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congruence de Noël

Envoyé par fluorhydrique 
congruence de Noël
il y a trois années
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EDIT ERREUR SUR LE PREMIER

ERREUR VU PAR DEPASSE


j'avais écrit $b\in \mathbb {N}^*$

Bonjour (oui mais aujourd'hui alors et pas hier )

je propose un petit exo de noël sur les congruences

comme je donne la solution ici, offre-le en cadeau pour noël

la démo est très courte, (cinq lignes environ)

________________

Dans ce qui suit les crochets [...] désignent partie entière de ...

Déterminer l'ensemble $E$ des couples $(m,n)\in \mathbb {N}^*\times \mathbb {N}^*$ tels que :

$m-\begin {pmatrix}n-m\begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix} \end {pmatrix}\begin {bmatrix}\frac {m}{n-m\begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix} }\end {bmatrix}=0 $

Solution

$E=\{(m,n)|a \in \mathbb {N},b\in \mathbb {N}-\{0,1\},c\in \mathbb {N}^*,m=b.c,n=a.b.c+c \}$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par fluorhydrique.
Re: congruence de noël
il y a trois années
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j'ai oublié de préciser que par ce titre j'entend que la démo utilise les congruences mais on est pas obligé de dire que ça parle de ça...

si on en parle pas c'est mieux...donc à faire en cinq lignes

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: congruence de noël
il y a trois années
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un autre sympa avec une démo en vingt lignes

ici on notera [...] pour partie entiere de ... et {...} pour partie fractionnaire de ...

là encore ne pas dire que ça se résout avec des congruences

__________

Considérant $l,m,n$ trois entiers naturels non nuls tels que

$0<m<n$

$\frac {n}{m}> \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix} $

$\frac {m}{n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix} }> \begin {bmatrix}\frac {m}{n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix} } \end {bmatrix} $

$1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix} } \end {bmatrix} <l$

Démontrer que (attention au signe négatif précédent la sommation de parties fractionnaire)

$\sum _{u=1}^{l}\begin {bmatrix} \frac {un}{m} \end {bmatrix}=\begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac { n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix} }{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix}-\sum _{u=1}^{l}\begin {Bmatrix}\frac {u \begin {pmatrix} n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix} \end {pmatrix} }{m}\end {Bmatrix}$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: congruence de noël
il y a trois années
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Bonjour,

Veux-tu quelques conseils de technique amical, pour arriver à donner ton cadeaux, plus largement ?

Bonne journée.
Re: congruence de noël
il y a trois années
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Bonjour et merci pourexemple

pourquoi pas pourexemple...

ceci dit ce fil est consultable (le lire c'est le donner)

Bonne journée à toi

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: congruence de noël
il y a trois années
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Ce n'est pas parce qu'il est consultable qu'il va être lu.

Bon bref, critère de beauté sur un énoncé :

1/-plus il est court mieux c'est.
2/-plus il est compris mieux c'est.
3/-plus l'énoncé est étonnant mieux c'est.
4/-plus l'énoncé n'est pas immédiat, à résoudre, mieux c'est.
5/-plus la réponse est courte mieux c'est.

Pour le point 1/, essaie de voir en quoi tu réponds à la dernière question que pose Al-Kashi, et donne cette forme à ton énoncé, si tu y arrives, alors tu auras rempli les autres points (et ainsi pour le point 5/ on te ne t'en tiendra pas rigueur) et je pense qu'il y aura foule pour vérifier que derrière le papier cadeau il y a bien un cadeau.

