À propos de : $xRy\Leftrightarrow f(x)=f(y)$

Bonjour,

Que se passe-t-il si $f$ est constante ?

Bonjour,

De mon boulot :

Selon Saint Bourbaki : Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $E$. La relation $\mathscr{R}_f$ sur $E$ définie par
\[x\in{E}\text{ et }y\in{E}\text{ et }f(x)=f(y)\]
est une relation d'équivalence dite associée à $f$. Ensuite, le collectif poursuit en précisant que toute relation d'équivalence $\mathscr{R}$ dans un ensemble $E$ est de ce type. En effet, si $p:E\to{E/\mathscr{R}}$ est l'application canonique, alors
\[(\forall\,x)(\forall\,y)\left(\mathscr{R}(x,\,y)\Leftrightarrow{x\in{E}\text{ et }y\in{E}\text{ et }p(x)=p(y)}\right)\]
Cordialement,

Thierry Poma

La question posée en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1366396,1366396#msg-1366396

est assez claire et la réponse est évidemment non.

Y a-t-il besoin de la reformuler?

Pour la "reformulation" la réponse est oui (et pas non), par contre je crains qu'on ait besoin de l'axiome du choix (car il veut $f$ de $X$ dans lui-même).

Si $R$ est une relation d'équivalence sur $X$, on peut choisir $Y\subseteq X$ un système de représentant des classes d'équivalence de $R$. C'est à dire que pour tout $x\in X$ il existe exactement un $y\in Y$ tel que $xRy$. (application directe de l'axiome du choix).

Il suffit alors de prendre $f\colon X\to X$ qui à $x\in X$ associe l'unique $y\in X$ tel que $xRy$.