Produits de modules...

Bonsoir,

Voici une pièce jointe dans laquelle j'ai entouré la partie qui me pose problème. Cette partie est extraite du livre d'algèbre de Saint Bourbaki, A.II.10 conformément à la codification en usage dans le traité.

Conformément à E.II.32, si $\mathrm{I}=\emptyset$, alors
\[
\prod_{\iota\in\mathrm{I}}\mathrm{E}_{\iota}=\{\emptyset\}
\]
Je ne comprends alors pas le segment d'énoncé : la structure de module produit sur cet ensemble est alors celle pour laquelle cet unique élément est $0$.

Je vous remercie par avance.

Cordialement,

Thierry

Si les $E_i$ sont des modules, l'élément de $\prod_{i \in I} E_i$ que l'on note habituellement $0$ est l'application qui à tout élément $i$ de $I$ fait correspondre le neutre du groupe abélien $(E_i,+)$.
Lorque $I$ est vide, cette application est l'ensemble vide.

Du point de vue catégorique, le produit direct sur la famille vide est canoniquement isomorphe à l'objet terminal.

Ça ne t'avance pas d'un clou si tu ne connais pas les catégories mais tu peux le conprendre comme: il y a une raison méta qui justifie que c'est la bonne convention. Au point que quelqu'un connaissant les catégories pourrait trouver ta question plus étonnante que l'affirmation de Bourbaki. Tu peux regarder la définition d'objet terminal pour t'en convaincre mais je n'y passerai pas trop de temps. Bourbaki est déjà bien assez dense.

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