Bonne continuation.
Re: congruence de noël
il y a trois années
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merci pour exemple

après si on raccourci une solution en enlevant des termes d'une équation elle sera fausse

sinon oui j'ai la "formulation générale"

mais il faut signaler que cette "formulation generale" (sans l'emploi du symbole sigma) des sommation entieres naturelles

se subdivise en plusieurs cas distincts (dont six cas triviaux)

(toutes sans le symbole sigma)

à propos la sommation donnée avec 20017

temps mis par une machine t-nspire qui emploie le symbole sigma : 25 secondes

temps mis avec mes formules : moins de une seconde

bon à plus camarade pour exemple et encore merci : le but n'est que celui qui veut le prendre le prenne

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: congruence de noël
il y a trois années
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Citation Fluo :
le but n'est que celui qui veut le prendre le prenne

Non, Fluo, il ne s'agit pas de cela mais plus : que celui qui veut la réponse la trouve ou la demande.

Bonne journée.
Re: congruence de noël
il y a trois années
Bonsoir,

Citation
fluorhydrique
Déterminer l'ensemble $E$ des couples $(m,n)\in
\mathbb {N}^*\times \mathbb {N}^*$ tels que :

$m-\begin {pmatrix}n-m\begin {bmatrix}\frac
{n}{m}\end {bmatrix} \end {pmatrix}\begin
{bmatrix}\frac {m}{n-m\begin {bmatrix}\frac
{n}{m}\end {bmatrix} }\end {bmatrix}=0 $

Solution

$E=\{(m,n)|a \in \mathbb {N},b\in \mathbb
{N}^*,c\in \mathbb {N}^*,m=b.c,n=a.b.c+c \}$

$(3,3)$ est dans $E$ mais n'est pas solution de ton équation. winking smiley
Re: congruence de noël
il y a trois années
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merci Depasse

oui division par zero

heureusement que pour mon truc que j'ai besoin $n>m$

ce matin j'ai voulu faire ce truc là en généralisant (car pour moi seul compte que n>m voir topic sur 20017) mais j'ai pas vu ce bordel là

ma démo de ce truc là est mal faite (en fait je l'ai fait ce matin mais pas plusieurs fois) mais bon ma demo de mon truc c'est bon (mille fois vérifié)

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Re: congruence de Noël
il y a trois années
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Citation Fluo :
ma démo de ce truc là est mal faite (en fait je l'ai fait ce matin mais pas plusieurs fois) mais bon ma demo de mon truc c'est bon (mille fois vérifié)

Je t'informe que tu es définitivement illogique.

En effet il ne faut pas confondre ce truc avec ton truc, qui est quand même ton truc... grinning smiley
Re: congruence de Noël
il y a trois années
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lol

c'est pas la première fois que je me plante

bon ceci dit je jure que j'ai fais ça ce matin : cette généralisation à la con d'un autre truc bon

je voulais parler de ça mais sans avoir l'air d'en parler et vous faire passer ça pour un cadeau de "noël"

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Re: congruence de Noël
il y a trois années
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Citation Fluo :
c'est pas la première fois que je me plante

C'est le lot de toutes illogiques dans un monde que l'on veut nous vendre comme logique.
Après, il paraît qu'apparaît l'âge de la médaille, soit cela s'arrange définitivement, soit cela s'aggrave définitivement.

As-tu dépassé l'âge de la médaille ?
Re: congruence de Noël
il y a trois années
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oui largement ...je suis vieux ...j'ai 50 ans là

mais bon ça marche si n>m c'est pour les sommes.bidules.. ce matin j'aurai mieux fait de me la taire ceci dit...

ça m'apprendra à la fermer

bon à plus les camarades

EDIT : "de me la taire" et non "ma taire"

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Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: congruence de Noël
il y a trois années
à fluorhydrique,

le travail tue et je te souhaite donc une précoce retraite. Si c'est Fion, tu auras mon âge quand tu la prendras si t'es pas mort avant vu que t'es déjà vieux. A toi de voter.

Sauf erreur, ta solution est correcte à condition de remplacer ton $b\in \mathbb{N^*} $ par $b\in \mathbb{N}_ {\geq 2}$.
Re: congruence de Noël
il y a trois années
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Bonsoir Depasse

Vieux ne signifie pas que je meure...

