Théorème de Sylow

poli12 · February 2017

J'ai le théorème suivant dont la démonstration me dépasse.
Des étapes pour m'aider à dérouler svp.
Soit $G$ un groupe avec $|G|=p^rm$ avec $r \in N$ avec $p$ et $m$ premier entre eux, $p$ premier. Alors $G$ possède au moins un p- sous groupe de Sylow.

Fin de partie · February 2017

Poli2:

On t'a demandé de démontrer tout seul ce théorème?

Ou bien, tu as une démonstration dans ton cours que tu ne comprends pas?

PS:
Sais-tu ce qu'est une action de groupe?
Non, ce n'est pas un dispositif légal. B-)-

poli12 · February 2017

Fin de partie
En claire dans mon cours il y a une démonstration que je ne comprends pas. Et c'est fait par réccurence.

Fin de partie · February 2017

Poli2:

Pose des questions sur ce que tu ne comprends pas.

Par ailleurs,

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorèmes_de_Sylow

Il y a, j'imagine, une démonstration proche de celle qu'on t'a donné.

poli12 · February 2017

Je dirais qu'un groupe $G$ agit sur un ensemble E s'il existe un morphisme $\alpha$ de $G$ vers le groupe des bijections de E dans E. Et $\alpha$ est l'action de G sur E.

Fin de partie · February 2017

Apparemment dans la démonstration standard du premier théorème de Sylow, l'action considérée est l'action par conjugaison et l'ensemble sur lequel agit cette action est l'ensemble des sous-groupes de G.

Il faut connaître ce qu'est l'équation dite aux classes.

PS:
La récurrence utilisée est une récurrence dite forte.
On suppose qu'une propriété est vraie pour tout entier compris entre 1 et n et on veut démontrer que cette propriété est vraie pour n+1.

poli12 · February 2017

Merci Fin de partie
Je pense qu'avec ceci je vais m'en sortir.

claude quitté · February 2017

@poli12
J'utilise rarement wikipedia en ce qui concerne les preuves de résultats classiques. J'utilise plutôt des ouvrages. Il y a un certain nombre de preuves de l'existence d'un $p$-Sylow (et plus si affinité) de $G$ dans lesquelles il n'y a aucune récurrence. A une certaine époque, j'ai analysé pourquoi on faisait agir le groupe $G$ sur tel ou tel ensemble.

Tu dis :
Je dirais qu'un groupe $G$ agit sur un ensemble $E$ s'il existe un morphisme $\alpha$ de $G$ vers le groupe des bijections de $E$ dans $E$. Et $\alpha$ est l'action de $G$ sur $E$.

Il me semble que cela serait une bonne chose que tu reviennes sur la première phrase : ce ``il existe'' n'est pas du tout approprié.

Thierry Poma · February 2017

Bonjour,

Il ne me semble pas si naturel (voire approprié) que ça de faire appel à la récurrence ici. Voici une preuve originale proposée par Saint Bourbaki. Celle-ci repose essentiellement sur le résultat fondamental suivant :

Soit $\mathrm{E}$ un ensemble fini et $\mathrm{G}$ un $p$-groupe opérant sur $\mathrm{E}$. Posons
\[\mathrm{E}^{\mathrm{G}}=\left\{x:x\in\mathrm{E}\text{ et }(\forall\,g)(g\in\mathrm{G}\Rightarrow{g\,x}=x)\right\}\]L'on a
\[\mathrm{Card}\left(\mathrm{E}^{\mathrm{G}}\right)\equiv\mathrm{Card}(\mathrm{E})\quad[p]\,\]

Cela dit et dans le lemme de la pièce ci-jointe, il est question de
\[\mathrm{E}=\left\{P_{\mathrm{X}}:P_{\mathrm{X}}\in\mathfrak{P}(\mathrm{X})\text{ et }\mathrm{Card}\left(P_{\mathrm{X}}\right)=p^r\right\}\]de sorte que\[\left\{\begin{array}{rcl}\mathrm{S}\times\mathrm{E}&\longrightarrow&\mathrm{E}\\(s,\,P)&\longmapsto&s\,P=\{s.(x,\,y):(x,\,y)\in{P}\}\\\end{array}\right.\]est l'extension canonique à $\mathrm{E}$ de l'action de $\mathrm{S}$ sur $\mathrm{X}$. Pourquoi est-ce une action sur $\mathrm{E}$ ? Pourquoi avons-nous ceci ?\[\mathrm{E}^{\mathrm{S}}=\bigcup\limits_{t\in\mathrm{T}}\left\{\mathrm{S}\times\{t\}\right\}\]
Cordialement,

Thierry

claude quitté · February 2017

Salut Thierry,

Dans ton post, il y un mélange entre $S$ et $G$. Le groupe $S$ qui intervient dans le lemme de Bourbaki est un groupe d'ordre $p^r$, qui n'a rien à voir avec le groupe $G$ qui est d'ordre $n = p^r m$ avec $p \wedge m = 1$.

