Qu'est-ce qu'un espace vectoriel ?

Salut,

pour compléter (ou plutôt reformuler) ce que dit gerard0 et, en restant moi aussi dans le cadre des espaces vectoriels réels, voici ce que je peux te dire dans un premier temps :

on considère un ensemble $E$ non vide (qui sera l'ensemble des vecteurs, je noterai les éléments avec des flèches) et l'ensemble $\mathbb{R}$ (qui sera l'ensemble des scalaires, des nombres si tu préfères) muni de l'addition des nombres réels et de la multiplication des nombres réels (que je noterai naturellement $+$ et $\times$ dans la suite).

On définit deux lois de composition (deux opérations si-tu préfères) :
* une loi interne notée $\dot{+}$, c'est-à-dire une application (une fonction) de $E \times E$ dans $E$ et qui a deux éléments $\vec{a}$ et $\vec{b}$ de $E$ va associer leur somme : $\vec{a} \, \dot{+} \, \vec{b}$ (je note le symbole d'addition avec un point pour éviter de le confondre avec l'addition des nombres réels) ;
* une loi externe notée $.$, c'est-à-dire une application (une fonction) de $\mathbb{R} \times E$ dans $E$ et qui a un nombre réel $\lambda$ et à un élément $\vec{a}$ de $E$ va associer le "produit" $\lambda . \vec{a}$.

On dit que $(E, \dot{+}, .)$ est un espace vectoriel sur le corps $\mathbb R$ (ou un $\mathbb{R}$-espace vectoriel) s'il vérifie :
$1.$ La loi $\dot{+}$ est associative, c'est-à-dire : pour tous $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in E, \, (\vec{a} \, \dot{+} \, \vec{b}) \, \dot{+} \, \vec{c} = \vec{a} \, \dot{+} \, (\vec{b} \, \dot{+} \, \vec{c})$.
$2.$ La loi $\dot{+}$ est commutative, c'est-à-dire : pour tous $\vec{a}, \vec{b} \in E, \, \vec{a} \, \dot{+} \, \vec{b} = \vec{b} \, \dot{+} \, \vec{a}$.
$3.$ Il existe un élément neutre pour la loi $\dot{+}$ (il existe $\vec{e} \in E$ tel que pour tout $\vec{a} \in E, \, \vec{a} \, \dot{+} \, \vec{e}=\vec{e} \, \dot{+} \, \vec{a}=\vec{a}$. On note généralement $\vec{0_E}$ ou $\vec{0}$ s'il n'y a pas d’ambiguïté cet élément neutre, c'est le vecteur nul).
$4.$ Tout élément de $E$ admet un symétrique pour la loi $\dot{+}$ (pour tout $\vec{a} \in E$, il existe $\vec{b} \in E$ tel que $\vec{a} \, \dot{+} \, \vec{b}=\vec{b} \, \dot{+} \, \vec{a}=\vec{0_E}$. On note cet élément symétrique $-\vec{a}$).

[Remarque : ces quatre conditions se résument de la façon suivante : $(E,\dot{+})$ est un groupe abélien]

$5.$ Pour tous $\lambda , \mu \in \mathbb{R}$, pour tout $\vec{a} \in E$, $\lambda .(\mu . \vec{a})=(\lambda \times \mu). \vec{a}$
$6.$ Pour tous $\lambda , \mu \in \mathbb{R}$, pour tout $\vec{a} \in E$, $(\lambda + \mu) . \vec{a}=\lambda . \vec{a} \, \dot{+} \, \mu . \vec{a}$
$7.$ Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, pour tous $\vec{a},\vec{b} \in E$, $\lambda . (\vec{a} \, \dot{+} \, \vec{b})=\lambda . \vec{a} \, \dot{+} \, \lambda . \vec{b}$
$8.$ Pour tout $\vec{a} \in E$, $1. \vec{a} = \vec{a}$.



L'exemple le plus simple d'espace vectoriel est alors le cas où $E = \mathbb{R}$ (je te laisse voir que, dans ce cas, on a bien les huit conditions ci-dessus vérifiées). Les nombres réels sont alors à la fois des scalaires et des vecteurs dans cet exemple.
Ça peut paraître bizarre de dire qu'un nombre réel est un vecteur mais il faut bien comprendre qu'un vecteur, en mathématiques, n'est rien d'autre qu'un habitant d'un espace vectoriel. Les vecteurs que tu vois au lycée ne sont que des vecteurs parmi tant d'autres (les fonctions, les suites, les nombres réels, complexes, rationnels, etc. peuvent être des vecteurs si on les considère comme éléments d'un espace vectoriel).

