racine niéme

@fzm
Cela dépend de ton niveau. Si tu connais un zeste de théorie des corps, mais vraiment quelque chose de minimaliste (à préciser) sur le sujet, alors on peut obtenir que les seules racines $n$-èmes de l'unité (pour $n$ variable) contenues dans $\mathbb Q(i) = \mathbb Q + i\mathbb Q$, sont $\pm 1, \pm i$. Et donc tu seras tranquille avec ce type de questions. Par exemple
$$
{12 + 5i \over 13} \quad \hbox {est un nombre complexe de module 1 puisque $13^2 = 12^2 + 5^2$ mais ce n'est pas ...etc...}
$$

Bonjour

Si on ne sait rien, on peut toujours faire un calcul .

1) on a pour tout n (4+3i)ⁿ = (4+3i) + 3.(U_n + V_n)
2) Cela définit 2 suites d'entiers relatifs U_n et V_n
3) Comme on veut que la partie imaginaire de (4+3i)ⁿ s'annule pour un certain K, il faut que V_K = -1 (condition nécessaire)

4) On a la relation de récurrence pour U_n et V_n et U₂ = 1 et V₂ = 7 donc on peut essayer de montrer que V_n ne peut jamais être égal à -1 .

Edit : J'ai posté sans avoir vu le post de MrJ qui dit la même chose d'une manière un peu différente .

Ma phrase n'était pas clair : le pgcd s'écrit $5^n$ avec $n\in\N$, donc $1=5^0$ est une possibilité.

Malheureusement, je viens de voir que je suis allé trop vite pour conclure. Même si la méthode doit marcher, il faut la présenter différemment.

La solution de AP me semble la plus simple.

C'est à la preuve de AP que je pensais et que je n'ai pas développée ne connaissant pas le niveau du questionneur. Avantage : elle est valide pour tout $a+ib \in \Q(i)$ :
$$
\big(X - (a+ib)\big) \big(X - (a-ib)\big) = X^2 - 2a X + (a^2 + b^2)
$$
D'où algébricité de $a+ib$ sur $\mathbb Q$ de degré $\le 2$. Mais ensuite, et c'est cela qui nécessite quand même un peu de connaissances, l'hypothèse dit que $a+ib$ est racine d'un certain polynôme cyclotomique $\Phi_n(X)$ qui est irréductible sur $\mathbb Q$. D'où $\varphi(n) \le 2$ (indicateur d'Euler). Ce qui bloque $n$ en $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ et il faut travailler encore un peu pour achever la chose.

Autre avantage : elle est valide sur tout corps de nombres $K$, au sens où elle montre que $K$ ne contient qu'un nombre fini de racines de l'unité. On a besoin de l'inégalité (grossière) :
$$
N \le 2\varphi(N)^2
$$
Et en fait, mais je m'éloigne de plus en plus de la question, une extension de type fini de $\Q$ ne contient qu'un nombre fini de racines de l'unité.

Merci verdurin pour ce complément : je ne trouvais pas comment conclure facilement. :-)

Bonjour à tous,

C'est un très chouette exercice, en effet !!

Peut-être une réécriture d'une preuve précédente: Si $(a,b,c)\in\mathbb{N}^3$ tel que $a^2+b^2=c^2$ et $abc\neq 0$.

On considère un $p\in\mathbb{P}\setminus\{2\}$ un nombre premier impair divisant $c$ et pas $a$, ni $b$.

On note comme précédemment $\left(\frac{a}{c}+i\frac{b}{c}\right)^n=\frac{1}{c^n}(x_n+iy_n)$, où les $x_n$ et $y_n$ sont des entiers.

On a alors la relation de récurrence: $x_0=1$, $y_0=0$ et :
\[\left(\begin{array}{c} x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} a & -b\\ b & a\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} x_n\\ y_n\end{array}\right).\]

La matrice est de déterminant $a^2+b^2=c^2\equiv 0\pmod{p}$. Ainsi dans $\mathbb{F}_p$, cette matrice est de rang $1$, en effet:
\[\left(\begin{array}{c} -b\\ a\end{array}\right)=
\frac{1}{b}
\left(\begin{array}{c} a^2\\ ab\end{array}\right)=
\frac{a}{b}
\left(\begin{array}{c} a\\ b\end{array}\right),\]
et
\[\left(\begin{array}{cc} a & -b\\ b & a\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} a\\ b\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c} a^2-b^2\\ 2ab\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c} 2a^2\\ 2ab\end{array}\right)
=(2a)\left(\begin{array}{c} a\\ b\end{array}\right).\]

Ainsi on a par récurrence que pour $n\geq 1$:
\[\left(\begin{array}{c} x_n\\ y_n\end{array}\right)=(2a)^{n-1}\left(\begin{array}{c} a\\ b\end{array}\right).\]
Et donc que $y_n$ n'est jamais nul modulo $p$ et donc jamais nul non plus !!. Ce qui implique qu'on ait jamais $u^n=1$.

Bonne nuit à tous,

Le p'tit bonhomme