Sous-groupes cycliques
Réponses
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Tu connais quoi, comme exemple de groupe non cyclique ?
Quand je dis "connais", je veux dire que tu le connais bien :
Par exemple, il faut répondre a des petites questions : le cardinal, les éléments, l'ordre des éléments, etc ...
A toi. -
Jamais entendu parler du produit cartésien?
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je dirais que j'en connais pas mal de choses concernant le cardinal d'un groupe ,l'ordre d'un element du groupe et meme sur les groupes cycliques. exemple de groupe non cyclique S3 groupe des bijection de{ 1,2,3} dans lui meme.
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Alors $S_3$ ...
cardinal = ?
éléments = ?
ordre des éléments = ?
Pourquoi il n'est pas cyclique ?
Les sous-groupes ? -
en faite j'aimerais avoir un sous groupe de S3 d'ordre 3 et montrer ensuite qu'il est cyclique. car montrer que les sous groupes d'ordres deux sont cycliques est plus que évident. car cardinal de S3 est 6 et S3 a id comme élément d'ordre 1 les éléments (23); (13) et (12) d'ordre 2 en fin (231) et (312) sont d'ordres 3. Dans l'espérance d'avoir raison j'aimerais avoir les sous groupes d'ordres 3 et montrer qu'ils sont cycliques. Car sachant que l'ordre de tout sous groupe d' un groupe divise l'ordre du groupe et qu'on a affaire uniquement au sous groupes propres alors ces sous ne peuvent être que de cardinal 2 ou 3. Je connais les sous grpe de cardinal 2 (exemple {(123),(23)}=<(23)> ) mais j'aimerais avoir un sous groupe d'ordre trois et montrer qu'il est cyclique.
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OK merci après bref réflexion j'ai trouvé tous les sous groupes maintenant reste a montrer que S3 n'est pas cyclique.J'ai certes une idée mais j'arrive pas a la développer. En effet les éléments de S3 ne peuvent pas être tous des compositions d'un seul élément de S3.
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merci flipflop pour vos indications.
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En fait, tu as listé tous les éléments de $S_3$, non ? Du coup, tu peux avoir leurs ordres et constater qu'il n'y en a pas d'ordre $6$ par exemple (pas d'éléments d'ordre $6$ implique que $S_3$ n'est pas cyclique).
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Par contre, je vois " {(123),(23)}=<(23)> " .... tu es sûr sûr sûr ?
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il est evident que ceci est un sous groupe de S3 et que c'est meme le sous groupe engendré par (23) sauf si vous me prouvez le contraire.
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C'est quoi pour toi (123) ?
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c'est la permutation identité.
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ok, c'est pas la notation traditionnelle. $(123)$ désigne souvent le cycle d'ordre $3$ : $1 \to 2 \to 3 \to 1$.
et par $(23)$ tu veux dire la permutation qui échange $2$ et $3$ ?
Si oui, je suis ok, mais il y a un petit conflit de notation : $(123)$ vs $(23)$ -
ah ok merci je mettrais dorénavant id
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Un groupe non cyclique fini de cardinal minimal (parmi les groupes non cycliques) a forcément tous ses sous-groupes propres cycliques.
Au fait, quel est ce cardinal minimal ? -
Avec le résultat rappelé par AP, un groupe d'ordre $p$, un nombre premier, est cyclique, il me semble que la question de GaBuZoMeu est traitée rapidement par exhaustion. Soit $n$ l'ordre du groupe cherché, est-ce que ce groupe peut être d'ordre 2,3....? B-)-
En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités. -
Bonjour AP s'il te [?] comment montrer que
tout groupe dont l'ordre est un nombre premier est cyclique : la preuve est très facile -
Que dire du cardinal d'un sous-groupe d'un tel groupe ?
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tous les sous groupes d'un tel groupe sont de cardinal 1 ou celui du groupe.
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mais je ne vois pas encore le rapport.
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Est-ce qu'un groupe d'ordre 2 peut NE PAS être cyclique?