Un autre exemple, qui permet peut-être d'éviter la confusion vecteur/scalaire : $E=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}^2$, je ne sais pas comment on le note au lycée). Si tu préfères, $E$ est l'ensemble des couples $(x,y)$ de réels ou encore l'ensemble des coordonnées des points du plan.

Dans ce cas, l'addition $\dot{+}$ définie sur $\mathbb{R}^2$ est la suivante :
Pour tout $(x,y)$ et $(z,t)$ appartenant à $\mathbb{R}^2$, $(x,y) \, \dot{+} \, (z,t) = (x+z , y+t)$ (autrement dit : $\dot{+}$ consiste à additionner les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles).
Et la multiplication externe :
Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, pour tout $(x,y)$ appartenant à $\mathbb{R}^2$, $\lambda. (x,y) = (\lambda \times x, \lambda \times y)$.

Évidemment, ça va marcher aussi avec $E = \mathbb{R}^n$ où $n$ est un entier naturel non nul quelconque.

L'ensemble $E = \{f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \}$ des fonctions définies sur $[0,1]$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ est aussi un espace vectoriel (qui est le vecteur nul $\vec{0_E}$, dans ce cas ?).

En espérant que ça ne t'aura pas trop embrouillé (et en espérant aussi qu'il n'y a pas trop de coquilles).

m.

Bon je pensais que mes questions avaient un (petit) intérêt. Comme dit la chanson « Si tu n'en veux pas, etc. » :-(

Ne serait-ce pas plutôt 6., qui permet de prouver (avec 3.) $0.\vec{a}=\vec{0}$ et 4. ?

[après vérification je suis d'accord avec michael, il me reste donc à identifier où ça cloche !]

Bonsoir.

" un ensemble non nul ..." ?? A priori, c'est plutôt "non vide" en référence à l'ensemble vide, qui n'a aucun élément.
"est ce que je peux représenter cet ensemble par une sphère ...." ??? Pour quoi représenter ? Et pourquoi des vecteurs géométriques, avec des flèches ?
Les exemples d'espaces vectoriels qui t'ont été donnés n'ont aucun rapport avec les vecteurs géométriques. Relis mon premier message.

"-2 ) une loi interne ... je vois cela comme un algorithme " ??? C'est simplement une opération. Tu en as déjà (à priori) utilisé un certain nombre. Il n'y a là aucun algorithme, tout au plus une règle d'obtention du résultat si c'est nécessaire

Mon conseil : relis un cours sur les espaces vectoriels, en ne tenant compte que de ce qui est écrit, sans chercher à te faire des images (ça fausserait ta compréhension), en prenant chaque mot pour ce qu'il veut dire (les matheux ne font pas de poésie, les mots sont là pour servir, chaque mot sert.

Bonne réflexion !

yann06 : "nul" signifie "égal à zéro". C'est quoi un ensemble égal à zéro (ou non égal à zéro) ?
L'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient aucun élément. Par exemple les ensembles suivants sont vides : $\{x \in \mathbb{N}\, ;\, -8 < x < -2,71 \}$ (aucun entier naturel ne se trouve entre $-8$ et $-2,71$) ; $\{y \in \mathbb{R}\, ; \, y^2 = -1 \}$ (aucun réel n'a un carré égal à $-1$).
A-t-on $\{y \in \mathbb{R} \, ;\, y^2 = -1 \} \, = \, 0$ ???

yann06 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1406526,1406526#msg-1406526
[Inutile de recopier le message initial. Un lien suffit. AD]

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La meilleur façon de comprendre ce qu'est un espace vectoriel c'est de renoncer au moins temporairement à la représentation géométrique avec les vecteurs. Les américains ont à mon avis la meilleur terminologie pour décrire les espaces vectoriels : linear spaces. Des espaces linéaires. Un espace vectoriel sur un corps K n'est rien d'autre qu'un groupe commutatif (G, +) où on peut combiner linéairement les éléments pour obtenir un autre élément de G.