Je vivrai toujours vu que si je meurs un jour , ce moment là précis de ma mort je ne le saurai pas car quand on est mort on ne sait rien

c'est logique

oui je sais des conneries en maths j'en fais des tonnes (tiens pas plus tard que ce matin)

mais là c'est imparable ma logique

Bonne soirée les camarades

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Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: congruence de Noël
il y a trois années
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bonjour

oui c'est ça Depasse il faut que b soit supérieur à 1

il faut que b ne divise pas ab+1

(dans les sommations il fallait que m ne divise pas n donc ça ne change rien )

je viens de signaler ce que tu as vu en éditant le premier post

je poste la démo du premier (ça m'apprendra à dire des conneries)

démo

posons $c=n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m}\end {bmatrix}$

alors $m-c\begin {bmatrix} \frac {m}{c}\end {bmatrix}=0$ par conséquent $c|m$

on peut à priori écrire m=bc avec $b\in \mathbb {N}^*$ et $c\in \mathbb {N}^*$

par ailleurs $n=c+m\begin {bmatrix} \frac {n}{m}\end {bmatrix}$ donc $n=c(mod,m) $

et donc écrire $n=abc+c$ avec $a\in \mathbb {N}$

mais d'autre part il faut aussi que $ n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m}\end {bmatrix}\neq 0$

et que donc m ne divise pas n

$\frac {abc+c}{bc}>\begin {bmatrix}\frac {abc+c}{bc} \end {bmatrix}$

et donc $\frac {ab+1}{b}>\begin {bmatrix}\frac {ab+1}{b} \end {bmatrix}$

et donc $a+\frac {1}{b}>\begin {bmatrix}a+\frac {1}{b} \end {bmatrix}=a+\begin {bmatrix}\frac {1}{b} \end {bmatrix}$

seul si b=1 alors $a+\frac {1}{b}=\begin {bmatrix}a+\frac {1}{b} \end {bmatrix}=a+\begin {bmatrix}\frac {1}{b} \end {bmatrix}$

de sorte que il faut en plus que $b\in \mathbb {N}-\{0,1\}$

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Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: congruence de Noël
il y a trois années
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Bonjour et encore merci Depasse

pour explication de mon erreur (c'est pas une excuse mais j'explique le pourquoi comme ça la prochaine fois je ferai mieux attention )

dans l'énoncé avec la sommation

m ne divise pas n est une condition posée (on a pas à le vérifier puisque c'est posé)

tandis que dans le premier énoncé m ne doit pas diviser n et on doit le vérifier

et moi hier je m'en fichais j'ai bêtement pris pour acquis que m ne divise pas n d'où mon erreur

et si je m'en fichais c'est que j'avais besoin de construire ce genre d'ensemble afin de prendre des couples (m,n)

mais sachant que ceux qui seront sélectionnés dans mon programme sont ceux tels que m ne divise pas n et tels que n>m

voilà l'explication de ma connerie

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Re: congruence de noël
il y a trois années
Bonjour,

Merci pour ton merci;

Sauf erreur, ta première parenthèse me semble être tout simplement $\frac{n}{m}$. Peut-être est-ce une typo.

Citation
fluorhydrique
$\sum _{u=1}^{l}\begin {bmatrix} \frac {un}{m}
\end {bmatrix}=\begin {pmatrix} \begin
{bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {
n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix}
}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac
{ l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix}-\sum
_{u=1}^{l}\begin {Bmatrix}\frac {u \begin
{pmatrix} n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end
{bmatrix} \end {pmatrix} }{m}\end
{Bmatrix}$
Re: congruence de noël
il y a trois années
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Bonjour Depasse

non c'est sympa que tu ai vu l'embrouille : vraiment merci et à sens unique

sinon pour te répondre là

non j'ai bien ça sur mes papiers et (ma demo)

le produit des deux expressions

cette expression là $ \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac { n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix} }{m} $

et cette expression là $\frac { l^2+l }{ 2 }$

j'entoure chacune des expressions par des parenthèses courbes pour les mettre en produit (...).(...)

