$\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$
Bonjour à toutes et à tous,
Existe-t-il un anneau d'entiers où $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ sont deux éléments irréductibles?
Ma question est peut-être bidon (je pense à $\mathbb{Z}[\sqrt{2},\sqrt{3}$]=$\mathbb{Z}[\sqrt{2}+\sqrt{3}]$ sans grande conviction) mais je ne fais que débuter en anneau d'entiers...
Si oui, est-il unique à isomorphisme près?
Merci !
Existe-t-il un anneau d'entiers où $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ sont deux éléments irréductibles?
Ma question est peut-être bidon (je pense à $\mathbb{Z}[\sqrt{2},\sqrt{3}$]=$\mathbb{Z}[\sqrt{2}+\sqrt{3}]$ sans grande conviction) mais je ne fais que débuter en anneau d'entiers...
Si oui, est-il unique à isomorphisme près?
Merci !
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Réponses
2) Il n'est pas certain que l'anneau d'entiers correspondant au corps $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ soit $\mathbb{Z}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$
Sinon :
L'inclusion $\mathbb{Q} \left( \sqrt 2 + \sqrt 3 \right) \subset \mathbb{Q} \left( \sqrt 2, \sqrt 3 \right)$ est claire. Réciproquement, puisque $\sqrt 3 - \sqrt 2 = \left( \sqrt 2 + \sqrt 3 \right)^{-1}$, il vient $\sqrt 3 - \sqrt 2 \in \mathbb{Q} \left( \sqrt 2 + \sqrt 3 \right)$ et donc la demi-somme et la demi-différence de $\sqrt 3 - \sqrt 2$ et $\sqrt 3 + \sqrt 2$ sont des éléments de $\mathbb{Q} \left( \sqrt 2 + \sqrt 3 \right)$, autrement dit on a $\sqrt 2 \in \mathbb{Q} \left( \sqrt 2 + \sqrt 3 \right)$ et $\sqrt 3 \in \mathbb{Q} \left( \sqrt 2 + \sqrt 3 \right)$, de sorte que $\mathbb{Q} \left( \sqrt 2, \sqrt 3 \right) \subset \mathbb{Q} \left( \sqrt 2 + \sqrt 3 \right)$. Ainsi
$$\mathbb{Q} \left( \sqrt 2, \sqrt 3 \right) = \mathbb{Q} \left( \sqrt 2 + \sqrt 3 \right).$$
$ \theta=\sqrt{d}+\gamma \sqrt{d'}$, alors on peut toujours prendre $\gamma=1$, c'est à dire $\mathbb{Q}[\sqrt{d},\sqrt{d'}]=\mathbb{Q}[\sqrt{d}+\sqrt{d'}]$.
$ \sqrt d - \sqrt d' = \frac{d-d'}{\sqrt d + \sqrt d'} \in \mathbb{Q}[\sqrt d + \sqrt d'].$
Merci pour vos réponses en tout cas, même si ce n'est pas l'objet de ma question...
Ce n'est pas le cas ici. Cette propriété est d'ailleurs relativement rare.
Ce qui fait que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}+\sqrt{3}]$ est inclus dans l'ensemble des entiers du corps $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$
$\sqrt{2}$ est un élément de cet anneau d'entiers puisque c'est une racine de $x^2-2$
Je doute que $\sqrt{2}$ soit inclus élément de dans $\mathbb{Z}[\sqrt{2}+\sqrt{3}]$.
En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.
Et pour ma question..? ^^'
$a+b\rho+c\rho^2+d\rho^3$ avec $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$
Si on suppose qu'il existe $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ non tous nuls tels que $\sqrt{2}=a+b\rho+c\rho^2+d\rho^3$
En élevant au carré et en utilisant le fait que, $\rho^4-10\rho^2+1=0$ j'imagine qu'on doit pouvoir arriver à une contradiction.
PS:
$\mathbb{Z}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ me semble être un bon candidat pour être l'anneau des entiers de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$.
En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.
