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Récréation : extension de corps sur $\Q$

Envoyé par pourexemple 
Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
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Bonsoir,

Existe-t-il un $a\in \R$ tel quel que $\Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})=\Q(a)$ ?

Bonne soirée.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
C'est ce que dit le théorème de l'élément primitif.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Le théorème est constructif ?
Si non, j'aimerais en avoir un explicite... Merci.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années

> k := RationalField() ;                                             
> kX<X> := PolynomialRing(k) ;                         
> L<r2, r3, r5> := NumberField([X^2-2, X^2-3, X^2-5] : Abs := true) ;
> s := r2 + r3 + r5 ;
> MinimalPolynomial(s) ;
X^8 - 40*X^6 + 352*X^4 - 960*X^2 + 576
> Degree(L) ;
8
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Il me semble que dans des cas comme celui-ci on peut obtenir une construction explicite.. par exemple sauf erreur $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) =\Q(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ (en effet on remarque que $1/(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ).
La question est donc ramenée à $\Q(\sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt{5})$, je te laisse trouver pour celuilà

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
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Bravo, $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$
Comment on fait à la main, on calcule, $A=\{1,a,a^2,a^3,...,a^7\}$ et on montre que cette ensemble engendre $\{\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\}\subset \text{Vect}_{\Q}(A)$.

Bonne soirée.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Ne pas confondre $[\mathbb Q(a) : \mathbb Q] \le 8$ et $[\mathbb Q(a) : \mathbb Q] \ge 8$.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Citation
pourexemple
Le théorème est constructif ?

Soit $n = 3$ si la conjecture de Goldbach est vraie, $5$ sinon.
Considérons un élément primitif de $\mathbb Q[\sqrt 2, \sqrt 5]$...
Si tu es cohérent avec tes propres propos incohérents, je vois mal comment tu pourrais prétendre que le théorème de l'élément primitif est constructif.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
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Je ne prétends rien je pose une question...
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
En plus je rappelle à notre ami, que par exemple l'axiome du choix n'est pas du tout constructif, cela n'empêche qu'il peut exister des théorèmes où l'on sait expliciter la fonction choix...

En espérant que maintenant tu comprennes.

Pourexemple.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
@pourexemple Tu as corrigé ton post après avoir lu mon dernier post ?
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
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Cher pourexemple, il n'y a pas de bornes aux limites inexistantes de ta mauvaise foi.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
@Claude : Oui.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
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Peux-tu être plus explicite, où ai-je fait preuve de mauvaise foi, manière de ne pas rester dans l'accusation gratuite ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Si $x, y$ sont algébriques sur $\Q$, on peut expliciter par un calcul de résultant (à partir de $P, Q \in \Q[X]$ unitaires séparables vérifiant $P(x) = Q(y) = 0$) un polynôme non nul $D \in \Q[X]$ tel que $\Q(x,y) = \Q(x + ty)$ pour tout $t \in \mathbb Q$ non racine de $D$. Moyennant finance. Variante : au lieu du résultant, utilisation (constructive, ah, ah) des fonctions symétriques élémentaires.

Ajout Cela remonte à Kronecker. J'arrête de faire le cachotier (puisque je n'y suis pour rien). On introduit deux indéterminées $t,Z$ (ah, Kronecker !), et on pose:
$$
\chi(t,Z) = \mathrm {Res}_X(P(X), Q(Z - tX))
$$
La lettre $\chi$ pour polynôme caractéristique ``quelque part''. Et on prend pour $D$ le discriminant en $Z$ de $\chi$. Il s'agit d'un calcul universel (polynôme caractéristique et pas polynôme minimal) qui fournit le certificat d'appartenance de $x$ à $\Q[x + ty]$. Je mets des crochets car la théorie des corps n'a pas grand chose à voir avec cette histoire puisqu'en fait, on travaille (attention je change les définitions de $x$, $y$) au dessus de :
$$
\Q[x,y] = \Q[X,Y] / \langle P(X), Q(Y)\rangle
$$
Je veux dire par là que l'on n'a pas à supposer $P,Q$ irréductibles (et même s'ils le sont, l'anneau ci-dessus n'a aucune raison d'être intègre).
On peut remplacer $\Q$ par n'importe quel corps $k$ infini.