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Re: congruence de noël
il y a trois années
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ok c'est kif kif ça reviens au même

dire ce que j'ecris ou dire ça c'est pareil

mais bon pour ma démo j'ai tout compliqué

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Re: congruence de noël
il y a trois années
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je répond plus complètement à ta question Depasse (re bonjour)

en fait j'ai tout compliqué Depasse

$ \frac {n}{m}= \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac { n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix} }{m} $

bref ça reviens au même

EDIT ... il fallait que je complique pour faire ma demo ... et apres j'ai tout simplement recopié mon resultat sans le simplifier

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Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: congruence de noël
il y a trois années
Ah bon!
Alors c'est une blague qui se résume à: comment écrire de la façon la plus tordue possible que la somme des $l+1$ premiers entiers est $l(l+1)/2$angry smiley
Re: congruence de noël
il y a trois années
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non désolé Depasse ...

franchement pour ma démo j'ai tout compliqué

elle est sorti comme ça ... donc du coup

au lieu d'écrire

pour partie entière j'utilise la notation [...]

ci-dessous $l,m,n$ tous dans $\mathbb {N}^*$ tels que

$0<m<n$
$\frac {n}{m}>\begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix}$
$r=n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix}$
$\frac {m}{r}>\begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$
$u_0=1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$
$u_0<l$
alors en posant

$v=1+ \begin {bmatrix}\frac {lr}{m}\end {bmatrix}$
$t=u_{v-2}$

selon pour tout $i\in \mathbb {N}$ alors

-lorsque $\frac {(i+1)m}{r}= \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$ on obtiens $u_i= \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$

-lorsque $\frac {(i+1)m}{r}> \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$ on obtiens $u_i=1+ \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$

donc comme je viens de le dire $u_0=1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$

et en posant pour tout $ i\in \mathbb {N}^*$ alors $h_i$ selon

$h_1=u_0$

et pour tout $ i>1$ alors $h_i=u_{i-1}-u_{i-2}$

________________________________

On vérifie

-lorsque $v=4$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +3(l-t+1)+\frac {r}{2m}(t-l-1)(l+t)+.... $
suite $...+\frac {ru_0^2 }{2m }+\frac {rt }{2m } -\frac {rtu_0 }{m } - \frac {rh_2h_3 }{ m } -\frac {rh_2^2 }{2m } -\frac { rh_3^2 }{ 2m }+h_2+2h_3$

-lorsque $v\geq 5$ est impair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+\frac {3v}{2}-\frac {v^2}{4} +2t-h_2-\frac {9}{4}$

-lorsque $v\geq 6$ est pair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+2t-h_2+2v-\frac {v^2}{4}-4$

autant écrire

-lorsque $v=4$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \frac {n }{m } \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +3(l-t+1)+\frac {r}{2m}(t-l-1)(l+t)+.... $
suite $...+\frac {ru_0^2 }{2m }+\frac {rt }{2m } -\frac {rtu_0 }{m } - \frac {rh_2h_3 }{ m } -\frac {rh_2^2 }{2m } -\frac { rh_3^2 }{ 2m }+h_2+2h_3$

-lorsque $v\geq 5$ est impair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \frac {n }{m } \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+\frac {3v}{2}-\frac {v^2}{4} +2t-h_2-\frac {9}{4}$

-lorsque $v\geq 6$ est pair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \frac {n }{m } \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+2t-h_2+2v-\frac {v^2}{4}-4$

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Re: congruence de noël
il y a trois années
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EDIT j'ai mis les crochets devant le sigma

re-bonjour camarade Depasse

et merci d'avoir vu la simplification

dans les conditions données ci-dessus v est toujours un entier naturel supérieur à 1

là encore on peut simplifier pour les formules avec v=2 et v=3

ça donne (après simplification )

par contre pour les six cas triviaux dont j'ai parlé plus haut -il faudra aussi que je les écrive ici - on ne peut pas les simplifier car ce qui a été vu par Depasse ici n'entre pas dans ces formules là

