Non-commutation dans ${\mathfrak sl}_2$

john_john
john_john
dans Algèbre
Bonjour à tous,

je vous propose le petit exercice suivant :

soit $A,B,C$ trois matrices de format $(2,2)$ et de trace nulle sur un corps $K$ ; exprimer $ABC+CBA$ comme combinaison linéaire de $A,B$ et $C$.

Bien cordialement, j__j

Réponses

  • P.
    P.
    Bizarre: si je multiplie $A,B,C$ par 3, a gauche c'est multiplie par 27 et a droite par 3?
  • john_john
    john_john
    Et les scalaires multiplicateurs par $9$ ! Où ai-je dit que c'étaient des constantes ? Si mon énoncé a une formulation ambiguë, je le précise : les scalaires dépendent bilinéairement des matrices.

    j__j
  • Yvette
    Yvette
    Bonsoir Monsieur John

    Votre exercice suppose que $ABC+CBA$ soit de trace nulle. Etes-vous sûr du résultat, car si je fais A=C, il faut que $ABA$ soit de trace nulle???

    Merci de votre secours.

    Yvette
  • Yvette
    Yvette
    Oui, c'est vrai

    en effet $Tr(A^2B)$ est nulle car $A^2$ est une matrice scalaire.

    C'est joli,

    Yvette
  • john_john
    john_john
    Bonsoir, Yvette,

    oui, bien vu ! toute la solution repose là-dessus (et sur la polarisation de ce fait : $AB+BA$ est aussi une matrice scalaire);

    Nota bene : la formule à trouver est satisfaite dans tout anneau commutatif, fût-il de caractéristique $2$ ; en revanche, pour l'instant, je n'obtiens de formule pour la permutation circulaire $ABC+BCA+CAB$ que si $2$ est inversible dans l'anneau de référence. Cela dit, on peut toujours se limiter à évaluer $2(ABC+\cdots)$

    Cordialement, j__j
  • john_john
    john_john
    Pour la permutation circulaire, j'aurais dû préciser que $Id_2$ intervient aussi dans la formule.
    Cordialement, j_j
  • ev
    ev
    Merci à Johnny John pour son exercice et à Yvette pour sa solution.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • reuns
    reuns
    Heu... C'est quoi la solution ? Personne ne l'a écrit clairement (sachant qu'en plus la question de départ n'est pas claire du tout)
  • john_john
    john_john
    La solution ? Personne ne l'a donnée, me semble-t-il ; alors, voici :

    $ABC+CBA= {\rm tr}(AB)C-{\rm tr}(CA)B+{\rm tr}(BC)A$ ; pour $ABC+CAB+BCA$, c'est <<à lavement>> comme disait Béru, mais avec l'identité comme quatrième larronne.

    Quand on connaît le résultat, on peut le vérifier mécaniquement mais la remarque $AB+BA={\rm tr}(AB){\rm Id}$ suffit...

    Cordialement, j__j
  • ev
    ev
    Bonjour Johnny John.

    Je trouve le même résultat... en remplaçant ${\rm tr}(AB)$ par ${\rm det}(A)+{\rm det}(B)-{\rm det}(A+B)$.

    Or, à ma courte honte, je suis infoutu d'établir l'égalité entre ces deux quantités, que soit directement ou en établissant l'égalité $AB+BA={\rm tr}(AB){\rm Id}$ laquelle m'échappe un tantinet.

    Sachant que comprendre le calembour "à lavement" m'a pris un bon quart d'heure, pourrais-tu m'ouvrir les yeux.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • dSP
    dSP
    Lorsque $A$ est de trace nulle et de taille $2$, on a $\mathrm{tr}(A^2)=-2\det(A)$, tout simplement (calcul à la main ou utilisation de Cayley-Hamilton).
  • ev
    ev
    Merci @dSP de m'avoir ouvert les yeux.

    On trouve alors le résultat en caractéristique différente de deux.
    Pour la caractéristique deux, on se convainc que les calculs algébriques sont les mêmes.

    Bon dimanche,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Yvette
    Yvette
    Bonsoir,
    Si $A$ et $B$ sont de trace nulle, alors $~(AB)^2+(BA)^2~$ est scalaire.
  • john_john
    john_john
    Bonsoir, ev,

    lorsque Béru dit <<à lavement>>, on peut supposer qu'il pense <<à l'avenant>>, mais va savoir...

    En revanche, pour la permutation circulaire, j'aimerais savoir si l'on peut faire intervenir <<naturellement>> l'identité dans la formule

    $$2(ABC+CAB+BCA)=A{\rm tr}(BC)+B{\rm tr}(CA)+C{\rm tr}(AB)+3{\rm tr}(ABC)Id_2$$

    Pour cela, il est sans doute utile de remarquer que, dans ${\mathfrak s}{\mathfrak l}_2$, l'application qui à $A,B,C$ associe ${\rm tr}(ABC)$ est trilinéaire alternée. On arrive donc pour le moins à prouver qu'il existe une formule du type
    $$2(ABC+CAB+BCA)=A{\rm tr}(BC)+B{\rm tr}(CA)+C{\rm tr}(AB)+{\rm tr}(ABC)M_0$$

    où $M_0$ est de taille $(2,2)$ et on prouve in fine que $M_0=3\cdot Id_2$ grâce à un triplet $A,B,C$ bien choisi.

    Cordialement, j__j
  • john_john
    john_john
    À présent, j'explique brièvement pourquoi je me suis posé la question de l'expression de $ABC+CBA$, ce qui eût pu paraître gratuit et sans objet. En réalité, il s'agissait de trouver une méthode non purement calculatoire pour obtenir une expression (dans ${\mathfrak s}{\mathfrak l}_2$) du double crochet $[A,[B,C]]$ en tant que combinaison linéaire de $B$ et de $C$, avec coefficients scalaires bilinéaires.

    Pöur ce faire, j'ai écrit ce double crochet comme $(ABC+CBA)-(ACB+BCA)$ et il ne restait plus qu'à espérer une formule du type de celle qui fait l'objet de ce fil.

    Voilà ; c'est tout pour aujourd'hui, dirait GaBuZoMeu.

    Bien cordialement, j__j
  • hicham 
    hicham 
    J'ai peut-être mal lu, mais j'ai la forte impression que personne n'a donné la solution (sans le calcul bourrin).

    Cdlt, Hicham
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