La somme incroyable mais vraie

bonjour

Edit sur faute écriture puissance de 2

$\frac {3tanh(2^k)-1}{\begin {pmatrix} 1+tanh(2^k) \end {pmatrix}^2}= \frac {3tanh(2^k)-1}{(tanh^2(2^k)+1).(tanh(2^{k+1})+1)}$

j'arrive à
$\sum _{k=0}^{2^3}\frac {3tanh(2^k)-1}{\begin {pmatrix} 1+tanh(2^k) \end {pmatrix}^2}=2^{1}+\sum _{k=0}^{2^2}\frac {3tanh(2^k)-1} {(tanh^2(2^k)+1).(tanh(2^{k+1})+1)} $

par récurrence j'arrive à

$\sum _{k=0}^{2^{2017}}\frac {3tanh(2^k)-1}{\begin {pmatrix} 1+tanh(2^k) \end {pmatrix}^2}=2^{2015}+\sum _{k=0}^{2^{2016}}\frac {3tanh(2^k)-1}{(tanh^2(2^k)+1).(tanh(2^{k+1})+1) }$

j'arrive à $\sum _{k=0}^{2^{2017}}\frac {3tanh(2^k)-1}{\begin {pmatrix} 1+tanh(2^k) \end {pmatrix}^2}=\sum _{l=1}^{2015}2^l+\sum _{k=0}^{4}\frac {3tanh(2^k)-1}{\begin {pmatrix} 1+tanh(2^k) \end {pmatrix}^2} $

bon et arrivé là ...bah je vois plus trop lol

oui

(vérifie et tu verra)

j'ai utilisé la propriété pour les tangentes hyperboliques qui lie tanh(2x) à tanh(x)

ici 2^(k+1)=2.2^k

@fluorhydrique : tu aurais pu préciser un peu plus. Justifier les étapes, c'est aussi ça faire des maths.

La somme proposée ne se simplifie pas.

En revanche la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{3\tanh(2^k)+1}{(1+\tanh(2^k))^2}$ se simplifie.

@jandri est-ce que la simplification se fait par télescopage ?
Merci

...j'étais complètement paumé ...

Merci Jandri

Problème analogue : soit $a>0$. Calculer
$$\sum_{k=0}^n \dfrac{\mathrm{th}^3(2^k)-\mathrm{th}(2^k)}{(a(\mathrm{th}^2(2^k)+1)+2\mathrm{th}(2^k))(\mathrm{th}(2^k)+a)}.$$

bonjour

la décomposition proposée par Yves comporte deux erreurs de signe ; en fait on obtient :

$\frac{3thx + 1}{(1 + thx)^2} = 1 + \frac{1}{2}e^{-2x} - \frac{1}{2}e^{-4x}$

et donc : $\frac{3th2^k + 1}{(1 + th2^k)^2} = 1 + \frac{1}{2}e^{-2^{k+1}} - \frac{1}{2}e^{-2^{k+2}}$

il ne s'agit pas de termes de suites géométriques
et on ne peut guère espérer expliciter en fonction de N la somme proposée

par contre on est sûr que la somme pour N infini diverge vers +oo

cordialement

bonsoir pourexemple

je confirme mon résultat du terme général

et je confirme l'impossibilité avec les fonctions classiques de sommer jusqu'à N
ces termes qui ne sont pas en progression géométrique
et dont la somme n'est nullement télescopique

par contre il sera sans doute possible par le calcul intégral
de trouver un encadrement satisfaisant de la somme

(j'ai lu les interventions précédentes et contrairement à ce qu'espère Jandri
la somme fonction de N ne comporte pas de simplification)

cordialement