Levi-Civita N
dans Algèbre
Bonjour
autre truc sympa (soit dit en passant il y avait ça mais y a pas foule là-bas-> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1392370,1392370#msg-1392370 :-D )
Le symbole de Levi-Civita d'ordre n, généralement noté $\epsilon ^{u_1u_2...u_n}$
voir wiki -> https://fr.wikipedia.org/wiki/Symbole_de_Levi-Civita_d'ordre_N
j'ai une une super formule qui donne sa valeur mdrrrr
$\epsilon ^{u_1u_2...u_n}=\begin {pmatrix} 1-2.\begin {pmatrix} 1-\alpha +2\beta+2 \begin {bmatrix} \frac {\alpha -2\beta}{2} \end {bmatrix} \end {pmatrix}. \begin {pmatrix}2- \begin {bmatrix} \frac { 2 w }{ w +1 } \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {1 }{w } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {1 }{ w } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} \end {pmatrix} \end {pmatrix}.$
$ .\prod _{i=1}^{n-1}\begin {pmatrix} \prod _{j=i+1}^{n}\begin {pmatrix}2-\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_i }{u_j } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { u_i }{u_j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_j }{u_i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { u_j }{ u_i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} \end {pmatrix} \end {pmatrix}$
AVEC
$w=3+\beta-2\begin {bmatrix} \frac {\beta }{2 } \end {bmatrix}-\begin {bmatrix} \frac { 2 ( 1+\alpha-2\beta) }{ 2+\alpha-2\beta } \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac { 1}{1+\alpha-2\beta } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {1 }{ 1+\alpha-2\beta} \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} $
$\alpha =\sum _{j=1}^{n}\begin {pmatrix} \sum _{i=1}^{n}\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_i }{j } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {u_i }{j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} .\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {j }{u_i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {j }{u_i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} . \begin {pmatrix} 2-\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac { i}{j } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {i }{j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} -\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {j }{i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {j }{ i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} \end {pmatrix} \end {pmatrix} $
$\beta =\frac {1}{2} \sum _{j=1}^{n} \begin {pmatrix} \sum _{i=1}^{n}\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_i }{ j} \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {u_i }{j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} .\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {j }{u_i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {j }{u_i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} .\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_j }{i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { u_j }{ i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} .\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {i }{u_j } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { i }{ u_j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} . \begin {pmatrix} 2- \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {i }{j } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { i }{ j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {j }{i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { j }{i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} \end {pmatrix} \end {pmatrix} $
autre truc sympa (soit dit en passant il y avait ça mais y a pas foule là-bas-> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1392370,1392370#msg-1392370 :-D )
Le symbole de Levi-Civita d'ordre n, généralement noté $\epsilon ^{u_1u_2...u_n}$
voir wiki -> https://fr.wikipedia.org/wiki/Symbole_de_Levi-Civita_d'ordre_N
j'ai une une super formule qui donne sa valeur mdrrrr
$\epsilon ^{u_1u_2...u_n}=\begin {pmatrix} 1-2.\begin {pmatrix} 1-\alpha +2\beta+2 \begin {bmatrix} \frac {\alpha -2\beta}{2} \end {bmatrix} \end {pmatrix}. \begin {pmatrix}2- \begin {bmatrix} \frac { 2 w }{ w +1 } \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {1 }{w } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {1 }{ w } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} \end {pmatrix} \end {pmatrix}.$
$ .\prod _{i=1}^{n-1}\begin {pmatrix} \prod _{j=i+1}^{n}\begin {pmatrix}2-\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_i }{u_j } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { u_i }{u_j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_j }{u_i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { u_j }{ u_i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} \end {pmatrix} \end {pmatrix}$
AVEC
$w=3+\beta-2\begin {bmatrix} \frac {\beta }{2 } \end {bmatrix}-\begin {bmatrix} \frac { 2 ( 1+\alpha-2\beta) }{ 2+\alpha-2\beta } \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac { 1}{1+\alpha-2\beta } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {1 }{ 1+\alpha-2\beta} \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} $
$\alpha =\sum _{j=1}^{n}\begin {pmatrix} \sum _{i=1}^{n}\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_i }{j } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {u_i }{j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} .\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {j }{u_i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {j }{u_i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} . \begin {pmatrix} 2-\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac { i}{j } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {i }{j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} -\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {j }{i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {j }{ i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} \end {pmatrix} \end {pmatrix} $
$\beta =\frac {1}{2} \sum _{j=1}^{n} \begin {pmatrix} \sum _{i=1}^{n}\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_i }{ j} \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {u_i }{j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} .\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {j }{u_i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {j }{u_i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} .\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_j }{i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { u_j }{ i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} .\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {i }{u_j } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { i }{ u_j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} . \begin {pmatrix} 2- \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {i }{j } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { i }{ j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {j }{i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { j }{i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} \end {pmatrix} \end {pmatrix} $
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Réponses
soit dit en passant la valeur du symbole de Levi-Civita d'ordre n ici noté $\epsilon ^{u_1u_2...u_n}$ se simplifie encore plus si tous les indices $u_i$ sont différents
Alors dans ce cas on obtient tout simplement
$\epsilon ^{u_1u_2...u_n}= 1-2.\begin {pmatrix} 1-\alpha +2\beta+2 \begin {bmatrix} \frac {\alpha -2\beta}{2} \end {bmatrix} \end {pmatrix}. \begin {pmatrix}2- \begin {bmatrix} \frac { 2 w }{ w +1 } \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {1 }{w } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac {1 }{ w } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} \end {pmatrix} $
car en fait l'expression $\prod _{i=1}^{n-1}\begin {pmatrix} \prod _{j=i+1}^{n}\begin {pmatrix}2-\begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_i }{u_j } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { u_i }{u_j } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} - \begin {bmatrix} \frac { 2 \begin {bmatrix} \frac {u_j }{u_i } \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix} \frac { u_j }{ u_i } \end {bmatrix} +1 } \end {bmatrix} \end {pmatrix} \end {pmatrix}$
vaut 1 si tous les indices $u_i$ sont différents et zero sinon
par ailleurs pour explication $\alpha $ donne la quantité d'indices qui ne sont pas placés dans l'ordre et $\beta $ donne la quantité de couples d'indices qui si on les permute seront alors à la bonne position
il faut utiliser ça--->
il faut utiliser la propriété suivante (qui se démontre en 9 lignes et de niveau 3ième)
soit x et y deux réels non nuls et supérieurs à zéro alors si
$B=\begin {bmatrix} \frac {2 \begin {bmatrix}\frac {x}{y} \end {bmatrix} }{ \begin {bmatrix}\frac {x}{y } \end {bmatrix} +1} \end {bmatrix}.$
on vérifie B=1 si $x\geq y$ et 0 sinon