algèbre de matrices

constantin · January 2017

Bonjour,

Soit A appartenant à End(Rⁿ) un endomorphisme diagonalisable avec des valeurs propres deux à deux différentes.
Je dois montrer que l'ensemble des solutions de B²=A est fini, ou trouver un contre-exemple.

Je pense qu'il y a des cas ou cet ensemble est infini mais je ne sais pas comment le montrer...

Quelqu'un aurait-il une idée s'il vous plait?

Constantin

Poirot · January 2017

Quelles sont les valeurs propres éventuelles d'une telle matrice $B$ ?

constantin · January 2017

Bonjour Poirot,

Si j'écris A=MDM^-1 où D est la matrice diagonale diag(v₁..............v_n) avec v_i tous differents et M la matrice de changement de base, alors j'ai

M^-1B²M=D
C'est à dire que B² est diagonalisable de valeurs propres égales à celles de A.

Mais je n'ai pas forcément que B est diagonalisable, si? En tout cas je pense que si elle l'est ses valeurs propres seraient fatalement les racines carrées de celles de A.

Poirot · January 2017

Répond à ma question avant de diagonaliser à tout va ! En effet, on voit facilement que les valeurs propres de $B$ sont des racines carrées des valeurs propres de $A$ (prendre $u$ vecteur propre de $B$ et appliquer $B^2$).
Peux-tu maintenant justifier que $B$ est diagonalisable ?

constantin · January 2017

Oui pardon, c'est vrai que je me suis un peu précipité. En tout cas merci.

Puisque les valeurs propres de B sont les racines de celles -toutes distinctes- de A et qu'on est dans les réels (il me semble utile de le préciser mais je n'arrive pas à bien le justifier), alors les racines de B sont distinctes deux à deux aussi (car la fonction racine est injective sur son domaine) et donc B est diagonalisable (et s'écrit B=M^-1D^1/2M car elle admet les mêmes vecteurs propres que B²)

Ainsi on a

M^-1(M^-1D^1/2MM^-1D^1/2M)M=D
M^-1(M^-1DM)M=D car D^1/2 diagonale

et donc j'ai l'égalité ssi M est sa propre inverse? c'est à dire ssi M est la matrice d'une réflexion par rapport à un hyperplan de Rⁿ?

Si oui, cet ensemble porte-il un nom? J'imagine qu'il est de cardinal infini.

Poirot · January 2017

Euh là tu as un problème. Bon, les valeurs propres (complexes) d'une telle matrice $B$ sont des racines carrées (complexes) des valeurs propres de $A$, et donc sont deux à deux distinctes. Donc $B$ est diagonalisable dans $\mathbb C$. Maintenant, comme on l'a vu aussi, les vecteurs propres sont les mêmes que ceux de $A$, et donc les matrices de passage vers une base de vecteurs propres sont les mêmes (évidents). On a donc au plus $2^n$ choix possibles pour les coefficients de la matrice diagonale pour $B$. Ainsi le nombre de telles matrices dans $\mathbb C$ est exactement $2^n$ (sauf si $A$ a $0$ pour valeur propre, auquel cas c'est $2^n-1$). En particulier le nombre de telles matrices réelles est fini.

MrJ · January 2017

Voici un autre point de vue.

Quitte à changer de base, on peut supposer que $A$ est diagonale. Si $B^2=A$, alors $B$ commute avec $A$. Or les matrices commutant avec $A$ sont les matrices diagonales. Il est alors facile de conclure.

constantin · January 2017

Bonjour, merci, je suis content d'avoir ces deux versions que je pense avoir bien comprises maintenant.

Juste un petit point: pour justifier que les valeurs propres de B sont les racines de celles de A. Je vois bien comment dire que les valeurs propres d'une matrice au carré sont les carrés des valeurs propres mais j'ai un peu de mal à formaliser l'autre sens:

soit x une valeur propre de B et u son vecteur propre correspondant. Puisque B(B(u))=x.x.u alors x est forcément +/-v_i où v_i est une valeur propre de B².

Mais je sens que quelque chose cloche niveau rigueur... (et compréhension?)

gerard0 · January 2017

Heu .... tu viens d'écrire B²u=x²u, donc u est un vecteur propre de B² et la valeur propre x de B te donne une valeur propre x² de B².

Cordialement.

Poirot · January 2017

Attention, il n'y a pas de vecteur propre "canonique" associé à une valeur propre. Donc il ne faut surtout pas dire "soit $u$ son vecteur propre associé".

On reprend. Soit $u$ un vecteur propre de $B$, de valeur propre associée $\lambda$ (celle-ci est bien unique). On a donc $Bu=\lambda u$, puis $B^2u=Au=\lambda^2u$. On voit donc que $u$ est vecteur propre de $A$, avec pour valeur propre $\lambda^2$. Donc les valeurs propres de $B$ sont nécessairement des racines carrées (dans $\mathbb C$) de valeurs propres de $A$.

constantin · January 2017

Merci,
je vois bien que les valeurs propres sont nécessairement des racines carrées de celle de A mais qu'est-ce qui me donne que le spectre de B "couvre" bien celui de A (en racine carrée), si vous voyez ce que je veux dire?
En d'autres termes, comment justifier que les valeurs propres de B ne soient pas éventuellement répétées?

Poirot · January 2017

Parce que si tu trigonalises $B$ dans $\mathbb C$, tu auras $n$ valeurs propres sur la diagonale, et elles sont nécessairement distinctes deux à deux, et même plus précisément n'ont pas les mêmes carrés deux à deux, sans quoi $A=B^2$ n'aurait pas $n$ valeurs propres deux à deux distinctes mais moins.

constantin · January 2017

Pourquoi trigonaliser pour justifier que sans n valeurs propres de carrés distincts pour B on n'aurait pas n valeurs propres distinctes pour B²?

Poirot · January 2017

En trigonalisant on voit qu'il est NÉCESSAIRE d'avoir $n$ valeurs propres de carrés deux à deux distincts, car le carré d'une triangulaire supérieure est triangulaire supérieure, et les coefficients diagonaux sont ses valeurs propres. Je ne vois pas d'argument plus simple.

constantin · January 2017

Oui d'accord! Merci beaucoup Poirot, tout me semble bien emballée maintenant!

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