Par ailleurs, avec tout le respect que je dois à Bourbaki, est ce qu'il n'exagère pas un tantinet, pour démontrer ;
$$
{n \choose p^r} \not\equiv 0 \bmod p \qquad \hbox {en fait on a} \quad {n \choose p^r} \equiv m \bmod p \qquad (\star)
$$
de faire ENCORE intervenir une action ad-hoc d'un groupe ad-hoc (c'est le groupe $S$, n'importe quel groupe d'ordre $p^r$ !) sur un ensemble ad-hoc ? L'ensemble ad-hoc étant MONTE sur $S \times T$ où $T$ est n'importe quel ensemble de cardinal $m$.

Pour des raisons pédagogiques (bigre), il est préférable de donner une autre preuve de $(\star)$. Cela existe.
Vous avez dit pédagogie ? Par exemple, dans le cadre de l'Agrégation, comment un(e) étudiant(e) peut ``retenir tout cela'' (la démarche de Bourbaki) pour présenter une leçon ?

Pour moi, il est préférable de bien comprendre l'action qui intervient dans la preuve du théorème 2. Et pourquoi ce choix. Il y a là une analyse à réaliser.

De plus, pour la preuve du théorème 3, va encore intervenir une action (pour compléter les résultats sur les $p$-Sylow i.e. le fait qu'ils sont conjugués, des renseignements sur leur nombre ...etc..). Mais cette dernière action est peut-être plus naturelle.

Cela fait beaucoup d'actions en 2 pages. Je ne sais pas qui est l'auteur des preuves des théorèmes 2 et 3. Je dis bien auteur des preuves et non pas auteur des théorèmes de Sylow (on peut penser que c'est Sylow, enfin c'est ce que j'ai toujours cru). Si c'est quelqu'un de l'équipe, est ce qu'ils ne se sont pas faits plaisir en fournissant ces actions tous azimuts ?

Ne pas oublier que Bourbaki, dans le livre que tu pointes, s'est amusé à prouver le théorème fondamental de l'arithmétique dans $\Z$ (tout entier non nul est produit de premiers de manière essentiellement unique) à partir du théorème de Schreier-Jordan-Hölder. Comme quoi, les Bourbakistes étaient taquins.

Les questions que tu poses s'adressent à poli12 ?

Thierry Poma · February 2017

Salut Claude,

J'avais éteint mon ordinateur et, en mangeant, je me suis souvenu de la fin de mon intervention que je viens de corriger. Les questions s'adressent à Poli12, bien entendu. Cependant, Claude, quelle autre démonstration proposerais-tu pour ceci\[{n \choose p^r}\equiv m \bmod p\]à la place sachant que tu t'interdis d'utiliser les résultats sur les anneaux ?

Amicalement,

Thierry

claude quitté · February 2017

Thierry,

Je me permets d'attacher une feuille d'exercices corrigés de mézigues. Ce que tu me demandes est la question b.(ii) de l'exercice 3. Je vois que j'y utilise $C_{qm}^q$ au lieu de ${qm \choose q}$ ! La congruence convoitée est obtenue en considérant $(1 + X)^{qm}$ dans $\mathbb F_p[X]$ où $q$ est une puissance de $p$. Je trouvais cela plus ``léger'' que d'invoquer l'action qui figure dans le lemme de Bourbaki.

Ce coup de $(1 + X)^{qm}$, je ne sais plus où je l'ai vu. L'exercice 2 provient du Perrin (Algèbre). Ce que j'ai baptisé (pompeusement) mon analyse est la question a. de l'exercice 3. Tout ce qui figure dans cette feuille est classique et provient de lectures à gauche à droite, y compris de Bourbaki.

Ajout Je ne comprends pas pourquoi tu dis que je m'interdis d'utiliser des résultats sur les ANNEAUX ? Que viennent faire les anneaux ici ? Je voulais juste diminuer l'utilisation des actions car je trouvais que Bourbaki en faisait des tonnes. En fait, je me m'interdis rien. Mais à l'époque où j'enseignais, j'essayais de faire attention aux étudiant(e)s en leur présentant des choses accessibles par elles (eux).

flipflop · February 2017

Merci Claude pour le pdf, je pensais justement a l'exercice 2.

