Groupe monogène, cyclique
Je ne comprends pas vraiment cette proposition :
Proposition 16 :
Soit (G,.) un groupe et soient x et y des éléments de G tels que xy = yx. Si x et y sont des éléments d'ordres finis respectifs p et q et si p et q sont des entiers premiers entre eux, alors xy est un élément de G d'ordre fini égal à pq.
J'essaie de comprendre.
Je prends (G,.) tel (3Z, x)
avec x= 3 et d'ordre p = 8
Gr({3}) = {1,3,9,27,81,243, 729, 2187}
puis y = 9 et d'ordre q = 3
Gr({9}) = {1,9,81}
x et y appartiennent à G, x*y = 3*9 = 27 d'ordre p*q = 8*3 = 24
27^24 = e = 1 ???
1 - C'est bien ce qu'il faut comprendre ? C'est tellement gros que je ne peux pas le calculer.
2 - Est-ce que le nouveau groupe engendré par <xy> est tel que (27Z, x) = {1, 27, 729, ..., 27^(24-1) }
3 - la notation est ici Multiplicative, (si ce qui est ci-dessus est correct, je n'en suis pas sûr) est applicable également avec une notation additive comme (3Z, +) ? (avec x+y et p+q) ?
4 - Où est l'intérêt, on peut s'en servir dans quel type de problème en pratique ?
Merci.
Proposition 16 :
Soit (G,.) un groupe et soient x et y des éléments de G tels que xy = yx. Si x et y sont des éléments d'ordres finis respectifs p et q et si p et q sont des entiers premiers entre eux, alors xy est un élément de G d'ordre fini égal à pq.
J'essaie de comprendre.
Je prends (G,.) tel (3Z, x)
avec x= 3 et d'ordre p = 8
Gr({3}) = {1,3,9,27,81,243, 729, 2187}
puis y = 9 et d'ordre q = 3
Gr({9}) = {1,9,81}
x et y appartiennent à G, x*y = 3*9 = 27 d'ordre p*q = 8*3 = 24
27^24 = e = 1 ???
1 - C'est bien ce qu'il faut comprendre ? C'est tellement gros que je ne peux pas le calculer.
2 - Est-ce que le nouveau groupe engendré par <xy> est tel que (27Z, x) = {1, 27, 729, ..., 27^(24-1) }
3 - la notation est ici Multiplicative, (si ce qui est ci-dessus est correct, je n'en suis pas sûr) est applicable également avec une notation additive comme (3Z, +) ? (avec x+y et p+q) ?
4 - Où est l'intérêt, on peut s'en servir dans quel type de problème en pratique ?
Merci.
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Réponses
et si $x,y$ commutent, alors $(xy)^n=x^ny^n$
Tu dis :" Je prends (G,.) tel (3Z, x) "
Ça veut dire quoi en clair ? Ton groupe $G$ c'est quoi ?
Pour x=3 je retrouve l'ensemble G en entier, pour x=9 une sous-partie de G.
Je suis vraiment à côté des choux ?,
J'aimerais juste avoir des exemples numériques de cette proposition, car partout est utilisé une notation générale sans jamais montrer d'exemples concrets, du coup suffit de ne pas bien comprendre une partie et je suis bloqué.
Quelqu'un pourrait-il me mettre en clair des exemples avec des nombres pour que je puisse réellement me rendre compte de ce que signifie cette proposition en question ?
Merci
Choisis un élément $x$ d'ordre 2.
Choisis un élément $y$ d'ordre 3.
Qui est $xy$ ? Quel est son ordre ?
Avant toute chose, commence par choisir un groupe. Dans ton exemple, tu nous fournis un ensemble $G$ démuni de loi. Et la proposition s'appliquant à un groupe, tu vas dans le mur si tu ne vérifies pas son premier pré-requis.
D'ailleurs, as tu bien saisi ce qu'est un groupe ?
En prenant l'exemple de Magnéthorax et en posant $ z_k=exp(\frac{2ik\pi}{6})$
on a $ o(z_3=-1)=2$ et $o(z_4=exp(\frac{5i\pi}{3}))=3$; (o(x) signifit l'ordre de x)
et $o(z_3z_4= exp(\frac{7i\pi}{3})=6. $
je te laisse en exercice de calculer ces ordres.
Mais en relisant je ne suis plus aussi sûr...
Je pensais que $exp(\frac{i\pi}{3}))$ était d'ordre 6 car suivant la valeur de l'exposant k pris je retombe sur les 6 différents membres constituants l'ensemble.
