Specmax($C(X,\mathbb R)$

Leger · October 2016

Bonjour
Aidez-moi à résoudre cette question
Dans $A=C(X,\mathbb R)$ supposant que $I $ idéal maximal de $A \Longleftrightarrow \exists x\in X$ tel que $I=M_x=\{f\in A:f(x)=0\}$.
$Specmax(A)=\{ $ idéaux maximaux de $A\}$
Montrons que l'application $\phi$ $: Specmax(A)$ $\longrightarrow$ $X$ tel que $\phi(I)=x$ est un homéomorphisme.
Merci d'avance.

Philippe Malot · October 2016

Bonjour,
Que sont $X$ et $R$ ?

john_john · October 2016

$X$ est-il supposé compact ? Cela semble, au vu de l'équivalence annoncée...

Cordialement, j__j

Leger · October 2016

Le but de l'exercice c'est montrer que $X$ est compact.

Leger · October 2016

Par construction $\phi$ est objective.
Montrons que $\phi$ est continue.
Soit $K$ compact de $X$ on a $K=\cup _{x\in K} \{ x\}=\cup _{{M_x}\in \phi^{-1}(K)} \phi(M_x)$
Or les idéaux maximaux sont des fermés (topologie de Zariski)
$\Rightarrow M_x=V(M_x)$ on aura $K=\cup _{{M_x}\in \phi^{-1}(K)} \phi(V(M_x)=\phi(\cup_{{M_x}\in \phi^{-1}(K)} V(M_x)$
Or on sait que si $I_1,....I_n$ des idéaux d' un anneau $A$ alors $\cup_{I=1}^nV(I_i)=V(\cap_{I=1}^nI_i)$

Donc $\phi^{-1}(K)$ est un fermé

Leger · October 2016

Soit $ M \subset Specmax(A)$ fermé
On sait que $\forall I\in Specmax(A)$ $I$ est un fermé car $I=V(I)$.
$\Rightarrow M=M_x$ ou
$M=\cup_{I=1}^n M_{x_i}$ ou
$M=\cap M_{x_i}$ (intersection quelconque)
Donc $\phi(M)=\{x\}$ ou
$\phi(M)=\cup_{i=1}^n \{x_i\}$ ou
$\phi(M)=\cap \{x_i\}$
Donc $\phi^{-1} $ est continue.

GaBuZoMeu · October 2016

Que penses-tu de $X=\{0,1\}$ avec comme topologie $\{\emptyset, X, \{0\}\}$ ?
Pour tout idéal maximal $I$ de $C(X,\R)$, il existe $x\in X$ tel $I=M_x$, et tout idéal de la forme $M_x$ est maximal.
A-t-on $X$ homéomorphe au spectre maximal de $C(X,\R)$ ?

Leger · October 2016

Si$X=\{0,1\}$ alors $\forall f\in C(X,\mathbb R) \Rightarrow f$ est constante.
Parsuit $\forall x\in X$ $M_x=(0)$
Donc $\phi $ est non injective
Quelle est l'idée pour sortir de cet problème

GaBuZoMeu · October 2016

Ce n'est pas un problème d'injectivité. Plutôt de surjectivité.
En tout cas, le résultat que tu demandes dans ton premier message est faux.

Leger · October 2016

Merci M. GaBuZoMeu
Mais mon prof dit $X$ compact $\Longleftrightarrow \forall I\in Specmax(A) \exists x\in X$ tel que $I=M_x$ sans démontrer rigoureusement $"\Leftarrow"$ juste il a donné une idée c'est notre application $\phi$

GaBuZoMeu · October 2016

L'exemple que j'ai donné montre que c'est faux tel que tu l'énonces. Mais ce n'est peut-être pas exactement l'énoncé donné par ton prof.
Par exemple, est-ce "il existe $x$" ou "il existe un et un seul $x$" ?
Ou a-t-on une hypothèse de séparation sur $X$ au départ ?

Leger · October 2016

Pardonnez-moi j'ai vérifié mon cours il dit qu'il existe unique $x$ mais dans le preuve de $\Rightarrow$ il a montrer l'existence ce tout sans montrer l'unicité