Thierry Poma · February 2017

Bonjour Claude,

Tu disais

Je ne comprends pas pourquoi tu dis que je m'interdis d'utiliser des résultats sur les ANNEAUX ? Que viennent faire les anneaux ici ? Je voulais juste diminuer l'utilisation des actions car je trouvais que Bourbaki en faisait des tonnes. En fait, je me m'interdis rien. Mais à l'époque où j'enseignais, j'essayais de faire attention aux étudiant(e)s en leur présentant des choses accessibles par elles (eux).

Tu auras soin de noter que mon message précède le tien. Il ne s'agissait donc pas d'affirmer quelque chose, mais de le supposer. Je sais bien que tu ne t'interdis rien. Mais il me semble que l'auteur des démonstrations du collectif Bourbaki de l'époque l'a fait. Analysons tes choix. Soit $\mathrm{X}$ et $\mathrm{Y}$ des indéterminées et $\Bbb{F}_p$ le corps premier d'ordre $p$ ($p$ entier premier fixé). Le développement de deux façons différentes du terme $(1+\mathrm{X})^{m\,p^r}\in\Bbb{F}_p[\mathrm{X}]$ nécessite que l'on travaille dans l'anneau $\Bbb{F}_p[\mathrm{X}]$, sans compter que l'on utilise le morphisme de Frobenius. Dans la même veine, en suivant Messieurs Arnaudiès-Bertin, l'on aurait pu compliquer inutilement ce qui précède en développant à la place et de deux façons différentes le polynôme $(\mathrm{X}+\mathrm{Y})^{m\,p^r}$ de l'anneau $\Bbb{F}_p[\mathrm{X},\,\mathrm{Y}]$. D'autre part et à la suite Monsieur Daniel Perrin, il s'agit bien d'obtenir un $p$-Sylow sur la base d'une technique d'"algèbre linéaire" (Exercice 2 de ton PDF !). Ce ne sont pas là les choix retenus par l'auteur bourbakiste pour des raisons liées, je pense, à la rigueur rédactionnelle du traité. Mais, je me trompe peut-être.

Amicalement,

Thierry

claude quitté · February 2017

Thierry,

OK, je comprends maintenant ce que tu as voulu dire. Et je suis plutôt d'accord avec toi. Je tiens à préciser que je suis ``plutôt Bourbakiste'' et que j'ai appris beaucoup beaucoup de choses grâce à ses différents livres. Mais bien sûr, il faut également aller lire ailleurs. Et il y aurait beaucoup de choses à dire sur certains livres d'Algèbre Commutative, mais ceci est une autre histoire.

Retour au livre ``Structures algébriques''. Que penser de l'utilisation du théorème de Jordan-Hölder pour démontrer le théorème fondamental de l'arithmétique dans $\Z$ ?

Revenons aux actions de groupes. Je suis franc : naufragé sur une île déserte, je suis incapable de réinventer les actions (enfin certaines) qui figurent dans les deux pages que tu as pointées. Et toi ?

Bilan : cela serait une bonne chose d'obtenir une preuve RUDIMENTAIRE du résultat suivant, pour $p$ premier, $q$ puissance de $p$ et $m \wedge p = 1$:
$$
{qm \choose q} \equiv m \bmod p \qquad\qquad (\star)
$$
Note : à cet endroit d'avancement de Bourbaki, les anneaux ne sont certes pas encore définis mais $\Z$ ``existe'' ainsi que ses quotients $\Z/a\Z$. Et dans un livre antérieur, à savoir E III (Ensembles ordonnés, cardinaux, nombres entiers), un certain nombre de calculs ont été réalisés sur les coefficients binomiaux. Et pas mal d'exercices dans ce chapitre qui sont loin d'être triviaux.

Bref, qui va trouver une preuve rudimentaire de $(\star)$ ?

jean-éric · February 2017

Bonsoir,

tu crois Claude que dans le cours d'UV2 de 1986-87 et 87-88 (deux fois c'est mieux qu'une) la preuve y figure ? D'ailleurs c'est je pense toi qui faisait cours si ma mémoire est bonne...

