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Récréation : extension de corps sur $\Q$

Envoyé par pourexemple 
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
06 dcembre 2016, 14:13
avatar
@Claude : peut-être pour alimenter ce fil : [www.les-mathematiques.net] ?

PS : en général, quand je pose une question, je pense en avoir une réponse, sinon je le précise.

Bonne journée.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
06 dcembre 2016, 14:16
``Une fonction $\R \to \R$ continue en au moins un point'' : je le comprends comme une fonction pour laquelle il existe au moins un point en lequel elle est continue. J'ai tort ? Par exemple, la fonction constante (par exemple la constante 1951), elle est continue en au moins un point. Je comprends rien de rien ?
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
06 dcembre 2016, 14:18
avatar
Oui, mais il faut, aussi, que $R$ vérifie $$\forall a,b\in\Q, R(a+\sqrt{2}b)=a$$
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
06 dcembre 2016, 14:19
@pourexemple
Je ne regarde jamais (ou presque), en tout cas je ne participe pas, le fil ``Il est facile de, la preuve''. Pourquoi ? Parce ce que.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
06 dcembre 2016, 14:23
avatar
Ok.

Bonne journée.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
06 dcembre 2016, 14:31
avatar
Je mets la question complète :

énoncé 133 : continuité et extension de corps
Existe-t-il une fonction $R$ de $\R$ dans lui même continue en au moins un point tel que :

$$\forall a,b\in\Q, R(a+\sqrt{2}b)=a$$

Bonne journée.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 06/12/2016 15:16 par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
06 dcembre 2016, 15:37
avatar
Quelle est l’intérêt de cette question :

1/Dans le cas ou la réponse serait non : donc la fonction $R$ n'appartient pas, à l'ensemble minimale contenant les constantes, les fonctions racines, puissances, partie entière (et donc avec la fonction reste de la division euclidienne, pgcd...) et stable par combinaisons linéaires et géométriques finis, ainsi que par compositions... ($R$ ne serait pas récursives primitives)


2/Dans le cas ou la réponse est oui, cela à peu d’intérêt.

PS : je pense que la réponse n'a pas peu d’intérêt...



Modifié 3 fois. Dernière modification le 07/12/2016 08:07 par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
06 dcembre 2016, 15:37
N'importe quoi. Si tu veux nous convaincre d'arrêter de lire tes posts, t'es sur la bonne voie.

Autrement, qu'as-tu essayé ?

Et une fonction $R$ de $\R$ dans $r$ tu as le droit de faire des efforts pour les notations



Modifié 3 fois. Dernière modification le 06/12/2016 15:40 par reuns.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
06 dcembre 2016, 15:41
avatar
Je pense qu'il y a méprise, cela n'est absolument pas un énoncé que je dois résoudre (car je pense savoir le résoudre), mais que je propose à votre sagacité.

Bonne journée.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
07 dcembre 2016, 02:41
avatar
énoncé 133. Il n'existe pas de telle fonction $R$.
En effet, soit une fonction $R$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ telle que : $\forall a\in \mathbb Q,\forall b\in \mathbb Q,R(a+b\sqrt{2})=a$.
Supposons que $R$ soit continue au point $u \in \mathbb R$.
Il existe une suite $a_n \in \mathbb Q$ telle que $a_{n} \rightarrow u$. D'où : $R(u)=u$.
Il existe une suite $b_n \in \mathbb Q$ telle que $b_{n}\sqrt{2}\rightarrow u$. D'où : $R(u)=0$.
Par suite : $u=0$. La fonction $R$ est donc continue en $0$.
Soient les entiers $c_n$ et $d_n$ définis par : $c_{n}+d_{n}\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{n}$. On a : $c_{n}-d_{n}\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^{n}$, qui a pour limite $0$.
D'où : $c_{n}=R(c_{n}-d_{n}\sqrt{2}) \rightarrow R(0)=0$. Or il est clair que $c_{n}\rightarrow +\infty $.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
NB Et s'il te plaît, écris :
Si vous aimez les casse-tête niveau agreg, pas classiques du tout, c'est ici...
Merci.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
07 dcembre 2016, 06:54
avatar
énoncé 133. Autre rédaction.
Une fonction $R$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, telle que : $\forall a\in \mathbb Q,\forall b\in \mathbb Q,R(a+b\sqrt{2})=a$, n'est ni majorée ni minorée sur aucun intervalle de $\mathbb R$.
Démonstration. Soit $u \in \mathbb R$. Il existe une suite $a_n \in \mathbb Q$ telle que $a_{n} \rightarrow u$ ; cette suite $a_n $ est bien sûr bornée.
Soient les entiers $c_n$ et $d_n$ définis par : $c_{n}+d_{n}\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{n}$, d'où : $c_{n}\rightarrow +\infty $. On a : $c_{n}-d_{n}\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^{n}$, qui a pour limite $0$.
La suite $x_{n}=a_{n}+c_{n}-d_{n}\sqrt{2}$ a pour limite $u$, et $R(x_{n})=a_{n}+c_{n}\rightarrow +\infty $.
La suite $y_{n}=a_{n}-c_{n}+d_{n}\sqrt{2}$ a aussi pour limite $u$, et $R(y_{n})=a_{n}-c_{n}\rightarrow -\infty $.

La nuit porte conseil. Bonne journée. Courage pour les pairs parisiens et proches.
Fr. Ch.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 07/12/2016 07:15 par Chaurien.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
07 dcembre 2016, 07:39
avatar
Bonjour,

@Chaurien : Bravo.

énoncé 135 : Question : extension de corps et calculabilité
Soit $f : \Q(\sqrt{2}) \rightarrow \Q$ tel que $\forall a,b\in\Q, f(a+b\sqrt{2})=a$
a/$f$ est-il une fonction que l'on peut construire à l'aide des fonctions constantes (sur $\Q(\sqrt{2}$)), les opérations classiques sur un corps, la fonction partie entière, l'identité ou des compositions finis de ces fonctions ?
b/$f$ est-il une fonction incalculable (en utilisant comme opérations de base, les opérations classiques sur les corps) ?

PS : les casse-tête(s) niveaux agreg, non ?

Bonne journée.



Modifié 6 fois. Dernière modification le 29/12/2016 20:48 par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
12 dcembre 2016, 01:42
Bonjour

Pour ma part, j'ai pensé à l'algorithme de Pisot pour "constructiviser"(je fuis le débat) le polynôme annulateur d'une somme de nombres algébriques



[www.les-mathematiques.net]

Il y a aussi les théorèmes de Isaacs qui sont intéressants pour évaluer son degré

perso.ens-lyon.fr/francois.brunault/recherche/isaacs.pdf

Bien à vous.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
13 dcembre 2016, 14:56
avatar
Bonjour,

@Gilderetz : Tu réponds à quelle question ?

Bonne journée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/12/2016 14:57 par pourexemple.
Re: Récréation : extension de corps sur $\Q$
24 dcembre 2016, 11:33
avatar
Bonjour,

Je précise que l'on parle des fonctions qui sont définies sur $\Q(\sqrt{2})$ entier, dans le a/ comme dans le b/.

Bonne journée.
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