Le premier est l'anneau $\mathbb Z_{(2)}$ qui est le localisé de l'anneau noethérien $\mathbb Z$ par la partie multiplicative complémentaire de de l'idéal $(2)$, et est donc noethérien.
Le second n'est pas noethérien car il contient la suite strictement croissante d'idéaux $(I_n)_n$ où $I_n = \{P \in \mathbb Q[X], P(0)=\dots=P(n)=0\}$.
Et si on considère $ B = \{ \ P \in \mathbb{Q} [X] \ | \ P(n) \in \mathbb{Z} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \ \} $ ?.
$ B $ est un sous anneau de $ A = \{ \ P \in \mathbb{Q} [X] \ | \ P(0) \in \mathbb{Z} \ \} $ qui n'est pas noethérien, donc $ A $ n'est pas noethérien.
@Poirot : Si tu prends $\bigcup_n I_n=I_0$, tu n'as pas tort. (:D
@Pablo : Un sous-anneau d'un anneau noethérien n'a aucune raison d'être noethérien. L'anneau n° 2, qui est un sous-anneau de $\Q[X]$, fournit justement un contre-exemple.
Montrer que l'idéal $I_0=X\mathbb Q[X]$, qui est différent de l'idéal engendré par $X$ dans le second anneau (le polynôme $X/2$ est dans $I_0$ mais pas dans l'idéal $(X)$ de notre anneau), n'est pas de type fini.
Amicalement,
Yvette
(Un principe général à lire avec précaution: dans le localisé, "il y a moins d'idéaux" que dans l'anneau de départ, ce qui fait que le localisé d'un noethérien est noethérien.)
Ah d'accord, donc tout sous anneau entre $ \mathbb{Z} $ et $ \mathbb{Q} $ s'identifie avec : $ \mathbb{Z} [S^{-1}] $ et : $ S $ à préciser, en appliquant la propriété universelle du localisé d'un anneau ?
GBZM :
Ah d'accord, tu choisis $ S $ ainsi pour juste faire allusion au fait que : $ i(S) \subset A^{ \times } $ où $ i : \mathbb{Z} \to A $ est l'inclusion canonique, qui est une condition nécessaire dans la définition de la propriété universelle des localisés. C'est à dire que : $ S \subset A^{ \times } $
Je pense que tu te compliques la vie Pablo. Tout ce que veut dire GBZM c'est que si on a un anneau $A$ compris entre $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$, on prend les éléments qui ont un "dénominateur" dans $\mathbb Z$, et on voit facilement que $A$ est le localisé de $\mathbb Z$ par rapport à cette partie.
Bien d'accord avec ce que tu écris ici, Poirot, mais le problème est ailleurs.
Penses-tu que si un anneau est coincé entre un anneau commutatif intègre $R$ et son corps de fractions, c'est forcément un anneau de fractions de $R$ ?
Soit $B$ un suranneau de $A$ dont chaque élément a une écriture de la forme $n/d$ avec $d$ dans $A$ et $n$ dans $A$. Soit $J$ un idéal de $B$. Soit $V := A\cap J$. Alors $V$ est une idéal de $A$. Soit $e\in V$ qui soit un générateur de $V$ et soit $(n/d) \in J$. Alors $n\in A$, donc il existe $x$ dans $A$ tel que $n=xe$, donc $n/d = (x/d)e$.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Merci Christophe. :-)
Je serai ravi aussi si GBZM nous explique pourquoi son assertion ne fonctionne pas lorsqu'on remplace $ \mathbb{Z} $ par $ \mathbb{R} [X,Y] $ et $ \mathbb{Q} $ par $ \mathbb{R} (X,Y) $. Je ne saisi pas le contexte de sa question.
Merci d'avance.
@Christophe : que démontres-tu ? pourquoi $x/d \in B$ ?
