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La somme incroyable mais vraie

Envoyé par pourexemple 
La somme incroyable mais vraie
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Calculer $$\sum \limits_{k=0}^{2^{2017}} \frac{3\tanh(2^k)+1}{(1+\tanh(2^k))^2}$$

édit : j'ai fait une erreur qu'a vue Jandri

Bonne journée.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par jacquot.
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
avatar
bonjour

Edit sur faute écriture puissance de 2

$\frac {3tanh(2^k)-1}{\begin {pmatrix} 1+tanh(2^k) \end {pmatrix}^2}= \frac {3tanh(2^k)-1}{(tanh^2(2^k)+1).(tanh(2^{k+1})+1)}$

j'arrive à
$\sum _{k=0}^{2^3}\frac {3tanh(2^k)-1}{\begin {pmatrix} 1+tanh(2^k) \end {pmatrix}^2}=2^{1}+\sum _{k=0}^{2^2}\frac {3tanh(2^k)-1} {(tanh^2(2^k)+1).(tanh(2^{k+1})+1)} $

par récurrence j'arrive à

$\sum _{k=0}^{2^{2017}}\frac {3tanh(2^k)-1}{\begin {pmatrix} 1+tanh(2^k) \end {pmatrix}^2}=2^{2015}+\sum _{k=0}^{2^{2016}}\frac {3tanh(2^k)-1}{(tanh^2(2^k)+1).(tanh(2^{k+1})+1) }$

j'arrive à $\sum _{k=0}^{2^{2017}}\frac {3tanh(2^k)-1}{\begin {pmatrix} 1+tanh(2^k) \end {pmatrix}^2}=\sum _{l=1}^{2015}2^l+\sum _{k=0}^{4}\frac {3tanh(2^k)-1}{\begin {pmatrix} 1+tanh(2^k) \end {pmatrix}^2} $

bon et arrivé là ...bah je vois plus trop lol

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par fluorhydrique.
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
Citation
fluorhydrique
$$\frac {3tanh(2^k)-1}{\begin {pmatrix} 1+tanh(2^k) \end {pmatrix}^2}= \frac {3tanh(2^k)-1}{(tanh^2(2^k)+1).(tanh(2^{k+1})+1)}$$

Ah bon ?
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
avatar
oui

(vérifie et tu verra)

j'ai utilisé la propriété pour les tangentes hyperboliques qui lie tanh(2x) à tanh(x)

ici 2^(k+1)=2.2^k

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
avatar
Salut,

@Fluo : il y a de l'idée...

indice : j'ai utilisé une astuce connue de vous, une autre connue maintenant parce que j'en ai parlée ici : [www.les-mathematiques.net]

Bonne soirée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
@fluorhydrique : tu aurais pu préciser un peu plus. Justifier les étapes, c'est aussi ça faire des maths.
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
avatar
Poirot, pourtant j'attendais que tu critiques la deuxième étape (et non la première).

La deuxième c'est elle qui est pourrie

J'ai bâclé le bidule par manque de temps

.

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par jacquot.
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
La somme proposée ne se simplifie pas.

En revanche la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{3\tanh(2^k)+1}{(1+\tanh(2^k))^2}$ se simplifie.
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
avatar
Bonjour,

@Jandri : oui, tu as raison, cette astuce est-elle classique ?

Bonne journée.
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
@jandri est-ce que la simplification se fait par télescopage ?
Merci
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
avatar
[www.les-mathematiques.net]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
avatar
...j'étais complètement paumé ...

Merci Jandri

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: La somme incroyable mais vraie
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Une fois la typo corrigée, on a, pour tout $N$ entier, $\displaystyle S_N = \sum_{k=0}^{2^N} {3 \tanh(2^k) + 1 \over (1+\tanh(2^k))^2}$ avec $\displaystyle N=2017.$

On se doute que la solution est une somme télescopique (comme toujours dans de tels cas).

On prend deux minutes pour écrire, pour tout $x$ réel, $\displaystyle {3 \tanh (x) + 1 \over (1+ \tanh(x))^2} = 1+\frac12 e^{-2x} -\frac12 e^{-4x}$ et on termine prudemment...