Dans ce cas le graal..; est dans la place, enfin sur un cahier bien rangé, mais où ?
Jean-éric

gai requin · February 2017

Un début peut-être :
$$m^{-1}{qm \choose q}={qm-1 \choose q-1}\bmod p.$$

Thierry Poma · February 2017

Madame Anne Cortella donne une preuve rudimentaire de ton résultat dans son livre "Théorie des groupes". Voici une version revisitée. L'on a
\[{m\,p^r\choose{p^r}}=\dfrac{\left(m\,p^r\right)!}{p^r!\,\left(p^r\,(m-1)\right)!}=\prod\limits_{\kappa=1}^{p^r}\dfrac{p^r\,(m-1)+\kappa}{\kappa}\]Remarquons immédiatement que
\[\dfrac{p^r\,(m-1)+p^r}{p^r}=m\]Partant, pour tout $\kappa<p^r$, posons $\kappa=k_{\kappa}\,p^{\alpha_{\kappa}}$ avec $\alpha_{\kappa}\in[0,\,r-1]\cap\N$ et $\mathrm{pgcd}(k_{\kappa},\,p)=1$, de sorte que\[\dfrac{p^r\,(m-1)+\kappa}{\kappa}=\dfrac{p^{r-\alpha_{\kappa}}\,(m-1)+k_{\kappa}}{k_{\kappa}}\]avec clairement\[p^{r-\alpha_{\kappa}}\,(m-1)+k_{\kappa}\equiv{k_{\kappa}}\not\equiv0\quad[p]\]Finalement, l'on obtient que\[{m\,p^r\choose{p^r}}\,\prod\limits_{\kappa=1}^{p^r-1}k_{\kappa}=m\,\prod\limits_{\kappa=1}^{p^r-1}\left(p^{r-\alpha_{\kappa}}\,(m-1)+k_{\kappa}\right)\]Le résultat voulu s'en déduit alors modulo $p$.

gai requin · February 2017

Si $q=p$, $1\cdot 2\cdots (q-1)=-1\bmod p$ d'après le théorème de Wilson donc
$${qm-1 \choose q-1}=-1\cdot 2\cdots (q-1){qm-1 \choose q-1}=-(qm-1)(qm-2)\cdots (qm-q+1)=-1\cdot 2\cdots (q-1)=1\bmod p.$$
D'où le résultat dans ce cas-là.

Reste à conclure dans le cas général...

Edit : J'ai modifié mon message initial par flemme de tout recopier.

claude quitté · February 2017

@Thierry Je tire ta preuve pour la lire. Merci.

@Jean-éric.
Salut. En 1986-1987, j'étais trop petit pour faire cours. J'ai essayé de chercher dans mes affaires mais je m'y perds. Mais ce qui est dingue, c'est que j'ai retrouvé un exercice corrigé sur cette histoire (la congruence en question et des histoires de $p$-sous-groupes) et je me demande si je ne le tire pas du cours d'UV2 fait par X.

J'ai eu du mal à le retrouver sur ma machine. C'est vraiment le bord.l. J'attache la chose (l'estampille papier initiale indique 2001). Je viens de recompiler donc les dates (estampille et header line) ne sont pas significatives. Je crois que dans ma tête, je trouvais cela beaucoup trop compliqué et j'avais dû le laisser tomber à tout jamais.

Thierry Poma · February 2017

@Claude : Je viens de modifier légèrement la preuve.

claude quitté · February 2017

@Thierry
J'allais te dire qu'il y avait une coquille $k_\kappa \equiv 1 \bmod p$ (j'avais tiré la preuve, je ne lis pas à l'écran).

claude quitté · February 2017

@Thierry
Vu. A la fin, on dispose d'une égalité du type $ab = a'b'$ avec $b \equiv b' \bmod p$ et $b \ne 0 \bmod p$. Et on en tire, $a \equiv a' \bmod p$. Il faut donc invoquer un petit quelque chose ici sur les nombres premiers. Avant, on a également utilisé le fait que $p$ est premier.

On n'utilise pas $m \wedge p = 1$. Et on tombe sur
$$
{mp^r \choose p^r} \equiv m \bmod p
$$
En mon sens, c'est rudimentaire.

Thierry Poma · February 2017

@Claude : Voici ce petit quelque chose qui me pousse à penser que cette preuve n'aurait pas été retenue par l'auteur bourbakiste, pour les raisons évoquées plus haut.

Pour tout $\kappa<p^r$, l'on sait que $\mathrm{pgcd}(k_{\kappa},\,p)=1$, de sorte qu'en vertu du théorème de Bézout, il existe $u_{\kappa}\in\Bbb{Z}$ tel que $u_{\kappa}\,k_{\kappa}\equiv1\quad[p]$, d'où\[\left(\prod_{\kappa=1}^{p^r-1}u_{\kappa}\right)\,\left(\prod_{\kappa=1}^{p^r-1}k_{\kappa}\right)\equiv1\quad[p]\]La preuve n'en demeure pas moins rudimentaire. Je ne sais pas ce que tu en penses.

jean-éric · February 2017

Merci Claude, je regarderai dans mes docs dès que possible.

Tes documents sont un véritable plaisir à lire !

