exp(M)=M ?

dedekind93 · January 2017

Bonjour à tous,
savez-vous s'il existe une/des matrices carrées réelles de taille $n\geq 2$ satisfaisant $\exp(M)=M$ ?
Merci pour vos idées !

nicolas.patrois · January 2017

Il me semble que la question a déjà été posée sur le phorum.

ev · January 2017

Bonsoir Richard.

On prend deux solutions conjuguées de $e^z = z$ comme valeurs propres de $M$ de taille 2.

e.v.

dedekind93 · January 2017

Ah ben oui, merci... j'avais vu le topic sur $e^z=z$, j'aurais du y penser !

ev · January 2017

Maintenant, l'existence de solutions en taille impaire reste un problème.

e.v.

Yvette · January 2017

Bonjour ev,

il n'y a pas de solution en dimension impaire. On considère un vecteur propre réel associé à une vp réelle. N'est-ce pas ?

Autre exercice : $exp(M)=M^{-1}$.

Autre exercice : $exp(M)=eM$

Autre exercice : $exp(M)=I+M$.

Cordialement,

Yvette

ev · January 2017

Bonjour Yvette.

D'accord avec toi. Tout polynôme réel de degré impair admet une racine réelle $ \lambda $. Elle est donc solution réelle de $ \exp(\lambda) = \lambda $.

Merci pour tes exemples.

amicalement,

e.v.