Action de groupe.
Bonsoir.
Soit un groupe fini $G$ opérant sur un ensemble fini $E$ non vide.
Et on suppose que $E^G= \{ x\in G \mid gx=x,\ \forall g\in G\}$ est vide.
Moi je suppose que $|G|= 15$ et $|E|=17$ et je cherche à trouver le nombres de $G$-orbites et le cardinal de chacune d'elle.
En effet la question que je me pose est celle-ci il n'y a pas d'appellation pour l'ensemble des $G$-orbites comment donc trouver leur cardinal.
Soit un groupe fini $G$ opérant sur un ensemble fini $E$ non vide.
Et on suppose que $E^G= \{ x\in G \mid gx=x,\ \forall g\in G\}$ est vide.
Moi je suppose que $|G|= 15$ et $|E|=17$ et je cherche à trouver le nombres de $G$-orbites et le cardinal de chacune d'elle.
En effet la question que je me pose est celle-ci il n'y a pas d'appellation pour l'ensemble des $G$-orbites comment donc trouver leur cardinal.
Réponses
-
Il faut utiliser la formule des classes. Il n'y a pas spécialement de nom pour l'ensemble des orbites. On le note en général $X/G$.
-
Une action corresponds à une partition $17 = a \cdot 1 + b \cdot 3 + c \cdot 5 + d \cdot 15$.
-
Mais l'equation des classes s'utilise juste sur un groupe opérant sur lui même par conjugaison.
-
Comment ça une action correspond a une partition??? Tu ne voudrais pas plutôt dire qu'une action induit une partition celle de la famille des G-orbites.
-
Ok pas exactement, mais si deux actions de $G$ sur $E$ induisent la même partition en orbite, il existe une bijection équivariante $E \to E$, ce qui signifie d'une certaine manière que les actions sont les "même".
Si tu cherches le nombre d'orbites, ceci va évidemment dépendre de l'action, mais tu peux voir que le cardinal d'une orbite peut-être de $1,3,5$ ou $15$ ce qui est suffisant pour conclure. -
Poirot
Y a t'il une différence entre équation des classes et formule des classes??? -
Non, c'est la même chose.
-
Nicolas
Pourquoi quitter du cardinal d'une G-orbite pour avoir celui de l'ensemble des G-orbite??? C'est ce qui me dérange. -
Je ne comprends pas ton interrogation. Comme il y a différentes actions possibles tu ne vas pas trouver "le" cardinal des $G$-orbites possibles. En revanche il est possible de les énumérer en utilisant le fait que le cardinal d'une orbite divise le cardinal du groupe. Cette observation te donne tout ce que tu veux.
Par exemple, tu peux avoir une action avec $2$ orbites qui contiennent $3$ éléments chacun et $11$ points fixe. Etc ... -
MrJ écrivait:
> Non, c'est la même chose.
Je suis donc dépassé car dans mon cours on ne parle d'equation de classes que lorsqu'un groupe agit sur lui même.
Et par ailleurs j'ai une autre formule $|E|= \sum_{x\in E'} |w(x)|$ ou $E'$ est ensembles des représentant des G-orbites. Et $w(x) $ le G- orbite de x. -
Il y a toujours un élément du groupe qui fixe les éléments d'un ensemble sur lequel il opère.
Si $x$ est un élément de l'ensemble sur lequel le groupe G opère $e.x=x$ et $e$ est l'élément neutre du groupe.
C'est dans la définition de l'action d'un groupe G sur un ensemble E.
Sous-jacente à une action de groupe sur un ensemble E il y a une relation d'équivalence:
x,x' de E sont équivalents si et seulement s'il existe un élément g de G tel que x'=g.x.
Une classe est une orbite, c'est à dire qu'on considère un élément x de E et on considère tous les éléments de E, $g.x$, $g$ variant dans le groupe $G$.
