Montrer que x²+y²+xy=1 etc.

Que dire si $x=0$ et $y=1$ ?

D'accord.

Une méthode possible pourra être un changement de variables :
Tu pourrais noter $P=xy$ et $S=x+y$ le produit et la somme de tes variables , puis utiliser $x^2+y^2+xy=1$ pour exprimer $S^2$ en fonction de $P$ de manière à n'avoir plus à te battre qu'avec une seule variable pour établir cette inégalité.

Bon courage ! jacquot

Elle est aussi vraie pour tout couple $(x,y)$ de réels, gerard0.

Fort bien YvesM,
C'est juste dommage que tu fasses le travail à la place de Mery.
Voici un petit dessin pour gerard0.

@Gérard: comme il t'a été répondu
$$\forall (x,y)\in \R^2: x^2+xy+y^2=1 \to x^3y+xy^3\geq -2$$
est parfaitement mathématique et demander de le prouver est un exercice de math.

Autre exemple: prouver que pour tout $x\in \R: $ si
$$(x-7)^2+(x+10)^2 = 0 $$
alors
$$x\geq -1000$$

Une tradition inoffensive veut qu'un exercice demandant de prouver que $R(x,y)$ sans introduire un préambule de la forme $<<$ soit $x\in .., y\in ..>>$ peut être interprété comme prouver que $\forall x\forall y: R(x,y)$.

La signature de R (ie les symboles utilisés dans $R$) peuvent être vus comme définissant (via leur domaine***) $A,B$ tels que le correcteur sera content même si $\forall x\forall y: R(x,y)$ est remplacé par $\forall x\in A\forall y\in B: R(x,y)$

Autant il y a des abus fautifs, autant celui-ci ne l'est pas, sauf si on utilise des homonymes (ce qui est rigoureusement fautif en maths), mais dans ce cas le bug est dû à l'homonymie et non cette tradition.

@jacquot: vue la complexité du post d'Yves, je ne suis pas sûr que Mery va beaucoup avoir envie de juste "copier" :-D

[small]*** à ce propos, d'ailleurs, j'ai déjà posé la question (à l'occasion j'ouvrirai un fil pour la reposer, je signale juste qu'ici elle agit à cause de l'absence de "soit x,y", mais sans recevoir de réponse. En principe, un signe non défini partout (sur tout l'univers) est fautif et ne doit pas être utilisé. Cependant, les matheux font gros usage d'abus de langage en utilisant des fonctions partielles. J'ai toujours voulu savoir (enfin je sais qu'il n'y en pas, c'est une façon de parler) quelle est la convention choisie entre (1) et (2). Un fil récent sur la continuité a donné une préférence à (1), mais d'autre fois, j'ai vu des gens choisir (2), sans qu'il n'y ait de réelle raison de privilégier l'un plutôt que l'autre.

(2) $R(f(x))$ est une abréviation de $\exists y: (x,y)\in f\wedge R(y)$

(1) $R(f(x))$ est une abréviation de $\forall y: (x,y)\in f\Rightarrow R(y)$[/small]

:-S [small]Je n'ai fait que préciser un point sensible pour pas que Mery croit que l'exercice n'avait pas de sens (tu semblais lui dire qu'il n'en avait pas et plusieurs intervenants t'ont d'ailleurs contré avant moi). Je 'interviendrai pas plus dans le post, que je ne lirai d'ailleurs probablement pas j'avais juste vu de la fenêtre popup ta remarque, j'ai donc vérifié.

Sache aussi que pour le coup, je serais plutôt de ton avis "in fine", il serait préférable** de préambuler "soit $x\in$ , $soit y\in$". Si tu pouvais arrêter d'être aussi écorché vif.

** mais entre "préférable" et annoncer que l'exo est à boycotter il y a une distance. De plus, tu évoques l'hypothèse fausse et ça j'y suis sensible "physiquement", un gars ayant fait la même erreur a pêté les plombs et voulu me "casser la gueule", je sais donc que cette erreur est à ne pas commettre et à corriger quand quelqu'un l'envisage (tu ne l'as pas faite, mais il y a eu un sous-entendu de ta part un peu ambigu "où as-tu trouvé cet exercice" as-tu dit)[/small]