regarde la fonction $f(x)=x-ln(x)=y:\mathbb {R}^*_+\rightarrow \mathbb {R}$ donc $f(x)\geq 1$
et étudie là sur $+\infty $
on recherche l'assymptote ou la branche parabolique* de cette fonction
x tend vers $+\infty $ et y tend vers $+\infty $
donc pour cela tu dois déterminer lim x ->$\infty $, $\frac {y}{x}$
tu obtiens lim x ->$\infty $, $\frac {y}{x}=1$
tu pose l'axe défini par la droite d'équation d:=y=x
tu dois alors calculer lim x ->$\infty $, $y-1.x=y-x=-ln(x)$
tu obtiens lim x ->$\infty $, $y-x=-\infty$
donc tu obtiens une branche parabolique qui lorsque x tend vers l'infini est située en dessous de l'axe défini par la droite d
ce qui fait que si tu étudie cette fonction discrètement tu aura toujours plus d'entiers naturels au fur et à mesure que tu va vers l'infini car l'axe défini par la droite d s'éloigne de l'axe des abscisses tout comme la branche parabolique située en dessous de cet axe mais qui tend à être parallèle à cet axe
sachant qu'il existe une infinité de nombres premiers tu en conclus donc que c'est vrai
je considère que ma preuve est bidon(en tout cas c'est comme ça que je vois la chose -mais je me suis gardé de le dire tout à l'heure)
considérant une coupe parallèle à l'axe des ordonnées
alors entre la branche parabolique (située en dessous) et l'axe y=x à l'infini il y a une infinité d'entiers naturels
rien ne prouve que tous les nombres premiers ne sont pas situés là à partir d'une certaine valeur d'abscisse
sachant que la différence entre n et n-ln(n) tend vers l'infini
pour valider il faut ajouter le fait que la proportion à l'infini des nombres premiers est de un nombre réel positif non nul
cette proportion ne serait pas respectée comte tenu du fait que la branche parabolique tend à être parallèle à l'axe y=x
elle tendrait vers zéro à l'infini si tous les nombres premiers seraient situés entre l'axe et la branche parabolique à partir d'une certaine valeur d'abscisse
Il me semble que le résultat suivant est vrai : pour tout entier n non nul, il existe un nombre premier entre n et 2n.
(Mais ce n'est pas du tout trivial).
@Fluorhydrique : je n'ai fait qu'employer le TNP, rien de plus, c'est à la portée de tous ceux qui le connaissent et qui savent manipuler les égalités asymptotiques.
@MrJ : c'est le postulat de Bertrand, démontré pour la 1ère fois par Chebyshev à l'aide de ses inégalités (qui sont des encadrements fins de la fonction $x \longmapsto \pi(x)$).
Dans les années 30, Erdös en a donné une démonstration dite "élémentaire" (i.e. n'utilisant pas le ressort de la variable complexe) reprise aujourd'hui dans de nombreux ouvrages et exercices de théorie des nombres.
À ce propos, des améliorations de Bertrand ont été produites depuis des années. L'une des plus récentes est la suivante : pour tout $x \geqslant 58837$, il existe un nombre premier dans l'intervalle $\left ] x \, , \, x + \frac{1.188 \, x}{\log^3 x} \right ]$ (Axler, 2015).
j'ai jamais osé le demander mais je vois ça partout ici ....(je n'ai jamais foutu les pieds dans un lycée ...je débarque à peine de mon asile psychiatrique)
Le théorème des nombres premiers a été conjecturé dans la marge d'une table de logarithmes par Gauss en 1792 ou 1793 alors qu'il avait seulement 15 ou 16 ans (selon ses propres affirmations ultérieures8) et par Adrien-Marie Legendre (ébauche en l'An VI du calendrier républicain, soit 1797-8, conjecture précise en 1808).
Il a fallu près d'un siècle pour avoir une démonstration. :-D
Tchebychev au milieu du XIX siècle a établi un encadrement du nombre de nombres premiers inférieurs à x par des méthodes élémentaires mais astucieuses. Cet encadrement ne permet pas d'en déduire le TNP.
Merci pour votre réponse. Alors on peut dire que pour tout fonction f(x) tel que lim f(x)/x = 0 lorsque x tant vers infini, on a une infinité des nombres premiers entre f(n) et n lorsque n tant vers l'infini.
Je n'aime pas citer Wikipedia mais bon : lien. C'est écrit dans tous les livres qui en parle. Je ne sais pas d'où tu sors ça AitJoseph. On parle de la conjecture formulée par Bertrand, pas du meilleur résultat connu aujourd'hui.
Ce postulat est à l'origine énoncé avec le vocable "au moins", effectivement, mais très tôt Tchebitchef (écriture francisée de son nom) a démontré un peu plus : si $n \geqslant 6$, alors au moins deux nombres premiers distincts se trouvent entre $n$ et $2n$.
