Généralisations de résultats classiques

b.b
b.b
dans Algèbre
Bonsoir à tous

Que diriez-vous de faire une sorte d'anthologie de généralisations de théorèmes ou de définitions de niveau licence/master ? On pourrait aussi discuter des cas où l'on ne peut plus généraliser, donner des contre-exemples, etc.

Je donne un exemple en algèbre linéaire pour fixer les idées.

Soit $K$ un corps commutatif de caractéristique nulle et $M\in M_{n}(K)$. Si la trace de $M$ est nulle, il existe deux matrices $A$ et $B$ appartenant à $M_{n}(K)$ telles que $M=AB-BA$. C'est encore vrai en caractéristique quelconque et même sur un anneau principal d'après une publication sur le site arxiv.org : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,724919,882960#msg-882960 .

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    L'un des plus "choquant" (car toujours énoncé dans un cas particulier dans les études) est le fait que (anneau commutatif quelconque) toute matrice non carrée est liée (ça a été mon grand pote ce truc sur le forum)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • b.b
    b.b
    Un autre énoncé, dans le même style que celui que tu as cité : soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m>n$. Si $m$ éléments d'un module $M$ (sur un anneau commutatif) sont combinaisons linéaires de $n$ éléments de $M$, ils sont linéairement dépendants.

    Je crois qu'on peut démontrer ton résultat sur les matrices avec ça. On prend une application linéaire injective de $A^{n}$ dans $A^{m}$. L'image de la base canonique de $A^{n}$ est une famille libre de $A^{m}$ qui est un $A$-module libre de rang $m$, donc $n\le m$. Par contraposition, si $n>m$, toute application linéaire de $A^{n}$ dans $A^{m}$ est non injective.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    b.b. : revois ton énoncé, il y a quelques coquilles ;-)
  • b.b
    b.b
    Il manque des quantificateurs.

    Soient $M$ un module sur un anneau commutatif, $m$ et $n$ deux entiers tels que $m>n\ge 1$ et $x_{1},...,x_{n}$ des éléments de $M$. Considérons une famille $(y_{1},...,y_{m})$ d'éléments de $M$ telle que pour tout $i\in\{1,...,m\}$, $y_{i}$ est combinaison linéaire de $x_{1},...,x_{n}$. Alors $(y_{1},...,y_{m})$ est une famille liée.

    Dans le premier énoncé, l'hypothèse selon laquelle les $y_{i}$ doivent être combinaisons linéaires des mêmes éléments n'apparait pas.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ton premier énoncé parle de "linéairement indépendants", c'est la coquille que je relevais ;-) tu n'as pas dû la voir
  • b.b
    b.b
    J'ai écrit « dépendants ».

    Si tu connais une généralisation intéressante d'un théorème ou d'un exercice classique, n'hésite pas :-) .
  • Poirot
    Poirot
    Pas vraiment une généralisation mais bon. Il est bien connu que $GL_n(\mathbb C)$ est dense dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$ (considérer la suite des $(A - \frac{1}{k}I_n)_k$ pour une matrice $A$ quelconque). On en déduit facilement que pour toutes matrices $A, B \in \mathcal M_n(\mathbb C), \chi_{AB}=\chi_{BA}$. ($\chi$ est le polynôme caractéristique)

    Sur un corps quelconque on peut utiliser la topologie de Zariski, pour laquelle $GL_n(K)$ est encore dense dans $\mathcal M_n(k)$, car... c'est un ouvert non vide ! Le théorème ci-dessus s'étend donc sans aucune difficulté à un corps quelconque.

    Au passage on peut démontrer Cayley-Hamilton de la même manière. L'ensemble des matrices régulières (i.e. ayant $n$ valeurs propres distinctes) est un ouvert de Zariski (non annulation du discriminant du polynôme caractéristique) et est donc dense dans $\mathcal M_n(k)$, où le théorème de Cayley-Hamilton est vrai. Par un argument élémentaire de continuité, on en déduit le théorème de Cayley-Hamilton sur $\mathcal M_n(k)$.
  • b.b
    b.b
    J'ai lu une démonstration plus élémentaire de ce résultat ($\chi_{AB}=\chi_{BA}$) dans le Gourdon, elle utilisait le rang et les matrices équivalentes.

    Pour continuer avec les matrices : si $A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ sont semblables sur $\mathbb{C}$, elles sont semblables sur $\mathbb{R}$. C'est toujours vrai si on remplace $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ par deux corps commutatifs $K$ et $L$ vérifiant $K\subset L$.
  • b.b
    b.b
    Au cas où ça intéresse quelqu'un, je relance le fil en citant une petite généralisation d'un résultat connu :

    Sur un corps algébriquement clos, les formes quadratiques sont classifiées par le rang. C'est toujours vrai sur un corps quadratiquement clos : https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_quadratiquement_clos
  • Math Coss
    Math Coss
    Poirot a écrit:
    Sur un corps quelconque on peut utiliser la topologie de Zariski, pour laquelle $GL_n(K)$ est encore dense dans $\mathcal{M}_n(K)$, car... c'est un ouvert non vide ! Le théorème ci-dessus s'étend donc sans aucune difficulté à un corps quelconque.
    Objection votre honneur ! Ce n'est pas vrai sur un corps fini. Mais OK pour tout corps infini.

    Autre généralisation : l'égalité $\chi_{AB}=\chi_{BA}$ est une liste de $n$ identités de polynômes en $2n^2$ variables à coefficients dans $\Z$ : connaître le résultat sur $\C$ suffit pour le déduire sur tout corps.
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