_____________________
pour $v=2$

$\sum _{u=1}^{l}\begin {bmatrix}\frac {un}{m}\end {bmatrix}= \frac {n }{m } \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} -\frac {ru_0(u_0-1)}{2m}+\frac {r}{2m}(t-l-1)(l+t)+l-t+1$

___________________
pour $v=3$

$\sum _{u=1}^{l}\begin {bmatrix}\frac {un}{m}\end {bmatrix}= \frac {n }{m } \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} -\frac {ru_0(u_0-1)}{2m}+\frac {r}{2m}(t-l-1)(l+t)+2(l-t+1)+h_2\begin {pmatrix}1-\frac {ru_1}{m}+\frac {r}{2m}(1+h_2)\end {pmatrix}$

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Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: congruence de noël
il y a trois années
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salut Depasse

je viens de modifier l'erreur typographique devant les sigmas pour v=2 et v=3

il s'agit de crochets (partie en tiere) et non de parenthèses

bon là je part bonne journée camarade (j'ai plus de temps libre là _ )

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Re: congruence de Noël
il y a trois années
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Bonjour,

Citation Depasse :
Alors c'est une blague qui se résume à : comment écrire de la façon la plus tordue possible...

Je n'ai pas l'impression que les maths modernes fassent autre chose...

Bonne journée.
Re: congruence de noël
il y a trois années
Bonjour fluorhydrique,

Quand j'ai parlé de blague, c'était à propos de ton seul troisième message de ce fil, à savoir:

Citation
fluorhydrique
un autre sympa avec une démo en vingt lignes

ici on notera [...] pour partie entiere de ... et
{...} pour partie fractionnaire de ...

là encore ne pas dire que ça se résout avec des
congruences

__________

Considérant $l,m,n$ trois entiers naturels non
nuls tels que

$0<m<n$

$\frac {n}{m}> \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end
{bmatrix} $

$\frac {m}{n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end
{bmatrix} }> \begin {bmatrix}\frac {m}{n-m \begin
{bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix} } \end
{bmatrix} $

$1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{n-m \begin
{bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix} } \end
{bmatrix} <l$

Démontrer que (attention au signe négatif
précédent la sommation de parties
fractionnaire)

$\sum _{u=1}^{l}\begin {bmatrix} \frac {un}{m}
\end {bmatrix}=\begin {pmatrix} \begin
{bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {
n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix}
}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac
{ l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix}-\sum
_{u=1}^{l}\begin {Bmatrix}\frac {u \begin
{pmatrix} n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end
{bmatrix} \end {pmatrix} }{m}\end
{Bmatrix}$
.

Je persiste: de même que ta première parenthèse est un écriture tordue de $\frac {n}{m}$, de même ton $\begin {Bmatrix}\frac {u \begin
{pmatrix} n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end
{bmatrix} \end {pmatrix} }{m}\end
{Bmatrix}$ n'est autre que $\displaystyle{\{\frac {un}{m}\}}$ vu que $\displaystyle{u\lfloor\frac {n}{m}\rfloor}$ est un entier.
Ton résultat est alors évident.

Pour autant, je ne dis absolument pas que de cette écriture "tordue" on ne peut rien tirer d'intéressant!
Cependant, ta multitude de lettres et de cas dans ton exploitation de cette torsion me fait, je l'avoue, m'enfuir vers mes égoïstes préoccupations sur la "somme" des sous-groupes de $\mathbb{Z}^*_m$ qui n'attirent pas plus les foules que les tiennes!