Peut-être que Zariski-Samuel ont rapporté cette démonstration de Kronecker un peu tombée aux oubliettes ? Je vais vérifier.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
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$t$ est dans quel ensemble ?
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Raisonnablement (?), c'est pour $t \in \Q$. Mais j'ai apporté la précision et une variante.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
A noter que t=1, ne marche pas tous le temps, mais qu'il y a une infinité de valeur de $t$ pour lesquels cela marche et un nombre fini de valeurs pour lesquels cela ne marche pas, donc il me semble raisonnable en terme de calcul, de prendre un "t" quelconque, quitte à en changer si cela ne marche pas.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
J'ai apporté des précisions à mon dernier post. Oui, bien sûr, il faut dire ``pour tout $t \in \Q$ sauf pour un nombre fini, alors ..''. Histoire d'être en paix avec Kronecker.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Merci, Claude pour le partage.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Merci du partage Claude,

J'allais poser la question, est ce que les solutions sont non racines d'un certain polynôme ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Une partie finie d'un corps a tendance à être toujours l'ensemble des racines d'un polynôme à coefficients dans ce corps.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Vérification : la méthode de Kronecker (utilisation d'indéterminées) pour le théorème de l'élément primitif (dans le cadre séparable, sinon il est faux) figure bien dans le Zariski-Samuel, Commutative Algebra, Volume I. C'est très exactement le théorème 19 de la section 4 (The theorem of the primitive element), chap. II (Elements of Field Theory), p. 84.
A ma connaissance, cela ne figure pas partout.

PS : quelqu'un sait pourquoi les auteurs sont écrits dans l'ordre Zariski-Samuel et pas Samuel-Zariski ?
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
La démonstration du théorème de l'élément primitif est à moitié constructive

Tu as un corps de nombre $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)$
et tu veux montrer que $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)=\mathbb{Q}(\gamma)$ pour un certain $\gamma = \alpha+\lambda \beta$ avec $\lambda \in \mathbb{Q}^*$.

La démonstration dit qu'avec $f,g$ le polynôme minimal de $\alpha,\beta$ dans $\mathbb{Q}$, que si $\lambda$ ne marche pas alors il est de la forme $\lambda=\frac{\alpha-\alpha'}{\beta-\beta'}$ où $\alpha',\beta'$ sont d'autres racines de $f,g$
et donc qu'il suffit d'essayer $(deg(f)-1)(deg(g)-1)+1$ valeurs différentes pour $\lambda$ et qu'il y en aura forcément une qui marchera.

Et ça me fait dire que si on arrive à montrer que les racines de $f$ sont dans $|z| < R$ et que $g(z)$ n'a pas de racines dans $0 < |z-\beta| < r$ alors il suffit de prendre $\lambda > 2 R/r$



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
J'ai l'impression que certains devraient se retenir d'utiliser trop l'expression "constructive" sans la connaitre grinning smiley (Je vous suggère, reuns et PE d'utiliser peut-être le mot "concret" à la place, ou trouvez-en un zoli qui vous convient).

Encore une fois, je dis ça avec en tête la visite des fils du forum dans un an-2ans-10ans par des gens qui n'ont rien demandé et seront influencés.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Constructive veut dire "explicitement constructive" (ie sans exploiter des fonctions de choix tombées du ciel).
J'ai l'impression que tu fais référence à

h ttps://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Diaconescu
mais je peux me tromper.

NB: j'arrive pas à créer proprement le lien, le forum refuse de mettre les accents dans les URL pour une raison inconnue



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
@pe, cc, Foys, reuns (dans le désordre) J'ai fait en sorte de ne pas utiliser l'adjectif ``constructif'' en rapportant la méthode de Kronecker [[sauf à un moment donné, mais c'est pour un calcul de résultant, j'ai écrit `` ...utilisation (constructive, ah, ah) des fonctions symétriques élémentaires ...'']].

