Somme d'entiers
Bonjour
Je viens d'apprendre un truc via youtube, ensuite je suis allé vérifier sur wikipédia. Il y a bien des explications.
Cependant, j'aimerais avoir confirmation si cette égalité est vraie, au risque d'être ridicule ;-) , mais ce n'est pas grave. $$\sum_{k=1}^{+\infty}k = -\dfrac{1}{12}
$$ Merci.
mousse.
Je viens d'apprendre un truc via youtube, ensuite je suis allé vérifier sur wikipédia. Il y a bien des explications.
Cependant, j'aimerais avoir confirmation si cette égalité est vraie, au risque d'être ridicule ;-) , mais ce n'est pas grave. $$\sum_{k=1}^{+\infty}k = -\dfrac{1}{12}
$$ Merci.
mousse.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Cette relation est fausse. Mais tu le sais.
On définit une fonction pour x<a. Elle est bien définie et existe dans cet intervalle. Puis on peut s'amuser à calculer la fonction pour x>a, dans le domaine où elle n'est pas définie. On obtient des relations fausses, mais rigolotes. C'est le cas ici.
On peut lui donner un sens "symbolique" à travers la fonction $\zeta$ de Riemann (je te laisse te renseigner) ou à l'aide de "smoothing" pour reprendre le terme de Terrence Tao, mais aucune de ces manières de lui donner un sens ne conviennent pour que ça "ressemble à une somme".
Ce qui fascine essentiellement c'est que ce -1/12 revient souvent; en particulier en physique où il a participé à une prédiction correcte (effet Casimir, je te laisse à nouveau te renseigner)
Bonne journée.
C'est bien cette vidéo qui m'a amené à poser la question. Je voulais simplement vérifier la véracité de cette fameuse égalité.
Pour répondre à YvesM, lorsque tu dis "cette égalité est fausse mais tu le sais", malheureusement non, et on ne peut pas tout vérifier pour des raisons de temps ou de niveau. Donc certaine fois je suis obligé d'admettre des résultats... et lorsqu'ils sont surprenants je pose la question (le ridicule ne tue pas).
Merci pour vos réponses
Tu sais montrer que la somme de nombres positifs est positive. Tu sais montrer que cette série diverge.
$S_2=1+1$
$S_3=1+1+1$
$S_4=1+1+1+1$
$S_5=1+1+1+1+1$
$S_6=1+1+1+1+1+1$
etc
Crois-tu que ces sommes se rapprochent d'un nombre? Elles finissent toujours pas dépasser n'importe quel nombre réel donné.
Si $k$ est un entier non nul il est plus grand ou égal à $1$.
C'est à dire $\displaystyle \sum_{k=1}^{N} k>1+1+....+1=S_N=N$
Par ailleurs, ne sais-tu pas que:
$\displaystyle \sum_{k=1}^{N} k=\dfrac{N(N+1)}{2}$
?
Formellement $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} k=\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^{-1}}=\zeta(-1)=\dfrac{-1}{12}$
Mais c'est juste une analogie formelle qui pose plein de questions (la seule égalité qui ne soit pas fausse est la dernière).
Mais lorsqu'on vous dit que lien wiki, il est normal de se poser la question. De plus lorsqu'il est dit que des mathématiciens comme Ramanujan, ont travaillé dessus. Même si après une vérification ça me paraît toujours suspect, entre mon intuition et celles de grands mathématiciens, il n'y a pas photo, je ne discute pas ! Et je préfère poser la question à des chevronnés.
Donc merci beaucoup pour vos réponses et bonne journée
Si quelqu'un te dit, les dauphins ont des ailes pourvu que tu considères que cette personne a un avis autorisé tu vas la croire sans te poser des questions et penser que ton avis vaut moins que le sien?
Pourquoi cela me rappelle:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Expérience_de_Asch
?