Même question pour un ordre de 3?
Et pour 4? -
2 et 3 sont premiers mais pas 4. Ce que AP a dit concerne les groupes d'odre un nombre premier. Delà à savoir si les groupes d'ordre un nombres non premier peut être cyclique je ne sais pas. Sur ce je laisse la réponse à quelqu'un d'autre.
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Continue la réflexion.
Quels sont les diviseurs possibles de 4? -
Les diviseurs possibles de 4 sont 1;2 et 4. Ou voulez vous en venir?
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Que penses-tu des sous-groupes propres d'un groupe d'ordre 4?
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les sous groupes propres d'un groupe d'ordre quatre sont forcement cycliques.
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OUI, à condition qu'un tel groupe ait des sous-groupes autres que lui-même et le sous-groupe constitué par l'élément neutre.
PAR AILLEURS, connais-tu un groupe d'ordre 4? -
oui le groupe Z4=Z/4Z C' est un groupe d'ordre 4.
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Pardon ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
je me base sur le faite que les groupes cyclique d'ordre quatre sont isomorphes au groupe Z4 donc forcement Z4 est un groupe d'ordre 4.
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Ha, tu as corrigé.
Là on est d’accord.
Est-ce le seul ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
je ne vois plus d'erreur
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Tu ne vois pas d'autre groupe d'ordre 4 qui n'est pas cyclique?
Question subsidiaire:
Connais-tu un groupe d'ordre 2? -
le groupe des racines quatrieme de l'unité dans C.
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C'est bien un groupe d'ordre 4, mais il est cyclique.
PS:
A isomorphisme près, il n'y a qu'un seul groupe cyclique d'ordre $n$. , $n$ un entier naturel non nul.
PS2:
Connais-tu un groupe d'ordre 2? -
est ce que pour être cyclique il faut que ton ordre soit obligatoirement un nombre premier???
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Bien sûr que non.
Pour tout $n$ entier naturel non nul il existe un groupe cyclique d'ordre $n$.
Que tu peux visualiser par le groupe des racines nième de l'unité. -
Oui mais c'est le "même" groupe ! Pour être plus clair ... ils sont isomorphes. Ici, il faut trouver un autre groupe non isomorphe de cardinal $4$.
Dans $S_4$. Prenons, $H := \{ id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}$, est-ce que tu peux vérifier que $H$ est un groupe de cardinal $4$ ? Et calculer l'ordre de chacun des éléments ? -
Ah oui c'est vrai il est cyclique. pouvez svp m'en donner un exemple????
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Tu n'as pas répondu à ma question.
Connais-tu un groupe d'ordre 2? -
j'imagine que le but est de constater que aucun élément n'est d'ordre 4? ce qui montre que H n'est pas cyclique.
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Pour le moment, tu ne sais pas, visiblement, si un groupe d'ordre 4 non cyclique existe. J'essaie de t'expliquer comment en construire un.
1) Donne une description de l'unique groupe d'ordre 2, à isomorphisme près.
2) Comment construire "SIMPLEMENT" à partir de ce groupe un groupe d'ordre 4?
3) Montre que ce groupe n'est pas cyclique. -
je dirais le sous groupe {id;(12)} de S4.
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Oui pour la question 1).
Ton groupe est isomorphe à Z/2Z ou au groupe multiplicatif constitué des réels 1 et -1.
PS:
Si tu aimes les groupes symétriques travaille plutôt dans S_4 pour ce qui nous intéresse ici. -
(12) ici etant la permutation qui garde 3 fixe et echange 1 et 2
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Pas de souci pour la question 1)
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sincerement je ne vois pas comment construire a partir de ce groupe un groupe d'ordre 4.
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Indication pour la question deux svp
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Puisque tu aimes les groupes symétriques.
Dans S_4, la construction que tu faisais pour obtenir un sous-groupe d'ordre 2 tu ne peux pas la généraliser pour obtenir un sous-groupe d'ordre 4?
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