@Pablo : il existe un sous-anneau de $\R(X,Y)$ contenant $\R[X,Y]$ et qui n'est pas un anneau de fractions de $\R[X,Y]$. Je te laisse en chercher un. Si tu n'y arrives pas, j'en expliciterai un plus tard.
@GaBuZoMeu: est-ce que l'on peut choisir comme sous-anneau de $\R(X,Y)$ l'ensemble des fractions $\frac{P}{Q}$ telles qu'il existe $n \in \N$ tel que $Q \in \R[X,Y]$ est homogène de degré $n$ et $P\in \R[X,Y]$ est de valuation supérieure ou égale à $n$ ? Par valuation $\geq n$ je veux dire que tous les coefficients des monômes $X^iY^j$ avec $i+j <n$ sont nuls. Il me semble que c'est bien un anneau, et que ce n'est pas un anneau de fraction. Il contient $\R[X,Y]$.
De mon téléphone : @Pablo et GBZM. Pardon j'aurais dû écrire " est de la forme n fois inverse de d" et non pas "n/d" je ne souhaitais justement pas me référer à des constructions "syntaxiques" mais la flemme a dû parler.
@Pablo: GBZM fait remarquer à juste titre que l'écriture "n/d" que j'ai utilisée ne permet pas d'affirmer que d est inversible
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Parce que $ \mathbb{R} [X,Y]_n $ n'est pas une partie multiplicative ?, edit : Pourquoi $ \big( \mathbb{R} [X,Y]_n \big)^{-1} \mathbb{R} [X,Y] $ est un anneau?. edit : Si $ \dfrac{P}{Q} , \dfrac{P'}{Q'} \in \big( \mathbb{R}_n [X,Y] \big)^{-1} \mathbb{R} [X,Y]_{ \geq n } $ avec : $ P \wedge Q = 1 $ et $ P' \wedge Q' = 1 $, alors, on n'a pas forcément :$ \dfrac{P}{Q} + \dfrac{P'}{Q'} = \dfrac{PQ' + P' Q }{ QQ'} \in \big( \mathbb{R} [X,Y]_n \big)^{-1} \mathbb{R} [X,Y]_{ \geq n } $, non ?
De mon téléphone : que si B est un sur anneau de A dont tous les éléments sont produit d'un élément de A et de l'inverse d'un élément de A alors si tout idéal de A est principal il en va de même pour B (et ce n'était qu'une petite précision pour une question très précédente de Pablo car personne n'avait écrit la petite ligne qui répond sans background)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
L'anneau de marco est bien celui çi : $ \displaystyle \bigcup_{ n \geq 0 } \big( \mathbb{R} [X,Y]_{n} \big)^{-1} \mathbb{R} [X,Y]_{ \geq n } $, non ?
Pourquoi ce n'est pas un anneau de fractions ?
@Christophe : et tu es convaincu d'avoir démontré ce que tu affirmes ? A mon avis, il manque un argument essentiel : que $B$ est bien un anneau de fractions de $A$.
@Pablo : bien, tu as fini par t'apercevoir qu'il y avait un quantificateur existentiel sur le $n$. Je n'aime trop ta notation, ce que tu mets dessous n'est pas très clair. Faisons avec.
Notons $B$ cet anneau . Soit $S$ la partie multiplicative de $A=\R[X,Y]$ formée des éléments de $A$ qui deviennent inversibles dans $B$. On suppose que $B$ est un anneau de fractions de $A$, c.-à-d. que $B=A[S^{-1}]$.
1°) Montrer que $\dfrac{X+2Y}{X+Y}\in B$.
2°) En déduire que $X+Y\in S$.
3°) Montrer que $X+Y\not\in S$.
4°) Conclure.
Supposons $B=A[S^{-1}]$.
Alors il existe $Q\in S$ tel que $\dfrac{X+2Y}{X+Y}=\dfrac{P}{Q}$, ce qui équivaut à $(X+Y)\,P=(X+2Y)\,Q$. Donc $X+Y$ divise $Q\in S$, ce qui entraîne $X+Y\in S$.