Courage à nous deux!
Cordialement
Paul
Re: congruence de noël
il y a trois années
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Bonjour Depasse

j'avais compris oui et d'ailleurs je l'ai avoué (que c'était tordu, même si c'est involontaire)

Là ci-dessous un autre ensemble (cette fois-ci -c'est celui qui concerne les équations dans lesquels on a écrit la valeur $v>1$ donc celui là est utile pour ces équations là et il n'y a aucun problème -archi vérifié et demo sur demo)

L'ensemble E de tous les couples $(m,n)\in \mathbb{N}^*\times \mathbb {N}^*$ tels que
$0<m<n$
$0<n-m\begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix}<m$
$0<m-\begin {pmatrix} n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m} \end {bmatrix} \end {pmatrix}\begin {bmatrix}\frac {m}{ n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m} \end {bmatrix} } \end {bmatrix}< n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m} \end {bmatrix} $

alors $E=\{(m,n)|(a,b,p,q)\in \mathbb{N}^*\times \mathbb {N}^* \times \mathbb {N}^*\times \mathbb {N}^*,q<p,m=ap+q,n=b(ap+q)+p \}$

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Re: congruence de noël
il y a trois années
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bon courage à toi Depasse pour la somme de sous groupes de $\mathbb {Z}^*m$

je reviens pour l'ensemble qui concerne les couples $(m,n) $ pour les formulations pour v>4

EDIT pour v>4

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Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: congruence de Noël
il y a trois années
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Je n'ai pas l'impression que les maths modernes fassent autre chose...


Superbe cette phrase car j'ai l'impression que tu voulais signifier, sieur pourexemple :
J'ai l'impression que les maths modernes ne fassent pas autre chose ...

C'est pareil ou quoi ?

S

La poésie n'est pas une solution.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par samok.
Re: congruence de noël
il y a trois années
Bonsoir fluorhydrique,

Réécris tes trois conditions plus simplement (pas seulement Latexement parlant) en désignant par $n_m$ le reste de la division de $n$ par $m$ et tu verras que ta solution est quasi immédiate.smiling smiley
Paul
Re: congruence de Noël
il y a trois années
avatar
Bonjour Samok

j'indique que tu as une question à PourExemple (post précédent)

j'oubliais on a aussi :pour tout couple $(m,n)\in \mathbb{N}^*\times \mathbb {N}^*$ tels que
$0<m<n$
$0<n-m\begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix}<m$
$0<m-\begin {pmatrix} n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m} \end {bmatrix} \end {pmatrix}\begin {bmatrix}\frac {m}{ n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m} \end {bmatrix} } \end {bmatrix}< n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m} \end {bmatrix} $

alors il existe un quadruplet $(a,b,p,q)\in \mathbb{N}^*\times \mathbb {N}^* \times \mathbb {N}^*\times \mathbb {N}^*$ tel que $q<p$

et tel que $m=ap+q$ et $n=b(ap+q)+p$

et que l'on peut construire selon

$a=\begin {bmatrix} \frac { m }{ n-m \begin {bmatrix} \frac { n }{ m } \end {bmatrix} } \end {bmatrix}$
$b= \begin {bmatrix} \frac { n }{ m } \end {bmatrix} $
$p=n-m \begin {bmatrix} \frac { n }{ m } \end {bmatrix} $
$q=m- \begin {pmatrix} n-m \begin {bmatrix} \frac { n }{ m } \end {bmatrix} \end {pmatrix} \begin {bmatrix} \frac { m }{ n-m \begin {bmatrix} \frac { n }{ m } \end {bmatrix} } \end {bmatrix} $

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: congruence de Noël
il y a trois années
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Salutations sieur fluorhydrique,

désolé d'avoir violé l'intégrité de ton fil. Je ne sais pas trop quoi offrir pour Noël à mes proches, j'avais pensé à l'amour mais ça fait un peu genre je suis près de mes sous.
Sincèrement, tes égalités, tes congruences je ne les sens pas. Ce seraient des plans d'une imprimante 3D que ça serait pareil.

