Sous-groupes cycliques

poli12 · January 2017

ah ok c'est ainsi qu'on peut passer pour obtenir des groupes non cyclique d'ordre non premier.

Fin de partie · January 2017

NON.

Un groupe cyclique d'ordre n entier naturel non nul pas nécessairement premier peut être visualisé par le groupe des racines nième de l'unité qui est isomorphe à Z/nZ.

On cherche un groupe à 4 éléments non cyclique et en fonction de tes préférences j'essaie d'en donner une construction.
Ce n'est pas celle que j'avais choisie initialement..

poli12 · January 2017

merci mais comment montrer que les groupes d'ordre un nombre premier p est cycliques. car forcement leurs sous groupes sont d'ordre 1 ou p. mais de là comment qu'ils sont cyclique

Fin de partie · January 2017

Est-ce qu'un sous-groupe d'ordre p premier peut avoir des sous-groupes propres (c'est à dire pas lui-même, pas le groupe constitué de l'élément neutre)?

Fin de partie · January 2017

Tu prends n'importe quel élément, sauf l'élément neutre, d'un groupe d'ordre p premier que penses tu du groupe engendré par cet élément?

PS:
Un groupe d'ordre p premier a au moins deux éléments dont l'un est l'élément neutre.

poli12 · January 2017

non les seuls sous groupes d'un tel groupes sont le sous groupes constituer de l’élément neutre et lui même (ceci d’après Lagrange)

Fin de partie · January 2017

Le sous-groupe engendré par un élément neutre qui n'est pas l'élément neutre contient plus qu'un élément, si le groupe qui le contient est d'ordre p premier que peut-on en déduire pour ce groupe?

poli12 · January 2017

je ne vois pas ou vous voulez en venir.

Fin de partie · January 2017

On reprend.

On a un groupe d'ordre p premier.
Il n'a que deux sous-groupes, lui même et le sous-groupe trivial.

On prend un élément qui n'est pas l'élément neutre, on peut toujours considérer le sous-groupe engendré par cet élément. Ce sous-groupe est par définition cyclique.
Dans le cas d'espèce, si p est premier, à quoi est égal ce sous-groupe?

poli12 · January 2017

:-D c'est forcement egale au groupe . MERCI

Fin de partie · January 2017

Enfin !

Revenons au problème initial.

Tu as dit que l'ensemble formé de l'identité et de (12) était un sous-groupe d'ordre 2 de S_3.
C'est aussi vrai dans S_4.
Et si tu considères simultanément (12) et (34) c'est à dire que tu t'intéresses au sous-groupe engendré par ces deux éléments du groupe S_4? Que penses-tu du groupe obtenu?

PS:
Tu te demandes peut-être pourquoi je m'intéresse aux transpositions (12),(34) et pas (12),(23) qui nous auraient permis de rester dans S_3. Réfléchis y. B-)

PS2:
Je vais me déconnecter pour ce soir.