Sujectivité de $\phi_{p^2} - p id$

taupindici · February 2017

Bonjour,

Soit $\mathbb{F}_{q}$ le corps à $q=p^2$ éléments ($p$ premier) et $F$ une clôture algébrique de $\mathbb{F}_{q}$.

Je sais que l'opérateur de Frobenius $\phi _q : x \mapsto x^q$ de $F$ dans $F$ et surjectif, mais est-ce que $\phi _q - p \text{id}$ est surjectif ?

En fait j'ai $(\phi _q - p)^2=0$ et j'aimerais en déduire que $\phi _q = p \text{id}$.

Merci d'avance,

MrJ · February 2017

L'application $\phi_q$ est un morphisme de corps, alors que $p\cdot \textrm{id}$ ne l'ai pas, donc comment pourrait-il être égaux ?

taupindici · February 2017

Pourtant on me demande bien de démontrer cela dans cet exercice :

Soit $E$ une courbe elliptique sur $\mathbb{F}_q$ avec $q = p^2$ Supposons que $Card(E(\mathbb{F}_q)) =p^2 + 1 - 2p$ où $E(\mathbb{F}_q)$ désigne l'ensemble des points de $\mathbb{F}_q$ sur la courbe elliptique (auquel on ajoute le point à l'infini)

(1) Montrer que $(\phi _q -p)^2=0$
(2) En déduire $\phi _q - p =0$

Et la première question est ok, donc c'est pour ça que je demande pour la deuxième, car je ne sais pas comment on peut "en déduire" ça ...

claude quitté · February 2017

L'anneau des endomorphismes d'une courbe elliptique est un anneau intègre.

taupindici · February 2017

Ah oui, c'est vrai ! Cela vient du fait que tout endomorphisme d'une courbe elliptique est surjectif.

En fait je crois que je me suis embrouillé, ici $p$ signifie "la muptiplication par $p$", on est bien d'accord, d'où mon énoncé original qui est faux.

MrJ · February 2017

D'accord, je n'avais pas interprété l'énoncé de cette façon. (:P)

Sujectivité de $\phi_{p^2} - p id$

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