Mais si $X+Y\in S$, alors $\dfrac1{X+Y}\in A[S^{-1}]= B$, ce qui est faux.
Ah oui, c'est vrai. J'ai compris le deuxième argument, mais pas le premier.
Pourquoi : $ Q = (X+Y)R \in S \ \ \Longrightarrow \ \ X+Y \in S $ ? :-)
Je n'ai pas compris ça.
Parce que $S$ est défini comme l'ensemble des éléments de $A$ qui deviennent inversibles dans $B$. Ceci entraîne que $S$ est une partie multiplicative saturée.
@Christophe : et tu es convaincu d'avoir démontré ce que tu affirmes ? A mon avis, il manque un argument essentiel : que B est bien un anneau de fractions de A.
Euuu, es-tu sûr que tu as bien lu ( ou peut-être est-ce moi qui ai la berlue)? J'ai mis dans les hypothèses que :
1) $A$ est un sous-anneau de $B$ et
2) tout élément de $B$ est produit d'un élément de $A$ et de l'inverse d'un élément de $A$ (je ne parle pas de fraction, j'ai dit hier pourquoi j'avais fait ma coquille à cause de la flemme)
Je n'étais absolument à aucun moment dans des constructions. Mais l'hypothèse (restrictive) donne "in some sense" ce que tu signales comme oublié, non?
Bon, je te réponds très vite et entre 2 activités, pardon si je n'ai pas vu quelque chose, je reviendrai te remercier si j'ai mal lu ce que tu dis parce que tu l'as peut-être trop concentré en peu de mots.
(Pour répétition: j'avais n fois inv (d) dans un idéal K de B, avec n dans A, en le multipliant par d, j'obtiens un élément n à la fois dans A et dans K donc dans l'idéal J de A qui est intersection entre A et K, il est donc multiple du générateur choisi e de J dans A, aurement dit n = xe "for some x", et commeun idéal est stable par multiple, en prenant x fois e fois inv (d), je retombe sur un élément de K, multiple de e dans B et cet élément c'est x fois mon élément de départ)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Parce que $S$ est défini comme l'ensemble des éléments de $A$ qui deviennent inversibles dans $B$. Ceci entraîne que $S$ est une partie multiplicative saturée.
Je ne comprends pas pourquoi. Pardon.
Alors : $ f : A \to B $ et $ \pi : A \to S^{-1} A $ et $ S^{-1} A = B $ ( Diagramme commutatif )
Tu affirmes que : $ \pi (S) = f(S) \subset B^{ \times } = A[S^{-1}]^{ \times } \ \ \Longrightarrow \ \ \big( \ \ \forall x,y \in A \ \ : \ \ xy \in S \ \ \Longrightarrow \ \ x \in S \ \ \mathrm{et} \ \ y \in S \ \ \big) $. Hmmm ...
Réponses
Le second n'est pas noethérien car il contient la suite strictement croissante d'idéaux $(I_n)_n$ où $I_n = \{P \in \mathbb Q[X], P(0)=\dots=P(n)=0\}$.
Et si on considère $ B = \{ \ P \in \mathbb{Q} [X] \ | \ P(n) \in \mathbb{Z} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \ \} $ ?.
$ B $ est un sous anneau de $ A = \{ \ P \in \mathbb{Q} [X] \ | \ P(0) \in \mathbb{Z} \ \} $ qui n'est pas noethérien, donc $ A $ n'est pas noethérien.
@Pablo : Un sous-anneau d'un anneau noethérien n'a aucune raison d'être noethérien. L'anneau n° 2, qui est un sous-anneau de $\Q[X]$, fournit justement un contre-exemple.
Montrer que le premier anneau est principal.
Montrer que l'idéal $I_0=X\mathbb Q[X]$, qui est différent de l'idéal engendré par $X$ dans le second anneau (le polynôme $X/2$ est dans $I_0$ mais pas dans l'idéal $(X)$ de notre anneau), n'est pas de type fini.
