Et les scalaires multiplicateurs par $9$ ! Où ai-je dit que c'étaient des constantes ? Si mon énoncé a une formulation ambiguë, je le précise : les scalaires dépendent bilinéairement des matrices.
oui, bien vu ! toute la solution repose là-dessus (et sur la polarisation de ce fait : $AB+BA$ est aussi une matrice scalaire);
Nota bene : la formule à trouver est satisfaite dans tout anneau commutatif, fût-il de caractéristique $2$ ; en revanche, pour l'instant, je n'obtiens de formule pour la permutation circulaire $ABC+BCA+CAB$ que si $2$ est inversible dans l'anneau de référence. Cela dit, on peut toujours se limiter à évaluer $2(ABC+\cdots)$
La solution ? Personne ne l'a donnée, me semble-t-il ; alors, voici :
$ABC+CBA= {\rm tr}(AB)C-{\rm tr}(CA)B+{\rm tr}(BC)A$ ; pour $ABC+CAB+BCA$, c'est <<à lavement>> comme disait Béru, mais avec l'identité comme quatrième larronne.
Quand on connaît le résultat, on peut le vérifier mécaniquement mais la remarque $AB+BA={\rm tr}(AB){\rm Id}$ suffit...
Je trouve le même résultat... en remplaçant ${\rm tr}(AB)$ par ${\rm det}(A)+{\rm det}(B)-{\rm det}(A+B)$.
Or, à ma courte honte, je suis infoutu d'établir l'égalité entre ces deux quantités, que soit directement ou en établissant l'égalité $AB+BA={\rm tr}(AB){\rm Id}$ laquelle m'échappe un tantinet.
Sachant que comprendre le calembour "à lavement" m'a pris un bon quart d'heure, pourrais-tu m'ouvrir les yeux.
Lorsque $A$ est de trace nulle et de taille $2$, on a $\mathrm{tr}(A^2)=-2\det(A)$, tout simplement (calcul à la main ou utilisation de Cayley-Hamilton).
On trouve alors le résultat en caractéristique différente de deux.
Pour la caractéristique deux, on se convainc que les calculs algébriques sont les mêmes.
Pour cela, il est sans doute utile de remarquer que, dans ${\mathfrak s}{\mathfrak l}_2$, l'application qui à $A,B,C$ associe ${\rm tr}(ABC)$ est trilinéaire alternée. On arrive donc pour le moins à prouver qu'il existe une formule du type
$$2(ABC+CAB+BCA)=A{\rm tr}(BC)+B{\rm tr}(CA)+C{\rm tr}(AB)+{\rm tr}(ABC)M_0$$
où $M_0$ est de taille $(2,2)$ et on prouve in fine que $M_0=3\cdot Id_2$ grâce à un triplet $A,B,C$ bien choisi.
À présent, j'explique brièvement pourquoi je me suis posé la question de l'expression de $ABC+CBA$, ce qui eût pu paraître gratuit et sans objet. En réalité, il s'agissait de trouver une méthode non purement calculatoire pour obtenir une expression (dans ${\mathfrak s}{\mathfrak l}_2$) du double crochet $[A,[B,C]]$ en tant que combinaison linéaire de $B$ et de $C$, avec coefficients scalaires bilinéaires.
Pöur ce faire, j'ai écrit ce double crochet comme $(ABC+CBA)-(ACB+BCA)$ et il ne restait plus qu'à espérer une formule du type de celle qui fait l'objet de ce fil.
Voilà ; c'est tout pour aujourd'hui, dirait GaBuZoMeu.
Réponses
j__j
Votre exercice suppose que $ABC+CBA$ soit de trace nulle. Etes-vous sûr du résultat, car si je fais A=C, il faut que $ABA$ soit de trace nulle???
Merci de votre secours.
Yvette
en effet $Tr(A^2B)$ est nulle car $A^2$ est une matrice scalaire.
C'est joli,
Yvette
oui, bien vu ! toute la solution repose là-dessus (et sur la polarisation de ce fait : $AB+BA$ est aussi une matrice scalaire);
Nota bene : la formule à trouver est satisfaite dans tout anneau commutatif, fût-il de caractéristique $2$ ; en revanche, pour l'instant, je n'obtiens de formule pour la permutation circulaire $ABC+BCA+CAB$ que si $2$ est inversible dans l'anneau de référence. Cela dit, on peut toujours se limiter à évaluer $2(ABC+\cdots)$
Cordialement, j__j
Cordialement, j_j
e.v.
$ABC+CBA= {\rm tr}(AB)C-{\rm tr}(CA)B+{\rm tr}(BC)A$ ; pour $ABC+CAB+BCA$, c'est <<à lavement>> comme disait Béru, mais avec l'identité comme quatrième larronne.
Quand on connaît le résultat, on peut le vérifier mécaniquement mais la remarque $AB+BA={\rm tr}(AB){\rm Id}$ suffit...
Cordialement, j__j
Je trouve le même résultat... en remplaçant ${\rm tr}(AB)$ par ${\rm det}(A)+{\rm det}(B)-{\rm det}(A+B)$.
Or, à ma courte honte, je suis infoutu d'établir l'égalité entre ces deux quantités, que soit directement ou en établissant l'égalité $AB+BA={\rm tr}(AB){\rm Id}$ laquelle m'échappe un tantinet.
Sachant que comprendre le calembour "à lavement" m'a pris un bon quart d'heure, pourrais-tu m'ouvrir les yeux.
amicalement,
e.v.
On trouve alors le résultat en caractéristique différente de deux.
Pour la caractéristique deux, on se convainc que les calculs algébriques sont les mêmes.
Bon dimanche,
e.v.
Si $A$ et $B$ sont de trace nulle, alors $~(AB)^2+(BA)^2~$ est scalaire.
lorsque Béru dit <<à lavement>>, on peut supposer qu'il pense <<à l'avenant>>, mais va savoir...
En revanche, pour la permutation circulaire, j'aimerais savoir si l'on peut faire intervenir <<naturellement>> l'identité dans la formule
$$2(ABC+CAB+BCA)=A{\rm tr}(BC)+B{\rm tr}(CA)+C{\rm tr}(AB)+3{\rm tr}(ABC)Id_2$$
Pour cela, il est sans doute utile de remarquer que, dans ${\mathfrak s}{\mathfrak l}_2$, l'application qui à $A,B,C$ associe ${\rm tr}(ABC)$ est trilinéaire alternée. On arrive donc pour le moins à prouver qu'il existe une formule du type
$$2(ABC+CAB+BCA)=A{\rm tr}(BC)+B{\rm tr}(CA)+C{\rm tr}(AB)+{\rm tr}(ABC)M_0$$
où $M_0$ est de taille $(2,2)$ et on prouve in fine que $M_0=3\cdot Id_2$ grâce à un triplet $A,B,C$ bien choisi.
Cordialement, j__j
Pöur ce faire, j'ai écrit ce double crochet comme $(ABC+CBA)-(ACB+BCA)$ et il ne restait plus qu'à espérer une formule du type de celle qui fait l'objet de ce fil.
Voilà ; c'est tout pour aujourd'hui, dirait GaBuZoMeu.
Bien cordialement, j__j
Cdlt, Hicham