Stabilité par déterminant

Soit $M\in \mathcal{M}_n(K)$ de rang $r$. Si $r=0$, alors $M=0$ et donc $T(M)=0$ puisque $T$ est linéaire. Dans ce cas $\mathrm{rg}\,(T(M))=\mathrm{rg}\,(M)$. Si $r\geqslant 1$, alors $M$ est équivalente à la matrice $J_r$ :
$$
\exists P,\, Q\in \mathrm{GL}\,_n(K)\ /\ M=PJ_rQ\quad \ \text{où }\ J_r=\left(
\begin{array}{cc}
I_r & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)\in \mathcal{M}_n(K)
$$
Posons également $N=P(I_n-J_r)Q$. Prenons $\lambda\in K$ et calculons le déterminant de $\lambda M + N$. On a :
\begin{align}
\det(\lambda M+N) & =\det(P((\lambda-1)J_r+I_n)Q)\\
& =\det P \det((\lambda-1)J_r+I_n)\det Q \\
& =\lambda^r \det P\det Q\qquad (1)
\end{align}
Par ailleurs, puisque $T$ conserve le déterminant, on a :
$$
\det(\lambda M+N)=\det(T(\lambda M+N))=\det(\lambda T(M)+T(N))
$$
Posons $s=\mathrm{rg}\,(T(M))$. Il existe alors deux matrices $R,\, S\in \mathrm{GL}\,_n(K)$ telles que $T(M)=RJ_sS$ (où $J_s$ est la matrice nulle si $s=0$). Il vient :
\begin{align}
\det(\lambda M+N) & =\det(R(\lambda J_s+R^{-1}T(N)S^{-1})S) \\
& =\det(\lambda J_s+R^{-1}T(N)S^{-1})\det(R)\det(S) \qquad (2)
\end{align}
La relation (1) nous apprend que la fonction $\lambda \mapsto \det(\lambda M+N)$ est polynomiale de degré $r$, alors que (2) montre que $\lambda \mapsto \det(\lambda M+N)$ est polynomiale de degré au plus $s$. $K$ étant infini, on peut identifier polynômes et fonctions polynomiales, ce qui montre que $r\leqslant s$. On a donc obtenu :
\begin{equation}
\forall M\in \mathcal{M}_n(K),\quad \mathrm{rg}\,(M)\leqslant \mathrm{rg}\,(T(M))
\end{equation}
On en déduit que l'endomorphisme $T$ est injectif. En effet, soit $M\in \ker T$ ce qui signifie que $T(M)=0$. Alors $\mathrm{rg}\,(T(M))=0$ donc $\mathrm{rg}\,(M)\leqslant 0$ donc $M=0$. Comme $\mathcal{M}_n(K)$ est de dimension finie, l'endomorphisme $T$ est bijectif et comme $T$ conserve le rang, $T^{-1}$ conserve également le rang. Alors, en prenant $T^{-1}$ à la place de $T$, on a :
\begin{equation}
\forall M\in \mathcal{M}_n(K),\quad \mathrm{rg}\,(M)\leqslant \mathrm{rg}\,(T^{-1}(M))
\end{equation}
En remplaçant $M\in \mathcal{M}_n(K)$ par $T(M)$, on obtient :
\begin{equation}
\forall M\in \mathcal{M}_n(K),\quad \mathrm{rg}\,(T(M))\leqslant \mathrm{rg}\,(M)
\end{equation}
et finalement, on a :
\begin{equation*}
\forall M\in \mathcal{M}_n(K),\quad \mathrm{rg}\,(T(M))=\mathrm{rg}\,(M)
\end{equation*}
$T$ conserve donc bien le rang.