Poirot
Je n'ai jamais dit le contraire. Seulement que les américains utilisaient une terminologie (parmi d'autres) qui capture l'essence de ce qu'est un espace vectoriel. Un espace où la linéarité joue le rôle central. Et puisque Yann06 voulait savoir en terme simples ce qu'est un espace vectoriel le choix terminologique a son importance dans la réponse. On aurait pu lui répondre un espace vectoriel c'est un ensemble de vecteurs. Que du bien lui fasse cette description circulaire. 8-)

[Inutile de recopier le message précédent. AD]

yann06 : je rejoins gerard0 lorsqu'il te dit de lire un cours sur les espaces vectoriels afin de t'initier à cette notion. Notamment, les premiers exemples qui ne manqueront pas d'être donnés dans un tel cours te permettront de te faire tes premières "images" d'espace vectoriel.
L'exemple type étant, je pense, celui que tu connais le mieux : l'ensemble des vecteurs du plan muni de l'addition des vecteurs et de la multiplication d'un vecteur par un scalaire (par un réel, en l'occurrence). Évidemment, si tu t'intéresse aux vecteurs dans l'espace de dimension $3$, tu as toujours affaire à un espace vectoriel.

Pour mieux saisir les choses, tu peux aussi t'emparer des quelques questions qui te sont posées ici (ou que je t'ai posées en privé). Ce ne sont pas des questions innocentes, surtout lorsqu'on débute sur des notions un peu abstraites ou sur la formalisation de notions qu'on connaît déjà intuitivement (comme les lois de composition interne). Une première petite liste de questions que les autres intervenant-e-s ne manqueront pas de compléter s'ils-elles le souhaitent (en espérant qu'elles soient adaptées à ton niveau) :

a. Je reviens sur ton exemple du triangle $ABC$ : pourquoi l'ensemble $\{ \overrightarrow{AB} \, , \, \overrightarrow{AC} \, , \,\overrightarrow{BC}\}$ muni de l'addition usuelle des vecteurs et de la multiplication par un scalaire n'est pas un espace vectoriel ? Autrement dit : quelle(s) condition(s) parmi les onze dix listées dans ce message n'est (ne sont) pas respectée(s) ? (il y a bien onze dix conditions : les huit qui sont numérotées, le fait d'avoir $E$ non vide (9) et le fait que les deux lois soient bien des lois de composition interne et externe (10 et 11 9 et 10)).
[edit : corrigé suite à la remarque de Nîmes-man]

b. La soustraction est-elle une loi de composition sur $\mathbb{N}$ ? Sur $\mathbb{Z}$ ? Sur $\mathbb{Q}$ ? Sur $\mathbb{R}$ ? Sur $\mathbb{C}$ ? (en cas de réponse négative : pourquoi ?).

c. La division est-elle une loi de composition sur $\mathbb{N}^*$ ? Sur $\mathbb{Z}^*$ ? Sur $\mathbb{Q}^*$ ? Sur $\mathbb{R}^*$ ? Sur $\mathbb{C}^*$ ? (en cas de réponse négative : pourquoi ?). D'ailleurs, pourquoi je pose la question sur $\mathbb{K}^*$ (où $\mathbb{K}^* = \mathbb{N}^*, \, \mathbb{Z}^*, \, \mathbb{Q}^*, \, \mathbb{R}^*$ ou $\mathbb{C}^*$) et non sur $\mathbb{K}$ ?

d. L'ensemble $E = \{f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \}$ des fonctions définies sur $[0,1]$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ est un espace vectoriel. Pour quelles lois ? Qui est le vecteur nul de cet espace vectoriel ?

e. $\mathbb {R}^2$ muni des lois suivantes est-il un espace vectoriel ? (en cas de réponse négative, quelle(s) condition(s) parmi les onze dix listées dans ce message n'est (ne sont) pas respectée(s) ?) [edit : idem]
* loi interne habituelle : pour tout $(x_1 \, , \, x_2), (y_1 \, , \, y_2) \in \mathbb{R}^2 \, , \, (x_1 \, , \, x_2) + (y_1 \, , \, y_2) := (x_1 + y_1 \, , \, x_2 + y_2)$
* loi externe : $\lambda . (x_1 \, , \, x_2) := (\lambda x_1 \, , \, 0)$ où $\lambda \in \mathbb {R}$ (source : Algèbre linéaire, de Joseph Grifone).