charesses à tes chats,

S

La poésie n'est pas une solution.
Re: congruence de Noël
il y a trois années
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Salut camarade Samok

non j'aime bien que des gens viennent pour aussi autre chose sur mes topics

en fait moi je suis pas chiant sur ces trucs là...(à la limite c'est mon topic qui me fait chier le plus lol)

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: congruence de Noël
il y a trois années
fluorhydrique,

avant de charesser tes cat, lis mon précédent message.winking smiley
Re: congruence de Noël
il y a trois années
avatar
EDIT j'ai oublié d'écrire ...=0 pour le membre à droite de l'équivalence
et faute d'orthographe "on obtient"

Salut Depasse

bah en fait la solution de quoi ? je n'ai pas posé de question donc je ne comprend pas de quelle solution il s'agit lol

mais sinon il reste plus beaucoup pour que ce topic soit définitivement fini et réponde à la question de pourexemple sur le topic qu'il a ouvert et duquel je ne poste pas pour éviter de rendre son topic illisible

j'oubliais aussi que pour les cas V>4 et quelque soit la valeur de l'expression $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}$
selon les conditions données plus haut (donc en dehors des six cas triviaux que je n'ai pas encore posté

on obtiens toujours

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \frac {n }{m } \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+2t-h_2- \sum _{i=4}^{v-1}a_i(i-3)$

avec $a_i=u_0-h_i$

et en fait on obtient l'équivalence

$(v-3)u_0+h_2+h_3-t=0 \Leftrightarrow \sum _{i=4}^{v-1}a_i(i-3)=0$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: congruence de noël
il y a trois années
Citation
fluorhydrique
L'ensemble E de tous les couples $(m,n)\in
\mathbb{N}^*\times \mathbb {N}^*$ tels que
$0<m<n$
$0<n-m\begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end
{bmatrix}<m$
$0<m-\begin {pmatrix} n-m\begin {bmatrix} \frac
{n}{m} \end {bmatrix} \end {pmatrix}\begin
{bmatrix}\frac {m}{ n-m\begin {bmatrix} \frac
{n}{m} \end {bmatrix} } \end {bmatrix}<
n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m} \end {bmatrix}
$

alors $E=\{(m,n)|(a,b,p,q)\in \mathbb{N}^*\times
\mathbb {N}^* \times \mathbb {N}^*\times \mathbb
{N}^*,q<p,m=ap+q,n=b(ap+q)+p \}$

fut interprêté par mézigue:

Citation

SI l'ensemble E est l'ensemble de tous les couples $(m,n)\in
\mathbb{N}^*\times \mathbb {N}^*$ tels que
$0<m<n$
$0<n-m\begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end
{bmatrix}<m$
$0<m-\begin {pmatrix} n-m\begin {bmatrix} \frac
{n}{m} \end {bmatrix} \end {pmatrix}\begin
{bmatrix}\frac {m}{ n-m\begin {bmatrix} \frac
{n}{m} \end {bmatrix} } \end {bmatrix}<
n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m} \end {bmatrix}
$

alors $E=\{(m,n)|(a,b,p,q)\in \mathbb{N}^*\times
\mathbb {N}^* \times \mathbb {N}^*\times \mathbb
{N}^*,q<p,m=ap+q,n=b(ap+q)+p \}$

et j'ai donc imaginé une question quand il n'y en avait pas.
Excuses
Paul
Re: congruence de noël
il y a trois années
avatar
Edit : Mezigue ??? ah ok ...bah je ne connaissais pas...c'est une expression je cherchais un mathématicien recherche google

quel con des fois moi lol .
______________________________

...de rien camarade Depasse

en tout cas c'est chouette que tu soit là...je vais voir Mezigue (recherche google avant de partir écouter de la zic...je reprendrai demain)

avant de terminer avec la petite sommation avec les $a_i$ et donc finir ce topic (les six cas triviaux je les poste pas ici mais sur "ajout"car en fait les conditions sont différentes et ça va tout embrouiller ce topic)
donc comme promis tout à l'heure on va donner