C'est à peine croyable, et pourtant:
http://www.dailymotion.com/video/x738r9_asch-experience-traduction_tech
L'explication est ailleurs et vient de l'égalité $\zeta(-1) = - \frac{1}{12}$, où $\zeta$ est le prolongement à $\mathbb C \setminus \lbrace 1 \rbrace$ de la fonction définie initialement sur $]1, + \infty[$ (disons) par $$x \mapsto \sum_{k=1}^{+\infty} k^{-x}.$$
...voir le théorème de réarrangement de Riemann qui stipule que pour toute série numérique réelle non convergente ou semi convergente
$\sum _{k=0}^{\infty} u_k$ et pour tout $a\in \mathbb {R}\cup \{-\infty,+\infty \}$
alors il existe une permutation $\sigma $ de $\mathbb {N}$ telle que $\sum _{k=0}^{\infty }u_{\sigma (k)}=a$
ici dans cette vidéo on attribue la valeur $a=-\frac {1}{12}$ mais cela reviens tout simplement à dire que l'on a privilégié ici
une permutation $\sigma $ de $\mathbb {N}$ parmi d'autres
$\zeta(1-s)=\frac{2}{(2\pi)^s}\cos(\pi.s/2)\Gamma(s)\zeta(s)$
pour s=2 , on a $\zeta(-1)=-1/12$
$\Pi_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi}$
Y a aussi le produit régularisé des nombres premiers
$\Pi_{k=1}^{\infty}p_{k}=4\pi^2$
Mais comme un certain nombre de série divergentes assez simples, on peut la régulariser en utilisant des procédés analytiques, par exemple en utilisant la régularisation zeta.
Pour $Re(s) > 1$, la fonction zeta de Riemann est définie par : $$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} = s \int_1^\infty \lfloor x \rfloor x^{-s-1}dx = \frac{s}{s-1}-\frac12 -s\int_1^\infty (x-\lfloor x \rfloor-\frac12) x^{-s-1}dx$$
[small](voir la formule sommatoire d'Abel)[/small]
Et ce qui est intéressant c'est que $x-\lfloor x \rfloor-\frac12$ est une fonction $1$-périodique et de moyenne $0$, si bien que $\int_1^\infty (x-\lfloor x \rfloor-\frac12) x^{-s-1}dx$ converge et est analytique pour $Re(s) > -1$.
Ensuite on pose $f(x) = \int_1^x (t-\lfloor t \rfloor-\frac12)dt$ et $\mu = \int_1^2 f(x)dx = \int_0^1 \int_0^x (t-\frac12)dt dx = \int_0^1 (\frac{x^2}{6}-\frac{x}{2})dx=\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{12}$,
et on intègre par parties :
$$\zeta(s) = \frac{s}{s-1}-\frac12-s (s+1)\int_1^\infty f(x) x^{-s-2}dx$$ $$=\frac{s}{s-1}-\frac12-s\mu-s (s+1)\int_1^\infty (f(x)-\mu) x^{-s-2}dx$$
où $\int_1^\infty (f(x)-\mu) x^{-s-2}dx$ converge pour $Re(s) > -2$, car $f(x)-\mu$ est $1$-périodique et de moyenne nulle.
Et on trouve alors que $\boxed{\lim_{s \to -1} \zeta(s) = \mu = -\frac{1}{12}}$
Calculer $\zeta"(-1)$ , $\zeta"'(-1)$ avec des constantes .
Et je n'ai pas de moyen de la prouver, mais a priori chaques dérivées de $\zeta(s)$ et $\Gamma(s)$ à un entier fixé donnent de nouvelles constantes (probablement comme la plupart des fonctions transcendantes)
Voici un raisonnement fait par un directeur de recherche du cnrs dans une revue d'astronomie tout public pour arriver à sommer 1+2+3+.... par -1/12 : $$
1+2+3+\ldots =\lim_{t->0}^{} \sum_{n\ge 0}ne^{-tn}.
$$ Commentaire : ce premier = est considéré comme une évidence...
la série de droite se somme sans problème pour $t>0$ :$\frac{e^{-t}}{(1-e^{-t})^2}$
quantité dont la limite en 0 n'est pas finie.
L'auteur dit alors : puisque cette somme s'écrit $\frac{1}{t^2}-\frac{1}{12}+u(t)$, $u$ ayant pour limite 0 en 0, en supprimant la partie infinie (procédure de renormalisation, les grandeurs physiques devant être finies), on obtient le résultat annoncé.
Il va sans dire que l'on peut remplacer $ne^{-tn}$ par une autre expression (qui tend encore vers $n$ lorsque $t$ tend vers $0$) pour arriver à tout autre chose que $-\frac{1}{12}$
Cordialement, j__j