PS2:
On doit pouvoir montrer que si on élève à la puissance $n$ les deux membres de l'équation, et que l'on fait tendre vers l'infini $n$, l'un des membres va tendre vers $0$ tandis que l'autre ne va pas tendre vers $0$:
$\sqrt{2}-1=a-1+b\rho+c\rho^2+d\rho^3$
Je vais essayer de retrouver où j'ai vu la détermination, pour $p,q$ premiers distincts, de l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt p,\sqrt q)$. Peut-être dans Cohen ? A voir. En tout cas, ici ce n'est pas $\Z[\sqrt 2, \sqrt 3]$ puisque l'on voit en ICI un élément entier qui n'est pas dans ce sous-anneau :
> ZX<X> := PolynomialRing(IntegerRing()) ; > L<r2,r3> := NumberField([X^2 - 2, X^2 - 3] : Abs := true) ; > r2^2 eq 2 and r3^2 eq 3 ; true > B := MaximalOrder(L) ; > B eq Order([r2, r3]) ; false > ChangeUniverse(Basis(B), L) ; [ 1, r2, r3, 1/2*r2*r3 - 1/2*r2 ] > x := ChangeUniverse(Basis(B), L)[4] ; > x ; 1/2*r2*r3 - 1/2*r2 <-------- ICI > Mx<T> := MinimalPolynomial(x) ; > Mx ; T^4 - 4*T^2 + 1Youhou ! Moi qui croyais poser une question bidon, je suis rassuré ! Si vous pouvez nous donner votre information claude quitté (pour p et q premiers), cela serait fantastique...
Comme je l'ai dit plus haut, un bon logiciel comme PARI fournit une base entière. SI on veut la calculer à la main, voilà un document explicatif : http://www.ucl.ac.uk/~ucahmki/courses/ant/integral.pdf
PS:
Le phénomène qu'on observe pour les corps de nombres quadratiques se produirait donc dans le cas d'espèce. :-D
L'anneau des entiers serait donc plutôt $\mathbb{Z}\left[\dfrac{1}{n}\sqrt{2},\dfrac{1}{m}\sqrt{3}\right]$
$m,n$ entiers naturels$\geq 1$ à déterminer.
Pourquoi dis tu que ``l'anneau des entiers de .. serait .. '' ? Alors que je l'ai donné dans mon post précédent. Certes sous forme d'exécution d'un programme magma peut-être difficile à lire (je ne me rends plus compte) ; je pensais (peut-être à tort) que l'on pouvait comprendre que r2 désignait $\sqrt 2$ et r3 désignait $\sqrt 3$.
En tout cas, si je pose, pour un entier $n \ge 1$, $x = {1\over n} \sqrt 2$, le polynôme minimal de $x$ sur $\Q$ est $n^2x^2 - 2$. Bilan : $x$ est entier si et seulement $n =1$.
Et donc ton ``serait ... pour des entiers naturels $n, m \ge 1$ à déterminer'' est à revoir complètement (étrange ce ``à déterminer'' d'ailleurs).
@Light
Je n'ai pas retrouvé l'information annoncée dans mon post précédent. J'ai dû rêver. Je te dis cependant ce que je sais c.a.d. pas grand chose :
(1) exercice 4, p. 256 du chap 13 de Ribenboim, Classical Theory Of Algebraic Numbers. Déterminer une $\Z$-base de l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt p, \sqrt q)$ pour deux premiers distincts $p,q$ vérifiant $p,q \equiv 1 \bmod 4$. L'exercice n'est pas corrigé mais moyennant finance, cela peut s'arranger.
(2) Chez le même auteur, dans le chapitre 16 (Complements and Miscellaneous numerical examples), étude détaillée (presque 4 pages) de $\Q(i,\sqrt 7)$, en particulier détermination d'une $\Z$-base de son anneau d'entiers :
$$
1, \qquad \sqrt 7, \qquad {\sqrt 7 + i \over 2}, \qquad {1 + \sqrt 7\, i \over 2}
$$
C'est pas marrant marrant.
(3) Plus délicat (non pas pour la technique mais parce qu'il s'agit de mézigues). Un exercice corrigé relatif à $\Q(\sqrt a, \sqrt 2)$ lorsque $a$ est un entier sans facteur carré vérifiant $a \equiv 3 \bmod 4$. Une $\Z$-base de l'anneau d'entiers :
$$
1, \qquad \sqrt 2,\qquad \sqrt a, \qquad \sqrt 2\, {1 + \sqrt a \over 2}
$$
Pas marrant marrant non plus.