L'ensemble E de tous les couples $(m,n)\in \mathbb{N}^*\times \mathbb {N}^*$ tels que
$0<m<n$
$0<n-m\begin {bmatrix}\frac {n}{m} \end {bmatrix}<m$
$0<m-\begin {pmatrix} n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m} \end {bmatrix} \end {pmatrix}\begin {bmatrix}\frac {m}{ n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m} \end {bmatrix} } \end {bmatrix}< n-m\begin {bmatrix} \frac {n}{m} \end {bmatrix} $
$2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$

alors $E=\{(m,n)|(a,b,p,q)\in \mathbb{N}^*\times \mathbb {N}^* \times \mathbb {N}^*\times \mathbb {N}^*,q=\frac {p}{2},m=ap+q,n=b(ap+q)+p \}$

car en fait $r=p $ et aussi $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=2q-p$

bon à plus les camarades

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Re: congruence de noël
il y a trois années
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Bonsoir

tiens un autre

démonstration en 35 lignes en ce qui me concerne

soit $x\in \mathbb {R}_+-\mathbb {N}$

alors en posant

$u=1+\begin {bmatrix} \frac { 1 }{ \begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} } \end {bmatrix}


-\begin {bmatrix}
\frac
{


2\begin {bmatrix}

\frac

{ \begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix}\begin {bmatrix} \frac { 1 }{ \begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} } \end {bmatrix}
}

{ 3-2\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix}\begin {bmatrix} \frac { 1 }{ \begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} } \end {bmatrix} }


\end {bmatrix}




}
{ 1+ \begin {bmatrix}

\frac

{ \begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix}\begin {bmatrix} \frac { 1 }{ \begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} } \end {bmatrix}
}

{ 3-2\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix}\begin {bmatrix} \frac { 1 }{ \begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} } \end {bmatrix} }


\end {bmatrix} } \end {bmatrix}$

on obtient

$\sum _{i=0}^{u-1}\begin {bmatrix} i .\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} \end {bmatrix}=0$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: congruence de noël
il y a trois années
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Bonjour

en ce qui concerne la fonction $u_i$, étant donné qu'elle se définit relativement à un rapport de deux entiers naturels non nul mais telle que décrite ici est donnée par une conditionnelle, un moyen de pouvoir mieux l'utiliser afin de comprendre son fonctionnement dans la sommation avec les $a_i$, consiste tout simplement à éliminer cette conditionnelle

plus généralement on propose une application $f(p,q): \mathbb {N}\times \mathbb {N}^*\rightarrow \mathbb {N}$

telle que pour

-lorsque $\frac {p}{q}=\begin {bmatrix} \frac {p}{q} \end {bmatrix}$ alors $f(p,q)=\begin {bmatrix} \frac {p}{q} \end {bmatrix}$

-lorsque $\frac {p}{q}>\begin {bmatrix} \frac {p}{q} \end {bmatrix}$ alors $f(p,q)=1+\begin {bmatrix} \frac {p}{q} \end {bmatrix}$

on élimine cette conditionnelle en écrivant tout simplement

$f(p,q)=1+\begin {bmatrix} \frac {p}{q} \end {bmatrix}-\begin {bmatrix} \frac { 2\begin {bmatrix} \frac {p-q\begin {bmatrix} \frac {p}{q} \end {bmatrix}+1}{2 \begin {pmatrix} p-q\begin {bmatrix} \frac {p}{q} \end {bmatrix} \end {pmatrix}+1 } \end {bmatrix} }{ 1+\begin {bmatrix} \frac {p-q\begin {bmatrix} \frac {p}{q} \end {bmatrix}+1}{2 \begin {pmatrix} p-q\begin {bmatrix} \frac {p}{q} \end {bmatrix} \end {pmatrix}+1 } \end {bmatrix} } \end {bmatrix}$

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