J'ai essayé de bien préciser les données : deux polynômes unitaires séparables $P, Q \in k[X]$ ($k$ est un corps infini) et surtout pas $x$, $y$. Et une construction précise (un résultant puis un discriminant). Les calculs ont lieu dans le quotient suivant (il y a 4 indéterminées au numérateur) :
$$
{k[t,Z, X, Y] \over \langle P(X), Q(Y) \rangle}
$$
Et le résultat (que je n'ai pas précisé !) est de la forme, avec $x$ la classe de $X$, $y$ la classe de $Y$ dans le quotient ci-dessus et $\chi(t,Z)$ le polynôme de mon autre post
$$
\chi'_t(t, tx+y) + x\chi'_Z(t,tx+y) = 0
$$
Tout est prêt pour exprimer $x$ en fonction de $tx + y$ [[i.e. comme fraction rationnelle en $tx+y$ à coefficients dans $k]$]] par un choix judicieux de $t \in k$. J'espère ainsi n'avoir pas trop dénaturer la méthode de Kronecker.

C'est en fait un résultat qui concerne les $k$-algèbres (commutatives de dimension finie) séparables ; plutôt qu'un résultat sur les extensions séparables de corps.

Ajout : peut-être que dans mon autre post, j'ai confondu $x+ty$ et $tx + y$, j'ai la flemme d'aller voir.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
@ClaudeQuitté Merci. En reprenant les notations de la démonstration du théorème de l'élément primitif

Ce que tu proposes c'est de calculer explicitement à partir de $f ,g \in \mathbb{Q}[X], f(\alpha)=0,g(\beta) = 0$ un polynôme $h \in \mathbb{Q}[X]$ tel que $h(\lambda) \ne 0 \implies \mathbb{Q}(\alpha+\lambda \beta) = \mathbb{Q}(\alpha,\beta)$

et donc qu'il suffit d'essayer $\lambda = 1,\ldots,N+1$ où $N=deg(h)$ pour avoir une solution.

Donc on a bien un algorithme pour construire ce qu'on voulait.

Alternativement, ma méthode tient toujours : trouver $r,R$ tel que $f(z)$ n'a pas de racine pour $|z| > R$ (facile) et $g(z)$ n'a pas de racine pour $0< |z-\beta| < r$ (un peu moins facile, mais faisable) et choisir $\lambda > 2 R/r$.


@CC : blablabla cause toujours



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Sinon en plus de "cet algorithme" avec les conjugués ça fonctionne assez bien!
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Citation Shah d'Ock :
Soit n=3 si la conjecture de Goldbach est vraie, 5 sinon.

On dirait que n=5 (cf ma signature).

Bonne journée.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
@reuns: quelle courtoisie grinning smiley

C'est aux visiteurs que tu adresses ton "bras d'honneur" pas à moi. Je ne lis pas tes posts pour mieux connaitre le mot "constructif". Par contre des gens tapent "constructif, constructivisme" sur google et tombent sur ton post.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Existe-t-il, $R\in \Q(X)$ tel que $\forall a,b \in \Q, R(a+\sqrt{2}b)=a$ ?

Bonne journée.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
@pourexemple ???

Les fonctions rationnelles à coefficients rationnels sont naturellement inclues dans les fonctions rationnelles à coefficients complexes. Et si $f \in \C(z)$ alors il existe $n \in \Z$ tel que $\lim_{|z| \to \infty} f(z)z^{-n}$ existe.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
pourexemple &eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> Existe-t-il, $R\in \Q(X)$ tel que $\forall a,b \in \Q, R(a+\sqrt{2}b)=a$ ?

Bof. En particulier, pour tout $a\in \Q$, $R(a)=a$ et donc $R=X$. Ce qui entraîne $R(\sqrt2)\neq 0$.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
@GaBuZoMeu : Bravo.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Que ta question est assez foireuse : la réponse est évidemment non. Mais peut-être l'as-tu posée sans trop réfléchir.

P.S. Fidèle à son habitude, pourexemple a modifié son message en effaçant le message initial auquel je répondais et qui était "Et tu en déduis quoi ?".



