commutants d'endomorphismes

al khawarizmi · February 2017

Salut,
Soit f et g deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie.
Dans quelle condition peut-on avoir l'égalité entre le commutant de f et celui de g ?

Jhon · February 2017

.
$f$ et $g$ commuttent

GaBuZoMeu · February 2017

Exemple : $f$ n'importe quel endomorphisme, $g=\mathrm{Id}$. Jhon, qu'en penses-tu ?

MrJ · February 2017

Si $f$ est un polynôme en $g$ et si $g$ est un polynôme en $f$ cela marche. Cependant, je ne pense pas que cela soit une condition nécessaire.

john_john · February 2017

Si $f$ et $g$ ont même commutant, ils ont même bicommutant, càd... ?

MrJ · February 2017

Je pense que le bicommutant d'un endomorphisme $f$ est l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec tout les éléments du commutant de $f$, i.e.
\[\textrm{Bicom}(f)=\{u\in\mathcal{L}(E)\mid \forall v\in\textrm{Com}(f),\quad v\circ u = u\circ v\}.\]

Poirot · February 2017

Oui, mais surtout, le bicommutant de $u$ est $\mathbb K[ u]$ (théorème non trivial).

(EDIT : merci AD, je ne l'avais pas vu venir celle-là :-) )

john_john · February 2017

Donc, une condition présentable est que chacun des deux endomorphismes soit un polynôme en l'autre.

MrJ · February 2017

@Poirot
Je ne connaissais pas ce résultat. Est-ce que tu aurais une référence pour ce résultat? Merci.

john_john · February 2017

Réduction des endomorphismes, de R.Mnemné (Calvage et Mounet) !

Poirot · February 2017

Ou sinon l'excellent Histoires hédonistes de groupes et de géométrie, Tome II de Philippe Caldero et Jérôme Germoni, également chez Calvage et Mounet.

GaBuZoMeu · February 2017

Sur la toile, on peut trouver cet excellent document de Daniel Ferrand. Il ne faut pas avoir peur de l'approche "$K[T]$-modules", mais justement ce texte permet de se familiariser avec cette approche.