f. L'ensemble $G=\{ (x,y,z) \in \mathbb {R}^3 \, : \, (x-y)^2 = 2x+y \}$ est-il un espace vectoriel, en considérant les lois "usuelles" de $\mathbb {R}^3$ :
* loi interne habituelle :
pour tout $(x_1 \, , \, x_2 \, , \, x_3), (y_1 \, , \, y_2 \, , \, y_3) \in \mathbb{R}^3$, $(x_1 \, , \, x_2 \, , \, x_3) + (y_1 \, , \, y_2 \, , \, y_3) := (x_1 + y_1 \, , \, x_2 + y_2 \, , \, x_3 + y_3)$
* loi externe habituelle :
pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$, pour tout $(x_1 \, , \, x_2 \, , \, x_3), (y_1 \, , \, y_2 \, , \, y_3) \in \mathbb{R}^3$, $\lambda . (x_1 \, , \, x_2 \, , \, x_3) = (\lambda x_1 \, , \, \lambda x_2 \, , \, \lambda x_3)$
(source : Algèbre linéaire, de Joseph Grifone).

Comme dit gerard0, bonne réflexion.

m.

En plus de ce que dit gerard0 (ça rejoint sa remarque sur la loi externe), la loi d'addition des vecteurs n'est pas interne à ton ensemble (sauf si $A=B=C$). Par exemple, le vecteur $\overrightarrow{AB} \,+ \, \overrightarrow{AC}$ n'appartient pas à ton ensemble dès que les trois points $A$, $B$ et $C$ sont deux-à-deux distincts. Un simple dessin t'en convaincra.

Et gerard0 a raison, oublie le produit scalaire, il n'a rien à faire ici. Un espace vectoriel (réel) muni d'un produit scalaire est un espace vectoriel euclidien (ou préhilbertien), il sera temps de t'y intéresser quand tu maîtriseras ce qu'est un espace vectoriel "simple".

Je réitère un conseil déjà donné plusieurs fois : lis un cours "de base" sur les espaces vectoriels et étudie sérieusement les premiers exemples : $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$, les suites, les fonctions, etc.

yann06 : je recommence car ça ne semble pas clair : dans ton ensemble, tu as les trois vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $ \overrightarrow{BC}$ (et uniquement ceux-là).
Si tu fais la somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, tu obtiens un vecteur (appelons-le $\overrightarrow{AD}$) qui n'est aucun des trois vecteurs de ton ensemble (fais un dessin, tu verras que ce vecteur n'est aucun des trois de ton ensemble). Ta loi d'addition n'est donc pas interne, ton ensemble ne peut donc pas être un espace vectoriel.

Yann06 a écrit:

la somme des 2 vecteurs est porté par la diagonale issue de A

Et si tu complétais ton triangle, en ajoutant un point D, pour faire apparaitre un parallélogramme?

Que penses-tu des vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{BD}$?

Et ainsi, $\vec{AC}+\vec{AB}=\vec{AB}+?=?$

Si A est un corps alors un A-module est un espace vectoriel sur A

Très jolie définition et succincte aussi... Euh m'sieur c’est quoi un A-module ?

Bruno

Salut yann06,

je ne sais pas où tu veux en venir mais l'addition vectorielle n'est pas définie sur ton ensemble $E$ puisque, comme dans des exemples précédents, l'addition n'est pas interne à cet ensemble, par exemple $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} \notin E$.

De plus, même en supposant que ton addition soit bien définie, tu as montré que $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}$ mais tu n'as pas montré qu'on avait également $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}$ (ni d'autres "combinaisons") donc tu n'as pas montré la commutativité sur tout ton ensemble.

Enfin, ton message ne me semble pas tellement en rapport avec la discussion de départ puisque $E$ n'est pas un espace vectoriel. En effet, comme ça t'a été dit plusieurs fois, tout espace vectoriel réel (sur l'ensemble $\mathbb{R}$) contient une infinité de vecteurs (cf. les nombreux messages précédents sur l'exemple des trois vecteurs définis à partir d'un triangle $ABC$).

Si tu changes de sujet (ce qui semble être le cas ?), il faut que tu ouvres un autre fil de discussion, comme ça t'a déjà été signalé auparavant.

Cordialement.

m.

bah moi je vois depuis hier la puissance de la définition d'un A-module
et donc aussi d'un K-module
donnée par Jacqueline Lelong-Ferrand
quand je pense que c'est en faisant les poubelles que j'avais trouvé son bouquin d'algèbre(c'est fou)
oui un truc qu'elle a dit et dont personne parle (sur ce sujet là)

Bonsoir Bruno
pause clope
Hommages à Jacqueline Lelong-Ferrand
Nina Hagen lui dédicace "so bad" https://www.youtube.com/watch?v=HrPm-TAoRLM
la seule musique qui fait vraiment aimer les maths
NH c'est du lourd!