D'où l'expression, "équation aux classes". -
Merci beaucoup j'y suis arrivé a l'aide de vos interventions et j'ai 4 orbites d'ordres 3 et une orbites d'ordre 5. En effet j'ai utilisé le fait qu'il y ait pas d'orbites d'ordre 1 et 15 car $E_G$ est vide et en prenant n le nombre d'orbites d'ordre 3 et m celui d'ordre 5 , on a $3n+5m=17 $ et en résolvant cette équation dans $N$ j'ai les solutions ci dessus.
Mais j'ai une petite preocopation. Prkoi l'équation $3n+11m=19$ n'est pas resolvable???? -
Bonjour
Que veut dire svp qu'un groupe G sous groupe de $S_4 $ opere de manière naturel sur l'ensemble $N$={1,2,3,4}. -
Ca veut dire qu'il opère de la manière à laquelle tu t'attends... sans surprise quoi.
C'est comme quand on dit que $GL_n (\R)$ opère de manière naturelle sur $\R^n$. -
$S_4$ peut être vu comme un groupe de permutations (bijections) des éléments d'un ensemble à 4 éléments.
Par exemple:
la permutation notée $(12)$ échange les éléments 1 et 2 et laisse fixe les autres élément de l'ensemble $\{1,2,3,4\}$
Si bien qu'on peut écrire des trucs comme $(12).1=2$ et $(12).3=3$.
Autre exemple:
la permutation $(123)$:
Elle transforme 1 en 2, 2 en 3 et 3 en 1.
4 n'est pas impacté. -
Merci beaucoup.
-
Merci j'ai réglé ce PB mais comme tout scientifique j'en ai un autre. On me donne le sous groupe $\Gamma =\Big\{ \begin{pmatrix}a & 0\\0 & b\end{pmatrix} {\Large \mid}~ a ,b >0\Big\}$. On me demande de montrer que ce sous-groupe opère sur $\mathbb R^2 $.
Je n'arrive pas à construire l'action. De l'aide svp. -
En plus ce qui est plus dur est qu'on me demande de déterminer les orbites et de montrer qu'elles sont aux nombres de 9. Mais je pense que mon problème est juste de trouver l'action et le reste je le ferai.
-
Attends c'est une blague ? Tu as une matrice $2 \times 2$ et tu ne sais pas comment elle agit sur $\mathbb R^2$ ?
-
J'ai utilisée la multiplication matricielle mais avec cela je n'arrive pas a trouver les orbites ou du moins les neufs orbites.
-
Je te donne un indice : quel est l'orbite de $(1,1)$ ? L'orbite de $(1,0)$ ?
-
On a:
$\begin{pmatrix}a & 0\\0 & b\end{pmatrix}\cdot (x,y)=(ax,by)$ avec $a,b>0$
Le $\cdot$ est l'action d'un élément du groupe $\Gamma$ sur l'élément $(x,y)$ de $\mathbb{R}^2$
Si $(x',y')$ et $(x,y)$ sont dans la même orbite alors $x$ et $x'$ sont de même signe et il en va de même pour $y$ et $y'$.
Que peut-on dire de la réciproque? -
Fin de Partie : vu la facilité de l'exercice je suggère de ne pas trop donner d'indications ... Laisser tout seul poli12 calculer l'orbite de $(1,1)$ lui serait profitable.
-
L'orbite de (1,1) est $R_+^*\times R_+^*$.
-
Oui et je pense que tu peux calculer les autres orbites maintenant.
-
Oui j'ai calculer les autres. Ils s'agit de (0,0) , {0}\times $R_+^*$, ....
-
Voilà ! (PS : J'ai calculer => J'ai calculé)
-
Bonsoir,
Attention : Tu voulais probablement écrire $\{(0,\,0)\}$, non ? Quelles sont les autres ?
Cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
On a {(0,0)} ; {0}$ \times R_+^*$ ; {0} $\times R_-^*$ ; $R_+^* \times$ {0};$R_-^* \times$ {0};$R_+^* \times R_-^*$ ; $R_-^* \times R_+^*$;$R_-^* \times R_-^*$ et ;$R_+^* \times R_+^*$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 19
+13 Invités