Je pensais que tu avais donné un exemple d'entier qui contredisait ce que je disais plus haut sur un candidat possible de l'anneau cherché. J'ai seulement regardé ce qui avait à gauche du tag ICI. :-D
OK. Là, où j'ai probablement tort, c'est de ne pas décrire en maths l'exécution du programme. Je pourrais aussi décrire sans donner l'exécution du programme ! Mais, pour moi, cela multiplierait le temps passé par un facteur d'environ 3 (écrire le programme, l'exécuter, transcrire l'information ...etc..). Pourquoi je fais cela ? Pour minimiser le nombre d'erreurs. Bref, en clair (enfin), la $\Z$-base de l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$ fournie par le programme magma (Basis(B) ..) :
$$
1, \qquad \sqrt 2, \qquad \sqrt 3, \qquad {\sqrt 2 (1 - \sqrt 3) \over 2}
$$
Ah ouais en fait ce n'est vraiment pas évident.
@claude : pourquoi à la fin de un de tes messages tu trouves, pour $a \equiv 3 ~[4]$,
$$ 1~~ \sqrt 2 ~~ \sqrt a ~~ \frac{\sqrt 2 (1+\sqrt a) }{2} $$
Alors que pour $a=3$, il y a un $$\frac{\sqrt 2 (1-\sqrt a )}{2} $$ ?
Tout d'abord, une $\Z$-base n'est pas unique. Par exemple, si $d$ est un entier sans facteur carré vérifiant $d \equiv 1 \bmod 4$, quelle base prends tu pour l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt d)$ ? La même que la ``mienne'' ?
Deuxièmement : dans un cas, la réponse vient de magma, dans l'autre cas de mézigues. Et donc ...
Enfin, et surtout, et là c'est à toi (i.e. tu vas devoir faire un calcul et en tirer quelque chose) :
$$
{\sqrt 2 (1 + \sqrt a) \over 2} + {\sqrt 2 (1 - \sqrt a) \over 2} = \hbox {dans les combiens ?}
$$
Peux tu maintenant répondre tout seul à ta question ?
Du coup j'aurais une autre question, toujours aussi naïve : est-ce que $\mathbb{Z}[\sqrt 2 ,\sqrt 3 ]$ est le seul anneau d'entiers tel que $\sqrt 6$ soit produit d'éléments irréductibles où il y a d'autres (une infinité) anneaux de ce type? Je pense à $\mathbb{Z}[\sqrt 2 ,\sqrt 3, \sqrt 5 ]$, $\mathbb{Z}[\sqrt 2 ,\sqrt 3, \sqrt 7 ]$, $\mathbb{Z}[\sqrt 2 ,\sqrt 3, \sqrt 5, \sqrt 7 ]$...
Je réponds à ton post PRECEDENT (non, celui d'avant). Inutile de t'excuser .. et je note que tu passes du tutoiement au vouvoiement. Why ?
La non unicité des bases ? Les choses de la vie. Mais il est important de pouvoir rigidifier <<le binz>> afin de faciliter la communication. Si un corps de nombres $K$ de degré $n$ est sous la forme $K = \Q(x)$ où $x$ est entier (sur $\Z$), alors il existe une $\Z$-base de l'anneau des entiers de $K$ qui est de la forme :
$$
f_0(x)/d_0, \qquad f_1(x)/d_1, \qquad \cdots \qquad f_{n-1}(x)/d_{n-1}
$$
où les $d_i$ sont des entiers $\ge 1$ avec $d_0 \mid d_1 \mid \cdots \mid d_{n-1}$ et les $f_k \in \Z[X]$ des polynômes unitaires de degré $k$ tels que le coefficient en $x^i$ de $f_k$ pour $i < k$, soit dans l'intervalle $[0 .. d_k/d_i[$ (ouvert à droite i.e. retrancher une unité).
Et une telle base est unique. Cf par exemple, Cohen, A course in Computational Algebraic Number Theory, corollary 4.7.6 (de ma vieille édition). Il faut lire autour pour y voir l'unicité et les sections proches tournent autour de HNF (Hermite Normal Form).