Dans le bouquin de Mlle Calais page 208, me semble que la preuve est élémentaire.

Jean-éric.

PS: si t'asun truc sur les produits en couronnes (pour les nuls) pour les p-sylow du groupe $S_n$ je suis preneur.

Thierry Poma · February 2017

Bonsoir Jean-Eric,

La preuve donnée par Madame Josette Calais est plus générale, donc moins élémentaire. Je te laisse le soin de le vérifier.

Cordialement,

Thierry

claude quitté · February 2017

@Jean-éric
Non je n'ai rien sur les $p$-Sylow du groupe $S_n$ ; à cette occasion, j'avoue mon ignorance (je viens de regarder sur le net et j'y ai vu des résultats que j'ignorais, on ne peut pas tout savoir).

@Thierry. Oui, pour $a \not\equiv 0 \bmod p$, disposer d'un $b$ tel que $ab \equiv 1 \bmod p$, c'est une bonne chose. La preuve aurait quand même pu être retenue par Bourbaki car il dispose du fait que $\Z/p\Z$ est un groupe simple. Et il a bien fallu qu'il ``fasse quelque chose'' sur $\Z$ (cf la sous-section 10. Groupes monogènes, p. 46-49). Par exemple assurer que tout sous-groupe de $\Z$ est de la forme $a\Z$ (proposition 17) : on y voit une amorce (bien sûr cachée) de l'algorithme d'Euclide.

Mais on va pas ``s'inquiéter pour Bourbaki''. Il est certainement préférable de faire un effort dans le cadre de l'enseignement. Je suis toujours étonné à mon âge de la magie de l'action qui intervient dans la preuve du théorème 2 de Bourbaki. Certains auteurs semblent refuser cette magie et font des raisonnements par récurrence en ce qui concerne l'existence d'un $p$-Sylow.

Et toute cette discussion est permise ``parce que l'on la main sur les objets'' : le terrain est connu (nombres premiers, congruences, coefficients binomiaux, groupes, $p$-Sylow, ..etc..). On peut s'en sortir.

Mais le véritable problème (pour moi) est : que va-t-il se passer en terrain TOTALEMENT INCONNU ? Je prends par exemple, dans ce gros traité d'Algèbre de Bourbaki, un domaine se présente vers la fin de l'ouvrage. Et que je nomme l'algèbre intérieure (attention pas l'algèbre extérieure). Ce que Bourbaki en a fait me paraît totalement incompréhensible. Il m'a fallu que je m'y remette à plusieurs fois (sur plus de 10 ans) pour comprendre de quoi il était question. Je trouve cela anormal. Et heureusement que j'ai eu connaissance des observations de Chevalley in http://sites.mathdoc.fr/archives-bourbaki/PDF/186_nbr_089.pdf (observations qui n'ont pas été prises en compte) : c'est à ce moment là, que j'ai compris qu'il y avait deux notions d'anti-dérivations (à gauche, à droite) et deux notions de produits intérieurs (idem). C'est Dieudonné qui a rédigé l'algèbre multilinéaire de Bourbaki ??

C'est très instructif de consulter les archives de Bourbaki.

Thierry Poma · February 2017

Bonjour Claude,

Certains auteurs semblent refuser cette magie et font des raisonnements par récurrence en ce qui concerne l'existence d'un $p$-Sylow.

Je le sais bien et suis entièrement de ton avis.

Pour le reste, je ne sais pas qui est l'auteur (ou sont les auteurs) du chapitre III du traité d'Algèbre (pas celui d'Algèbre commutative !). Mais il me semble sensiblement différent, du point de vue du style adopté, des précédents chapitres du dit livre. Certes, il y a toujours quelques références au problème d'application universelle (E, IV, p.23). Mais l'on ne manquera pas d'y voir des propriétés fonctorielles de différentes algèbres (par exemple, cf. A.III.56), et ce, sans que ces propriétés fonctorielles aient fait l'objet d'une explication préalable dans le traité. L'appétence de l'auteur pour les catégories me semble ici indéniable, sans pour autant renoncer au point de vue constructif des structures adopté dans le premier livre (et que je trouve très remarquable). Comme hier, je trouve cela déroutant.

Je pense à présent que tu es en mesure de comprendre mes interrogations sur les catégories. En fait, je suis très attaché au chapitre sur les espèces de structures introduit dans le premier livre. Je ne peux, ni ne veux y renoncer. Mon souhait le plus cher aurait été d'y introduire quelques paragraphes sur cette notion de fonctorialité entre espèces de structure. Je pense que c'est possible.

jean-éric · February 2017

Merci Claude pour avoir regardé et Thierry pour cette démonstration

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