Amicalement,
Yvette
(Un principe général à lire avec précaution: dans le localisé, "il y a moins d'idéaux" que dans l'anneau de départ, ce qui fait que le localisé d'un noethérien est noethérien.)
D'ailleurs tout anneau coincé entre $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$ est principal.
Amicalement,
Yvette
:-)
Peux tu m'expliquer pourquoi tout anneau entre $ \mathbb{Z} $ et $ \mathbb{Q} $ est principal ?
C'était donc une devinette, pas une vraie question.
Ah d'accord, tu choisis $ S $ ainsi pour juste faire allusion au fait que : $ i(S) \subset A^{ \times } $ où $ i : \mathbb{Z} \to A $ est l'inclusion canonique, qui est une condition nécessaire dans la définition de la propriété universelle des localisés. C'est à dire que : $ S \subset A^{ \times } $
Penses-tu que si un anneau est coincé entre un anneau commutatif intègre $R$ et son corps de fractions, c'est forcément un anneau de fractions de $R$ ?
Regarde le corollaire : $ 4.10. $ page : $ 25 $ ici : https://webusers.imj-prg.fr/~patrick.polo/M1Galois/ATG06sem2.pdf
Soit $A$ un sous-anneau de $\Q$. Si $\dfrac{n}{d}\in A$ avec $n$ et $d$ entiers premiers entre eux, $d\neq 0$, alors $\dfrac1d\in A$.
Penses-tu qu'on aura ce genre de choses en remplaçant par exemple $\Z$ par $\R[X,Y]$ et $\Q$ par $\R(X,Y)$ ?
Très bonne question par GabuZoMeu
qui rime et se résout
par l'identité de Bézout.
Cordialement,
Yvette
Soit $B$ un suranneau de $A$ dont chaque élément a une écriture de la forme $n/d$ avec $d$ dans $A$ et $n$ dans $A$. Soit $J$ un idéal de $B$. Soit $V := A\cap J$. Alors $V$ est une idéal de $A$. Soit $e\in V$ qui soit un générateur de $V$ et soit $(n/d) \in J$. Alors $n\in A$, donc il existe $x$ dans $A$ tel que $n=xe$, donc $n/d = (x/d)e$.
Je serai ravi aussi si GBZM nous explique pourquoi son assertion ne fonctionne pas lorsqu'on remplace $ \mathbb{Z} $ par $ \mathbb{R} [X,Y] $ et $ \mathbb{Q} $ par $ \mathbb{R} (X,Y) $. Je ne saisi pas le contexte de sa question.
Merci d'avance.
@Pablo : il existe un sous-anneau de $\R(X,Y)$ contenant $\R[X,Y]$ et qui n'est pas un anneau de fractions de $\R[X,Y]$. Je te laisse en chercher un. Si tu n'y arrives pas, j'en expliciterai un plus tard.
@Pablo: GBZM fait remarquer à juste titre que l'écriture "n/d" que j'ai utilisée ne permet pas d'affirmer que d est inversible
edit : Pourquoi $ \big( \mathbb{R} [X,Y]_n \big)^{-1} \mathbb{R} [X,Y] $ est un anneau?.
edit : Si $ \dfrac{P}{Q} , \dfrac{P'}{Q'} \in \big( \mathbb{R}_n [X,Y] \big)^{-1} \mathbb{R} [X,Y]_{ \geq n } $ avec : $ P \wedge Q = 1 $ et $ P' \wedge Q' = 1 $, alors, on n'a pas forcément :$ \dfrac{P}{Q} + \dfrac{P'}{Q'} = \dfrac{PQ' + P' Q }{ QQ'} \in \big( \mathbb{R} [X,Y]_n \big)^{-1} \mathbb{R} [X,Y]_{ \geq n } $, non ?
Pourquoi ce n'est pas un anneau de fractions ?
