Groupe monogène, cyclique

Si $x^m=1$ alors pour tout n entier $(x^m)^n=x^{mn}=1$

et si $x,y$ commutent, alors $(xy)^n=x^ny^n$

Considère le groupe cyclique $\mathbb{U}_6=(\left\{\exp(\frac{2ik\pi}{6}):k=0,\ldots,5\right\},\times)$ (la loi de composition interne est la multiplication usuelle des nombres complexes).

Choisis un élément $x$ d'ordre 2.

Choisis un élément $y$ d'ordre 3.

Qui est $xy$ ? Quel est son ordre ?

Morgatte
En prenant l'exemple de Magnéthorax et en posant $ z_k=exp(\frac{2ik\pi}{6})$
on a $ o(z_3=-1)=2$ et $o(z_4=exp(\frac{5i\pi}{3}))=3$; (o(x) signifit l'ordre de x)
et $o(z_3z_4= exp(\frac{7i\pi}{3})=6. $
je te laisse en exercice de calculer ces ordres.

Bonjour,

Du boulot et très rapidement :

Reconsidérons le groupe multiplicatif cyclique
\[\Bbb{U}_6=\left(\left\{\exp\left(\frac{2\,i\,k\,\pi}{6}\right):k=0,\,\cdots,\,5\right\},\,\times\right)\]
Soit $\mathcal{R}$ la relation d'équivalence sur $\Bbb{U}_6$ définie par
\[u\,\mathcal{R}\,v\Leftrightarrow\omega(u)=\omega(v)\]
D'après le théorème de Lagrange et vu que $\mathrm{pgcd}(2,\,3)=1$, il est clair que, pour tout $u\in\Bbb{U}_6$, $\omega(u)\in\{1,\,2,\,3,\,6\}$. Considérons alors la surjection canonique $\pi:\Bbb{U}_6\to\Bbb{U}_6/\mathcal{R}$, avec
\[\Bbb{U}_6/\mathcal{R}=\left\{\overline{1},\,\overline{2},\,\overline{3},\,\overline{6}\right\}\]Partant,
\[\pi^{-1}\left\{\overline{1}\right\}=\left\{1\right\}\text{, }\pi^{-1}\left\{\overline{2}\right\}=\left\{\exp\left(i\,\pi\right)\right\}\text{, }\\\pi^{-1}\left\{\overline{3}\right\}=\left\{\exp\left(\frac{2\,i\,\pi}{3}\right),\,\exp\left(\frac{4\,i\,\pi}{3}\right)\right\}\text{ et }\pi^{-1}\left\{\overline{6}\right\}=\left\{\exp\left(\frac{i\,\pi}{3}\right),\,\exp\left(\frac{5\,i\,\pi}{3}\right)\right\}\]
Cordialement,

Thierry

Oui morgatte c'etait juste une erreure de ma part.
L'essentiel etait que tu comprennes ce qu'il fallait faire.