Normalisation, quand tu me tiens.
Je ne comprends pas trop ton histoire de produit d'irréductibles. Si $A$ est anneau noethérien intègre, tout élément non nul $a \in A$ est produit d'éléments d'irréductibles (éventuellement un produit vide si $a$ est inversible).
Tu as quelque chose derrière la tête ? Si oui, cela serait plus simple que tu dises quoi.
On a $\sqrt{3}\times \sqrt{2}=\sqrt{6}$
Si $\sqrt{3}\, \sqrt{2}$ appartiennent à un sous-anneau de $\mathbb{C}$ alors $\sqrt{6}$ aussi non?
Algèbre.
$$ n\gamma(n)=6 $$
où $\gamma(n)$ est le noyau de l'entier $n$ (merci noix de totos pour cette notation)
Il existe des extensions de certaines fonctions arithmétiques au cas des corps de nombres (fonctions de diviseurs et de Möbius, surtout) mais c'est autre chose.
$$ n=p_1^{\alpha_1}...p_r^{\alpha_r} $$
est la décomposition en produit d'éléments irréductibles, alors
$$ \gamma(n)=p_1...p_r $$
Tout comme $\sqrt 6 =\gamma(\sqrt 6)=\sqrt 2 \sqrt 3 $ si nous sommes dans l'ensemble $\mathbb Z[\sqrt 2,\sqrt 3]$ !
Bien sûr ce genre de décomposition peut ne pas être unique, mais je crois qu'elle existe tout le temps (j'entends par là pour tout ensemble $\mathbb Z[\sqrt d]$ voire même $\mathbb Z[\sqrt d,\sqrt d']$, $d,d'$ étant sans facteur carré) même si je ne parierai dessus ^^'
Est-ce que tu aurais un lien (pdf !) qui explique l'extension de la fonction de Mobïus noix de totos stp?
Ainsi, par exemple, la fonction de Möbius est-elle définie comme suit : si $K$ est un corps de nombres, on pose pour tout idéal $\mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K$
$$\mu_K (\mathfrak{a}) := \begin{cases} 1, & \textrm{si} \ \mathfrak{a} = \mathcal{O}_K \\ (-1)^r, & \textrm{si} \ \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1 \dotsb \mathfrak{p}_r \\ 0, & \textrm{sinon}. \end{cases}$$
Bien sûr, la notation $\mathfrak{p}_i$ désigne un idéal premier. La fonction de Mertens est alors définie comme dans le cas de $\mathbb{Q}$ par
$$M_K (x) := \sum_{\mathcal{N}(\mathfrak{a}) \leqslant x} \mu_K(\mathfrak{a}).$$
On a l'estimation suivante comme pour $\mathbb{Q}$, mais il faut faire attention à l'éventuelle présence du zéro de Siegel
$$M_K(x) = C_\beta x^\beta + O \left( x e^{-c \sqrt{\log x}} \right)$$
où $c > 0$, $\beta \in \left ] 0,1 \right [$ est le zéro de Siegel s'il existe, et s'il n'existe pas le terme principal disparaît. À noter que le terme d'erreur est indépendant du zéro de Siegel.
Bien sûr, l'hypothèse de Riemann étendue est alors équivalente à l'estimation $M_K(x) \ll x^{1/2+\varepsilon}$.
Je sais que l'anneau des entiers d'un corps de nombres est un $\mathbb{Z}$-module de type fini.
Mais si tu regardes:
https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_of_integers#Examples
L'anneau des entiers du corps cyclotomique $\mathbb{Q}(\zeta_p)$, avec $\zeta_p$ une racine $p$-ème de l'unité, $p$ nombre premier, est noté $\mathbb{Z}[\zeta_p]$.
Voici l'énoncé (exercice 7 du chapitre 6, les exercices ne sont pas corrigés). Soient $m, n$ deux entiers distincts (positifs ou négatifs) sans facteur carré, différents de $1$. Déterminer une $\Z$-base de l'anneau des entiers de $K := \Q(\sqrt n, \sqrt m)$. Trouver aussi les décompositions explicites des nombres premiers dans $K$
On voit que Cohen n'a pas froid aux yeux.
Si certains sont inoccupés, c'est l'occasion ..