construction de $\mathbb{Q}^{*}$ à partir de $\mathbb{Z}^*$
ça devient évident en écrivant $\mathbb{Z}^* = \{ \pm \prod_{i=1}^k p_i^{e_i}, p_i \text{ premier},e_i \in \mathbb{N}\}$ et $\mathbb{Q}^{*} = \{ \pm\prod_{i=1}^k p_i^{e_i}, p_i \in \mathcal{P},e_i \in \mathbb{Z}\}$
qui fonctionne comme l'exemple précédent.

Pour les fonctions rationnelles c'est pareil, les premiers $p_i$ étant les polynômes irréductibles.

Donc ma question c'est si vous avez des exemples de demi-groupe abélien $G^+$ qui ne s'écrivent pas (où pas de manière évidente) comme
$G^+ \simeq H \times \mathbb{N}^k$ où $H$ est un groupe abélien et $k$ un certain cardinal ?

Laborieux · October 2016

Merci pour vos réponses.

@Crapul : je n'avais pas pris la peine de présenter le procédé de manière synthétique. Merci de l'avoir fait.

@Maxtimax : l'exemple répond exactement à ma question. Pour finir de me convaincre, il me reste à vérifier que le "groupifié" de $\mathbb{N}[X]$ est bien égal (à isomorphisme près) à $\mathbb{Z}[X]$.
Si je comprends bien l'exemple, on peut construire quelque chose d'analogue avec $\mathbb{N}^2$ et $\mathbb{Z}^2$.

Mumbere virindi · December 2019

Je ne suis pas satisfait

Poirot · December 2019

On ne peut pas tout avoir dans la vie !

Symétrisation d'un semi-groupe abélien

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