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Récréation : extension de corps sur $\Q$

Envoyé par pourexemple 
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
énoncé 133. Autre rédaction.
Une fonction $R$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, telle que : $\forall a\in \mathbb Q,\forall b\in \mathbb Q,R(a+b\sqrt{2})=a$, n'est ni majorée ni minorée sur aucun intervalle de $\mathbb R$.
Démonstration. Soit $u \in \mathbb R$. Il existe une suite $a_n \in \mathbb Q$ telle que $a_{n} \rightarrow u$ ; cette suite $a_n $ est bien sûr bornée.
Soient les entiers $c_n$ et $d_n$ définis par : $c_{n}+d_{n}\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{n}$, d'où : $c_{n}\rightarrow +\infty $. On a : $c_{n}-d_{n}\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^{n}$, qui a pour limite $0$.
La suite $x_{n}=a_{n}+c_{n}-d_{n}\sqrt{2}$ a pour limite $u$, et $R(x_{n})=a_{n}+c_{n}\rightarrow +\infty $.
La suite $y_{n}=a_{n}-c_{n}+d_{n}\sqrt{2}$ a aussi pour limite $u$, et $R(y_{n})=a_{n}-c_{n}\rightarrow -\infty $.

La nuit porte conseil. Bonne journée. Courage pour les pairs parisiens et proches.
Fr. Ch.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Chaurien.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Bonjour,

@Chaurien : Bravo.

énoncé 135 : Question : extension de corps et calculabilité
Soit $f : \Q(\sqrt{2}) \rightarrow \Q$ tel que $\forall a,b\in\Q, f(a+b\sqrt{2})=a$
a/$f$ est-il une fonction que l'on peut construire à l'aide des fonctions constantes (sur $\Q(\sqrt{2}$)), les opérations classiques sur un corps, la fonction partie entière, l'identité ou des compositions finis de ces fonctions ?
b/$f$ est-il une fonction incalculable (en utilisant comme opérations de base, les opérations classiques sur les corps) ?

PS : les casse-tête(s) niveaux agreg, non ?

Bonne journée.



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
Bonjour

Pour ma part, j'ai pensé à l'algorithme de Pisot pour "constructiviser"(je fuis le débat) le polynôme annulateur d'une somme de nombres algébriques



[www.les-mathematiques.net]

Il y a aussi les théorèmes de Isaacs qui sont intéressants pour évaluer son degré

perso.ens-lyon.fr/francois.brunault/recherche/isaacs.pdf

Bien à vous.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Bonjour,

@Gilderetz : Tu réponds à quelle question ?

Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Je précise que l'on parle des fonctions qui sont définies sur $\Q(\sqrt{2})$ entier, dans le a/ comme dans le b/.

Bonne journée.
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