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par YvesM.
JLT
Re: La somme incroyable mais vrai.
il y a deux années
avatar
Problème analogue : soit $a>0$. Calculer
$$\sum_{k=0}^n \dfrac{\mathrm{th}^3(2^k)-\mathrm{th}(2^k)}{(a(\mathrm{th}^2(2^k)+1)+2\mathrm{th}(2^k))(\mathrm{th}(2^k)+a)}.$$
Re: La somme incroyable mais vraie
il y a deux années
avatar
Oui, je suis sûr qu'il existe plein de problème analogue (ou on monte en complexité en utilisant des astuces en plus)...

En fait, je vous explique mon objectif : être capable de tomber en moins de 10 minutes les exos types Leichtnam (Ellipses)
Et pour cela je me construit un arsenal d'astuce, voilà, voilà...

Bonne soirée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: La somme incroyable mais vraie
il y a deux années
bonjour

la décomposition proposée par Yves comporte deux erreurs de signe ; en fait on obtient :

$\frac{3thx + 1}{(1 + thx)^2} = 1 + \frac{1}{2}e^{-2x} - \frac{1}{2}e^{-4x}$

et donc : $\frac{3th2^k + 1}{(1 + th2^k)^2} = 1 + \frac{1}{2}e^{-2^{k+1}} - \frac{1}{2}e^{-2^{k+2}}$

il ne s'agit pas de termes de suites géométriques
et on ne peut guère espérer expliciter en fonction de N la somme proposée

par contre on est sûr que la somme pour N infini diverge vers +oo

cordialement



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par jean lismonde.
Re: La somme incroyable mais vraie
il y a deux années
avatar
Bonjour,

@Jean : tu penses que cela n'est pas possible ?

PS : As-tu regardé les indications données ?

PS : il me semble que le calcul de Yves est bon.

Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: La somme incroyable mais vraie
il y a deux années
bonsoir pourexemple

je confirme mon résultat du terme général

et je confirme l'impossibilité avec les fonctions classiques de sommer jusqu'à N
ces termes qui ne sont pas en progression géométrique
et dont la somme n'est nullement télescopique

par contre il sera sans doute possible par le calcul intégral
de trouver un encadrement satisfaisant de la somme

(j'ai lu les interventions précédentes et contrairement à ce qu'espère Jandri
la somme fonction de N ne comporte pas de simplification)

cordialement
Re: La somme incroyable mais vraie
il y a deux années
@ jean lismonde:

C'est que tu n'as pas remarqué qu'il s'agit d'une somme "télescopique ":

$ \displaystyle\sum_{k=0}^n \left(\frac{1}{2}e^{-2^{k+1}} - \frac{1}{2}e^{-2^{k+2}}\right)= \frac{1}{2}e^{-2^{1}} - \frac{1}{2}e^{-2^{n+2}}$.
Re: La somme incroyable mais vraie
il y a deux années
avatar
Bonjour,

@Jean : non ce n'est pas une somme télescopique (mais on peut le voir comme une généralisation des sommes télescopiques), c'est plus une somme du genre :


$$\sum \limits_{n=0}^N h(g^n(x)), \text{ avec } h(x)=f(g(x))-f(x)$$

avec ici $g(x)=\frac{2x}{1+x^2}$,

j'ai trouvé cette approche dans mes recherches.

PS : ce n'est pas parce qu'une chose est facile à comprendre qu'elle facile à trouver, la preuve, cette astuce n'était pas connue et pourtant très facile à comprendre.

Bonne journée.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: La somme incroyable mais vraie
il y a deux années
bonjour

Jandri a raison : sa somme est télescopique ; autant pour moi et tant mieux pour le calcul jusqu'à N = 2017

mais dans la somme initiale proposée par pourexemple
avec comme indice les puissances entières successives de 2 jusqu'à $2^N$
elle ne l'est guère (le dernier terme est constitué de N exponentielles successives)

une remarque pour terminer : si on effectue le produit infini des termes (au lieu de la somme infinie)
il va également diverger (lentement) car ce terme est supérieur à 1 (de peu à mesure que l'indice augmente)

cordialement
Re: La somme incroyable mais vraie
il y a deux années
avatar
Cher Jean,

Tu as travaillé sur la somme qu'a repris Yves, c'est à dire celle corrigée par Jandri.
Quand c'est ma faute, c'est de ma faute, quand ce n'est pas ma faute, ce n'est pas de ma faute.

PS : on dirait un piège, on verra bien qui tombera dedans...

Bonne journée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
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