Idem pour $exp(\frac{5i\pi}{3}))$ d'ailleurs, mais tu dis qu'il est d'ordre 3 ?
Je me trompe ?
$exp(\frac{2i\pi}{3})$ est d'ordre 3
$exp(\frac{3i\pi}{3})$ = -1 est d'ordre 2
et
$exp(\frac{2i\pi}{3})$ x $exp(\frac{3i\pi}{3})$ = $exp(\frac{2i\pi}{3}+\frac{3i\pi}{3})$ = $exp(\frac{5i\pi}{3}))$
qui est d'ordre 6 comme je l'imagine ci-dessus.
Il faut que j'y re-réfléchisse.
En aparté le goupe sur lequel je voulais me faire une idée était un groupe cyclique du type (Z/3Z, x) Je reviendrai plus tard sur lui.
(Je suppose que lorsque tu as parlé de Z4 tu voulais dire $exp(\frac{4i\pi}{3}))$, du coup ça arrangerait bien mon affaire.)
Du boulot et très rapidement :
Reconsidérons le groupe multiplicatif cyclique
\[\Bbb{U}_6=\left(\left\{\exp\left(\frac{2\,i\,k\,\pi}{6}\right):k=0,\,\cdots,\,5\right\},\,\times\right)\]
Soit $\mathcal{R}$ la relation d'équivalence sur $\Bbb{U}_6$ définie par
\[u\,\mathcal{R}\,v\Leftrightarrow\omega(u)=\omega(v)\]
D'après le théorème de Lagrange et vu que $\mathrm{pgcd}(2,\,3)=1$, il est clair que, pour tout $u\in\Bbb{U}_6$, $\omega(u)\in\{1,\,2,\,3,\,6\}$. Considérons alors la surjection canonique $\pi:\Bbb{U}_6\to\Bbb{U}_6/\mathcal{R}$, avec
\[\Bbb{U}_6/\mathcal{R}=\left\{\overline{1},\,\overline{2},\,\overline{3},\,\overline{6}\right\}\]Partant,
\[\pi^{-1}\left\{\overline{1}\right\}=\left\{1\right\}\text{, }\pi^{-1}\left\{\overline{2}\right\}=\left\{\exp\left(i\,\pi\right)\right\}\text{, }\\\pi^{-1}\left\{\overline{3}\right\}=\left\{\exp\left(\frac{2\,i\,\pi}{3}\right),\,\exp\left(\frac{4\,i\,\pi}{3}\right)\right\}\text{ et }\pi^{-1}\left\{\overline{6}\right\}=\left\{\exp\left(\frac{i\,\pi}{3}\right),\,\exp\left(\frac{5\,i\,\pi}{3}\right)\right\}\]
Cordialement,
Thierry
"Je prends (G,.) tel (3Z, x)"
"je voulais me faire une idée était un groupe cyclique du type (Z/3Z, x)"
Si on utilise les symboles $\mathbb{Z},+,\times,/$ dans leur sens usuel :
1. $(3\mathbb{Z},+)$ est un groupe (monogène) et $(3\mathbb{Z},\times)$ n'est pas un groupe.
2. $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)$ est un groupe (cyclique) et $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\times)$ n'est pas un groupe.
L'essentiel etait que tu comprennes ce qu'il fallait faire.
En prenant l'exemple de Magnéthorax et en posant $ z_k=exp(\frac{2ik\pi}{6})$
on a $ o(z_3=-1)=2$ et $o(z_4=exp(\frac{4i\pi}{3}))=3$; (o(x) signifit l'ordre de x)
et $o(z_3z_4= exp(\frac{5i\pi}{3})=6. $
C'est bien d'avoir constaté que ($Z/3Z$,$\times$) n'est pas un groupe.
J'ai 40 ans et ça fait bien 20 ans que je suis sorti de l'école, c'est donc juste par curiosité que je m'intéresse à ça.
L'explication de Thierry aurait vraiment été trop complèxe si Poli12 n'était pas intervenu avant. Mais je pense l'avoir comprise également maintenant. J'ai juste un doute et une autre question du coup.
Je viens de rechercher ce qu'était une relation d'équivalence (ça m'était totalement étranger)
Donc ceci : \[u\,\mathcal{R}\,v\Leftrightarrow\omega(u)=\omega(v)\]
Est-ce que ça signifie que U est en relation avec V pour toute rotation d'un même angle [modulo 2pi] ?