Il y a d'autres variantes et, comme je l'ai dit plus haut, on a depuis amélioré les choses.
Pour ceux qui s'intéressent à ce postulat dans sa stature d'origine, le mieux est encore de lire la fin du livre de Waclaw Sierpinski, $250$ Problèmes de Théorie Élémentaire des Nombres, réédité chez Jacques Gabay en 1992.
Réponses
Bonjour oui une infinité
pour t'en convaincre
regarde la fonction $f(x)=x-ln(x)=y:\mathbb {R}^*_+\rightarrow \mathbb {R}$ donc $f(x)\geq 1$
et étudie là sur $+\infty $
on recherche l'assymptote ou la branche parabolique* de cette fonction
x tend vers $+\infty $ et y tend vers $+\infty $
donc pour cela tu dois déterminer lim x ->$\infty $, $\frac {y}{x}$
tu obtiens lim x ->$\infty $, $\frac {y}{x}=1$
tu pose l'axe défini par la droite d'équation d:=y=x
tu dois alors calculer lim x ->$\infty $, $y-1.x=y-x=-ln(x)$
tu obtiens lim x ->$\infty $, $y-x=-\infty$
donc tu obtiens une branche parabolique qui lorsque x tend vers l'infini est située en dessous de l'axe défini par la droite d
ce qui fait que si tu étudie cette fonction discrètement tu aura toujours plus d'entiers naturels au fur et à mesure que tu va vers l'infini car l'axe défini par la droite d s'éloigne de l'axe des abscisses tout comme la branche parabolique située en dessous de cet axe mais qui tend à être parallèle à cet axe
sachant qu'il existe une infinité de nombres premiers tu en conclus donc que c'est vrai
@joker Nicolas Boileau "Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement"
Pour faire avancer le schmilblick: TNP
ma tête à couper
certes le résultat est vrai mais ...
je considère que ma preuve est bidon(en tout cas c'est comme ça que je vois la chose -mais je me suis gardé de le dire tout à l'heure)
considérant une coupe parallèle à l'axe des ordonnées
alors entre la branche parabolique (située en dessous) et l'axe y=x à l'infini il y a une infinité d'entiers naturels
rien ne prouve que tous les nombres premiers ne sont pas situés là à partir d'une certaine valeur d'abscisse
sachant que la différence entre n et n-ln(n) tend vers l'infini
pour valider il faut ajouter le fait que la proportion à l'infini des nombres premiers est de un nombre réel positif non nul
cette proportion ne serait pas respectée comte tenu du fait que la branche parabolique tend à être parallèle à l'axe y=x
elle tendrait vers zéro à l'infini si tous les nombres premiers seraient situés entre l'axe et la branche parabolique à partir d'une certaine valeur d'abscisse
mais là la démo de Noix De Toto fait une ligne :
il m'a tué!! :)o
(Mais ce n'est pas du tout trivial).
@MrJ : c'est le postulat de Bertrand, démontré pour la 1ère fois par Chebyshev à l'aide de ses inégalités (qui sont des encadrements fins de la fonction $x \longmapsto \pi(x)$).
Dans les années 30, Erdös en a donné une démonstration dite "élémentaire" (i.e. n'utilisant pas le ressort de la variable complexe) reprise aujourd'hui dans de nombreux ouvrages et exercices de théorie des nombres.
À ce propos, des améliorations de Bertrand ont été produites depuis des années. L'une des plus récentes est la suivante : pour tout $x \geqslant 58837$, il existe un nombre premier dans l'intervalle $\left ] x \, , \, x + \frac{1.188 \, x}{\log^3 x} \right ]$ (Axler, 2015).
j'ai jamais osé le demander mais je vois ça partout ici ....(je n'ai jamais foutu les pieds dans un lycée ...je débarque à peine de mon asile psychiatrique)
Le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ réel est asymptotiquement x/log(x)
Pourquoi parles-tu de lycée ?
merci ! lycée pourquoi? bah je connais pas le niveau de ça ...c'est lycée je suppose non?
Il a fallu près d'un siècle pour avoir une démonstration. :-D
merci
heureusement que le ridicule ne tue pas
On est loin de la conjecture de Bertrand :
pour tout $x>5$, il y a au moins un entier premier dans $[x,x+2 \sqrt x]$
Faut croire que la Reine des mathématiques n'a pas livré tous ses secrets.
Bonne soirée.
Au moins un.
Cordialement,
Rescassol
Il y a d'autres variantes et, comme je l'ai dit plus haut, on a depuis amélioré les choses.
Pour ceux qui s'intéressent à ce postulat dans sa stature d'origine, le mieux est encore de lire la fin du livre de Waclaw Sierpinski, $250$ Problèmes de Théorie Élémentaire des Nombres, réédité chez Jacques Gabay en 1992.