@Pablo : bien, tu as fini par t'apercevoir qu'il y avait un quantificateur existentiel sur le $n$. Je n'aime trop ta notation, ce que tu mets dessous n'est pas très clair. Faisons avec.
Notons $B$ cet anneau . Soit $S$ la partie multiplicative de $A=\R[X,Y]$ formée des éléments de $A$ qui deviennent inversibles dans $B$. On suppose que $B$ est un anneau de fractions de $A$, c.-à-d. que $B=A[S^{-1}]$.
1°) Montrer que $\dfrac{X+2Y}{X+Y}\in B$.
2°) En déduire que $X+Y\in S$.
3°) Montrer que $X+Y\not\in S$.
4°) Conclure.
$ 1) $ $ X+Y \in \mathbb{R} [X,Y]_1 \ \ \wedge \ \ X+2Y \in \mathbb{R} [X,Y]_{ \geq 1 } \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \dfrac{X+2Y}{X+Y} \in B $
$ 2) $ Puisque par hypothèse : $ B = A[S^{-1}] $, et $ \dfrac{X+2Y}{X+Y} \in B $, alors $ X+Y \in S $.
$ 3) $ Supposons que $ X+Y \in S $, alors, $ \dfrac{1}{X+Y} \in A[S^{-1}]^{\times} $
Je n'arrive pas à trouver une contradiction.
Pour 3), approfondis ta réflexion !
Alors il existe $Q\in S$ tel que $\dfrac{X+2Y}{X+Y}=\dfrac{P}{Q}$, ce qui équivaut à $(X+Y)\,P=(X+2Y)\,Q$. Donc $X+Y$ divise $Q\in S$, ce qui entraîne $X+Y\in S$.
Mais si $X+Y\in S$, alors $\dfrac1{X+Y}\in A[S^{-1}]= B$, ce qui est faux.
Pourquoi : $ Q = (X+Y)R \in S \ \ \Longrightarrow \ \ X+Y \in S $ ? :-)
Je n'ai pas compris ça.
Euuu, es-tu sûr que tu as bien lu ( ou peut-être est-ce moi qui ai la berlue)? J'ai mis dans les hypothèses que :
1) $A$ est un sous-anneau de $B$ et
2) tout élément de $B$ est produit d'un élément de $A$ et de l'inverse d'un élément de $A$ (je ne parle pas de fraction, j'ai dit hier pourquoi j'avais fait ma coquille à cause de la flemme)
Je n'étais absolument à aucun moment dans des constructions. Mais l'hypothèse (restrictive) donne "in some sense" ce que tu signales comme oublié, non?
Bon, je te réponds très vite et entre 2 activités, pardon si je n'ai pas vu quelque chose, je reviendrai te remercier si j'ai mal lu ce que tu dis parce que tu l'as peut-être trop concentré en peu de mots.
(Pour répétition: j'avais n fois inv (d) dans un idéal K de B, avec n dans A, en le multipliant par d, j'obtiens un élément n à la fois dans A et dans K donc dans l'idéal J de A qui est intersection entre A et K, il est donc multiple du générateur choisi e de J dans A, aurement dit n = xe "for some x", et commeun idéal est stable par multiple, en prenant x fois e fois inv (d), je retombe sur un élément de K, multiple de e dans B et cet élément c'est x fois mon élément de départ)
Je ne comprends pas pourquoi. Pardon.
Alors : $ f : A \to B $ et $ \pi : A \to S^{-1} A $ et $ S^{-1} A = B $ ( Diagramme commutatif )
Tu affirmes que : $ \pi (S) = f(S) \subset B^{ \times } = A[S^{-1}]^{ \times } \ \ \Longrightarrow \ \ \big( \ \ \forall x,y \in A \ \ : \ \ xy \in S \ \ \Longrightarrow \ \ x \in S \ \ \mathrm{et} \ \ y \in S \ \ \big) $. Hmmm ...