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par GaBuZoMeu.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Qu'il n'y en a pas.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Ok, existe-t-il une telle fonction $R : \R \rightarrow \R$ continue en au moins un point.

PS1 : le message que j'ai éditer s'adresser à Reuns.
PS2 : @GaBuZoMeu : il s'agit de récréations mathématiques...



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Moi, j'ai bien une petite question .. qui s'éloigne du sujet initial (mais est ce que l'on ne vient pas de s'en éloigner à l'instant ?). Cette petite question semble anodine mais à mon avis, la réponse n'est pas simple : pourquoi pourexemple poste-t-il (parfois) ce qui lui passe aussitôt par la tête ?
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Citation

le message que j'ai éditer s'adresser à Reuns.
Comment avoir un discours mathématique cohérent quand on a une syntaxe aussi incohérente ?
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
@Claude : peut-être pour alimenter ce fil : [www.les-mathematiques.net] ?

PS : en général, quand je pose une question, je pense en avoir une réponse, sinon je le précise.

Bonne journée.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
``Une fonction $\R \to \R$ continue en au moins un point'' : je le comprends comme une fonction pour laquelle il existe au moins un point en lequel elle est continue. J'ai tort ? Par exemple, la fonction constante (par exemple la constante 1951), elle est continue en au moins un point. Je comprends rien de rien ?
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Oui, mais il faut, aussi, que $R$ vérifie $$\forall a,b\in\Q, R(a+\sqrt{2}b)=a$$
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
@pourexemple
Je ne regarde jamais (ou presque), en tout cas je ne participe pas, le fil ``Il est facile de, la preuve''. Pourquoi ? Parce ce que.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Ok.

Bonne journée.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Je mets la question complète :

énoncé 133 : continuité et extension de corps
Existe-t-il une fonction $R$ de $\R$ dans lui même continue en au moins un point tel que :

$$\forall a,b\in\Q, R(a+\sqrt{2}b)=a$$

Bonne journée.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Quelle est l’intérêt de cette question :

1/Dans le cas ou la réponse serait non : donc la fonction $R$ n'appartient pas, à l'ensemble minimale contenant les constantes, les fonctions racines, puissances, partie entière (et donc avec la fonction reste de la division euclidienne, pgcd...) et stable par combinaisons linéaires et géométriques finis, ainsi que par compositions... ($R$ ne serait pas récursives primitives)


2/Dans le cas ou la réponse est oui, cela à peu d’intérêt.

PS : je pense que la réponse n'a pas peu d’intérêt...



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
N'importe quoi. Si tu veux nous convaincre d'arrêter de lire tes posts, t'es sur la bonne voie.

Autrement, qu'as-tu essayé ?

Et une fonction $R$ de $\R$ dans $r$ tu as le droit de faire des efforts pour les notations



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Je pense qu'il y a méprise, cela n'est absolument pas un énoncé que je dois résoudre (car je pense savoir le résoudre), mais que je propose à votre sagacité.

Bonne journée.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
énoncé 133. Il n'existe pas de telle fonction $R$.
En effet, soit une fonction $R$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ telle que : $\forall a\in \mathbb Q,\forall b\in \mathbb Q,R(a+b\sqrt{2})=a$.
Supposons que $R$ soit continue au point $u \in \mathbb R$.
Il existe une suite $a_n \in \mathbb Q$ telle que $a_{n} \rightarrow u$. D'où : $R(u)=u$.
Il existe une suite $b_n \in \mathbb Q$ telle que $b_{n}\sqrt{2}\rightarrow u$. D'où : $R(u)=0$.
Par suite : $u=0$. La fonction $R$ est donc continue en $0$.
Soient les entiers $c_n$ et $d_n$ définis par : $c_{n}+d_{n}\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{n}$. On a : $c_{n}-d_{n}\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^{n}$, qui a pour limite $0$.
D'où : $c_{n}=R(c_{n}-d_{n}\sqrt{2}) \rightarrow R(0)=0$. Or il est clair que $c_{n}\rightarrow +\infty $.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
NB Et s'il te plaît, écris :
Si vous aimez les casse-tête niveau agreg, pas classiques du tout, c'est ici...
Merci.
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